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专题40 一次函数的应用之最大利润问题
1．某商场为庆祝开业，特在开业当天推出了两种购物方案：
方案一：非会员购物所有商品价格可享九折优惠；
方案二：若额外缴纳50元会费成为该商场的会员，则所有商品价格可享八折优惠．
设王女士在该商场开业当天的累计购物金额为 元．
(1)根据题意，填写表格：
累计购物金额
350 450 550 650 ……
（元）
方案一的付款
315 405 ______ ______ ……
金额（元）
方案二的付款
330 410 ______ ______ ……
金额（元）
(2)分别写出王女士按方案一、方案二的付款金额 元、 元与累计购物金额 元（ ）之间的
函数关系式；
(3)当 时，王女士选择哪种购物方案更合算？并说明理由．
2．甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所
有商品按 折出售，乙商场对一次购物中超过 元后的价格部分打 折．
设原价购物金额累计为 元 ．
（1）根据题意，填写下表：
原价购物金额累计 元
甲商场实际购物金额
元
乙商场实际购物金额
元
（2）设在甲商场实际购物金额为 元，在乙商场实际购物金额为 元，分别写出 ， 关于
的函数解析式；
（3）根据题意填空：
①若在甲商场和在乙商场实际购物花费金额一样多，则在同一商场所购商品原价金额累计为______元；
②若在同一商场购物，商品原价购物金额累计为 元，则在甲、乙两家商场中的_____商场实际
购物花费金额少；
③若在同一商场实际购物金额为 元，则在甲、乙两家商场中的______商场商品原价购物累计
金额多
3．一家蔬菜公司计划到某绿色蔬菜基地收购A，B两种蔬菜共140吨，预计两种蔬菜销售后获利
的情况如表所示：
销售品种 A种蔬菜 B种蔬菜
每吨获利（元） 1200 1000
其中A种蔬菜的5%、B种蔬菜的3%须运往C市场销售，但C市场的销售总量不超过5.8吨．设销
售利润为y元（不计损耗），设购进A种蔬菜x吨．
（l）求y与x之间的函数关系式：
（2）求自变量x的取值范围；
（3）将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得多少利润？
4．某商场为了抓住夏季来临，衬衫热销的契机，决定用46000元购进 、 、 三种品牌的衬衫
共300件，并且购进的每一种衬衫的数量都不少于90件.设购进 种型号的衬衣 件，购进 种型
号的衬衣 件，三种品牌的衬衫的进价和售价如下表所示：
型号
进价（元/件） 100 200 150
售价（元/件） 200 350 300
（Ⅰ）直接用含 、 的代数式表示购进 种型号衬衣的件数，其结果可表示为______；
（Ⅱ）求 与 之间的函数关系式；
（Ⅲ）如果该商场能够将购进的衬衫全部售出，但在销售这些衬衫的过程中还需要另外支出各种
费用共计1000元.
①求利润 （元）与 （件）之间的函数关系式；
②求商场能够获得的最大利润.
5．某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售，且当天都能销售完，
直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤(不计损耗)．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能
参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤．设安排x名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓．
(1)若基地一天的总销售收入为y元，求y与x的函数关系式；
(2)试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值．
6．为绿化校园，某校计划购进A、B两种树苗，共21棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵
70元．设购买B种树苗x棵，够买两种树苗所需费用为y元．
(1) y与x的函数关系式为： ；
(2) 若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案．并求出该方案所需
费用．
7．某扶贫工作组将对口扶贫村的优质香菇和大米销往全国，相关信息如下表：
商品 规格 成本（元/袋） 售价（元/袋）
香菇 1kg/袋 40 60
大米 10kg/袋 38 53
已知销售大米和香菇共2000袋，其中，香菇不少于600袋，大米不少于800袋．设销售香菇x袋，
售完这批农产品所得的利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）销售完这批香菇和大米，至少可以获得多少元的利润？
（3）扶贫工作组与村委会商议决定，每销售一袋大米和香菇分别提取m元 和2m元作为爱
心基金用于资助该村特困户．若扣除爱心基金后的最大利润为28000元，则m的值为__________
（直接写出结果）．
8．某商场购进A、B两种服装共100件，已知购进这100件服装的费用不得超过7500元，且其中
A种服装不少于65件，它们的进价和售价如表．
服装 进价（元/件） 售价（元/件）
A 80 120
B 60 90
其中购进A种服装为x件，如果购进的A、B两种服装全部销售完，根据表中信息，解答下列问题．
（1）求获取总利润y元与购进A种服装x件的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）该商场对A种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的售价进行优惠促销活动，B种服装售价不
变，那么该商场应如何调整A、B服装的进货量，才能使总利润y最大？9．某商店准备购进大、小两种书包共100个出售，每个大书包的进价比每个小书包的进价贵20
元，用2000元购进大书包的数量与用1500元购进小书包的数量一样，大书包每个售价120元，小
书包每个售价90元．设该商店计划购进大书包x个，两种书包全部销售完可获利y元．
(1)大书包进价为 元/个，小书包进价为 元/个；
(2)若购进这100个书包的总费用不超过7300元，且大书包不少于55个．
①求大书包最多购进多少个？
②受市场行情影响，实际销售过程中，该商店对大书包每个降价a元，小书包每个涨价a（0＜a＜
