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专题 4.1 平面图形中的计数问题
【例题精讲】
【例1】如图，以 为一个端点的线段共有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【解答】解：以 为端点的线段有 、 、 ，共三条，
故选： ．
【例2】济青高铁北线，共设有5个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要
印制不同的火车票
A．20种 B．42种 C．10种 D．84种
【解答】解：如图，图中有5个站点．
经分析，往同一个方向（从1站点往5站点的方向），需要印制不同的火车票种类的数量
有 （种 ．
保证任意两个站点双向都有车票，需要印制车票种类的数量为 （种 ．
故选： ．
【例3】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：
①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6
个交点；那么十条直线相交交点个数最多有A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
【解答】解：10条直线两两相交，最多有 ．
故选： ．
【例4】如图所示，从一点 出发，引两条射线可以得到一个角，引三条射线可以得到三
个角，引四条射线可以得到六个角，引五条射线可以得到十个角，如果从一点出发引
为大于等于2的整数）条射线，则会得到多少个角？如果 时，检验你所得的结论是否
正确．
【解答】解：当 时，角的个数为1；
当 时，角的个数为 ；
当 时，角的个数为 ；
当 时，角的个数为 ；
当射线的条数为 时，角的个数为 ，
当 时， ．所以 条射线可组成 个角，这个结论也是正确的．
【题组训练】
1．阅读：在直线上有 个不同的点，则此图中共有多少条线段？通过分析、画图尝试得如
下表格：
图形 直线上点的个 共有线段的条 两者关系
数 数
2 1
3 3
4 6问题：
（1）把表格补充完整；
（2）根据上述得到的信息解决下列问题：
①某学校七年级共有20个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校
七年级的辩论赛共要进行多少场？
②乘火车从 站出发，沿途经过10个车站方可到达 站，那么在 ， 两站之间需要安
排多少种不同的车票？
【解答】解：（1）
图形 直线 共有线段 两者关系
上 的条数
点
的
个
数
2 1
3 3
4 6
；
（2）①把每一个班级看作一个点，则 （场 ；
②由题意可得：一共12个车站看作12个点，线段条数为 （条 ，
因为车票有起点和终点站之分，
所以车票要 （种 ．
2．观察图①，由点 和点 可确定 1 条直线；观察图②，由不在同一直线上的三点 、 和 最多能确定 条直线；
（1）动手画一画图③中经过 、 、 、 四点的所有直线，最多共可作 条直线；
（2）在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定 条直线、 个点 最
多能确定 条直线．
【解答】解：①由点 和点 可确定1条直线；
②由不在同一直线上的三点 、 和 最多能确定3条直线；
经过 、 、 、 四点最多能确定6条直线；
直在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定10条线、
根据1个点、两个点、三个点、四个点、五个点的情况可总结出 个点 时最多能确定：
条直线．
故答案为：1；3，6，10， ．
3．在一条直线上取两上点 、 ，共得几条线段在一条直线上取三个点 、 、 ，共
得几条线段在一条直线上取 、 、 、 四个点时，共得多少条线段在一条直线上
取 个点时，共可得多少条线段？
【解答】解：2个点时1条线段，
3个点时有 条线段；
4个点时有 条线段；个点时有 条线段．
4．平面内有三点 、 、 ，过其中任意两点画直线，有如下两种情况：
（1）若平面内有四个点 、 、 、 ，过其中任意两点画直线，有多少种情况？请画
图说明；
（2）若平面内有6个点，过其中任意两点画直线，最多可以画多少条直线？
（3）若平面内有 个点，过其中任意两点画直线，最多可以画多少条直线？（直接写出结
果）
【解答】解：（1）
（2）最多可画： （条 ；
（3）最多可画： （条 ．
5．根据题意填空：（1） （2）每小问1分，（3）每小问2分，共6分）
（1） 与 是同一平面内两条相交直线，他们有一个交点，如果在这个平面内，再画第三
条直线 ，那么这三条直线最多有 3 个交点．
（2）如果在（1）的基础上在这个平面内再画第四条直线 ，那么这四条直线最多可有
个交点．
（3）由（1）（2）我们可以猜想：在同一平面内，6 条直线最多可有 个交点，条直线最多可有 条交点．（用含有 的代数式表示）
【解答】解：（1） ；
（2） ；
（3） ； ．
