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专题30 一次函数与矩形结合
1．如图，一次函数 的图像与 轴、 轴分别交于点 、 ，点 在 轴上，点 为平
面内一点，且四边形 为矩形，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数 ，可求出 ，又四边形 为矩形，点 在 轴
上，设 ，根据勾股定理 可求 ， ，再根据矩形对角线互相
平分，求出AC中点M，即可求出D点的坐标．
【详解】解：依题意，设
一次函数
即即
取AC中点M，连接BD，则
根据矩形的性质，M点也为BD的中点
故答案为：D．
【点睛】本题考查一次函数与四边形相结合，坐标轴上的点的特征、勾股定理与矩形的性质，注
意利用对角线互相平分是解题的关键．
2．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别交 轴， 轴于 ， 两点，将
绕点 顺时针旋转 得 （点 与点 对应，点 与点 对应）(1)求直线 的解析式；
(2)点 为线段 上一点，过点 作 轴交直线 于点 ，作 轴交直线 于点 ，
当 时，求点 的坐标；
(3)如图2，若点 为线段 的中点，点 为直线 上一点，点 为坐标系内一点，且以 ，
， ， 为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点 的坐标
【答案】(1)
(2) ，
(3)以 ， ， ， 为顶点的四边形为矩形时，点 的坐标为 或 ， 或
【分析】（1）依题意求出点 ， 坐标，求出 ， ，求出点 ， 的坐标，用待定系
数法求解析式；
（2）设 ，则 ，由 轴可得点 的纵坐标为 ，代入一次函数
可得点 的横坐标为 ，表示出 、 ，求出 ，根据 ，可得
的值，即可得点 的坐标；
（3）分两种情况：① 为矩形的边时，② 为矩形的对角线时，根据矩形的判定和性质即可
求解．
【详解】（1）一次函数 ，令 ，则 ，令 ，则 ，， ，即 ， ，
将 绕点 顺时针旋转 得 ，
， ，
， ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）设 ，则 ，
轴，
点 的纵坐标为 ，
将 代入一次函数 得： ，
，即点 的横坐标为 ，
， ，
， ，
，
，
，
，
点 的坐标为 ， ；
（3）① 为矩形的边时，如图，分别过点 、 作 交直线 于 ，作 交
直线 于 ，在分别过点 、 作 交直线 于 ，作 交直线 于 ，
则四边形 、四边形 均为矩形，， ，点 为线段 的中点，
， ，
将 绕点 顺时针旋转 得 ，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
点 为线段 的中点，
， ，
；
设直线 的解析式为 ，则 ，
，
直线 的解析式为 ，
， ，
，
可设直线 的解析式为 ，将 代入得， ，
，
直线 的解析式为 ，
联立直线 得 ，
解得 ，
， ；
综上， 为矩形的边时，点 的坐标为 或 ， ；
② 为矩形的对角线时，如图，
， ，
轴，
四边形 为矩形，
轴，
点 与点 重合，
．
综上，以 ， ， ， 为顶点的四边形为矩形时，点 的坐标为 或 ， 或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，中点坐标公式的运用，一次函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，矩形的
性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
3．如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点
A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．当矩形OCPD的面积为1时，求此
时P点的坐标．
【答案】（1，1）或（ ，2）
【分析】设P（a，-2a+3），则利用矩形的性质列出关于a的方程，通过解方程求得a值，继而求
得点P的坐标．
【详解】解：∵点P在一次函数y=-2x+3的图象上，
∴可设P（a，-2a+3）（a＞0），
由题意得 a（-2a+3）=1，
整理得2a2-3a+1=0，
解得 a=1，a= ，
1 2
∴-2a+3=1或-2a+3=2．
∴P（1，1）或（ ，2）时，矩形OCPD的面积为1．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上所有点的坐标都满足该函数
关系式．
4．如图1，□ABCD在平面直角坐标系xOy中，已知点 、 、 、，点G是对角
线AC的中点，过点G的直线分别与边AB、CD交于点E、F，点P是直线EF上的动点．
（1）求点D的坐标和 的值；
（2）如图2，当直线EF交x轴于点 ，且 时，求点P的坐标；
（3）如图3，当直线EF交x轴于点 时，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以P、A、Q、C为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图1 图2 图3
【答案】（1）（2，−2），7；（2）点P的坐标为（ ，− ）或（− ， ）；（3）点P的
