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专题40 一次函数的应用之最大利润问题
1．某商场为庆祝开业，特在开业当天推出了两种购物方案：
方案一：非会员购物所有商品价格可享九折优惠；
方案二：若额外缴纳50元会费成为该商场的会员，则所有商品价格可享八折优惠．
设王女士在该商场开业当天的累计购物金额为 元．
(1)根据题意，填写表格：
累计购物金额
350 450 550 650 ……
（元）
方案一的付款
315 405 ______ ______ ……
金额（元）
方案二的付款
330 410 ______ ______ ……
金额（元）
(2)分别写出王女士按方案一、方案二的付款金额 元、 元与累计购物金额 元（ ）之间的
函数关系式；
(3)当 时，王女士选择哪种购物方案更合算？并说明理由．
【答案】(1)495、585、490、570
(2) ，
(3)当 时，王女士选择方案一和方案二一样合算；当 时，王女士选择方案一更
合算；当 时，王女士选择方案二更合算
【分析】（1）根据两种购物方案列式计算即可；
（2）根据题意分别得出两种优惠方案的关系式即可；
（3）设y=y-y，根据（2）得出y与x的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
1 2
(1)
方案一： （元）， （元），
方案二： （元）， （元），
故答案为：495、585、490、570；
(2)
根据题意得： ，；
(3)
设 ，
令 ，解得 ，
∴当 时，王女士选择方案一和方案二的付款金额一样．
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， ，王女士选择方案一更合算，
当 时， ，王女士选择方案二更合算．
综上所述，当 时，王女士选择方案一和方案二一样合算；
当 时，王女士选择方案一更合算；
当 时，王女士选择方案二更合算．
【点睛】此题考查一次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，正确列出函数解析式是解题的
关键．
2．甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所
有商品按 折出售，乙商场对一次购物中超过 元后的价格部分打 折．
设原价购物金额累计为 元 ．
（1）根据题意，填写下表：
原价购物金额累计 元
甲商场实际购物金额
元
乙商场实际购物金额
元
（2）设在甲商场实际购物金额为 元，在乙商场实际购物金额为 元，分别写出 ， 关于
的函数解析式；
（3）根据题意填空：
①若在甲商场和在乙商场实际购物花费金额一样多，则在同一商场所购商品原价金额累计为
______元；
②若在同一商场购物，商品原价购物金额累计为 元，则在甲、乙两家商场中的_____商场实际购物花费金额少；
③若在同一商场实际购物金额为 元，则在甲、乙两家商场中的______商场商品原价购物累计
金额多
【答案】（1） ， ， ， ．（2） ．当 时， ；当
时， ．（3）① ；②乙；③甲．
【分析】（1）根据两家商场的让利方式分别列式整理即可；
（2）甲商场按原价直接乘以0.8，乙商场分0≤x≤200、x＞200两种情况分别列式即可；
（3）根据（2）的结论解答即可．
【详解】（1）300×0.8＝240（元）；500×0.8＝400（元）；200＋0.7×（500−200）＝410（元）；
200＋0.7×（700−200）＝550（元）；
（2）根据题意得：y ＝0.8x，
甲
当0＜x≤200时，y ＝x，
乙
当x＞200时，y ＝200＋0.7（x−200），即y ＝0.7x＋60；
乙 乙
（3）①当y ＝y 时，即0.8x＝200＋0.7（x−200），解得x＝600，
甲 乙
所以若在同甲商场和在乙商场实际购物花费金额一样多，则在同一商场所购商品原价金额累计为
600元；
②在甲商场实际购物花费：800×0.8＝640（元），在乙商场实际购物花费：200＋0.7×（800−200）
＝620（元），
所以若在同一商场购物，商品原价购物金额累计为800元，则在甲、乙两家商场中的乙商场实际
购物花费金额少；
③令y ＝400，则0.8x＝400，解得x＝500，即在甲商场商品原价购物累计金额为500元；
甲
令y ＝400，0.7x＋60＝400，解得x≈485.71，即在乙商场商品原价购物累计金额为485.71元．
乙
所以若在同一商场实际购物金额为400元，则在甲、乙两家商场中的甲商场商品原价购物累计金
额多．
故答案为：（1）240；400；410；550；（3）①600；②乙；③甲．
【点睛】考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键，要注
意乙商场根据商品原价的取值范围分情况讨论．
3．一家蔬菜公司计划到某绿色蔬菜基地收购A，B两种蔬菜共140吨，预计两种蔬菜销售后获利
的情况如表所示：
销售品种 A种蔬菜 B种蔬菜每吨获利（元） 1200 1000
其中A种蔬菜的5%、B种蔬菜的3%须运往C市场销售，但C市场的销售总量不超过5.8吨．设销
售利润为y元（不计损耗），设购进A种蔬菜x吨．
（l）求y与x之间的函数关系式：
（2）求自变量x的取值范围；
（3）将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得多少利润？
