文档内容
第 07 讲 实际问题与二元一次方程组、三元一次方程组的解
法（6 个知识点+6 种题型+强化训练）
知识导图
知识清单
知识点1．由实际问题抽象出二元一次方程
（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和
未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表
示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，
比例问题等中的有关公式．
知识点2．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
知识点3．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量
和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表
示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分
割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格
提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找
等量关系．
知识点4．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论
怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
知识点5．解三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都
是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组
中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次
方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系
数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，
求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
知识点6．三元一次方程组的应用
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数
就要找到几个等量关系列几个方程．
（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解
析式奠定基础．（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性．
知识复习
一．由实际问题抽象出二元一次方程（共6小题）
1．（2023春•靖江市期末）《孙子算经》中有个数学问题：今有三人共车，二车空；二人
共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最
终剩余2辆车；每二人乘一车，最终剩余9人无车可乘，问有多少人，多少辆车？在用二
元一次方程组解决该问题时，若已经列出的一个方程是 ，则符合题意的另一个
方程是
A． B． C． D．
【分析】根据列出的一个方程可找出 ， 表示的含义，再由“每二人乘一车，最终剩余9
人无车可乘”，即可得出关于 ， 的二元一次方程，此题得解．
【解答】解： 每三人乘一车，最终剩余2辆车，且列出的一个方程是 ，
表示人数， 表示车的辆数；
又 每二人乘一车，最终剩余9人无车可乘，
．
故选： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次
方程是解题的关键．
2．（2023春•荣成市期中）现有一段长为180米河道整治任务，由 ， 两个工程队先后
接力完成， 工程队每天整治12米， 工程队每天整治8米，共用时20天．小红将这个
实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数 ， ，已知列出一个方程为 ，
则另一个方程是 ．
【分析】根据列出的方程可以得出 是 工程队的工作量， 是 工程队的工作量，由
两工程队共用时20天可列出方程．【解答】解：根据题意得， 是 工程队的工作量， 是 工程队的工作量，
所以可得方程： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元
一次方程组是解题的关键．
3．（2023春•宿迁期末）若 的2倍与 的差是10，那么可用二元一次方程表示为
．
【分析】根据“ 的2倍与 的差是10”，即可列出关于 ， 的二元一次方程，此题得
解．
【解答】解：根据题意得： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次
方程是解题的关键．
4．（2023春•福清市期中）某人带了100元去市场买水果，他买了1千克的哈密瓜，2千
克的青提葡萄，还剩 30 元．设哈密瓜每千克 元，青提葡萄每千克 元，得方程
．则下列说法中，正确的是
A．1千克青提葡萄的价格可以是36元
B．若1千克哈密瓜的价格是12元，则1千克青提葡萄的价格是20元
C．若 是方程 的解，则 ， 都可以表示哈密瓜、青提葡萄的单价
D．若 ， 分别表示哈密瓜、青提葡萄的单价，则 ， 一定是方程 的解
【分析】根据题意和题目中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答
本题．【解答】解： 设哈密瓜每千克 元，青提葡萄每千克 元，得方程 ，
当 时， ，此种情况不合实际，故选选项 不正确；
当 时， ，解得 ，故选项 不正确；
若 是方程 的解，则 ， 不一定可以表示哈密瓜、青提葡萄的单价，如
， ，故选项 不正确；
若 ， 分别表示哈密瓜、青提葡萄的单价，则 ， 一定是方程 的解，故选
项 正确；
故选： ．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程、二元一次方程的解，解答本题的关键
是明确题意，利用二元一次方程的知识解答．
5．（2023春•通榆县期末）某体育用品商店在“6.18”期间进行优惠促销活动，促销规则
是由顾客抽奖决定折扣．小明同学在该商店买了一个篮球，一个排球．请你根据小明和收
银 员 的 对 话 所 提 供 的 信 息 ， 求 两 种 商 品 的 原 价 分 别 为 多 少 元 ？
【分析】设篮球的原价为 元，排球的原价为 元，根据“按九折和八折共付款363元，
两种商品原销售价之和为420元”列方程组，求解即可．
【解答】解：设篮球的原价为 元，排球的原价为 元，
根据题意，得 ，解得 ，
答：篮球的原价为270元，排球的原价为150元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并根据题意建立方程组是解题的关
键．
6．（2023春•威海期中）列方程组解应用题：
甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后3小时
相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2.5小时相遇．甲、乙两人每小时各走多少
千米？
【分析】设甲，乙速度分别为 ， 千米 时，根据甲乙两人从相距36千米的两地相向而
行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后3时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在
甲出发后2.5时相遇可列方程求解．
【解答】解：设甲，乙速度分别为 ， 千米 时，
，
解得： ，