坐标为（3，0）或（−1，2）或（ ，− ）或（− ， ）．
【分析】（1）根据平行线的性质可求点D的坐标，根据重心的定义可得S ＝ S▱ABCD从而
四边形BEFC
求解；
（2）分两种情况：①点P在AC左边，②点P在AC右边，进行讨论即可求解；
（3）先作出图形，再根据矩形的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵▱ABCD在平面直角坐标系xOy中，点A（−1，0）、B（0，4）、C（3，
2），
∴点D的坐标为（2，−2），
∴S▱ ＝6×4− ×1×4− ×3×2− ×1×4− ×3×2＝14，
ABCD
∵点G是对角线AC的中点，
∴S ＝ S▱ ＝7；
四边形BEFC ABCD
（2）∵点G是对角线AC的中点，
∴G（1，1），
设直线GH的解析式为y＝kx＋b，
则 ，
解得 ，∴直线GH的解析式为y＝− x＋ ；
①点P在AC右边，
S ＝ ×6×2＝6，
ACH
△
∵S ＝S ，
PAC 四边形BEFC
△
1＋4× ＝ ，
当x＝ 时，y＝− × ＋ ＝− ，
∴P（ ，− ）；
②点P在AC左边，
由中点坐标公式可得P（− ， ）；
综上所述，点P的坐标为（ ，− ）或（− ， ）；
（3）如图，
设直线GK的解析式为y＝kx＋b，则 ，
解得 ，
则直线GK的解析式为y＝− x＋ ，
CP⊥AP时，点P的坐标为（3，0）或（−1，2）；
CP⊥AC时，直线AC的解析式为y＝ x＋ ，
直线CP的解析式为y＝−2x＋8，故点P的坐标为（ ，− ）；
AP⊥AC时，
同理可得点P的坐标为（− ， ）；
综上所述，点P的坐标为（3，0）或（−1，2）或（ ，− ）或（− ， ）．
【点睛】本题考查四边形的综合题、矩形的性质、三角形和四边形的面积等知识，解题的关键是
熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝
4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，
则m的值为（ ）
A．7 B．6 C．4 D．8
【答案】A
【分析】如图所示，连接AC，OB交于点D，先求出C和A的坐标，然后根据矩形的性质得到D
是AC的中点，从而求出D点坐标为（2，1），再由当直线 经过点D时，可将矩形
OABC的面积平分，进行求解即可．
【详解】解：如图所示，连接AC，OB交于点D，
∵C是直线 与y轴的交点，
∴点C的坐标为（0，2），
∵OA=4，
∴A点坐标为（4，0），∵四边形OABC是矩形，
∴D是AC的中点，
∴D点坐标为（2，1），
当直线 经过点D时，可将矩形OABC的面积平分，
由题意得平移后的直线解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的平移，矩形的性质，解题的关键在于
能够熟知过矩形中心的直线平分矩形面积．
6．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线 恰好将矩形
OABC分成面积相等的两部分，那么b=_____________．
【答案】0.5
【分析】经过矩形对角线的交点的直线平分矩形的面积．故先求出对角线的交点坐标，再代入直
线解析式求解．
【详解】连接AC、OB，交于D点，作DE⊥OA于E点，
∵四边形OABC为矩形，
∴DE= AB=3，OE= OA=7.5，
∴D(7.5，3)，∵直线 恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，
∴直线经过点D，
∴将(7.5，3)代入直线 得：
3= ×7.5+b，
解得：b=0.5，
故答案为0.5.
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用及矩形的性质；找着思考问题的突破口，理解过矩形对
角线交点的直线将矩形面积分为相等的两部分是正确解答本题的关键．
7．如图，在直角坐标系中，点B的坐标为 ，若直线 恰好将矩形OABC的面积分为
1：2的两部分，则m的值为______．
【答案】－1或－6##－6或－1
【分析】直线 恰好将矩形OABC的面积分为1：2的两部分，设直线 与BC的交
点为 ，与x轴交点为 ，
根据矩形分成两部分面积为40和80，列出方程，解方程即可求解．
【详解】如图，设直线 与BC的交点为 ，与x轴交点为 ，
∵点B的坐标为 ，∴OABC的面积为 ， ，
∵直线 恰好将矩形OABC的面积分为1：2的两部分，直线 与BC的交点为
，与x轴交点为 ，
∴矩形分成两部分面积为40和80，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，掌握一次函数的性质是解题的关键．
三、解答题(共0分)
8．如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的位置如图，A(0，0)，B(6，0)，D(0，4)
(1) 根据图形直接写出点C的坐标；
(2) 已知直线m经过点P(0，6)且把矩形ABCD分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直线
m，并求该直线m的解析式.
【答案】(1)（6，4）；(2) y= x+6.