【答案】（1） ，（2） ，（3）156000元
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到y与x之间的函数关系式；
（2）根据其中A种蔬菜的5%、B种蔬菜的3%须运往C市场销售，但C市场的销售总量不超过5.8
吨，可以得到关于x的不等式，从而可以求得x的取值范围；
（3）根据（1）和（2）中的结果，利用一次函数的性质，可以得到最大利润．
【详解】（1）根据题意得
（2）根据题意得，
，
解得
∴
（3）又∵在一次函数 中，
∴y随x的增大而增大
∴当x＝80时，
答：将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得利润156000元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，同时也考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明
确题意，利用一次函数的性质解答．
4．某商场为了抓住夏季来临，衬衫热销的契机，决定用46000元购进 、 、 三种品牌的衬衫
共300件，并且购进的每一种衬衫的数量都不少于90件.设购进 种型号的衬衣 件，购进 种型
号的衬衣 件，三种品牌的衬衫的进价和售价如下表所示：
型号
进价（元/件） 100 200 150售价（元/件） 200 350 300
（Ⅰ）直接用含 、 的代数式表示购进 种型号衬衣的件数，其结果可表示为______；
（Ⅱ）求 与 之间的函数关系式；
（Ⅲ）如果该商场能够将购进的衬衫全部售出，但在销售这些衬衫的过程中还需要另外支出各种
费用共计1000元.
①求利润 （元）与 （件）之间的函数关系式；
②求商场能够获得的最大利润.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）①P=-50x+44000；②商场能够获得的最大
利润为39500元.
【分析】（1）根据购进A种品牌的羽绒服x件，B种品牌的羽绒服y件，购进A、B、C三种品牌
的羽绒服共300件，表示出C即可；
（2）根据进价表格，利用用46000元购进A、B、C三种品牌的羽绒服共300件，得出等式即可；
（3）①根据表格得出进价与售价进而得出每件利润，得出总利润即可，
②首先求出x的取值范围，利用一次函数的增减性得出最大利润即可．
【详解】（Ⅰ）
（Ⅱ）依题意，得：
整理得： .
（Ⅲ）①
②∵购进的每一种衬衫的数量都不少于90件，
，
解得 ，
∵在 中， ，
∴ 随 的增大而减小，∴当 时， （元）.
答：商场能够获得的最大利润为39500元.
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组的应用和一次函数的增减性等知识，根据
已知得出y与x的函数关系式是解题关键．
5．某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售，且当天都能销售完，
直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤(不计损耗)．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能
参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤．设安排x名工人采摘蓝莓，
剩下的工人加工蓝莓．
(1)若基地一天的总销售收入为y元，求y与x的函数关系式；
(2)试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值．
【答案】(1)y＝－350x＋63 000.(2)安排7名工人进行采摘，13名工人进行加工，才能使一天的收入
最大，最大收入为60 550元．
【分析】（1）根据题意可知x人参加采摘蓝莓，则（20-x）人参加加工，可分别求出直接销售和
加工销售的量，然后乘以单价得到收入钱数，列出函数的解析式；
（2）根据采摘量和加工量可求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性可得到分配方案，并
且求出其最值.
【详解】解：(1)根据题意得：
(2)因为 ，解得 ，又因为 为正整数，且 .
所以 ，且 为正整数.
因为 ，所以y的值随着x的值增大而减小，
所以当 时， 取最大值，最大值为 .
答：安排7名工人进行采摘，13名工人进行加工，才能使一天的收入最大，最大收入为60550元.
6．为绿化校园，某校计划购进A、B两种树苗，共21棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵
70元．设购买B种树苗x棵，够买两种树苗所需费用为y元．
(1) y与x的函数关系式为： ；
(2) 若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案．并求出该方案所需
费用．
【答案】（1）y=－20x+1890；（2）购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元．
【分析】(1)、根据题意得出函数解析式；(2)、首先根据题意得出x的取值范围，然后根据函数的增减性得出答案.