甲的速度是3.6千米每小时，乙的速度是6千米每小时．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出甲乙的速度，以路程作为等量关系列方程
求解．
二．二元一次方程的应用（共6小题）
7．（2023春•集贤县期末）王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，
笔记本每本1.2元，王芳同学花了20元钱，则可供她选择的购买方案的个数为（两样都买，
钱恰好花完）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】设购买 支中性笔， 本笔记本，根据题意得出： ，进而求出即
可．
【解答】解；设购买 支中性笔， 本笔记本，根据题意得出：，
整理得： ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
综上所述，共有8种购买方案．
故选： ．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是弄清楚题意，找到题中的等
量关系，列出方程解答问题．
8．（2023春•南岗区校级月考）把一根长 的钢管截成 长和 长两种规格均有的短
钢管，且没有余料，设某种截法中 长的钢管有 根，则 的值有
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【分析】设 的钢管 根，由题意可列二元一次方程 ，根据 、 均为整数，求
解即可．
【解答】解：设 的钢管 根，
根据题意得： ，
、 均为整数，， ， ， ．
故选： ．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，正确的列方程并正确的运算是解题的关键．
9．（2023春•济南期中）为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲
活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突
出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有 5 个．
【分析】设购买甲种奖品 件，则乙种奖品的件数可以用 表示出来，由题意可以得到 的
取值范围，最后把满足条件的 值写出来即可得到解答．
【解答】解：设购买甲种奖品 件，则乙种奖品为 件，
由题意可得： ，解之可得： ，
当购买甲种奖品10件时，则购买乙种奖品3件；
当购买甲种奖品8件时，则购买乙种奖品6件；
当购买甲种奖品6件时，则购买乙种奖品9件；
当购买甲种奖品4件时，则购买乙种奖品12件；
当购买甲种奖品2件时，则购买乙种奖品15件；
故答案为：5．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元一次不等式组的列取和解答是
解题关键．
10．（2023•九龙坡区校级开学）春节期间，某超市热销甲、乙、丙三种坚果，其中每千克
甲、乙、丙坚果的成本价之比为 ．近段时间，超市打算将三种坚果组合后以礼盒的
方式进行销售，每个礼盒的成本分别为礼盒中甲、乙、丙三种坚果的成本之和，礼盒盒子
成本忽略不计．其中“玉兔迎福”礼盒装有甲坚果1.5千克、乙坚果1千克、丙坚果1千克；
“大展鸿兔”礼盒装有甲坚果1千克、乙坚果1.5千克、丙坚果1.5千克；“前兔似锦”礼
盒装有甲坚果2千克、乙坚果1千克、丙坚果2千克．销售时，每个“前兔似锦”礼盒在
成本价基础上提高 后销售，“玉兔迎福”、“大展鸿兔”礼盒的利润率都为 ．某天，
该超市售出这三种礼盒后获利 ，已知售出“玉兔迎福”、“前兔似锦”礼盒共22个，且“玉兔迎福”礼盒为正偶数个，则该超市当天售出“大展鸿兔”礼盒 1 6 个．
【分析】设每千克甲、乙、丙坚果的成本价分别为 ， ， ，然后用 表示出三种礼
盒的成本价和利润，根据该天的利润率为 ，列出方程，整理得出 ，根据
为正偶数， 为正整数求出结果即可．
【解答】解：设每千克甲、乙、丙坚果的成本价分别为 ， ， ，
则“玉兔迎福”礼盒的成本价为 元，
“大展鸿兔”礼盒成本价为： 元，
“前兔似锦”礼盒成本价为： 元，
每盒“前兔似锦”礼盒获利 元，
每盒“玉兔迎福”、“大展鸿兔”礼盒获利分别为： 元，
元，
设某天售出“玉兔迎福”礼盒为 盒，则售出“前兔似锦”礼盒 盒，该超市当天
售出“大展鸿兔”礼盒 盒，根据题意得： ，
整理得： ，
为整数，
，
解得： ，
“玉兔迎福”礼盒为正偶数个，
为偶数，
可能2，4，6，8，10，12，14，
，
只有当 时， 为正整数，符合题意，
当 取2，4，6，8，12，14时， 的值都不是正整数，不符合题意．故答案为：16．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出
方程，并主要 取正偶数， 取正整数这个条件．
11．（2023春•德化县期中）如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为
克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，
天平处于平衡状态．
（1）若 ，求天平处于平衡状态时 的值．
（2）若一个二元一次方程的解， ， 都是正整数，我们把 ， 称为该方程的正整
数解，如：方程 的正整数解为 ，求天平处于平衡状态下的 ， 的正整
数值．
（3）期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本
和圆珠笔的单价均为正整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求购买4
本笔记本和5支圆珠笔的费用．
【分析】（1）由题意得 ，再代入 得 ，即可得出结论；
（2）由题意得 ，求出正整数解即可；
（3）设笔记本的单价为 元，圆珠笔的单价为 元，根据购买5本笔记本，8支圆珠笔，
共需要120元，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意得： ，
，
，
解得： ，即 ，天平处于平衡状态时 的值为3.6；
（2）由题意得： ，
即 ，
整理得： ，
， 为正整数，
；
（3）设笔记本的单价为 元，圆珠笔的单价为 元，
由题意得： ，
整理得： ，
、 为正整数，
或 ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
答：购买4本笔记本和5支圆珠笔的费用为89元或82元．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题
的关键．
12．（2023春•德化县期中）问题情境：在数学活动课上，老师给出了两个二元一次方程：
和 ．
问题解决：（1）试用含 的代数式分别表示 ， ；当 时，
求 的值．
问题探究：（2）若有理数 ， 满足等式 ，求 ， 的值．问题拓展：（3）在（2）的条件下，如图，小明家 到学校 有两段公路 ， ，其
中 处有一图书馆，公路 长2400米，公路 长1800米，小明骑自行车从 出发以
米 分的速度匀速滑公路 ， 向 处行驶，小康跑步从 处出发以
米 分的速度匀速沿公路 ， 向 处行进．若小明从 处出发5分钟后，小康从 处
出发．那么小明出发多少分钟后两人在行进路线上相距120米？
【分析】（1）将代数式变形，用含 的式子表示 ， 即可，当 时，列出关于
的方程即可；
（2）根据绝对值和平方数的非负性，列出关于 ， 的方程即可求解；
（3）设小明出发 分钟后两人相距120米，分情况讨论列出相遇前和相遇后的方程，求解
即可．
【解答】解：（1） ，
，
，
，
；
，
解得： ；
故答案为： ， ；
（2） ，
且 ，解得： ， ；
（ 3 ） 当 相 遇 前 相 聚 120 米 ， 则
，
解得： ，
当相遇后相距120米，则 ，
解得： ，
相距120米时， 或 ．
【点评】本题主要考查二元一次方程以及代数式的求值，正确根据题意列出方程是解题关
键．