【分析】（1）根据点B、D的坐标求出点C的横坐标与纵坐标，然后写出即可；
（2）连接OC、BD得到矩形的中心，然后根据平分矩形面积的直线必过中心作出直线m即可，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．
【详解】（1）∵B（6，0）、D（0，4），
∴点C的横坐标是6，纵坐标是4，
∴点C的坐标为（6，4）；
故答案为（6，4）；
（2）直线m如图所示，
对角线OC、BD的交点坐标为（3，2），
设直线m的解析式为y=kx+b（k≠0），
则 ，
解得 ，
所以，直线m的解析式为y=- x+6．
【点睛】本题考查了中心对称，矩形的性质，待定系数法求一次函数解析式，熟记过矩形的中心
的直线把矩形的面积分成面积相等的两份是解题的关键．
9．如图，已知矩形ABOC，顶点B、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，A(－4，8)，一次函
数 的图象分别交边AB、OC于D、E，交x轴于F，且AD＝OE
(1) 求b值
(2) 若点P(x，y)是线段EF上一点，若 PEO与 PBO的面积的比为1∶4，求P点坐标
△ △【答案】（1）b＝5；（2）P（ ， ）．
【分析】（1）将D、E两点的横坐标代入一次函数 ，根据AD＝OE，列出等量关系，计算
求解．
（2）将P点代入一次函数，得P（x， x＋5），将△PEO和△PBO的面积用含x得代数式表达出
来，利用 PEO与 PBO的面积的比为1∶4，列出等量关系，求出x的值．
【详解】△（1）由题△意知：点E横坐标为0，点D横坐标为-4，
在y＝ x＋b中，令x＝0，得y＝b，
∴E（0，b）
令x＝－4，则y＝－2＋b
∴D（－4，－2＋b）
又∵AD＝OE
∴8－(－2＋b)＝b
∴b＝5；
（2）由（1）知直线EF：y＝ x＋5
∴P（x， x＋5）（－10≤x≤0）
∴S ＝ ×5(－x)＝ x
PEO
△
S ＝ ×4( x＋5)＝x＋10
PBO
△
又∵ ＝
∴x＋10＝ x×4
x＝
∴ x＋5＝
即P（ ， ）．
【点睛】本题主要考查了一次函数的求解，以及三角形面积；掌握在坐标系中解一次函数是解题的关键．
10．在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，过点 分别作 轴于点 ， 轴于点
，一次函数 的图象经过点 ．
（1）用含 的代数式表示 ．
（2）当 时，直线 被矩形 截得线段的长度为 ．
（3）当 时，函数值 满足 ，求 的取值范围．
（4）当直线 将矩形 分成的两部分面积比为 时，直接写出 的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ， ；（4） ．
【分析】（1）把点 代入 ，移项整理即可得到答案；
（2）先求出一次函数的解析式，然后求出直线与矩形的边OB、AC的交点坐标，利用勾股定理即
可求出答案；
（3）由题意，可分为两种情况进行讨论：当 时，y随x增大而增大；当 时，y随x增大
而减小；分别求出k的取值范围即可；
（4）与偶题意，可分为两种情况进行分析：分成的两部分面积比为 或 ；分别求出k的值
即可．
【详解】解：（1）将点P（2，3）代入 ，得
，
∴ ．
（2）根据题意，∵ ，
∴ ，∴一次函数的解析式为： ，
设直线与矩形的边OB、AC分别交于点D、E，如图：
令 ，则 ，
∴点D为（ ，0）；
令 ，则 ，
∴点E为（ ，4）；
∴ ．
故答案为： ．
（3）根据题意，
当 时，y随x增大而增大，
当x=1时， ．
当x=5时， ．
由已知，得 解得， ．
∴ ．当 时，y随x增大而减小，
当x=1时， ．
当x=5时， ．
由已知，得 解得， ．
∴ ．
∴综上，k的取值范围为： ， ．
（4）根据题意，如图：
∵ ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴点D为（ ，0）；
令 ，则 ，
∴点E为（ ，4）；
∴ ；
；
∵直线 将矩形 分成的两部分面积比为 ，当 时，有
，
解得： ；
经检验：符合题意
当 时，有
，
解得：
经检验：符合题意
综合上述， 的值为： ．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，矩形的性质，坐标与图形，解一元一次方程，解一
元一次不等式组等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的理解题意，运用分类讨论的
思想进行解题．
11．在平面直角坐标系中，若点 关于点 中心对称，则
．根据上述材料提供的关系式解答下列问题：
(1)已知由点 构成的三角形，若 与 关于点 成中心对称，请
直接写出点 的坐标；