【详解】(1)、y=-20x+1890；
(2)、由题意，知x＜21-x．解，得x＜10.5．
又∵x≥1，∴x的取值范围是：1≤x≤10且x为整数．
由(1)知：对于函数y=-20x+1890，y随x的增大而减小．
∴当x=10时，y有最小值：y =-20×10+1890=1690．
最小
所以，使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵．所需费用为1690元．
【点睛】略
7．某扶贫工作组将对口扶贫村的优质香菇和大米销往全国，相关信息如下表：
商品 规格 成本（元/袋） 售价（元/袋）
香菇 1kg/袋 40 60
大米 10kg/袋 38 53
已知销售大米和香菇共2000袋，其中，香菇不少于600袋，大米不少于800袋．设销售香菇x袋，
售完这批农产品所得的利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）销售完这批香菇和大米，至少可以获得多少元的利润？
（3）扶贫工作组与村委会商议决定，每销售一袋大米和香菇分别提取m元 和2m元作为爱
心基金用于资助该村特困户．若扣除爱心基金后的最大利润为28000元，则m的值为__________
（直接写出结果）．
【答案】（1） ， ；（2）销售完这批香菇和大米，至少可以获得
33000元的利润；（3）2.5
【分析】（1）根据题意，大米为 ，售价-成本=利润列出方程．
（2）根据一次函数 ，可知当 取得最小值时， 取最小值，列出方程即可求解．
（3）根据一次函数 ，可知当 取得最大值时， 取最大值，将题目中扣除部分 代入列
出方程即可求解．
【详解】（1）设香菇 袋，则大米为 袋，香菇利润为 元，大米利润为
元，由题意可列方程 ， ；
（2）在利润 ， 中∵ ， 随 的增大而增大，
∴当 时， 有最小值．
，
即销售完这批香菇和大米，至少可以获得33000元的利润．
（3）在利润 ， 中．
∵ ， 随 的增大而增大，
∴当 时， 有最大值为36000
此时香菇1200袋，米800袋．
由题意可列方程：扣除后利润
解得 =2.5
【点睛】本题考查一次函数的应用，需要注意根据一次函数 判断在何处取得最值，列出方程即
可求解．
8．某商场购进A、B两种服装共100件，已知购进这100件服装的费用不得超过7500元，且其中
A种服装不少于65件，它们的进价和售价如表．
服装 进价（元/件） 售价（元/件）
A 80 120
B 60 90
其中购进A种服装为x件，如果购进的A、B两种服装全部销售完，根据表中信息，解答下列问题．
（1）求获取总利润y元与购进A种服装x件的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）该商场对A种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的售价进行优惠促销活动，B种服装售价不
变，那么该商场应如何调整A、B服装的进货量，才能使总利润y最大？
【答案】（1）y＝10x+3000（65≤x≤75）；（2）方案1：当0＜a＜10时，购进A种服装75件，B
种服装25件；方案2：当a＝10时，按哪种方案进货都可以；方案3：当10＜a＜20时，购进A种
服装65件，B种服装35件．
【分析】（1）根据题意可知购进A种服装为x件，则购进B种服装为（100-x），A、B两种服装
每件的利润分别为40元、30元，据此列出函数关系式，然后再根据A种服装不少于65件且购进
这100件服装的费用不得超过7500元，求出x的取值范围即可；
（2）根据题意列出含有a的一次函数解析式，再根据一次函数的性质求解即可.
【详解】解：（1）∵80x+60（100﹣x）≤7500，解得：x≤75，
∴y＝40x+30（100﹣x）=10x+3000（65≤x≤75）；
（2）∵y＝（40﹣a）x+30（100﹣x）＝（10﹣a）x+3000，
方案1：当0＜a＜10时，10﹣a＞0，y随x的增大而增大，所以当x＝75时，y有最大值，则购进
A种服装75件，B种服装25件；
方案2：当a＝10时，无论怎么购进，获利相同，所以按哪种方案进货都可以；
方案3：当10＜a＜20时，10﹣a＜0，y随x的增大而减小，所以当x＝65时，y有最大值，则购进
A种服装65件，B种服装35件．
【点睛】一次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意列出一次函数解析式并熟练掌握
其性质是解题的关键.
