文档内容
第 09 讲 一元一次不等式（5 个知识点+5 种题型+强化训
练）
知识导图
知识清单
知识点1．一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不
同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未
知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．
知识点2．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移
项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他
都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号
与等号合写形式．知识点3．一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到
下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数
形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
知识点4．由实际问题抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低
于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
知识点5．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以
得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现
问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
知识复习
一．一元一次不等式的定义（共6小题）
1．（2023春•涪城区期末）下列不等式中，① ；② ；③ ；④
；⑤ ，其中一元一次不等式有 个．
2．（2023春•清原县期末）下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．
根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是A． B． C． D．
3．（2023春•万秀区校级期中）若不等式 是一元一次不等式，则 的值为
A． B．1 C． D．0
4．（2023春•江门期末）以下是一元一次不等式的是
A． B． C． D．
5．（2023春•荔城区校级月考）已知 是关于 的一元一次不等式，则
．
6．下列各式中，哪些是一元一次不等式？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
（9） ．
二．解一元一次不等式（共9小题）
7．（2023•三江县校级一模）把不等式 的解集在数轴上表示出来，则正确的是
A． B．C． D．
8．（2023春•仁寿县校级期中）不等式 的解为
A． B． C． D．
9．（2023春•仁寿县校级期中）若方程 的解是非负数，则 的取值范围是
．
10．（2023春•惠阳区校级期中）如果 的值是非负数，则 的取值范围是 ．
11．（2023春•曲靖期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值
范围是
A． B． C． D．
12．（2023春•荔城区校级月考）已知关于 的方程 的解是负数．
（1）求 的取值范围；
（2）当 取最小整数时，解关于 的不等式：
13．（2023春•彭山区校级期中）已知关于 、 的方程组 ，满足 ，
则下列结论：① ；② 时， ；③当 时，关于 、 的方程组
的解也是方程 的解；④若 ，则 ，其中正确的有 ．
（填序号）
14．（2023春•偃师市校级期中）（1）解不等式： ；
（2）解方程： ．15．（2023春•阳泉期末）下面是小林同学解一元一次不等式 的过程，请
认真阅读并完成相应的任务．
解：去分母，得 ． 第一步
去括号，得 ． 第二步
移项，得 ． 第三步
合并同类项，得 ． 第四步
系数化为1，得 ． 第五步
任务一：①以上解题过程中，第一步的依据是 ；
②第 步开始出现错误，这一步具体的错误是 ；
任务二：请你直接写出正确的结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习方法和经验，就解不等式的过程写出一
条注意事项．
三．一元一次不等式的整数解（共8小题）
16．（2023春•南岳区校级期中）下列说法中，正确的是
A．不等式 的解集是
B． 是不等式 的一个解
C．不等式 的整数解有无数个
D．不等式 的正整数解有4个
17．（2023春•丰泽区校级期中）关于 的不等式 的最小整数解是 ．
18．（2023春•市中区期中）定义新运算：对于任意实数 ， 都有 ⊕ ，如：
2 ，那么不等式4 的正整数解的个数是
⊕ ⊕
A．1 B．2 C．3 D．4
19．（2023春•南关区校级期中）不等式 的正整数解的和为 ．
20．（2023春•市中区期中）解不等式 ，并写出它的所有正整数解．
21 ． （ 2023 春 • 佳 木 斯 期 末 ） 我 们 定 义 一 种 新 运 算 ： ， 如，则关于 的不等式 的最大整数解为 ．
22．（2023春•洛江区期中）已知关于 的方程 的解是非负数．
（1）求 的取值范围；
（2）当 取最大整数时，求关于 的不等式： 的最小整数解．
23．（2023春•琼海校级期末）计算：
（1） ；
（2）解不等式 ，并写出其非负整数解．
四．由实际问题抽象出一元一次不等式（共8小题）
24．（2023春•息县期末）如图所示的交通标志为一条公路某路段上汽车的最高时速不得
超过 ，若某汽车的时速为 ，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是
A． B． C． D．
25．（2023春•九台区校级期中）用不等式表示“ 的2倍与3的差大于0” ．
26．（2023春•兴文县期中）小丽今年的身高 超过了 ，则用不等式表示小丽今年
的身高是
A． B． C． D．
27．（2023春•卢龙县期末）“ 的2倍与3的差不大于6”，用不等式表示是 ．
28．（2023春•余干县月考）今年植树节，小青和小贤栽种了一棵树，此树的树围（树