三．由实际问题抽象出二元一次方程组（共6小题）
13．（2024•大东区模拟）某品牌汽车经销商在7月份售出手动型和自动型汽车共900台，
8月份售出这两种型号的汽车共1145台，其中手动型和自动型汽车8月份的销售量分别比
7月份增长 和 ，问7月份销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？若设 7月份
销售的手动型和自动型汽车分别 台， 台，则可列方程组为
A．
B．
C．
D．
【分析】找到两个等量关系并列出方程组即可．
【解答】解：根据题意得：，
故选： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是找到等量关
系，难度不大．
14．（2024•广平县模拟）甲乙二人分别从相距 的 ， 两地出发，相向而行．如图
是小华绘制的甲乙二人运动两次的情形，设甲的速度是 ，乙的速度是 ，
根据题意所列的方程组正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据路程 速度 时间结合两次运动的情形，即可得出关于 、 的二元一次方
程组，此题得解．
【解答】解：设甲的速度是 ，乙的速度是 ，
依题意，得： ，
故选： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一
次方程组是解题的关键．
15．（2023春•临邑县期末）我国古代对于利用二元一次方程组解决实际问题早有研究，
《九章算术》中记载：“今有上禾三秉．益实六斗，当下禾十秉，下禾五秉，益实一斗，
当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？“其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子．有下等稻子五捆．若打出来的谷子再
加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等．下等稻子每捆能打多少斗谷子？
设上等稻子每捆能打 斗谷子，下等稻子每捆能打 斗谷子．根据题意可列方程组为
．
【分析】设上等稻子每捆打 斗谷子，下等稻子每捆打 斗谷子，分别利用已知“今有上
等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻
子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子”分别得出等量
关系求出答案．
【解答】解：设上等稻子每捆打 斗谷子，下等稻子每捆打 斗谷子，
根据题意可列方程组为： ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关
键．
16．（2023春•铜山区期中）足球表面由黑色五边形和白色六边形共32块拼成，且白皮块
数是黑皮块数的 倍．设黑皮块数是 ，白皮块数是 ，列出关于 、 的二元一次方程组
．
【分析】根据黑皮和白皮的总数为32，可得到白皮的数量，再根据这两个的数量之比为
，即可得到方程组即可．
【解答】解：设黑皮块数是 ，白皮块数是 ，根据题意可得： ，
故答案为： ．【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，找出题目中的等量关系是解题的关键．
17．（2023春•馆陶县期中）有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天
后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化 8亩，乙工程队每天绿
化12亩，一共用20天完成．
（1）设甲工程队绿化 天，乙工程队绿化 天，依题意可列方程组： ．
（2）设甲工程队绿化荒地 亩，乙工程队绿化荒地 亩，请列方程组求甲、乙两工程队分
别绿化荒地的亩数．
【分析】（1）设甲工程队绿化 天，乙工程队绿化 天，再由工作总量为180亩，工作总
时间为20天列方程组即可；
（2）设甲工程队绿化荒地 亩，乙工程队绿化荒地 亩，再由工作总量为180亩，工作总
时间为20天列方程组，再解方程组即可；
【解答】解：（1）设甲工程队绿化 天，乙工程队绿化 天，
则 ，
故答案为： ；
（2）设甲工程队绿化荒地 亩，乙工程队绿化荒地 亩，
则 ，
解得： ，
答：甲、乙两工程队分别绿化荒地120亩，60亩．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
18．（2023春•澄迈县期末）为打造南渡江南侧风光带，现有一段长为 350米的河边道路
整治任务由 、 两个工程队先后接力完成， 工程队每天整治15米， 工程队每天整
治10米，共用时30天．
（1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：甲： ；
乙： ；
根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数 ， 表示的意义，然后在方框
中补全甲、乙两名同学所列的方程组：
甲： 表示 工程队工作的天数 ， 表示 ；
乙： 表示 ， 表示 ；
（2）求 、 两工程队分别整治河道多少米？
【分析】（1）根据题意可得甲： 表示 工程队工作的天数， 表示 工程队工作的天数；
乙： 表示 工程队整治的河道长度， 表示 工程队整治的河道长度；
（2）解甲的方程组可得 ， 的值，进而可得 ， 两工程队分别整治河道的米数．
【解答】解：（1）根据甲、乙两名同学所列的方程组可知，
甲： 表示 工程队工作的天数， 表示 工程队工作的天数；
乙： 表示 工程队整治的河道长度， 表示 工程队整治的河道长度；
故答案为： 工程队工作的天数， 工程队工作的天数； 工程队整治的河道长度， 工
程队整治的河道长度；
（2）若解甲的方程组 ，
得： ，
， ，
答： 、 两工程队分别整治河道150米和200米．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出
题目中的等量关系，列出方程组．
四．二元一次方程组的应用（共6小题）
19．（2023春•湘潭县期末）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成
一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼
成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为 的小正方形，则每个小长方形的面积为
A． B． C． D．
【分析】设每个小长方形的长为 ，宽为 ，根据图形给出的信息可知，长方形的5
个宽与其3个长相等，两个宽 一个长 ，于是得方程组，解出即可．
【解答】解：设每个长方形的长为 ，宽为 ，由题意，
得 ，
解得： ．
．
故选： ．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等
量关系，列出方程组．
20．（2023春•鼎城区期末）某中学举行象棋比赛活动，通过抽签，甲、乙两名同学进行
对弈，已知甲在6盘结束后，以净胜乙2分的成绩取胜，比赛的积分规则是：每盘比赛胜
者得2分，负者得0分，和棋各得1分，则甲同学的总积分为 7 ．
【分析】由比赛的积分规则可知，每盘比赛两人共积2分，设甲同学的总积分为 分，乙
同学的总积分为 分，根据“甲在6盘结束后，以净胜乙2分的成绩取胜”，即可得出关
于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲同学的总积分为 分，乙同学的总积分为 分，
依题意得： ，解得： ，
甲同学的总积分为7分．
故答案为：7．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
21．（2023春•岱岳区校级月考）在长方形 中，放入5个形状大小相同的小长方形
（空白部分），其中 ， ，则阴影部分图形的总面积为 ．