9．某商店准备购进大、小两种书包共100个出售，每个大书包的进价比每个小书包的进价贵20
元，用2000元购进大书包的数量与用1500元购进小书包的数量一样，大书包每个售价120元，小
书包每个售价90元．设该商店计划购进大书包x个，两种书包全部销售完可获利y元．
(1)大书包进价为 元/个，小书包进价为 元/个；
(2)若购进这100个书包的总费用不超过7300元，且大书包不少于55个．
①求大书包最多购进多少个？
②受市场行情影响，实际销售过程中，该商店对大书包每个降价a元，小书包每个涨价a（0＜a＜
10）元，若销售完这100个书包可获得的最低利润为3520元，求a的值．
【答案】(1)80，60
(2)①65个；②3
【分析】（1）设大书包进价为x元/个，则小书包进价为（x﹣20）元/个，由题意：用2000元购
进大书包的数量与用1500元购进小书包的数量一样，列出分式方程，解方程即可；
（2）①设大书包购进m个，则小书包购进（100﹣m）个，由题意：购进这100个书包的总费用不
超过7300元，且大书包不少于55个．列出一元一次不等式组，解不等式组即可；②设大书包购
进m个，则小书包购进（100﹣m）个，利润为w元，由题意得：w=（10﹣2a）m+3000+100a，再
进行分类讨论，由一次函数的性质和一元一次方程求出a的值即可．
（1）
解：设大书包进价为x元/个，则小书包进价为（x﹣20）元/个，
由题意得： ，解得：x=80，
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，则x﹣20=80﹣20=60，即大书包进价为80元/个，小书包进价为60元/个，
故答案为：80，60；
（2）
解：①设大书包购进m个，则小书包购进（100﹣m）个，
由题意得： ，解得：55≤m≤65，
答：大书包最多购进65个；
②设大书包购进m个，则小书包购进（100﹣m）个，利润为w元，
由①得：55≤m≤65，
由题意得：w=（120﹣80﹣a）m+（90﹣60+a）（100﹣m）=（10﹣2a）m+3000+100a，
当10﹣2a≥0，即a≤5时，w随m的增大而增大，
∴m=55时，w的最小值=（10﹣2a）×55+3000+100a=3520，解得：a=3；
当10﹣2a＜0，即a＞5时，w随m的增大而减小，
∴m=65时，w的最小值=（10﹣2a）×65+3000+100a=3520，解得：a= ＜5（舍去）；
综上所述，a的值为3．
【点睛】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式组及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组及一
次函数表达式．
10．某商店销售一种产品，该产品成本价为 元/件，售价为 元/件，销售人员对该产品一个月（
天）销售情况记录绘成图象．图中的折线 表示日销量 （件）与销售时间 （天）之间的
函数关系，若线段 表示的函数关系中，时间每增加 天，日销量减少 件．
(1)第 天的日销量是______件，这天销售利润是______元；
(2)求 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围；(3)日销售利润不低于 元的天数共有多少天？销售期间日销售最大利润是多少元？
【答案】(1)325；650
(2)
(3)日销售利润不低于640元的天数共有18天，日销售利润最大，最大利润为 元
【分析】（1）根据题意“线段 表示的函数关系中，时间每增加 天，日销量减少 件”，已知
第22天的销售量，可求第25天的销售量；在根据：日利润=单件利润×日销售量，求出当天总利润；
（2）函数图象分为了两段，分别用待定系数法求出正比例函数和一次函数的表达式即可；
（3）已知日销售利润，可求日销售量，根据日销售量确定日期范围，即可知道日销售利润不低于
640元的天数；求出点D的坐标，代入即可求出最高销售量，即可求最大利润．
（1）
340-(25-22)×5=325(件)，
元 ；
故答案为： ； ．
（2）
设直线 的函数关系式为 ，
将 代入 ，
得： ，
解得： ．
直线 的函数关系式为 ．
设直线 的函数关系式为 ，
将 、 代入 ，
，
解得： ，
直线 的函数关系式为 ．联立两函数解析式成方程组，
，
解得： ，
点 的坐标为 ．
与 之间的函数关系式为 ．
（3）
件 ，
当 时，有 或 ，
解得： 或 ，
天 ，
日销售利润不低于 元的天数共有 天．
折线 的最高点 的坐标为 ， 元 ．
当 时，日销售利润最大，最大利润为 元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，熟练的掌握一次函数的图像和性质，会用待定
系数法求函数的解析式，根据图像和性质求点的坐标是解题的关键．
11．某服装店准备购进甲、乙两种服装出售，甲种每件售价120元，乙种每件售价90元．每件甲
服装的进价比乙服装的进价贵20元，购进3件甲服装的费用和购进4件乙服装的费用相等，现计
划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
（1）甲种服装进价为多少元/件？乙种服装进价为多少元/件？
（2）若购进这100件服装的费用不得超过7500元：