(2)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点B的坐标为 ，直线 恰好将矩形 分成面积相等的两部分，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用题目中给出的运算方法进行计算即可；
（2）根据矩形的性质，当 经过矩形的中心时，恰好将矩形 分成面积相等的两部
分，将矩形的中心坐标代入解析式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得： 与 关于 成中心对称，
设： ，
则： ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：连接 ，
∵
∴矩形的中心坐标为： ，即： ，
∵直线 恰好将矩形 分成面积相等的两部分，矩形是中心对称图形，∴ 必过 ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查一次函数与图形的综合应用，熟练掌握中心对称的性质，中点坐标公式是解题
的关键．
12．【阅读材料】如图1，通过观察，可以发现“绝对值函数”y=|x|的图象是轴对称图形，有最
低点，而且增减性也很特殊……．
【实践探究】
（1）在图1中画出“绝对值函数”y=|x−3|的图象．写出该图象的两条性质，并根据图象判断：
“绝对值函数”y=|x−3|的图象可以由y=|x|的图象向_______平移_______个单位得到．
【问题解决】
（2）如图2，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，顶点C（3，3），D（−1，3），当“绝对值函
数”y=|x−k|（k为常数）的图象有部分被矩形ABCD覆盖时，被覆盖的部分记作“图象W”，点P
（m，n）是“图象W”上的一个动点．①当n的最大值为3时，求k的取值范围；②已知n的最小
值为k+3，求满足条件的k的值．
【答案】（1）图见解析，性质：①关于直线x=3对称；最低点（3，0）；②当x<3时，y随x的增
大而减小，当x>3时，y随x的增大而增大（合理即可）；右，3；
（2）① 或 ；②
【分析】（1）利用描点法画出图象即可；根据图象即可得出结论；
（2）①根据（1），分别画出“绝对值函数”y=|x−k|经过点C和点D的图象，根据题意结合图象
求解即可；②分k>3时，当−1≤k≤3时，当k<−1时，求解即可．
【详解】解：（1）当x=0时，y=3，当x=2时，y=1，
当x=3时，y=0，当x=4时，y=1，当x=5时，y=2，则“绝对值函数”y=|x−3|的图象图象如图所示：
由图可知，“绝对值函数”y=|x−3|的图象①关于直线x=3对称；最低点（3，0）；②当x<3时，y
随x的增大而减小，当x>3时，y随x的增大而增大．
“绝对值函数”y=|x−3|的图象可以由y=|x|的图象向右平移3个单位得到，
故答案为：右，3；
（2）①由（1）知，“绝对值函数”y=|x−k|的图象可以由y=|x|的图象向右或向左平移｜k｜个单
位得到，由题意，分别画出“绝对值函数”y=|x−k|经过点C和点D的图象，如图所示：
由题意，当n的最大值为3时，点P在CD上，
由图可知，当n的最大值为3时，k的取值范围为−43时，|3−k|=k+3，无解；
当−1≤k≤3时，k+3=0，k=−3舍去
当k<−1时，|−1−k|=k+3，k=−2．
综上，当n的最小值为k+3，满足条件的k=−2．
【点睛】本题考查一次函数与几何变换的综合、画函数的图象、绝对值，借助数形结合思想解决
问题是解答的关键．
13．如图，已知在平面直角坐标系中，直线l：y= x，l：y=kx+10，矩形ABCD的边AD在y轴上，
1 2
顶点C，B分别在直线l，l 上，点C的纵坐标等于1，直线l 与x，y轴分别相交于点E，Q，E(
1 2 2
，0)，直线l，l 相交于点P．
1 2(1)如图1，求k的值和矩形ABCD的面积及点P的坐标；
(2)将矩形ABCD沿射线OP方向平移得到矩形A′B′C′D′．
①如图2，当点A的对应点A′落在直线l 上时，直接写出平移的距离__________；
2
②如图3，在平移过程中，当直线l 将矩形A′B′C′D′的面积分成的两部分面积比是5：7时，直接写
2
出点C的对应点C′的坐标__________．
【答案】(1)k=-3，面积为6，点P的坐标为( ， )；
(2)① ；②( ， )或( ， )
【分析】（1）先求得点C的坐标为(2，1)，根据直线l：y=kx+10与x轴交于点E( ，0)，可求得
2
k=-3，再求得点B的坐标为(2，4)，联立方程组，即可求解；
（2）①设平移m个单位，用m表示出A′和C′的坐标，根据矩形的长为3，利用勾股定理列式计算
即可；
②点C′的坐标(n， n)，用n分别表示出点D′、点A′、点F、点E的坐标，求得A′E，FD′的长，根
据梯形A′EFD′的面积为 ×6或 ×6，解方程即可求解．
