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专题40 一次函数的应用之最大利润问题
1．某商场为庆祝开业，特在开业当天推出了两种购物方案：
方案一：非会员购物所有商品价格可享九折优惠；
方案二：若额外缴纳50元会费成为该商场的会员，则所有商品价格可享八折优惠．
设王女士在该商场开业当天的累计购物金额为 元．
(1)根据题意，填写表格：
累计购物金额
350 450 550 650 ……
（元）
方案一的付款
315 405 ______ ______ ……
金额（元）
方案二的付款
330 410 ______ ______ ……
金额（元）
(2)分别写出王女士按方案一、方案二的付款金额 元、 元与累计购物金额 元（ ）之间的
函数关系式；
(3)当 时，王女士选择哪种购物方案更合算？并说明理由．
【答案】(1)495、585、490、570
(2) ，
(3)当 时，王女士选择方案一和方案二一样合算；当 时，王女士选择方案一更
合算；当 时，王女士选择方案二更合算
【分析】（1）根据两种购物方案列式计算即可；
（2）根据题意分别得出两种优惠方案的关系式即可；
（3）设y=y-y，根据（2）得出y与x的关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
1 2
(1)
方案一： （元）， （元），
方案二： （元）， （元），
故答案为：495、585、490、570；
(2)
根据题意得： ，；
(3)
设 ，
令 ，解得 ，
∴当 时，王女士选择方案一和方案二的付款金额一样．
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， ，王女士选择方案一更合算，
当 时， ，王女士选择方案二更合算．
综上所述，当 时，王女士选择方案一和方案二一样合算；
当 时，王女士选择方案一更合算；
当 时，王女士选择方案二更合算．
【点睛】此题考查一次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，正确列出函数解析式是解题的
关键．
2．甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所
有商品按 折出售，乙商场对一次购物中超过 元后的价格部分打 折．
设原价购物金额累计为 元 ．
（1）根据题意，填写下表：
原价购物金额累计 元
甲商场实际购物金额
元
乙商场实际购物金额
元
（2）设在甲商场实际购物金额为 元，在乙商场实际购物金额为 元，分别写出 ， 关于
的函数解析式；
（3）根据题意填空：
①若在甲商场和在乙商场实际购物花费金额一样多，则在同一商场所购商品原价金额累计为
______元；
②若在同一商场购物，商品原价购物金额累计为 元，则在甲、乙两家商场中的_____商场实际购物花费金额少；
③若在同一商场实际购物金额为 元，则在甲、乙两家商场中的______商场商品原价购物累计
金额多
【答案】（1） ， ， ， ．（2） ．当 时， ；当
时， ．（3）① ；②乙；③甲．
【分析】（1）根据两家商场的让利方式分别列式整理即可；
（2）甲商场按原价直接乘以0.8，乙商场分0≤x≤200、x＞200两种情况分别列式即可；
（3）根据（2）的结论解答即可．
【详解】（1）300×0.8＝240（元）；500×0.8＝400（元）；200＋0.7×（500−200）＝410（元）；
200＋0.7×（700−200）＝550（元）；
（2）根据题意得：y ＝0.8x，
甲
当0＜x≤200时，y ＝x，
乙
当x＞200时，y ＝200＋0.7（x−200），即y ＝0.7x＋60；
乙 乙
（3）①当y ＝y 时，即0.8x＝200＋0.7（x−200），解得x＝600，
甲 乙
所以若在同甲商场和在乙商场实际购物花费金额一样多，则在同一商场所购商品原价金额累计为
600元；
②在甲商场实际购物花费：800×0.8＝640（元），在乙商场实际购物花费：200＋0.7×（800−200）
＝620（元），
所以若在同一商场购物，商品原价购物金额累计为800元，则在甲、乙两家商场中的乙商场实际
购物花费金额少；
③令y ＝400，则0.8x＝400，解得x＝500，即在甲商场商品原价购物累计金额为500元；
甲
令y ＝400，0.7x＋60＝400，解得x≈485.71，即在乙商场商品原价购物累计金额为485.71元．
乙
所以若在同一商场实际购物金额为400元，则在甲、乙两家商场中的甲商场商品原价购物累计金
额多．
故答案为：（1）240；400；410；550；（3）①600；②乙；③甲．
【点睛】考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键，要注
意乙商场根据商品原价的取值范围分情况讨论．
3．一家蔬菜公司计划到某绿色蔬菜基地收购A，B两种蔬菜共140吨，预计两种蔬菜销售后获利
的情况如表所示：
销售品种 A种蔬菜 B种蔬菜每吨获利（元） 1200 1000
其中A种蔬菜的5%、B种蔬菜的3%须运往C市场销售，但C市场的销售总量不超过5.8吨．设销
售利润为y元（不计损耗），设购进A种蔬菜x吨．
（l）求y与x之间的函数关系式：
（2）求自变量x的取值范围；
（3）将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得多少利润？