① 求甲种服装最多购进多少件？
② 该服装店对甲种服装每件降价 元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售
完，那么该服装店如何进货才能获得最大利润？
【答案】（1）甲种服装进价为80元/件，乙种服装进价为60元/件；（2）①甲种服装最多购进75
件；②当0<a<10时，购进甲种服装75件，乙种服装25件；当a=10时，所有进货方案获利相同；当10<a< 20时，购进甲种服装65件，乙种服装35件．
【分析】（1）设甲种服装进价为x元/件，乙种服装进价为y元/件，根据“每件甲服装的进价比
乙服装的进价贵20元“和“购进3件甲服装的费用和购进4件乙服装的费用相等”列出方程组解
答即可；
（2）①设甲种服装购进m件，则乙种服装购进（100-m）件，根据“甲种服装不少于65件”和
“购进这100件服装的费用不得超过7500元”，列出不等式组解答即可；
②求出总利润w的表达式，针对a的不同取值范围分别进行讨论，进而确定其进货方案．
【详解】（1）设甲种服装进价为x元/件，乙种服装进价为y元/件，根据题意得：
，
解得： ．
答：甲种服装进价为80元/件，乙种服装进价为60元/件；
（2）①设甲种服装购进m件，则乙种服装购进（100-m）件，根据题意得：
，
解得65≤m≤75，
∴甲种服装最多购进75件；
②设总利润为w元，购进甲种服装m件，则
w=（120-80-a）m+（90-60）（100-m）=（10-a）m+3000，且65≤m≤75，
当0<a<10时，10-a>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=75时，w有最大值，即购进甲种服装75件，乙种服装25件；
当a=10时，所有进货方案利润相同；
当10<a<20时，10-a<0，
∴w随m的增大而减少，
∴当m=65时，w有最大值，即购进甲种服装65件，乙种服装35件．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，等量关
系和不等关系列出方程组和不等式组．
12．2020年新冠肺炎疫情发生以来，每天用消毒液进行消毒成为一种习惯．某经销店经销甲、乙
两种规格复合型消毒液，如下表所示是该店甲、乙两种复合型消毒液的进价和售价：商品价格 甲种规格 乙种规格
进价（元/瓶） 40 100
售价（元/瓶） 45 110
该店现有一批用7600元购进的甲、乙两种规格复合型消毒液库存，预计全部销售后，可获毛利润
共800元．[毛利润＝（售价－进价）×销售量]
（1）该店库存的甲、乙两种规格复合型消毒液分别为多少瓶？
（2）根据销售情况，该经销店计划在进价不变情况下，用不超过8000元的资金购进这两种规格
复合型消毒液，在原进货数量上，增加甲种规格复合型消毒液的购进量，减少乙种规格复合型消
毒液的购进量．已知甲种规格复合型消毒液增加的数量是乙种规格复合型消毒液减少的数量的3
倍，则该店怎样进货，可使这次进货全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．
【答案】（1）该店库存的甲种规格复合型消毒液有40瓶，乙种规格复合型消毒液有60瓶；
（2）该店用不超过8000元购进甲种规格复合型消毒液100 瓶，乙种规格复合型消毒液40瓶，全
部销售后获得的毛利润最大，最大毛利润为900元
【分析】（1）该店库存的甲种规格复合型消毒液有x瓶，乙种规格复合型消毒液有y瓶，根据题
意列出x，y的二元一次方程组即可；
（2）先求出m的取值范围，然后再根据函数关系式，由函数的性质求函数最值．
【详解】解：（1）设该店库存的甲种规格复合型消毒液有x瓶，乙种规格复合型消毒液有y瓶，
由题意，得： ，
解得： ，
答：该店库存的甲种规格复合型消毒液有40瓶，乙种规格复合型消毒液有60瓶；
（2）设乙种规格复合型消毒液减少m瓶，则甲种规格复合型消毒液增加3m瓶，
则：40 （ 40+3m）+100 （ 60-m ）≤8000，
解得：m≤20，
设全部销售后获得的毛利润为W元，
W=（ 45-40）（ 40+3m）+（ 110-100）（ 60-m）=5m+800，
∵5＞0，
∴W随着m的增大而增大，∴当m=20时，W取得最大值，此时W=900，40+3m=100，60-20=40，
答：该店用不超过8000元购进甲种规格复合型消毒液100 瓶，乙种规格复合型消毒液40瓶，全
部销售后获得的毛利润最大，最大毛利润为900元．
【点睛】本题考查一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，关键是
根据毛利润等于两种消毒液的利润之和列出函数关系式．
13．A城有肥料400吨，B城有肥料600吨．现要把这些肥料全部运往C，D两乡，C乡需要肥料
480吨，D乡需要肥料520吨，其运往C，D两乡的运费如下表：
运往C乡 运往D乡
A城 20元/吨 18元/吨
B城 16元/吨 12元/吨
设从A城运往C乡的肥料为x吨，从A城运往两乡的总运费为 元，从B城运往两乡的总运费为
元．
（1）分别求 ， 与x之间的函数关系式，以及同时满足 ， 的自变量x的取值范围；
（2）若A城的总运费不得超过7600元，怎样调运使两城总费用的和最少？并求出最小值．