A．27 B．29 C．34 D．36
【分析】设小长方形的长为 ，宽为 ，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次
方程组，求出 和 的值，即可解决问题．
【解答】解：设小长方形的长为 ，宽为 ，
根据题意，得： ，
解得： ，
每个小长方形的面积为 ，
阴影部分的面积 ，
故选： ．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
22．（2024•宁波模拟）某公司有一批货物需要分别寄到上海和北京．某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克部分的按千克计费．收费标准及实
际收费如表：
收费标准
目的地 起步价（元 超过1千克的部分（元 千克）
上海
北京
实际收费
目的地 质量（千克）
费用（元
上海 2 10
北京 3 23
则 8 ， ．
【分析】根据寄往上海和北京的快递的质量及所需费用，即可得出关于 ， 的二元一次
方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：依题意得： ，
解得： ，
答： 的值为8， 的值为2．
故答案为：8，2．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
23．（2024•海南一模）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决
定采购 ． 两种型号的新型垃圾桶．若购买3个 型垃圾桶和4个 型垃圾桶共需要
580元，购买6个 型垃圾桶和5个 型垃圾桶共需要860元，求两种型号垃圾桶的单价．
【分析】设两种型号的单价分别为 元和 元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即
可．
【解答】解：设 ， 两种型号的单价分别为 元和 元，
由题意： ，解得： ，
， 两种型号的单价分别为60元和100元．
【点评】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意，找准数量关系，准确建立相应
方程并求解是解题关键．
24．（2024•鞍山模拟）某商场用相同的价格分两次购进2匹和3两种型号的立地式空调，
两次购进情况如下表．
次
2匹（台 3匹（台 总通价（元
第一次 20 30 260000
第二次 10 20 160000
（1）求该商场购进2匹和3匹立地式空调的单价各为多少元？
（2）已知商场2匹立地式空调的标价为每台5400元，3匹立地式空调的标价为每台8400
元，两种立地式空调销售一半后，为了促销，剩余的2匹立地式空调打九折，3匹立地式
空调打八折全部销售完，问两种立地式空调商场获利多少元？
【分析】（1）根据表格中的数据可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以计算出两种立地式空调商场获利多少元．
【解答】解：（1）设该商场购进2匹立地式空调的单价为 元，3匹立地式空调的单价为
元．
由题意得： ，
解得 ，
答：该商场购进2匹立地式空调的单价为4000元，3匹立地式空调的单价为6000元；
（2）由题意可得，（元 ，
答：两种立地式空调售出后商场获利111900元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程
组．
五．解三元一次方程组（共6小题）
25．（2023春•泉州期末）若方程组 的解满足 ，则 0 ．
【分析】① ②得到与 有关的等式，再由 ，建立关于 的方程，解出 的
数值．
【解答】解： ，
① ②可得 ，
由 可得： ，
于是 ，
．
故本题答案为：0．
【点评】解答此题时要将 看作一个整体，将三元一次方程组转化为二元一次方程组来
解．
26．（2023春•乌鲁木齐期中）已知 ，当 时， ；当 时，
；当 时， ，求 、 、 的值．
【分析】将三组数值代入 列出三元一次方程组即可求出答案．
【解答】解：当 时， ；
，
当 时， ，，
当 时， ，
，
，
解得：
【点评】本题考查三元一次方程，解题的关键是熟练运用三元一次方程的解法，本题属于
基础题型．
27．（2023春•南召县期末）解三元一次方程组 ，如果消掉未知数 ，
则应对方程组变形为
A．① ③，① ② B．① ③，③ ② C．② ①，②
③ D．① ②，① ③
【分析】观察 的系数，利用加减消元法消去 即可．
【解答】解：解三元一次方程组 ，如果消掉未知数 ，
则应对方程组变形为② ①，② ③．
故选： ．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法
与加减消元法．
28．（2023春•叙州区月考）方程组 的解是 ．
【分析】直接利用代入消元法求解即可．【解答】解： ，
将①代入②得， ，
解得： ，
将①和 代入③得，
，
解得： ，
方程组的解为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，观察方程组，选用合适的方法解方程组是解题的
关键．
29．（2023春•遵化市期中）下列是三元一次方程组的是
A． B．
C． D．
【分析】如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一次，并
且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组；利用三元
一次方程组的定义逐项判断即可得到答案．
【解答】解：对于 选项，第二个方程中未知数 的次数是2，
故 选项中方程组不是三元一次方程组；
对于 选项，第一个方程中分母含有未知数，故 选项中方程组不是三元一次方程组；
对于 选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3，
故 选项中的方程组不是三元一次方程组；
对于 选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，
故 选项中的方程组是三元一次方程组．
故选 ．
【点评】本题考查了三元一次方程组，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键．本题侧
重考查知识点的记忆能力．学生在日常学习中应从以下1个方向 【数学抽象】 培养对知
识点的记忆能力．
30．（2023春•德宏州期末）阅读材料：
我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系
列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项
排成一个矩阵的形式，规定：关于 ， 的二元一次方程组 可以写成矩阵
的形式．例如： 可以写成矩阵 的形式．
根据以上信息解决下列问题：
（1）请求出矩阵 对应的方程组的解；
（2）若矩阵 所对应的方程组的解为 ，求 的值．
【分析】（1）由题意得：矩阵 对应的方程组为 ，计算求解即可；
（2）由矩阵 所对应的方程组的解为 ，可得 ，①② ③得， ．
【解答】解：（1）由题意得：矩阵 对应的方程组为 ，
解得： ，
矩阵 对应的方程组的解为 ；
（2） 矩阵 所对应的方程组的解为 ，
将 代入 ，
得 ，
① ② ③得， ．
【点评】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三元一次方程组的解．解
题的关键在于理解题意并正确的运算．
六．三元一次方程组的应用（共6小题）
31．（2023春•赣榆区期末）一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，
某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共
有