【答案】（1） ，（2） ，（3）156000元
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到y与x之间的函数关系式；
（2）根据其中A种蔬菜的5%、B种蔬菜的3%须运往C市场销售，但C市场的销售总量不超过5.8
吨，可以得到关于x的不等式，从而可以求得x的取值范围；
（3）根据（1）和（2）中的结果，利用一次函数的性质，可以得到最大利润．
【详解】（1）根据题意得
（2）根据题意得，
，
解得
∴
（3）又∵在一次函数 中，
∴y随x的增大而增大
∴当x＝80时，
答：将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得利润156000元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，同时也考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明
确题意，利用一次函数的性质解答．
4．某商场为了抓住夏季来临，衬衫热销的契机，决定用46000元购进 、 、 三种品牌的衬衫
共300件，并且购进的每一种衬衫的数量都不少于90件.设购进 种型号的衬衣 件，购进 种型
号的衬衣 件，三种品牌的衬衫的进价和售价如下表所示：
型号
进价（元/件） 100 200 150售价（元/件） 200 350 300
（Ⅰ）直接用含 、 的代数式表示购进 种型号衬衣的件数，其结果可表示为______；
（Ⅱ）求 与 之间的函数关系式；
（Ⅲ）如果该商场能够将购进的衬衫全部售出，但在销售这些衬衫的过程中还需要另外支出各种
费用共计1000元.
①求利润 （元）与 （件）之间的函数关系式；
②求商场能够获得的最大利润.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）①P=-50x+44000；②商场能够获得的最大
利润为39500元.
【分析】（1）根据购进A种品牌的羽绒服x件，B种品牌的羽绒服y件，购进A、B、C三种品牌
的羽绒服共300件，表示出C即可；
（2）根据进价表格，利用用46000元购进A、B、C三种品牌的羽绒服共300件，得出等式即可；
（3）①根据表格得出进价与售价进而得出每件利润，得出总利润即可，
②首先求出x的取值范围，利用一次函数的增减性得出最大利润即可．
【详解】（Ⅰ）
（Ⅱ）依题意，得：
整理得： .
（Ⅲ）①
②∵购进的每一种衬衫的数量都不少于90件，
，
解得 ，
∵在 中， ，
∴ 随 的增大而减小，∴当 时， （元）.
答：商场能够获得的最大利润为39500元.
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组的应用和一次函数的增减性等知识，根据
已知得出y与x的函数关系式是解题关键．
5．某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售，且当天都能销售完，
直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤(不计损耗)．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能
参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤．设安排x名工人采摘蓝莓，
剩下的工人加工蓝莓．
(1)若基地一天的总销售收入为y元，求y与x的函数关系式；
(2)试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值．
【答案】(1)y＝－350x＋63 000.(2)安排7名工人进行采摘，13名工人进行加工，才能使一天的收入
最大，最大收入为60 550元．
【分析】（1）根据题意可知x人参加采摘蓝莓，则（20-x）人参加加工，可分别求出直接销售和
加工销售的量，然后乘以单价得到收入钱数，列出函数的解析式；
（2）根据采摘量和加工量可求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性可得到分配方案，并
且求出其最值.
【详解】解：(1)根据题意得：
(2)因为 ，解得 ，又因为 为正整数，且 .
所以 ，且 为正整数.
因为 ，所以y的值随着x的值增大而减小，
所以当 时， 取最大值，最大值为 .
答：安排7名工人进行采摘，13名工人进行加工，才能使一天的收入最大，最大收入为60550元.
6．为绿化校园，某校计划购进A、B两种树苗，共21棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵
70元．设购买B种树苗x棵，够买两种树苗所需费用为y元．
(1) y与x的函数关系式为： ；
(2) 若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案．并求出该方案所需
费用．
【答案】（1）y=－20x+1890；（2）购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元．
【分析】(1)、根据题意得出函数解析式；(2)、首先根据题意得出x的取值范围，然后根据函数的增减性得出答案.