(1)
解：∵点C在直线l：y= x上，点C的纵坐标等于1，
1
∴1= x，解得x=2，
∴点C的坐标为(2，1)，
∵直线l：y=kx+10与x轴交于点E( ，0)，
2∴0= k+10，
解得：k=-3，
∴顶点B在直线l：y=-3x+10上，且横坐标与点C的横坐标相同，都等于2，
2
∴y=-3×2+10=4，
∴点B的坐标为(2，4)，
∴CD=2，BC=4-1=3，
∴矩形ABCD的面积为3×2=6，
联立 ，解得 ，
∴点P的坐标为( ， )；
(2)
解：①设平移m个单位，
∵点A′在直线l：y=-3x+10上，点C′在直线l：y= x上，
2 1
∴点A′的坐标为(m，-3m+10)，和C′的坐标(2+m，1+ m)，
∵矩形A′B′C′D′的边长为3，
∴-3m+10-(1+ m)=3，
解得m= ；
则点A′的坐标为( ， )
有（1）点A的坐标为(0，4)
平移距离为
故答案为： ；
②如图，A′B′与直线l 交于点E，C′D′与直线l 交于点F，
2 2
设点C′的坐标(n， n)，则点D′的坐标(n-2， n)，点A′的坐标(n-2， n+3)，∴点F的坐标( ， n)，点E的坐标( ， n+3)，
∴A′E= -(n-2)，FD′= -(n-2)，
由题意得： ×3( -n+2+ -n+2)= ×6或 ×3( -n+2+ -n+2)= ×6，
解得：n= 或n= ，
∴点C′的坐标( ， )或( ， )．
故答案为：( ， )或( ， )．
【点睛】本题是代数几何综合题，应用待定系数法和根据函数关系
式来表示点坐标，矩形的性质，涉及到了分类讨论思想和数形结合思想．
14．如图1，已知长方形 ， ， ， 为长方形 边上的动点，动点 从
出发，沿着 运动到 点停止，速度为 ，设点 用的时间为 秒，
的面积为 ， 和 的关系如图2所示．（1） _________ ， ____________ ；
（2）写出 时， 与 之间的关系式；
（3）当 时，求 的值．
【答案】（1）6；12 （2） （3）1秒或11秒
【分析】（1）由题意得出AB=6，AB+BC=18，得出AD=BC=12即可；
（2）当0≤x≤3时，由三角形面积公式得出y=6x；
（3）分两种情况：①当点P在AB上时，则y=12x=12，得出x=1；
②当点P在CD上时，由三角形面积公式得出y=144-12x，由题意得出144-12x=12，解得x=11即可．
【详解】解：（1）由题意得：CD=AB=3×2=6，AB+BC=9×2=18，
∴AD=BC=18-6=12，
故答案为：6，12；
（2）当0≤x≤3时，动点P在线段AB上，如图1所示：
∴y= ×12×2x=12x；
即y与x之间的关系式为y=12x（0≤x≤3）；
（3）分两种情况：
①当点P在AB上时，如图1所示：
则y=12x=12，
解得：x=1；②当点P在CD上时，如图3所示：
则AB+BC+CP=2x，CP=2x-6-12=2x-18，
∴PD=CD-CP=6-（2x-18）=24-2x，
∴△APD的面积为y= AD×PD= ×12×（24-2x）=144-12x，
当y=12时，144-12x=12，
解得：x=11；
综上所述，当y=12时，x的值为1s或11s．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形面积公式、函数图象以及分类讨论等知识；理解题意和
图象，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
15．如图 ，平面直角坐标系中，长方形 的 边在 轴上， 边在 轴上，且 ，
．(1)在长方形的 边上找一点 ，使得直线 将长方形 的面积分成1:3两部分，则点
的坐标为 ．
(2)如图 ，已知点 在 边上，且 ，请你在 边上找一点 ，将 沿 翻折，使
得点 恰好落在 轴上的点 处．
求线段 所在直线的函数表达式；
在线段 上是否存在一点 ，使得直线 将四边形 的面积分成2：3两部分？若存在，
求出符合条件的所有点 坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ； 存在， 或
【分析】（1）设 ，分别求出 ， ，再由题意得到 或
，求出 的值即可求点 的坐标；
（2） 过点 作 轴交于点 ，由折叠可知， 则
，在Rt 中， ，求出 ，可知
点与 点重合，再用待定系数法求函数的解析式即可；
设 ，分别求出 ， ， ， ，根据题意可得
或 ，求出 的值即可求 点坐标．【详解】（1）解： ，
，
，
点在 上，
设 ，
，
直线 将长方形 的面积分成1:3两部分，
或 ，
解得 或 （舍），
，
故答案为： ；
（2）解： ，
，
过点 作 轴交于点 ，
由折叠可知，
，
，
，
，
，在Rt 中， ，
解得 ，
点与 点重合，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