6．如图，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点，
（1）填写下表：
点的个数 所得线段的条数 所得射线的条数
1
2
3
4
（2）在直线上取 个点，可以得到几条射线？
（3）用这种方法可以得到15条线段吗？如果可以，请指出取几个点；不能，请说明理由．
【解答】解：（1）
点的个数 所得线段的条数 所得射线的条数
1 0 2
2 1 4
3 3 6
4 6 8
（2）可以得 条；
（3）能，取6个点．时，
，所以取6个点．
7．画出线段 ．
（1）如图（1）所示，在线段 上画出1个点，这时图中共有几条线段？
（2）如图（2）所示，在线段 上画出2个点，这时图中共有几条线段？
（3）如图（3）所示，在线段 上画出3个点，这时图中共有几条线段？
（4）当在线段 上画出 个点时，则共有几条线段？
【解答】解：（1）三条线段
（2）六条线段
（3）十条线段
（4） 或 条线段．
8．【观察思考】如图线段 上有两个点 、 ，分别以点 、 、 、 为端点的线
段共有 6 条．
【模型构建】若线段上有 个点（包括端点），则该线段上共有 条线段．
【拓展应用】若有8位同学参加班级的演讲比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间
都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？
【解答】解：【观察思考】 以点 为左端点向右的线段有：线段 、 、 ，
以点 为左端点向右的线段有线段 、 ，
以点 为左端点的线段有线段 ，
共有 （条 ．
故答案为：6；
【模型构建】设线段上有 个点，该线段上共有线段 条，
则 ，倒序排列有 ，
，
．
故答案为： ；
【拓展应用】把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作一条线段，
由题知，当 时， ．
答：一共要进行28场比赛．
9．观察图形，并回答下列问题：
（1）图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路；
（2）请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少
次”这个问题；
（3）十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？
【解答】解：（1）以 为端点的线段有 、 、 、 四条；
以 为端点的且与前面不重复的线段有 、 、 三条；
以 为端点的且与前面不重复的线段有 、 两条；
以 为端点的且与前面不重复的线段有 一条．
或直接利用 公式，
则 （条 ．
答：图中共有10条线段；
（2）由上面结论可知 （次 ．
答：共握了105次；（3） （张 ．
答：共送了210张．
11．（1）在 内部画1条射线 ，则图1中有 3 个不同的角；
（2）在 内部画2条射线 ， ，则图2中有 个不同的角；
（3）在 内部画3条射线 ， ， ，则图3中有 个不同的角；
（4）在 内部画10条射线 ， ， ，则图中有 个不同的角；
（5）在 内部画 条射线 ， ， ，则图中有 个不同的角．
【解答】解：（1）在 内部画1条射线 ，则图中有3个不同的角，
故答案为：3．
（2）在 内部画2条射线 ， ，则图中有6个不同的角，
故答案为：6．
（3）在 内部画3条射线 ， ， ，则图中有10个不同的角，
故答案为：10．
（4）在 内部画10条射线 ， ， ， ，则图中有
个不同的角，
故答案为：66．
（ 5 ） 在 内 部 画 条 射 线 ， ， ， ， 则 图 中 有个不同的角．
故答案为： ．
12．过一个角的顶点，在这个角的内部引1条射线，共形成多少个角（包括原来的角）？
如果引2条、3条这样的射线呢？由此，请猜想，过一个角的顶点，如果在这个角的内部
引 条射线，共形成多少个角？
【解答】解：在 的内部引1条射线，即3条射线能组成 个角；
引2条射线即4条射线能组成 个角；
引3条射线即5条射线能组成 个角；
引 条射线即 条射线能组成 个角．
13．（1）数一数图①中共有 3 个角，图②中共有 个角；图③中共有 个角．
（2）从（1）中你能找到一种数图④中角的个数的规律吗？
【解答】解：（1）图①中共有3个角，图②中共有6个角，图③中共有10个角．
故答案为：3，6，10；
（2） ， ， ，
第 个图形共有： ．
14．（1）如图①，过角的顶点在角的内部作一条射线，那么图中一共有多少个角？
（2）如图②，过角的顶点在角的内部作两条射线，那么图中一共有多少个角？
（3）如图③，过角的顶点在角的内部作 条射线，那么图中一共有多少个角？【解答】解：（1）在角的内部作一条射线，共有三条射线，那么图中一共有
个角；
（2）在角的内部作两条射线，共有四条射线，那么图中一共有 个角；
（3）在角的内部作 条射线，共有 条射线，那么图中一共有 个角．
15．如图，在 的内部：