10）元，若销售完这100个书包可获得的最低利润为3520元，求a的值．
10．某商店销售一种产品，该产品成本价为 元/件，售价为 元/件，销售人员对该产品一个月（
天）销售情况记录绘成图象．图中的折线 表示日销量 （件）与销售时间 （天）之间的
函数关系，若线段 表示的函数关系中，时间每增加 天，日销量减少 件．
(1)第 天的日销量是______件，这天销售利润是______元；
(2)求 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围；
(3)日销售利润不低于 元的天数共有多少天？销售期间日销售最大利润是多少元？
11．某服装店准备购进甲、乙两种服装出售，甲种每件售价120元，乙种每件售价90元．每件甲
服装的进价比乙服装的进价贵20元，购进3件甲服装的费用和购进4件乙服装的费用相等，现计
划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
（1）甲种服装进价为多少元/件？乙种服装进价为多少元/件？
（2）若购进这100件服装的费用不得超过7500元：
① 求甲种服装最多购进多少件？
② 该服装店对甲种服装每件降价 元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售
完，那么该服装店如何进货才能获得最大利润？
12．2020年新冠肺炎疫情发生以来，每天用消毒液进行消毒成为一种习惯．某经销店经销甲、乙两种规格复合型消毒液，如下表所示是该店甲、乙两种复合型消毒液的进价和售价：
商品价格 甲种规格 乙种规格
进价（元/瓶） 40 100
售价（元/瓶） 45 110
该店现有一批用7600元购进的甲、乙两种规格复合型消毒液库存，预计全部销售后，可获毛利润
共800元．[毛利润＝（售价－进价）×销售量]
（1）该店库存的甲、乙两种规格复合型消毒液分别为多少瓶？
（2）根据销售情况，该经销店计划在进价不变情况下，用不超过8000元的资金购进这两种规格
复合型消毒液，在原进货数量上，增加甲种规格复合型消毒液的购进量，减少乙种规格复合型消
毒液的购进量．已知甲种规格复合型消毒液增加的数量是乙种规格复合型消毒液减少的数量的3
倍，则该店怎样进货，可使这次进货全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．
13．A城有肥料400吨，B城有肥料600吨．现要把这些肥料全部运往C，D两乡，C乡需要肥料
480吨，D乡需要肥料520吨，其运往C，D两乡的运费如下表：
运往C乡 运往D乡
A城 20元/吨 18元/吨
B城 16元/吨 12元/吨
设从A城运往C乡的肥料为x吨，从A城运往两乡的总运费为 元，从B城运往两乡的总运费为
元．
（1）分别求 ， 与x之间的函数关系式，以及同时满足 ， 的自变量x的取值范围；
（2）若A城的总运费不得超过7600元，怎样调运使两城总费用的和最少？并求出最小值．
14．某商店需要购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如表：
甲 乙
进价（元/件） 14 35
售价（元/件） 20 45（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1680元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金小于5320元，且销售完这批商品后获利大于1660元，请问有几种购货
方案？并求出其中获利最大的购货方案．
15．某商店销售A型和B型电脑， 每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润
为150元, 该商店计划购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2
倍，设购进A型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y元，
(1)求该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大？
(2)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m(0＜m＜100)元，且限定商店最多购进A型电脑70
台，若商店保持两种电脑的售价不变，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
16．某工厂以每千克200元的价格购进甲种原料360千克，用于生产A、B两种产品，生产1件A
产品或1件B产品所需甲、乙两种原料的千克数如下表：
产品/原料 A B
甲（千克） 9 4
乙（千克） 3 10
乙种原料的价格为每千克300元，A产品每件售价3000元，B产品每件售价4200元，现将甲种原
料全部用完，设生产A产品x件，B产品m件，公司获得的总利润为y元．
（1）写出m与x的关系式；
（2）求y与x的关系式；
（3）若使用乙种原料不超过510千克，生产A种产品多少件时，公司获利最大？最大利润为多少？
17．某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共 个,篮球个数不少于排球个数，付
款总额不得超过 元，已知两种球厂的批发价和商场的零售价如下表. 设该商场采购 个篮球.
品名 厂家批发价/元/个 商场零售价/元/个
篮球
排球
（1）求该商场采购费用 (单位:元)与 (单位:个)的函数关系式,并写出自变量 的取值范围：
（2）该商场把这 个球全都以零售价售出,求商场能获得的最大利润；
（3）受原材料和工艺调整等因素影响,采购员实际采购时，低球的批发价上调了 元/个，
同时排球批发价下调了 元/个.该体有用品商场决定不调整商场零售价，发现将 个球全部卖出获得的最低利润是 元,求 的值.
18．某专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋，其进价和售价如下表所示．已知用3000元购进甲种运
动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
运动鞋价格 甲 乙
进价元/双) m m-30
售价(元/双) 300 200
(1)求m的值；
(2)要使购进的甲，乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元且不超过22300元，问该专卖
店有几种进货方案?
(3)在(2)的条件下，专卖店决定对甲种运动鞋每双优惠a(60