；
存在一点 ，使得直线 将四边形 的面积分成2：3，理由如下：
设 ，
，
，
，
，
，
或 ，
解得 或 ，
或 ．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性质，直角
三角形的性质，折叠的性质是解题的关键．
16．如图，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系xOy内，点A在x轴正半轴上，点C在y
轴正半轴上，点P是线段BC的中点， 沿AP翻折得到 ，过点C、 的直线
交x轴于点D．
(1)判断OD与AD的数量关系？并证明；
(2)求点B的坐标；
(3)求线段 的长．
【答案】(1) ，见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接 ，先利用中点定义及三角形翻折得 ，进而得
证明 得 ，于是有四边形DAPC是平行四边形，即可得到 ；（2）由直线 分别与x轴，y轴交于D、C两点求得C，D两点的坐标，从而得到线段
OA的长，即可求得点B的坐标；
（3）延长BA交CD于点E， 先证明 得 ，从而由勾股定理求得
，进而由三角形的面积公式求得 ，在 中，由勾
股定理即可求得CB’的长．
（1）解：OD与AD的数量关系是： ，理由如下：连接 ，
∵点P是BC的中点，∴ ，又∵ 沿AP
翻折得到 ，∴ ， ，∴ ，∴ ， ，∵
，∴ ，∴ ，∴ ，∵四边形OABC是矩形，
∵ ，∴ ，∴四边形DAPC是平行四边形，∴ ，∴ ，∴
；
（2）解：∵直线 分别与x轴，y轴交于D、C两点．∴ ， ，∴
，∴ ，∴ ；（3）解：延长BA交CD于点E， ∵四边形OABC是矩形，
∴ ，∴ ，∴ ，在 和
中 ，∴ ∴ ，∴ ，∴在
中， ，∵ ，∴ ，∴
∴ ∴在 中， ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，一次函数的性质以及勾股定理
等知识点，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
17．已知矩形 在平面直角坐标系 中的位置如图所示， ， ，将矩形
沿直线 折叠，使点 与点 重合，点 的对应点为点 ．
（1）求点 坐标；
（2）求线段 的长度；
（3）直接写出直线 和 的解析式．【答案】（1）点 的坐标为 ；（2） ；（3）直线 的解析式为 ，直线
的解析式为 ．
【分析】（1）由折叠性质得， ， ，设 ，则 ，根据勾股
定理即可求出点 坐标；
（2）过点 作 垂足为 ，根据矩形的判定与性质得出 ， ，求
出 ，再利用勾股定理即可求解；
（3）由点E、F坐标，根据待定系数法求出直线 的解析式；过点D作 于G，
结合三角形面积公式求出点D的坐标，再利用待定系数法求出直线 的解析式．
【详解】解：（1）∵将矩形 沿直线 折叠，使点 与点 重合，
∴ ， ．
设 ，则 ，
在 中，
根据勾股定理， ．
即 ．
解得， ．
∴点 的坐标为 ．
（2）与（1）同理，可得 ，点 的坐标为 ．
过点 作 垂足为 ，∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴ ．
∴四边形 是矩形．
∴ ， ．
∴ ．
在 中，根据勾股定理，
．
；
（3）设直线EF的解析式为： ，把 ， 代入解析式，
得： ，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
过点D作 于G，
，即 ，
，
又 ，
；
设直线CD的解析式为： ，把 ， 代入解析式，
得： ，
解得 ，
直线 的解析式为 ．
【点睛】本题考查的是一次函数综合题，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质，折叠性质，勾
股定理，会用待定系数法求函数解析式．
18．已知矩形PMON的边OM、ON分别在x、y轴上，O为坐标原点，且点P的坐标为（﹣2，
3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形PMON 再将矩形PMON 绕着点O
1 1 1 1 1 1 1 1 1
旋转90°得到矩形PMON ．在坐标系中画出矩形PMON ，并求出直线PP 的解析式．
2 2 2 2 2 2 2 2 1 2
【答案】矩形P M O N 见解析；当将矩形P M O N 绕着点O 顺时针旋转90°得到矩形P M O N 直
2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2，
线P P 的解析式为：y＝﹣ x + ；当将矩形P M O N 绕着点O 逆时针旋转90°得到矩形
1 2 1 1 1 1 1
P M O N ，直线P P 的解析式为：y＝5x﹣7.