【答案】（1） ； ； ；（2）A城运往C乡和D乡各200吨，
B城运往C乡280吨，运往D乡320吨，此时运费最小为15920元．
【分析】（1）设从A城运往C乡的肥料为x吨，则从A城运往D乡的肥料为（400-x）吨，从B
城运往C乡的肥料为（480-x）吨，从B城运往D乡的肥料为520-（400-x）=（120+x）吨，根据题
意列出y、y 与x之间的函数关系式，然后再根据运料必须大于等于零列不等式组解答即可；
1 2
（2）设两城总费用为y元，根据（1）的结论列出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再
根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）从A城运往C乡的肥料为x吨，则从A城运往D乡的肥料为（400-x）吨，从B城
运往C乡的肥料为（480-x）吨，从B城运往D乡的肥料为520-（400-x）=（120+x）吨，
所以依题意
；
（2）由 得
设两城的总运费为y元，则
随x增大而减小
当 时，y有最小值15920
即A城运往C乡和D乡各200吨，B城运往C乡280吨，运往D乡320吨，此时运费最小为15920
元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出一次函数的解析式是解答本题的关键．
14．某商店需要购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如表：
甲 乙
进价（元/件） 14 35
售价（元/件） 20 45
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1680元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金小于5320元，且销售完这批商品后获利大于1660元，请问有几种购货
方案？并求出其中获利最大的购货方案．
【答案】（1）甲种商品购进80件，乙种商品购进120件；（2）共有4种购货方案，甲种商品购
进81件、乙种商品购进119件时，获利最大
【分析】（1）设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，根据该商品购进两种商品共200件且销
售完这批商品后能获利1680元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲种商品购进m件，则乙种商品购进（200﹣m）件，根据“该商店计划投入资金小于
5320元，且销售完这批商品后获利大于1660元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即
可得出m的取值范围，结合m为非负整数即可得出购货方案的数量，设销售完这批商品后获利w
元，根据总利润＝每件的利润×销售数量（购进数量），即可得出w关于m的函数关系式，再利用
一次函数的性质即可解决最值问题．【详解】解：（1）设甲种商品购进 件，乙种商品购进 件，
依题意得： ，
解得： ．
答：甲种商品购进80件，乙种商品购进120件．
（2）设甲种商品购进 件，则乙种商品购进 件，
依题意得： ，
解得： ，
又 为非负整数，
可以为81，82，83，84，
该商店共有4种购货方案．
设销售完这批商品后获利 元，则 ，
，
随 的增大而减小，
当 时， 取得最大值，
即甲种商品购进81件、乙种商品购进119件时，该商店销售完这批商品后获利最大．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解
题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正
确列出一元一次不等式组．
15．某商店销售A型和B型电脑， 每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润
为150元, 该商店计划购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2
倍，设购进A型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y元，
(1)求该商店购进A型、B型各多少台，才能使销售利润最大？
(2)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m(0＜m＜100)元，且限定商店最多购进A型电脑70
台，若商店保持两种电脑的售价不变，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1）A型34台，B型66台；（2）①当0＜m＜50时，x＝34时，y有最大值；②当m＝
50时，y＝15000为定值；③当50＜m＜100时，x＝70时，y有最大值．
【分析】（1）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，再列出函数解析式，根据一次函数的性质求解可得；
（2））先求出x的取值范围，然后根据函数解析式分类讨论即可．
【详解】（1）由题意： ，
∴ ≤x≤100
∵x为正整数，