【详解】(1)、y=-20x+1890；
(2)、由题意，知x＜21-x．解，得x＜10.5．
又∵x≥1，∴x的取值范围是：1≤x≤10且x为整数．
由(1)知：对于函数y=-20x+1890，y随x的增大而减小．
∴当x=10时，y有最小值：y =-20×10+1890=1690．
最小
所以，使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵．所需费用为1690元．
【点睛】略
7．某扶贫工作组将对口扶贫村的优质香菇和大米销往全国，相关信息如下表：
商品 规格 成本（元/袋） 售价（元/袋）
香菇 1kg/袋 40 60
大米 10kg/袋 38 53
已知销售大米和香菇共2000袋，其中，香菇不少于600袋，大米不少于800袋．设销售香菇x袋，
售完这批农产品所得的利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）销售完这批香菇和大米，至少可以获得多少元的利润？
（3）扶贫工作组与村委会商议决定，每销售一袋大米和香菇分别提取m元 和2m元作为爱
心基金用于资助该村特困户．若扣除爱心基金后的最大利润为28000元，则m的值为__________
（直接写出结果）．
【答案】（1） ， ；（2）销售完这批香菇和大米，至少可以获得
33000元的利润；（3）2.5
【分析】（1）根据题意，大米为 ，售价-成本=利润列出方程．
（2）根据一次函数 ，可知当 取得最小值时， 取最小值，列出方程即可求解．
（3）根据一次函数 ，可知当 取得最大值时， 取最大值，将题目中扣除部分 代入列
出方程即可求解．
【详解】（1）设香菇 袋，则大米为 袋，香菇利润为 元，大米利润为
元，由题意可列方程 ， ；
（2）在利润 ， 中∵ ， 随 的增大而增大，
∴当 时， 有最小值．
，
即销售完这批香菇和大米，至少可以获得33000元的利润．
（3）在利润 ， 中．
∵ ， 随 的增大而增大，
∴当 时， 有最大值为36000
此时香菇1200袋，米800袋．
由题意可列方程：扣除后利润
解得 =2.5
【点睛】本题考查一次函数的应用，需要注意根据一次函数 判断在何处取得最值，列出方程即
可求解．
8．某商场购进A、B两种服装共100件，已知购进这100件服装的费用不得超过7500元，且其中
A种服装不少于65件，它们的进价和售价如表．
服装 进价（元/件） 售价（元/件）
A 80 120
B 60 90
其中购进A种服装为x件，如果购进的A、B两种服装全部销售完，根据表中信息，解答下列问题．
（1）求获取总利润y元与购进A种服装x件的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）该商场对A种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的售价进行优惠促销活动，B种服装售价不
变，那么该商场应如何调整A、B服装的进货量，才能使总利润y最大？
【答案】（1）y＝10x+3000（65≤x≤75）；（2）方案1：当0＜a＜10时，购进A种服装75件，B
种服装25件；方案2：当a＝10时，按哪种方案进货都可以；方案3：当10＜a＜20时，购进A种
服装65件，B种服装35件．
【分析】（1）根据题意可知购进A种服装为x件，则购进B种服装为（100-x），A、B两种服装
每件的利润分别为40元、30元，据此列出函数关系式，然后再根据A种服装不少于65件且购进
这100件服装的费用不得超过7500元，求出x的取值范围即可；
（2）根据题意列出含有a的一次函数解析式，再根据一次函数的性质求解即可.
【详解】解：（1）∵80x+60（100﹣x）≤7500，解得：x≤75，
∴y＝40x+30（100﹣x）=10x+3000（65≤x≤75）；
（2）∵y＝（40﹣a）x+30（100﹣x）＝（10﹣a）x+3000，
方案1：当0＜a＜10时，10﹣a＞0，y随x的增大而增大，所以当x＝75时，y有最大值，则购进
A种服装75件，B种服装25件；
方案2：当a＝10时，无论怎么购进，获利相同，所以按哪种方案进货都可以；
方案3：当10＜a＜20时，10﹣a＜0，y随x的增大而减小，所以当x＝65时，y有最大值，则购进
A种服装65件，B种服装35件．
【点睛】一次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意列出一次函数解析式并熟练掌握
其性质是解题的关键.
