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专题27 一次函数与等腰三角形结合
1．已知一次函数y=kx+b 和y=kx+b 图象如图所示，直线y 与直线y 交于A点（0，3），直线
1 1 1 2 2 2 1 2
y、y 分别与x轴交于B、C两点．
1 2
(1)求函数 y、y 的解析式．
1 2
(2)求△ABC的面积．
(3)已知点P在x轴上，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
2．如图，一次函数 的图象与x轴和y轴分别交于点 和点B，正比例函数 的
图象与一次函数 的图象交于点 ．
(1)求直线AB的解析式；(2)求OD的长；
(3)设P是x轴上一动点，若使 是等腰三角形，请直接写出符合条件的点P的坐标．
3．如图，直线 与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线 相交于点A．
(1)求A点坐标；
(2)在直线 上是否存在点Q，使 的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不
存在，请说明理由．
(3)如果在y轴上存在一点P，使得 为等腰三角形，求P点的坐标．
4．如图直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，与直线 交于点 ．
(1)求点 的坐标；
(2)如果在 轴上存在一点 ，使 是以 为底边的等腰三角形，则点 的坐标是________；
(3)点 在线段 上，使 的面积等于6，求点 的坐标．
5．如图，一次函数的图象经过点A（4，0）和点D（2，1.5），与y轴交于点B，将 AOB沿直线
CD对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D． △(1)求一次函数解析式；
(2)求DC的长；
(3)点P是x轴上一动点，若 PAB是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
△
6．已知一次函数 和 图像如图所示，直线 与直线 交于 点 ，直线
、 分别与 轴交于 、 两点．
(1)求函数 、 的解析式．
(2)求 的面积．
(3)已知点 在 轴上，且满足 是等腰三角形，请直接写出 点的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于点A，点B．(1)求点A和点B的坐标；
(2)若点P在x轴上，且 ，求点P的坐标．
(3)在y轴是否存在点M，使三角形 是等腰三角形，若存在，请直接写出点M坐标，若不存在，
请说明理由．
8．如图，一次函数 的图象与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，与正比例的函数
的图象交于点C．
(1)求一次函数的解析式及点C的坐标；
(2)请结合图象直接写出不等式组 的解集；
(3)在x轴上是否存在一点P，使 是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，
请说明理由．
9．如图，把矩形 放入平面直角坐标系 中，使 、 分别落在x、y轴的正半轴上，
对角线 所在直线解析式为 ，将矩形 沿着 折叠，使点A落在边 上的点
D处．(1)求点E的坐标；
(2)在y轴上是否存在点P，使 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
10．如图，已知一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点A， ，点 在 轴上（ 不
与原点重合），并且使以点A， ， 为顶点的三角形是等腰三角形，则 的坐标为______ ．
二、解答题(共0分)
11．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，
过点A作 轴，垂足为点A，过点C作 轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．
(1)填空：线段 的长为___________；(2)折叠图1中的 ，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕 交 于点D，交
于点E，连接 ，如图2．
①求线段 的长___________．
②在y轴上，是否存在点P，使得 为以 为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的
所有点Р的坐标；若不存在，请说明理由．
12．已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图
1所示的平面直角坐标系，直线l经过A、C两点．
(1)求直线l的函数表达式；
(2)若P是直线l上的一个动点，请直接写出当△OPA是等腰三角形时点P的坐标；
(3)如图2，若点D是OC的中点，E是直线l上的一个动点，求使OE+DE取得最小值时点E的坐标．
13．一次函数 的图像经过点 ，并与直线 相交于点 ，与 轴相交于点 ，
其中点 的横坐标为 ．
(1)求点 的坐标和 ， 的值；
(2)点 为直线 上一动点，当点 运动到何位置时， 的面积等于 ？请求出点 的
坐标；
(3)在 轴上是否存在点 ，使 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，直线 交x轴和y轴于点A和点C，点B的坐标为 ，作出直线 .
(1)求点A的坐标，并求出直线 的解析式；
(2)在x轴上是否存在一点M，使 是以 为腰的等腰三角形，若存在请求出点M的坐标；
若不存在请说明理由；
(3)点P为线段 上一动点,当 时，求点P的坐标．
15．如图1，平面直角坐标系中，一次函数 图象分别交x轴、y轴于点A、B，一次函数
的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线 上的一个动点．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线 上是否存在点
P，使 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
(3)试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出
点M的坐标；若不存在，说明理由．
16．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴分别交于点A（6，0）和B（0，2 ），动点C
在x轴上运动（不与点O、点A重合），连接BC．(1)若点C为（3，0），则 ABC的面积为 ；
(2)若点C（x，0）在线段O△A上运动（不与点O、点A重合），求 ABC面积y关于x的函数解析
式，并写出自变量x的取值范围； △
(3)在x轴上是否存在点C，使 ABC为等腰三角形？若存在请直接写出点C的坐标；若不存在，请
说明理由． △
17．如图，在平面直角坐标系中，A（0， ），B（3，0），点P是直线AB上一动点，过点P作
x轴的垂线，垂足为M，连接OP．
(1)求直线AB的解析式，并直接写出∠ABO的度数；
(2)若 OBP是以OB为腰的等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标；
(3)求△OP＋PM的最小值．
18．如图，在平面直角坐标xOy中，已知直线y＝﹣2x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线l
过原点，与AB交于点C，△OBC的面积为 ．(1)求A、B两点的坐标．
(2)求直线l的解析式．
(3)若直线l上有一动点P（不与O重合），连接AP，PQ⊥AP，交x轴于点Q，当△AOP为等腰三
角形时，求点Q的坐标．
19．如图所示，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点B，直线 与x轴交于
点C，与y轴交于点D．
(1)直接写出点B、C的坐标：
(2)点 是直线 图象上一点，设 的面积为S，请求出S关于x的函数关系式；并
探究当点M运动到什么位置时（求出M点坐标即可）， 的面积为10，并说明理由．
(3)线段CD上是否存在点P，使 为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，
请说明理由．