2 2 2 2 1 2
【分析】由点P的坐标为（﹣2，3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形
PMON ，得到P 的坐标为（2，3）．将矩形PMON 绕着点O 顺时针旋转90°得到矩形
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
PMON ，得P 的坐标为（7，2）；当将矩形PMON 绕着点O 逆时针旋转90°得到矩形
2 2 2 2 2 1 1 1 1 1
PMON ，得P 的坐标为（1，﹣2），然后利用待定系数法分别求出它们的直线解析式．
2 2 2 2 2
【详解】解：如图：当将矩形P M O N 绕着点O 顺时针旋转90°得到矩形P M O N ．
1 1 1 1 1 2 2 2 2
∵点P的坐标为（﹣2，3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形P M O N ，
1 1 1 1
∴P 的坐标为（2，3），
1
∵将矩形P M O N 绕着点O 顺时针旋转90°得到矩形P M O N ．
1 1 1 1 1 2 2 2 2
∴P 的坐标为（7，2），
2
设P P 的解析式为：y＝kx+b，把P （2，3），P （7，2）代入得，2k+b＝3①，7k+b＝2②，
1 2 1 2
解由①②组成的方程组得，k＝﹣ ，b＝ ．
所以直线P P 的解析式为y＝﹣ x + ；
1 2
当将矩形P M O N 绕着点O 逆时针旋转90°得到矩形P M O N ．如图，
1 1 1 1 1 2 2 2 2
∴P 的坐标为（1，﹣2），
2
设P P 的解析式为：y＝kx+b，把P （2，3），P （1，﹣2）代入得，2k+b＝3①，k+b＝﹣2②，
1 2 1 2
解由①②组成的方程组得，k＝5，b＝﹣7．所以直线P P 的解析式为y＝5x﹣7；
1 2
故答案为矩形P M O N 见解析；当将矩形P M O N 绕着点O 顺时针旋转90°得到矩形P M O N 直
2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2，
线P P 的解析式为：y＝﹣ x + ；当将矩形P M O N 绕着点O 逆时针旋转90°得到矩形
1 2 1 1 1 1 1
P M O N ，直线P P 的解析式为：y＝5x﹣7.
2 2 2 2 1 2
【点睛】本题考查旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等
于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了图形的平移和矩形的性质以及用待定系数法
求直线解析式．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），点B在x轴的正半轴上.若点P、Q在线
段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P、Q的“涵矩形”．
下图为点P、Q的“涵矩形”的示意图.
（1）点B的坐标为（3，0）；
①若点P的横坐标为 ，点Q与点B重合，则点P、Q的“涵矩形”的周长为 .
②若点P、Q的“涵矩形”的周长为6，点P的坐标为（1，4），则点E（2，1），F（1，2），G
（4，0）中，能够成为点P、Q的“涵矩形”的顶点的是 .
（2）四边形PMQN是点P、Q的“涵矩形”，点M在△AOB的内部，且它是正方形；
①当正方形PMQN的周长为8，点P的横坐标为3时，求点Q的坐标.
②当正方形PMQN的对角线长度为/2时，连结OM.直接写出线段OM的取值范围 .
【答案】（1）①9，②（1，2）；（2）①（1，5）或（5，1），②
【分析】（1）①根据题意求出PE，EQ即可解决问题．
②求出点P、Q的“涵矩形”的长与宽即可判断．
（2）①求出正方形的边长，分两种情形分别求解即可解决问题．
②点M在直线y=-x+5上运动，设直线y=-x+5交x轴于F，交y轴于E，作OD⊥EF于D．求出OM的
最大值，最小值即可判断．【详解】解：（1）①如图1中，
由题意：矩形PEQF中，EQ=PF=3- ，
∴OE=EQ，
∵EP∥OA，
∴AP=PQ，
∴PE=QF= OA=3，
∴点P、Q的“涵矩形”的周长=（3+ ）×2=9．
②如图2中，
∵点P、Q的“涵矩形”的周长为6，
∴邻边之和为3，
∵矩形的长是宽的两倍，
∴点P、Q的“涵矩形”的长为2，宽为1，
∵P（1，4），F（1，2），
∴PF=2，满足条件，∴F（1，2）是矩形的顶点．
（2）①如图3中，
∵点P、Q的“涵矩形”是正方形，
∴∠ABO=45°，
∴点A的坐标为（0，6），
∴点B的坐标为（6，0），
∴直线AB的函数表达式为y=-x+6，
∵点P的横坐标为3，
∴点P的坐标为（3，3），
∵正方形PMQN的周长为8，
∴点Q的横坐标为3-2=1或3+2=5，
∴点Q的坐标为（1，5）或（5，1）．