9．某商店准备购进大、小两种书包共100个出售，每个大书包的进价比每个小书包的进价贵20
元，用2000元购进大书包的数量与用1500元购进小书包的数量一样，大书包每个售价120元，小
书包每个售价90元．设该商店计划购进大书包x个，两种书包全部销售完可获利y元．
(1)大书包进价为 元/个，小书包进价为 元/个；
(2)若购进这100个书包的总费用不超过7300元，且大书包不少于55个．
①求大书包最多购进多少个？
②受市场行情影响，实际销售过程中，该商店对大书包每个降价a元，小书包每个涨价a（0＜a＜
10）元，若销售完这100个书包可获得的最低利润为3520元，求a的值．
【答案】(1)80，60
(2)①65个；②3
【分析】（1）设大书包进价为x元/个，则小书包进价为（x﹣20）元/个，由题意：用2000元购
进大书包的数量与用1500元购进小书包的数量一样，列出分式方程，解方程即可；
（2）①设大书包购进m个，则小书包购进（100﹣m）个，由题意：购进这100个书包的总费用不
超过7300元，且大书包不少于55个．列出一元一次不等式组，解不等式组即可；②设大书包购
进m个，则小书包购进（100﹣m）个，利润为w元，由题意得：w=（10﹣2a）m+3000+100a，再
进行分类讨论，由一次函数的性质和一元一次方程求出a的值即可．
（1）
解：设大书包进价为x元/个，则小书包进价为（x﹣20）元/个，
由题意得： ，解得：x=80，
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，则x﹣20=80﹣20=60，即大书包进价为80元/个，小书包进价为60元/个，
故答案为：80，60；
（2）
解：①设大书包购进m个，则小书包购进（100﹣m）个，
由题意得： ，解得：55≤m≤65，
答：大书包最多购进65个；
②设大书包购进m个，则小书包购进（100﹣m）个，利润为w元，
由①得：55≤m≤65，
由题意得：w=（120﹣80﹣a）m+（90﹣60+a）（100﹣m）=（10﹣2a）m+3000+100a，
当10﹣2a≥0，即a≤5时，w随m的增大而增大，
∴m=55时，w的最小值=（10﹣2a）×55+3000+100a=3520，解得：a=3；
当10﹣2a＜0，即a＞5时，w随m的增大而减小，
∴m=65时，w的最小值=（10﹣2a）×65+3000+100a=3520，解得：a= ＜5（舍去）；
综上所述，a的值为3．
【点睛】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式组及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组及一
次函数表达式．
10．某商店销售一种产品，该产品成本价为 元/件，售价为 元/件，销售人员对该产品一个月（
天）销售情况记录绘成图象．图中的折线 表示日销量 （件）与销售时间 （天）之间的
函数关系，若线段 表示的函数关系中，时间每增加 天，日销量减少 件．
(1)第 天的日销量是______件，这天销售利润是______元；
(2)求 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围；(3)日销售利润不低于 元的天数共有多少天？销售期间日销售最大利润是多少元？
【答案】(1)325；650
(2)
(3)日销售利润不低于640元的天数共有18天，日销售利润最大，最大利润为 元
【分析】（1）根据题意“线段 表示的函数关系中，时间每增加 天，日销量减少 件”，已知
第22天的销售量，可求第25天的销售量；在根据：日利润=单件利润×日销售量，求出当天总利润；
（2）函数图象分为了两段，分别用待定系数法求出正比例函数和一次函数的表达式即可；
（3）已知日销售利润，可求日销售量，根据日销售量确定日期范围，即可知道日销售利润不低于
640元的天数；求出点D的坐标，代入即可求出最高销售量，即可求最大利润．
（1）
340-(25-22)×5=325(件)，
元 ；
故答案为： ； ．
（2）
设直线 的函数关系式为 ，
将 代入 ，
得： ，
解得： ．
直线 的函数关系式为 ．
设直线 的函数关系式为 ，
将 、 代入 ，
，
解得： ，
直线 的函数关系式为 ．联立两函数解析式成方程组，
，
解得： ，
点 的坐标为 ．
与 之间的函数关系式为 ．
（3）
件 ，
当 时，有 或 ，
解得： 或 ，
天 ，
日销售利润不低于 元的天数共有 天．
折线 的最高点 的坐标为 ， 元 ．
当 时，日销售利润最大，最大利润为 元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，熟练的掌握一次函数的图像和性质，会用待定
系数法求函数的解析式，根据图像和性质求点的坐标是解题的关键．
11．某服装店准备购进甲、乙两种服装出售，甲种每件售价120元，乙种每件售价90元．每件甲
服装的进价比乙服装的进价贵20元，购进3件甲服装的费用和购进4件乙服装的费用相等，现计
划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
（1）甲种服装进价为多少元/件？乙种服装进价为多少元/件？
（2）若购进这100件服装的费用不得超过7500元：
① 求甲种服装最多购进多少件？
② 该服装店对甲种服装每件降价 元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售
完，那么该服装店如何进货才能获得最大利润？
【答案】（1）甲种服装进价为80元/件，乙种服装进价为60元/件；（2）①甲种服装最多购进75
件；②当00，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=75时，w有最大值，即购进甲种服装75件，乙种服装25件；
当a=10时，所有进货方案利润相同；
当10
