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专题30 圆与二次函数结合
1．一动点 在二次函数 的图像上自由滑动，若以点 为圆心，1为半径的圆与坐
标轴相切，则点 的坐标为______．
2．如图，平面直角坐标系中，以点C（2， ）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．
若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式为 ____________．
3．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半
径是1，点P是直线AC上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长PQ的最小值是__．
4．如图，在平面直角坐标系中，以 为圆心的圆与 轴相切于点 ，与 轴相交于 、 两
点，且 ．(1)求经过 、 、 三点的抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为 ，证明直线 与 相切；
(3)在 轴下方的抛物线上，是否存在一点 ，使 面积最大，最大值是多少，并求出 点坐
标．
5．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．
(1)已知点P（2，2），以P为圆心， 为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的
坐标圆，并说明理由；
(2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求 POA周长的最小
值； △
(3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四
个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．
6．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是
△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的
圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标．
7．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于点A(－3,0)、B(1,0)，与y轴交于点
C．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）在抛物线上是否存在点D，使得 ABD的面积等于 ABC的面积的 倍？若存在，求出点D
△ △
的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF
的最大值和最小值．
8．如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y＝
x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．
(1)求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A、B、C，开口方向、顶点和对称轴相对
准确）
(2)点Q（8，m）在抛物线y＝ x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最
小值；
(3)CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．9．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3），
点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线AB于点D，设P（x，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当0＜x＜3时，求线段CD的最大值；
（3）在△PDB和△CDB中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应x的
值；
（4）过点B，C，P的外接圆恰好经过点A时，x的值为 ．（直接写出答案）
10．如图，已知抛物线的对称轴为直线 ： 且与 轴交于点 与 轴交于点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究在此抛物线的对称轴 上是否存在一点 ，使 的值最小？若存在，求
的最小值，若不存在，请说明理由；（3）以 为直径作⊙ ,过点 作直线 与⊙ 相切于点 ， 交 轴于点 ，求直线 的
解析式．
11．如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点A（1，0）、B（ ，0），与y轴的
正半轴交于点C．
(1)求二次函数 的表达式；
(2)点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接
CF，探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心， 为半径的圆与直线BC相切，若存在，求
点P的坐标；若不存在，说明理由．
12．已知二次函数的图象交x轴于点A（3，0），B（－1，0），交y轴于点C（0，－3），P这抛
物线上一动点，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式：
(2)当△PAC是以AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标：
(3)抛物线上是否存在点P，使得以点P为圆心，2为半径的圆既与x轴相切，又与抛物线的对称轴
相交？若存在，求出点P的坐标，并求出抛物线的对称轴所截的弦MN的长度；若不存在，请说
明理由．（写出过程）
13．如图，二次函数 的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于
点C，且且OA=OC
(1)求二次函数的解析式；
(2)若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形？若
存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，已知二次函数 的图像与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为
D，连接BC；
(1)求顶点D的坐标；
(2)求直线BC的解析式；
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE，CE，求△BCE面积的最大值；(4)以AB为直径，M为圆心作圆M，试判断直线CD与圆M的位置关系，并说明理由
15．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交
于点C．
（1）二次函数的表达式为 ；
（2）点M在直线BC上，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）若点E在二次函数的图象上，以E为圆心的圆与直线BC相切于点F，且EF＝ ，请直接写
出点E的坐标．