②如图4中，
∵正方形PMQN的对角线为 ，
∴PM=MQ=1，易知M在直线y=-x+5上运动，设直线y=-x+5交x轴于F，交y轴于E，作OD⊥EF于D，
∵OE=OF=5，
∴EF= ，
∵OD⊥EF，
∴ED=DF，
∴OD= EF= ，
∴OM的最大值为5，最小值为 ，
∴ ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，一次函数的
应用，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考
压轴题．
20．在平面直角坐标系 中， ， ， ． 为长方形 内（不包括
边界）一点，过点 分别作 轴和 轴的平行线，这两条平行线分长方形 为四个小
长方形，若这四个小长方形中有一个长方形的周长等于 ，则称 为长方形 的长宽
点，例如：如图中的 为长方形 的一个长宽点．
(1)在点 ， ， 中，长方形 的长宽点是 ．
(2)若 为长方形 的长宽点，求 的值．(3)若一次函数 的图象上存在长方形 的长宽点，求 的取值范围．
【答案】(1)D和F
(2) 或
(3)满足条件的 的值为 或
【分析】（1）根据长宽点的定义即可判断．
（2）根据长宽点的定义构建方程即可解决问题．
（3）如图1中由题意可知，矩形ABCO的长宽点只能在线段 ， ， ， 上（不包括
端点），其中 ， ， ， ， ， ．分别求出直线经过M、
R、E时的k的值即可解决问题．
（1）
解：∵ ，
∴点D是长方形ABCO的长宽点；
∵ ，
∴点F是长方形ABCO的长宽点，
故答案为： 和 ．
（2）
解：∵ 为长方形 的长宽点，
∴ 或 ，
解得 或 ．
（3）
解：作 的函数图象，如图1中，由图可知，矩形 的长宽点只能在线段 ， ， ， 上（不包括端点），其中
， ， ， ， ， ．
∵一次函数 的图象经过定点 ，
观察图象可知当直线与线段 ， 有交点时，
∴直线一次函数 的图象上存在长宽点，
当一次函数 的图象经过点 时， ，
当一次函数 的图象经过点 时， ，
当一次函数 的图象经过点 时， ，
当一次函数 的图象经过点 时， ，
综上所述，满足条件的 的值为 或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查矩形的性质，矩宽点的定义等知识点，解题的关键是
理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题．
21．如图，已知直线AB与正比例函数 的图像交于点 ，与x轴交于点B，与y
轴交于点 ．点P为直线OA上的动点，点P的横坐标为t，以点P为顶点，向右作矩形PDEF，满足 轴，且 ．
(1)求k值及直线AB的函数表达式，
(2)判定 时，点E是否落在直线AB上，请说明理由；
(3)在点Р运动的过程中，若矩形PDEF与直线AB有公共点，求t的取值范围．
【答案】(1)k值为1，直线AB的解析式为：
(2)E点在直线AB上，理由见详解
(3)
【分析】（1）根据待定系数法即可求出k值以及直线AB的解析式；
（2）根据矩形的性质以及P点的横坐标表示出E点的坐标，再代入到直线AB的解析式中即可判
断；
（3）根据矩形的性质以及P点的坐标表示出F、E、D点的坐标，再结合和矩形PDEF与直线AB
有公共交点即可求出t的取值范围．
（1）
设直线AB的解析式为： ，
∵直线AB与正比例函数 交于点A(5,5)，直线AB交y轴于点C(0, )
∴5=5k及 ，∴k=1， ，
即k值为1，直线AB的解析式为： ；
（2）
E点在直线AB上，
理由如下：
由（1）可知直线OA的解析式即为正比例函数 ，
∵P点在OA上，且横坐标为t，
∴P点坐标为(t,t)，
如图可知点E、F均在P点上方，
∵四边形PDEF是矩形，
∴ ， ， ，PD=EF，PF=ED，
∵PD=1，PF=2，
∴EF=1，ED=2，
∵ 轴，
∴ 轴， 轴， 轴， 轴，
∴根据P点坐标(t,t)可得D点坐标为(t+1,t)，F点坐标为(t,t+2)，
∴E点坐标为(t+1,t+2)，
∵t=1，
∴E点坐标为(2,3)，
把x=2代入 中，得 ，
即E点在直线AB上；
（3）
根据（2）中已求得P点坐标(t,t)，D点坐标(t+1,t)，F点坐标(t,t+2)，E点坐标(t+1,t+2)，
∵随着P点的移动，当F点落在AB上时，矩形PDEF开始与直线AB有公共点，随着P点的进一
步移动，当D点落在直线AB上时，矩形PDEF与直线AB有公共点，之后矩形PDEF就不再与直
线AB有公共点，
∴当F(t,t+2)落在AB上时，即有 ，解得t=-1；∴当D(t+1,t)落在AB上时，即有 ，解得t=7；，
∴矩形PDEF与直线AB有公共点，t的取值范围为： ．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求解一次函数解析式、图像上点的坐标的
特征、矩形的性质等知识，根据题意表示出D、E、F点的坐标是解答本题的关键．