∴34≤x≤100，且x为整数，
∵y＝100x＋150(100－x)
＝－50x＋15000
∵－50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝34时，y有最大值，
∴100－x＝66，
∴A型34台，B型66台；
（2）由题意： ，
∴34≤x≤70，且x为整数，
y＝(100＋m)x＋150(100－x)
＝(m－50)x＋15000
①当0＜m＜50时，x＝34时，y有最大值；
②当m＝50时，y＝15000为定值；
③当50＜m＜100时，x＝70时，y有最大值．
【点睛】本题考查了一次函数的应用及一元一次不等式组的应用，弄清题意，找出题中的数量关
系列出函数关系式、找出不等关系列出不等式组是解题的关键．
16．某工厂以每千克200元的价格购进甲种原料360千克，用于生产A、B两种产品，生产1件A
产品或1件B产品所需甲、乙两种原料的千克数如下表：
产品/原料 A B
甲（千克） 9 4
乙（千克） 3 10乙种原料的价格为每千克300元，A产品每件售价3000元，B产品每件售价4200元，现将甲种原
料全部用完，设生产A产品x件，B产品m件，公司获得的总利润为y元．
（1）写出m与x的关系式；
（2）求y与x的关系式；
（3）若使用乙种原料不超过510千克，生产A种产品多少件时，公司获利最大？最大利润为多少？
【答案】（1）m＝﹣ x+90；（2）y＝﹣600x+36000；（3）20件，24000元．
【分析】（1）由生产A，B两种产品共用甲种原料360千克，可得出9x+4m＝360，变形后即可得
出结论；
（2）根据总利润＝每件A产品的利润×生产数量+每件B产品的利润×生产数量，即可得出y与x的
关系式；
（3）由生产A，B两种产品使用乙种原料不超过510千克，即可得出关于x的一元一次不等式，
解之即可得出x的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）∵9x+4m＝360，
∴m＝﹣ x+90．
（2）根据题意得：y＝（3000﹣200×9﹣300×3）x+（4200﹣200×4﹣300×10）m＝300x+400m＝﹣
600x+36000．
（3）根据题意得：3x+10（﹣ x+90）≤510，
解得：x≥20，
∵在y＝﹣600x+36000中，﹣600＜0，
∴y随x值的增大而减小，
∴当x＝20时，y取最大值，最大值为24000．
答：当生产A种产品20件时，公司获利最大，最大利润为24000元．
【点睛】本题考查了一次函数的最值、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键
是：（1）根据各数量之间的关系，找出m与x的关系式；（2）利用总利润=每件A产品的利润×
生产数量+每件B产品的利润×生产数量，找出y与x的关系式；（3）通过解一元一次不等式找出x
的取值范围．
17．某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共 个,篮球个数不少于排球个数，付
款总额不得超过 元，已知两种球厂的批发价和商场的零售价如下表. 设该商场采购 个篮球.品名 厂家批发价/元/个 商场零售价/元/个
篮球
排球
（1）求该商场采购费用 (单位:元)与 (单位:个)的函数关系式,并写出自变量 的取值范围：
（2）该商场把这 个球全都以零售价售出,求商场能获得的最大利润；
（3）受原材料和工艺调整等因素影响,采购员实际采购时，低球的批发价上调了 元/个，
同时排球批发价下调了 元/个.该体有用品商场决定不调整商场零售价，发现将 个球全部卖
出获得的最低利润是 元,求 的值.
【答案】（1） ， ；（2）商场能获得的最大利润为 元；（3） 的
值为 .
【分析】（1）设该商场采购 个篮球，（100-x）个排球，根据表格写出函数关系式即可，根据题
意列出关于x的不等式组，进一步确定自变量x的取值范围；
（2）设该商场获得利润 元，先求出一个篮球及排球各自所获利润，再乘以数量即可，根据函数
的变化情况即可确定最大利润；
（3）先列出利润W关于m的表达式，分情况讨论一次性系数的取值，根据最低利润确定m的值.
【详解】解：
设该商场获得利润 元
随 的增大而增大
当 时，
即商场能获得的最大利润为 元①当 时，即 时， 随 的增大而增大
当 时，
解得
不符合题意，舍去；
②当 时，即 ，舍去
③当 时，即 ， 随 的增大而减小
当 时，
解得： ，符合题意
即 的值为 .
【点睛】本题综合考查了一次函数解析式及不等式在实际问题中的应用，正确理解题意，把握题
中数量关系是解题的关键.
18．某专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋，其进价和售价如下表所示．已知用3000元购进甲种运
动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
运动鞋价格 甲 乙
进价元/双) m m-30
售价(元/双) 300 200
(1)求m的值；
(2)要使购进的甲，乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元且不超过22300元，问该专卖
店有几种进货方案?