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【分析】首先设宾馆有客房：二人间 间、三人间 间、四人间 间，根据题意可得方程组： ，解此方程组可得 ，又由 ， ， 是非负整数，即
可求得答案．
【解答】解：设宾馆有客房：二人间 间、三人间 间、四人间 间，根据题意得：
，
解得： ，
，
， ， 都是小于9的正整数，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ，
当 时， （不符合题意，舍去）
租房方案有3种．
故选： ．
【点评】此题考查了三元一次不定方程组的应用．此题难度较大，解题的关键是理解题意
根据题意列方程组，然后根据 ， ， 是整数求解，注意分类讨论思想的应用．
32．（2023春•涟源市月考）如图，边长为 的两个正方形靠边各放置两个边长为 ， 的
长方形，然后分别以 ， 构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得 的值是A． B． C． D．
【分析】根据两个图形分别可得 ， ，联立方程组求解即可．
【解答】解：由题意得： ，
① ②得： ，
解得： ，
故选： ．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是
解题的关键．
33．（2023春•邓州市期中）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先
按图①所示的方式放置，图示距离为 ；再交换两木块的位置，按图②所示的方式放
置，图示距离为 ，则桌子的高度等于 8 5 ．
【分析】根据“按图①所示的方式放置，图示距离为 ”和“图②所示的方式放置，
图示距离为 ”列方程组求解．
【解答】解：设桌子的高度为 ，长方体木块的长为 ，宽为 ，
则： ，
① ②得： ，
解得： ，故答案为：85．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．
34．（2023春•浉河区期末）请阅读下面对话，并解答问题：
一天晚饭后小明与隔壁小店老板闲聊，小店老板说：我经销 、 两种商品． 、 两种
商品的进货单价之和为5元； 商品零售价比进货单价多1元， 商品零售价比进货单
价的2倍少1元，按零售价购买 商品3件和 商品2件，共19元．你知道 、 两
种商品的进货单价各多少元吗？小明想了想很快回答了小店老板的问题．并给小店老板
出了个问题：上次我去逛超市，买甲、乙、丙三样商品，拿了 4件甲商品，7件乙商品，
1件丙商品，结果售货员告诉我共8元，我没带那么多钱，就改成了买2件甲商品，3件
乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我要6元，可我钱还是不够，我算了算，我的钱
恰好够买甲、乙、丙商品各一件，你知我那天带了多少钱吗？小店老板晕了，叹道：这
我那知呀！后生可畏，后生可畏啊！
问题：
（1）你知小明是怎样求解小店老板的问题的吗？请写出求解过程．
（2）小明给老板的问题真的不能解决吗？若能解，请写出求解过程．
【分析】（1）设 商品进货价 元， 商品进货价 元，则 商品零售价为 元，
商品零售价为 元，利用 、 两种商品的进货单价之和为5元得到 ；
利用零售价购买 商品3件和 商品2件，共19元得 ，然后组成
二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）设甲商品售价为 元，乙商品售价为 元，丙商品售价为 元，利用题意列方程组
，然后利用加减法计算 的值即可．
【解答】解：（1）设 商品进货价 元， 商品进货价 元，
根据题意得 ，解得 ．
答： 、 两种商品的进货单价分别为2元，3元；
（2）设甲商品售价为 元，乙商品售价为 元，丙商品售价为 元，
根据题意得 ，
① ②得 ，则 ③，
② ③得 ．
答：小明那天带了5元钱．
【点评】本题考查了三元一次方程组：在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个
未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
35．（2022•江北区校级期末）某生鲜店推出了 、 、 三类蔬菜包以方便居家生活的
市民购买， 、 、 三类蔬菜包内均由萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜搭配而成，每袋蔬菜
包的成本也均为萝卜、白菜、洋葱三种蔬菜成本之和．每袋 蔬菜包有5公斤萝卜、4公
斤白菜、6公斤洋葱；每袋 蔬菜包有7公斤萝卜、2公斤白菜、3公斤洋葱．已知每袋
的成本是该袋中萝卜成本的3倍，利润率为 ，每袋 的成本是其售价的 ，每袋
的利润是每袋 利润的 ．若该生鲜店1月2日当天销售 、 、 三种蔬菜包袋数之比
为 ，则当天该生鲜店销售 、 、 三种蔬菜包的总利润与总成本的比值为
．
【分析】设萝卜、白菜、洋葱的成本分别为 元、 元、 元，根据题意可求 的成本为
（元 ，利润为 （元 ， 的利润为 （元 ，成本为
（元 ，设 的成本为 元，利润为 元，由题意可得 ，
则 ，再求出1月2日的总利润为： 元，总成本为： 元，则 即为所求．
【解答】解：设萝卜、白菜、洋葱的成本分别为 元、 元、 元，
每袋 的成本是该袋中萝卜成本的3倍，
，
，
的成本为 （元 ，利润为 （元 ，
每袋 的利润是每袋 利润的 ，
的利润为 （元 ，成本为 （元 ，
设 的成本为 元，利润为 元，
每袋 的成本是其售价的 ，
，
，
月2日当天销售 、 、 三种蔬菜包袋数之比为 ，
月 2 日 的 总 利 润 为 ： 元 ， 总 成 本 为 ：
元，
，
当天该生鲜店销售 、 、 三种蔬菜包的总利润与总成本的比值为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查三元一次方程组的应用，弄清题意，通过所给的条件，理顺各量之间的
关系，列出方程是解题的关键．36．（2023春•阳泉期末）综合与实践
课 设计裁切方案
题
素 如图1所示是一把学生椅，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背
材 与椅座的尺寸示意图．
1
素 因学校需要，某工厂配合制作该数学生椅，经清点库存发现，工厂仓库已有大
材 量的学生椅铁架，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该数学生椅的椅背
2 与椅座，再与铁架进行组装．已知该工厂购进的板材长为 ，宽为
（裁切时不计损耗）．
我 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请
是 你设计出一块该型号板材
板 的所有裁切方法．
材
方法一：裁切椅背15个和
裁 椅座0个；
切
方法二：裁切椅背8个和
师
椅座 4 个；
方法三：裁切椅背 个
和椅座8个．
任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110块该型
号板材，最多能制作成多
少把学生椅．
任务三 解决实际问题 现需要制作2000把学生
椅，该工厂仓库现有260
个椅座和80个椅背，还需
要购买该型号板材多少块
（恰好全部用完）？并给
出一种裁切方案．
【分析】任务一：根据板材长为300 列式计算即可；
任务二：由板材刚好用完，且椅背和椅座数量相等时，能制作最多数量的学生椅，可知
方法二和方法三各裁五块，方法一裁一块时刚好配套，此时共用11块板材，能制作成
60把学生椅，然后可得答案；任务三：先计算出还需要多少椅座和椅背，再计算一共需要的总长度，除以300即为需
要该型号板材的数量，假设用方法一裁切 块，用方法二裁切 块，用方法三裁切 块
， ， 均为自然数），由题意列出方程组，求解即可．
【解答】解：任务一：由题意得： （个 ， （个 ，
方法二：裁切椅背8个和椅座4个；方法三：裁切椅背1个和椅座8个；
故答案为：4，1；
任务二： 方法二可以裁切出椅背8个和椅座4个，方法三可以裁切出椅背1个和椅座
8个，