（1）画1条射线 ，则图中共有几个角？把它表示出来．
（2）画2条射线 ， ，则图中共有几个角？画3条呢？
（3）画行 条射线 ， ， ， ，图中共有几个角？
【解答】解：（1）有3个角，分别为 ， ， ；
（2）如图，画2条射线有6个角，
分别为 ， ， ，
， ，
，共有： 个，
画3条射线，共有： 个；
（3）画 条射线，共有： 个角．
16．已知如图， 是锐角，以 为端点向 内部作一条射线，则图中有多少个角？
若作二条、三条射线有多少个角？ 条时有多少个角？画一画，你发现什么规律？
【解答】解：图（1）中有3个角；图（2）中有6个角；图（3）中有10个角；
即 内部有一条射线时，有 个角；
内部有二条射线时，有 个角；
内部有三条射线时，有 个角；
内部有 条射线时，有 个角；
17．观察下图，回答下列问题：
（1）在图①中有几个角？
（2）在图②中有几个角？
（3）在图③中有几个角？
（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有 条射线，此时共有多少个角？【解答】解：由分析知：
（1）①图中有2条射线，则角的个数为： （个 ；
（2）②图中有3条射线，则角的个数为： （个 ；
（3）③图中有4条射线，则角的个数为： （个 ；
（4）由前三问类推，角内有 条射线时，图中共有 条射线，则角的个数为
个．
18．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，如图所示，
如果过角的顶点：
（1）在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？
（2）在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？
（3）在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？
（4）在角的内部作 条射线，那么图中一共有几个角？
【解答】解：（1）在角的内部作一条射线，共有三条射线，那么图中一共有 个角；
（2）在角的内部作两条射线，共有四条射线，那么图中一共有 个角；
（3）在角的内部作三条射线，共有5条射线，那么图中一共有 个角；
（4）在角的内部作 条射线，共有 条射线，那么图中一共有 个角．19．如图，在 的内部引一条射线，能组成多少个角？引两条射线能组成多少个角？
引三条射线呢？引五条射线呢？引 条射线呢？
【解答】解：在 的内部引一条射线，即3条射线能组成 个角；
引两条射线即4条射线能组成 个角；
引三条射线即5条射线能组成 个角；
引五条射线即7条射线组成 个角；
引 条射线即 条射线能组成 个角．
20．如图，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点，
（1）填写下表：
点的个数 所得线段的条数 所得射线的条数
1 0
2
3
4
（2）在直线上取 个点，可以得到几条线段，几条射线？
【解答】解：（1）表格如下：
点的个数 所得线段的条数 所得射线的条数
1 0 22 1 4
3 3 6
4 6 8
（2）可以得到 条线段， 条射线．
21．（1）图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路．
（2）你能用上面的思路来解决“十五个同学聚会，每个人都与其他人握一次手，共握多少
次？”这个问题吗？请解决．
（3）若改为“十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？”
【解答】解：（1）以 为端点的线段有 、 、 、 四条；
以 为端点的且与前面不重复的线段有 、 、 三条；
以 为端点的且与前面不重复的线段有 、 两条；
以 为端点的且与前面不重复的线段有 一条．
或直接利用 公式
则 条．
答：图中共有10条线段；
（2）由上面结论可知 （次 ．
答：共握了105次；
（3） （张 ．
答：共送了210张．
22．众所周知，过两点确定一条直线，过三点中的任意两点最多能画三条直线．
（1）过四点、五点中的任意两点最多能画几条直线，请画出相应的图形；
（2）过 点中的任意两点最多能画几条直线，请说明理由；
（3）小明有12种不同颜色的颜料，在颜料的调色中，若只能将它们中的任意两种颜料按
的比例混合调配，那么小明画一幅图，总共有几种不同颜色颜料可供使用．
【解答】解：（1）过四点，最多可以画6条；过五点最多可以画10条；（2）设平面上点有 个，过其中的每两点画直线，最多可以画 条直线；
（3）由题意得， （种 ；
23．如图，过两点可画出 条直线，过不共线的三点最多可以作出 条直线，
过无三点共线的四个点最多可作出 条直线， ，依此类推，经过平面上的 个
点，（无三点共线）最多可作出多少条直线？试说明道理．
【解答】解： ．
理由：对于 个点，因为任意三点不在一条直线上，所以以一点来看，它与其它所有点存在 条直线，
由于这样的点有 个，所以共有 条，
又这样每条直线重复一次，所以共有 ．