(3)在(2)的条件下，专卖店决定对甲种运动鞋每双优惠a(60<a<80)元出售，乙种运动鞋价格不变，
那么该专卖店要获得最大利润应如何进货?
【答案】（1）m＝150；（2）该专卖店有9种进货方案；（3）此时应购进甲种运动鞋82双，购
进乙种运动鞋118双．
【分析】（1）根据“用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同”
列出方程并解答；
（2）设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋（200−x）双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；
（3）设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分
情况讨论求解即可．
【详解】（1）依题意得： ，
解得：m＝150，
经检验：m＝150是原方程的根，
∴m＝150；
（2）设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，根据题意得
，
解得：81 ≤x≤90，
∵x为正整数，
∴该专卖店有9种进货方案；
（3）设总利润为W元，则
W＝（300﹣150﹣a）x+（200﹣120）（200﹣x）＝（70﹣a）x+16000，
①当60＜a＜70时，70﹣a＞0，W随x的增大而增大，当x＝90时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋90双，购进乙种运动鞋110双；
②当a＝70时，70﹣a＝0，W＝16000，（2） 中所有方案获利都一样；
③当70＜a＜80时，70﹣a＜0，W随x的增大而减小，当x＝82时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋82双，购进乙种运动鞋118双．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，
找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系；解题时需要根据一次项系数的情况
分情况讨论．
19．某旅客携带x kg的行李乘飞机，登机前，旅客可选择托运或快递行李，托运费y（元）与行
1
李重量x kg的对应关系由如图所示的一次函数图象确定，下表列出了快递费y（元）与行李重量
2
x kg的对应关系(1) 如果旅客选择托运，求可携带的免费行李的最大重量为多少kg？
(2) 如果旅客选择快递，当1＜x≤15时，直接写出快递费y（元）与行李的重量x kg之间的函数关
2
系式
(3) 某旅客携带25kg的行李，设托运m kg行李（10≤m＜24，m为正整数），剩下的行李选择快递．
当m为何值时，总费用y的值最小？并求出其最小值是多少元？
【答案】（1）可携带的免费行李的最大质量为20公斤．（2）快递费y （元）与行李质量x（公
2
斤）的函数关系式为y = .（3）当托运20公斤、快递5公斤行李时，总费用最少，
2
最少费用为22元．
【详解】分析：（1）观察图象找出两点的坐标，利用待定系数法可求出托运费y （元）与行李质
1
量x（公斤）的函数关系式，将y =0代入函数关系式中即可得出结论；
1
（2）根据表格中的数据，分x=1、1＜x≤5、5＜x≤15三部分找出快递费y （元）与行李质量x（公
2
斤）的函数关系式；
（3）分10≤m＜20以及20≤m＜24两种情况找出y关于m的函数关系式，根据一次函数的性质可
找出y的取值范围，找出当y取最小值时m的值即可得出结论．
详解：（1）设托运费y （元）与行李质量x（公斤）的函数关系式为y =kx+b，
1 1
将（30，300）、（50，900）代入y =kx+b，
1
，解得： ，
∴托运费y （元）与行李质量x（公斤）的函数关系式为y =30x-600．
1 1
当y =30x-600=0时，x=20．
1
答：可携带的免费行李的最大质量为20公斤．
（2）根据题意得：当x=1时，y =10；
2
当1＜x≤5时，y =10+3（x-1）=3x+7；
2当5＜x≤15时，y =10+3×（5-1）+5（x-5）=5x-3．
2
综上所述：快递费y （元）与行李质量x（公斤）的函数关系式为y = .
2 2
（3）当10≤m＜20时，5＜25-m≤15，
∴y=y +y =0+5×（25-m）-3=-5m+122．
1 2
∵10≤m＜20，
∴22＜y≤72；
当20≤m＜24时，1＜25-m≤5，
∴y=y +y =30m-600+3×（25-m）+7=27m-518．
1 2
∵20≤m＜24，
∴22≤y＜130．
综上可知：当m=20时，总费用y的值最小，最小值为22．
答：当托运20公斤、快递5公斤行李时，总费用最少，最少费用为22元．
点睛：本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特
征以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出两点的坐标，利用待定系数法
可求出函数关系式；（2）分x=1、1＜x≤5、5＜x≤15三部分找出快递费y （元）与行李质量x（公
2
斤）的函数关系式；（3）分10≤m＜20以及20≤m＜24两种情况找出y关于m的函数关系式．