方法二和方法三各裁一块时，能得到椅背9个和椅座12个，
又 当板材刚好用完，且椅背和椅座数量相等时，能制作最多数量的学生椅，
方法二和方法三各裁五块，方法一裁一块时刚好配套，
此时共用11块板材，裁出60个椅背和60个椅座，即能制作成60把学生椅，
若该工厂购进110块该型号板材，最多能制作成600把学生椅；
任务三： （个 ， （个 ，
需裁出1740个椅座，1920个椅背，
（块 ，
恰好全部用完时，需要购买该型号板材331块，
设用方法一裁切 块，用方法二裁切 块，用方法三裁切 块 ， ， 均为自然数），
由题意得： ，
整理可得： ，
当 时，则 ， ，
答：需要购买该型号板材331块，裁切方案可以是：用方法一裁切113块，用方法二裁
切1块，用方法三裁切217块．（裁切方法不唯一）．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．
强化训练
一、单选题
1．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）两位同学在解方程组 时，甲同学正
确地解出 ，乙同学因把c抄错了解得 ，则a、b、c正确的值应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】把 代入方程 中求出c的值，再把 和 分别代入方
程 中得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：把 代入方程 中得 ，解得 ，
把 和 分别代入方程 得 ，
解得 ，
故选:C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键是理解题意得出正确的
方程组．
2．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）已知关于 的二元一次方程组 的解为
整数，且关于 的方程 的解为非负数，求满足条件的所有整数 的和为（ ）A．2 B．4 C．9 D．11
【答案】A
【分析】本题考查了已知二元一次方程组和一元一次方程的解，求解参数.正确求解方程或
方程组是解题关键．
【详解】解：
得： ，
解得：
将 代入②得： ，
解得：
∴原二元一次方程组的解为：
解方程 得：
∵关于 的方程 的解为非负数，
∴ ，
∴
∵关于 的二元一次方程组 的解为整数，
∴
综上所述：
∴满足条件的所有整数 的和为：
故选：A
3．（22-23七年级下·湖南益阳·期中）一个学生有中国邮票和外国邮票共325张，中国邮票的张数比外国邮票的张数的2倍少2张，这个学生有中国邮票和外国邮票各多少张?（ ）
A．110，215 B．216，109 C．108，217 D．214，111
【答案】B
【分析】设外国邮票有x张，中国邮票有y张，根据中国邮票和外国邮票共325张，中国
邮票的张数比外国邮票的张数的2倍少2张，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设外国邮票有x张，中国邮票有y张，根据题意得：
，
解得： ，
即外国邮票有109张，中国邮票有216张，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程
组．
4．（22-23七年级下·河北唐山·期中）春节前夕，某旅游景区的成人票和学生票均打折，李
凯同学一家( 个成人和 个学生)去了该景区，门票共花费 元，王玲同学一家( 个成人
和 个学生)去了该景区，门票共花费 元，则赵芸同学和妈妈去该景区游玩时，门票需
要花费( )
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】A
【分析】设成人票是 元 张，学生票是 元 张，根据“李凯同学一家 个成人和 个学
生 去了该景区，门票共花费 元，王玲同学一家 个成人和 个学生 去了该景区，门
票共花费 元”列出方程组，求得 的值即可．
【详解】解：设成人票是 元 张，学生票是 元 张，
依题意得：
，
② ①得： ．
即赵芸同学和妈妈去该景区游玩时，门票需要花费 元．
故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．此题属于含有两个未知数的应用题，这类题
用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为 ,另一个未知数用
含 的式子来表示，进而列并解方程即可．
5．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）五四青年节某校举办歌咏比赛，为鼓励本班同
学们积极参加，刘老师花了48元钱买了甲、乙两种（两种都买）碳素笔作为奖品．已知甲
种碳素笔每支6元，乙种碳素笔每支4元，则老师购买碳素笔的方案共有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设刘老师购买x本甲种碳素笔， 本乙种碳素
笔，利用总价 单价 数量，可得出关于 ， 的二元一次方程，结合 ， 均为正整数，
即可得出张老师购买碳素笔的方案共有3种．
【详解】解：设刘老师购买 本甲种碳素笔， 本乙种碳素笔，
根据题意得： ，
是正整数，
∴ 或 或
∴刘老师购买碳素笔的方案共有3种．
故选：B．
6．（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据加减消元法求解即可．
【详解】解： ，由 得： ，
解得： ．
由 得： ，
解得： ．
由 得： ，
解得： ．
故原方程组的解为 ．
故选D．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题关键．
7．（22-23七年级下·全国·课时练习）三角形ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应
点P 的坐标为（b，2a－1），已知A（3，2）在经过此次平移后对应点A 的坐标为（5，
1 1
－1），则点P的坐标是（ ）
A．（0，2） B．（2，－1）
C．（4，6） D．（7，2）
【答案】A
【解析】略
8．（22-23七年级下·全国·课时练习）在长为10m、宽为8m的长方形空地上，沿平行于长
方形各边的方向分割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则花圃的面积
和为（ ）
A．16m2 B．8m2 C．32m2 D．24m2
【答案】D
【解析】略
9．（22-23七年级下·山东聊城·期末）某份资料计划印制10000份，该任务由A，B两台印
刷机先后接力完成，A印刷机印制160份 ， 印刷机印制210份 ．两台印刷机完成该
任务共需 ，甲、乙两人所列的方程组如表所示，下列判断正确的是（ ）乙
甲
解：设A印刷机印制了 份， 印刷机印制
解：设A印刷机印制了 ， 印刷机印制
了 份．
了 ．
由题意，得 由题意，得
A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确
C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确
【答案】C
【分析】根据两台印刷机完成该任务共需 和资料计划印制10000份，即可列出二元一
次方程组．
【详解】解：∵两台印刷机完成该任务共需 ，
∴可列方程 ；
∵资料计划印制10000份，
∴可列方程 ，
∴甲和乙列的方程组都正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一
次方程组是解题的关键．
10．（22-23七年级下·全国·课时练习）作业本中有这样一道题：“小明去郊游，上午8时
30分从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息 后沿原路返回，
正好下午3时到家．若他平路每小时走 ，登山每小时走 ，下山每小时走 ，求
小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损： 则答案
中另一个方程应为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】略
二、填空题
11．（22-23七年级下·陕西西安·期末）有一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为
9，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大 ．设原两位数的个
位数字为x，十位数字为y，根据题意得方程组： ．
【答案】
【分析】如果设原两位数的个位数字为 ，十位数字为 ，那么原两位数可表示为 ．
此题中的等量关系有：①有一个两位数，它的两个数字之和为 可得出方程 ；②根
据“把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大 ”，可得出方程为
．
【详解】解：原两位数可表示为 ，新两位数表示为 ．
根据题意得方程组为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方
程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组，本题要注意
两位数的表示方法．
12．（22-23七年级下·河南鹤壁·期中）把10个相同的长方形拼接成一个大长方形（尺寸如
图所示），这个小长方形的宽为 ．
【答案】12
【分析】设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，由题意列出方程组，解方程组，即可得出答案．
【详解】解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，
由题意得： ，
解得： ，
∴这个小长方形的宽为 ，
故答案为：12
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组应用，解答本题关键是弄清题意，看懂图示，找
出合适的等量关系，列出方程组．并弄清小长方形的长与宽的关系．
13．（22-23七年级下·重庆江津·期中）关于 ， 的二元一次方程组 的解
满足 ，则满足条件的 值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，将 ，得出
，再根据方程组的解满足 列出方程并解答即可．能选择适当的方法求
解是解此题的关键．
【详解】
解：
，得
∵关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，
解得：
故答案为： ．
14．（22-23七年级下·辽宁铁岭·期末）小明、小颖、小亮玩飞镖游戏，他们每人投靶5次，
中靶情况如图所示，规定投中同一圆环得分相同，若小明得分21分，小亮得分17分，则小颖得分为 ．
【答案】
【分析】设投中小圆内得 分，投中圆环内得 分，根据题意列出二元一次方程组，
得， ，进而即可求解．
【详解】解：设投中小圆内得 分，投中圆环内得 分，依题意，
得，
∴小颖的得分为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
15．（22-23七年级下·重庆江津·期中）对x，y定义一种新运算T，规定：
（其中 、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：
，且 ， ．则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了二元一次方程组，将题中所给的数据代入可得关于 的二元一次方
程组，解方程组即可，理解题意是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得 ， ，可得方程组 ，
解得 ，
，
故答案为：4．
16．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）甲、乙、丙三人到超市购零食，甲买薯片3包、饼
干2袋、糖果1盒，花费24元；乙买薯片1包、饼干4袋、糖果2盒，花费23元，那么丙
买薯片4包，花费 元．
【答案】20
【分析】设薯片每包 元，饼干每袋 元，糖果每盒 元，根据题意可列
，由 解得 ，即可求解．
【详解】解：设薯片每包 元，饼干每袋 元，糖果每盒 元，
由题意可得： ，由 得： ，解得 ，
∴丙买薯片4包花费 元，
故答案为：20．
【点睛】本题考查三元一次方程的应用，由 进行整体消元是解决问题的关键．
17．（22-23七年级下·湖南常德·期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我
像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的
年龄是 岁．
【答案】29
【分析】设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，根据题意可得等量关系：老师今年的
年龄−学生今年的年龄=学生今年的年龄 ；老师42岁−老师今年的年龄=老师今年的年龄
−学生今年的年龄，根据等量关系列出方程，即可解答．
【详解】解：设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，由题意得： ，
解得： ，
故数学老师今年的年龄是29岁，
故答案为：29．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题
目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
18．（22-23七年级下·吉林松原·期末）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一
个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，乙说得甲九
只，两家之数相当，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．
如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，
问：甲乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，可列方程组为
．
【答案】
【分析】设甲有羊x只，乙有羊y只，根据如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；
如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得
解．
【详解】解：设甲有羊x只，乙有羊y只．
∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，
∴ ；
∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，
∴ ．
联立两方程组成方程组 ．
故答案为： ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一
次方程组是解题的关键．
三、解答题
19．（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）用方程组解决问题：
某校初一（1）班30名同学为“希望工程”捐款，共捐款300元，捐款情况如下表：
捐款/元 2 5 10 15
人数 5 10
问：捐5元和10元的人数各是多少？
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设
两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．设
捐5元有x人，捐10元有y人，根据捐款钱数和人数分别列方程组成方程组求解即可．
【详解】设捐5元有x人，捐10元有y人，
由题意得： ，
解得 ．
答：捐5元和10元的人数分别是2人和13人．
20．（22-23七年级下·海南海口·阶段练习）已知 ，当 时， ；当 时，
，求 和 的值．
【答案】 ，
【分析】本题考查了解二元一次方程组；根据题意得出方程组 ，解方程组，即可
求解．
【详解】解：把 ， ； ， 代入 中得： ，
解得： ．
21．（22-23七年级下·贵州铜仁·阶段练习）阅读以下内容：已知x，y满足 ，且
，求m的值．
三位同学分别提出了自己的解题思路：
甲同学：先解关于x，y的方程组 ，再求m的值；
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值；
丙同学：先解方程组 ，再求m的值．
(1)你最欣赏______（填写“甲”或“乙”或“丙”）的思路；
(2)根据你所选的思路解答此题．
【答案】(1)乙（任选一种皆可）
(2)
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元
法或加减消元法消去一个未知数．
（1）根据题意求解即可；
（2）根据乙同学的思路求解即可．
【详解】（1）∵乙同学是利用整体思想求解，运算更简便，
∴最欣赏乙的思路；
故答案为：乙；
（2）∵ ，∴ 得， ，
∴ ，
∵x，y满足 ，
∴ ，
∴ ．
22．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）甲和乙两人同解方程组 ，甲因抄错了
a，解得 ，乙因抄错了b，解得 ，求 的值．
【答案】1
【分析】本题考查了二元一次方程组的错解问题，求代数式的值，正确审题，清楚方程组
的解是哪一个方程的正确解，代入计算即可．
【详解】解：由题意 ，是 的解，得 ，
解得： ，
又 是 的解，得 ，
解得： ，
．
23．（22-23七年级下·四川遂宁·阶段练习）关于x的代数式 ，当 时，其值
为 ；当 时，其值为3；当 时，其值为35；
(1)求a，b，c的值
(2)当 时，求代数式 的值．
【答案】(1) ， ，
(2)16【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的三元一次方程组，进行计算即可解答；
（2）根据（1）中算出的a，b，c，得到代数式，然后令 代入计算即可．
【详解】（1）解：由题意得： ，
得： ，
得： ，
得： ，
得： ，
解得： ，
把 代入④得： ，
解得： ，
把 ， 代入①得： ，
解得： ，
∴原方程组的解为： ，
（2）当 时， ，
∴ 的值为16．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组是解题的关键．
24．（22-23七年级下·贵州铜仁·阶段练习）印江河是印江的母亲河，为了确保河道畅通，
现需要对一段长为180米的河道进行清淤处理，清淤任务由A、B两个工程队先后接力完成，
A工程队每天完成12米，B工程队每天完成8米，共用时20天．
根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
甲： 乙：
(1)根据甲同学所列的方程组，请你指出未知数x、y表示的意义．x表示______，y表示______；请你补全乙同学所列的方程组______
(2)求A、B两工程队分别完成河道清淤多少米？（写出完整的解答过程）
【答案】(1)x表示A工程队工作的天数，y表示B工程队工作的天数，
(2)A工程队完成河道清淤60米，B工程队完成河道清淤120米
【分析】本题主要考查利用基本数量关系：A工程队用的时间+B工程队用的时间 天，
A工程队整治河道的米数+B工程队整治河道的米数 ，运用不同设未知数的方法列出
不同的方程组解决实际问题是解本题的关键．
（1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间+B工程队用的时间 天，A工程队
整治河道的米数+B工程队整治河道的米数 ，由此进行解答即可；
（2）选择其中一个方程组解答即可．
【详解】（1）解：甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，
由此列出的方程组为 ；
乙同学：A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y，
由此列出的方程组为 ；
故答案为： A工程队工作的天数，B工程队工作的天数， ；
（2）解：选择甲同学的思路：依据题意得： ，解得：
答：A工程队完成河道清淤60米，B工程队完成河道清淤120米．
若选择乙同学的思路：依据题意得： ，解得答：A工程队完成河道清淤60米，B工程队完成河道清淤120米．
25．（22-23七年级下·贵州黔南·期中）在平面直角坐标系中，定义：对于一点A（a，
b），实数k，若点B的坐标为（ka，b+k），则点B称为点A的“k—平移点”．
(1)点 的“ —平移点”是_______．
(2)若点 的“3—平移点”恰好在x轴上，求点Q的坐标．
(3)若点 的“k—平移点”为点 ， ，在y轴上存在点C，使得
三角形 的面积等于5，请直接写出点C的坐标________．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 或
【分析】（1）根据“k—平移点”的定义求解即可；
（2）先求出点Q的3—平移点”，再根据x轴上点的坐标特征求出m的值即可求解；（3）设 ，先根据点 的“k—平移点”为点 ， 求出a，
b，k的值，进而求出点A和点B的坐标，然后根据三角形 的面积等于5列方程求解即
可．
【详解】（1）∵ ， ，
∴点 的“ —平移点”是 ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴点 的“3—平移点” ，
∵点 恰好在x轴上，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ；
（3）∵点 的“k—平移点”为 和 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
如图，作 于点D，
则 ．
三角形 的面积等于5，∴ ，
解得 ，
∴ 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形的性质，坐标轴上点的坐标特征，以及三元一次
方程组的应用，数形结合是解答本题的关键．
26．（22-23七年级下·湖南长沙·期中）规定：对于平面直角坐标系 中任意一点 ，
若 ，即此点的纵坐标是横坐标的两倍，此时我们称点 为“雅赞点”．例如：
对于点 ，它的纵坐标2是横坐标1的2倍，所以点 是“雅赞点”．
(1)以下各点：① ② ③ 中“雅赞点”是________（填序号即可）；
(2)若点 是“雅赞点”，且A点向右平移3个单位后得到B点，B点到坐标轴的
距离相等，求此时“雅赞点”A点的坐标；(3)已知“雅赞点” ， ，关于x，y的方程组 与
有相同的解．
①用含 的式子表示 和 ；
②若对于任意k，等式 恒成立，求此时 的值．
【答案】(1)①③
(2)
(3)① ；②
【分析】（1）根据定义进行判断即可求解；
（2）根据题意得出 ，平移后的坐标为 ，根据B点到坐标轴
的距离相等，列出方程，解方程即可求解；
（3）①根据同解方程组得出 ，根据新定义得出 ，代入方程组
，解方程组即可求解；
②根据等式 恒成立，得出 ，得出 ，
与 代入代数式，即可求解．【详解】（1）解：∵ ，
∴① ② ③ 中“雅赞点”是①③，
故答案为：①③．
（2） 点 是“雅赞点”
向右平移 个单位后得到
；
（3）①由题意得 与 有相同的解
；
“雅赞点”
，
，
，
② ，
，
，
对于任意 恒成立，，
，
又 ，
，
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，解二元一次方程组，代数式求
值，整式加减中无关类型，理解新定义熟练掌握是解题的关键．