干的周长）为 ．已知此树树围平均每年增长 ，若生长 年后此树树围超过
，则可列关于 的不等式为 ．29．（2023•浑江区一模）如图1，一个容量为 的杯子中装有 的水，将四颗
相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图2．设每颗玻璃球的体积为 ，根据
题意可列不等式为
A． B． C． D．
30．（2023春•铁西区期末）星期天，小明骑自行车去姥姥家，每小时走 ，出发1小
时后，小明的爸爸发现小明忘记带家里的钥匙，立即骑摩托车去送，小明的爸爸至少以怎
样的速度，才能在20分钟内追上小明？
31．（2023春•信都区期末）已知“ 的 与 的2倍的差大于 与10的和”．
（1）试用不等式表示上述不等关系；
（2）解（1）中的不等式，并在数轴表示此不等式的解集．
五．一元一次不等式的应用（共8小题）
32．（2023春•田东县期末）如图，天平右盘中的每个砝码的质量为 ，则物体 的质
量 的取值范围在数轴上可表示为A． B．
C． D．
33．（2023春•东营区校级期中）某大学举办“学习强国”知识竞赛，规定答对一题得 20
分，答错一题扣10分，在8道必答题中，得分不低于100分即可进入下一轮，冉冉进入了
下一轮，则冉冉答错题数最多为 ．
34．（2023春•滕州市校级期中）某种笔记本原售价是每本7元，凡一次购买3本或以上可
享受优惠价格，第1种：3本按原价，其余按七折优惠；第2种：全部按原价的八折优惠，
若想在购买相同数量的情况下，要使第1种比第2种更优惠，则至少购买笔记本是
A．7本 B．8本 C．9本 D．10本
35．（2023春•海安市校级期中）商店为了对某种商品促销，将定价为5元的商品，以下
列方式优惠销售：若购买不超过五件，按原价付款；若一次性购买五件以上超过部分打八
折，现有48元，最多可以购买该商品的件数为 件．
36．（2023春•霍州市期中）为了有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校高度
重视学生体育锻炼，并不定期举行体育比赛已知在一次足球比赛中计分规则是：胜一场积
3分，平一场积1分，负1场积0分，若甲队比赛了5场，其中负1场，积分超过7分，则
甲队至少胜了 场．
37．（2023春•抚顺期末）某服装厂生产一批服装和领带，服装每套定价 300元，领带每
条的定价为50元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供了如下两种优惠方案：
方案一：购买一套服装赠送一条领带；
方案二：服装和领带均按定价的九折出售．
某商店老板现要到服装厂采购服装30套，领带 条，请根据 的不同情况，帮助商
店老板选择最省钱的方案．
38．（2023春•安次区期末）甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过80元后，超出80元部分按 收费；在乙商场
累计购物超过60元后，超出60元部分按 收费，顾客到哪家商场购物花费少？
39．（2023春•梁园区期末）为了更好治理河流水质，保护环境，某市治污公司决定购买
10台污水处理设备，现有 ， 两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表：
型 型
价格（万元 台）
处理污水量（吨 月） 220 180
经调查：购买一台 型设备比购买一台 型设备多3万元，购买2台 型设备比购买3台
型设备少3万元．
（1）求 ， 的值；
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过 100万元，你认为该公司有哪几
种购买方案；
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于1880吨，为了节约资金，请你
为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
强化训练
一、单选题
1．（23-24·全国·课后作业）下列各项中，蕴含不等关系的是（ ）
A．老师的年龄是你的年龄的2倍
B．小军和小红一样高
C．小明比爸爸小26岁
D． 是负数
2．（23-24·全国·课后作业）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．x是负数，可以表示为
B．x－2是正数，可以表示为
C． 大于1，可以表示为
D．x不等于 ，可以表示为
3．（23-24·贵州毕节·阶段练习）不等式 的最大整数解为（ ）
A． B． C． D．4．（21-22七年级下·广东汕头·期末）已知 是不等式 的一个解，则整
数k的最小值为（ ）
A．3 B．-3 C．4 D．-4
5．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知关于 的方程为 的解为正数，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24七年级下·北京·期中）若关于 的不等式 的解集如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24七年级下·全国·假期作业）若 是关于 的一元一次不等式，则
该不等式的解集是( )
A． B． C． D．
8．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上表示不等式 的解集，正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
9．(七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在数轴上，已知点 ， 分别表示数1，
，那么数轴上表示数 的点应落在( )
A．点 的左边 B．线段 上 C．点 的右边 D．数轴的任意位置
10．（23-24七年级下·福建福州·期中）为加强拔尖创新人才的培养，某校面向对口小学招
募对数学有兴趣的拔尖学生开展贯通式培养，入选同学要在该校组织的数学测试中得分不
低于80分，测试共有25道题，每道题选对得4分，不选或选错扣2分，则入选同学至少
要选对（ ）A．23道 B．22道 C．21道 D．20道
二、填空题
11．（20-21七年级下·浙江·期中）能够使不等式 成立的x的取值范围
．
12．（23-24七年级下·全国·课后作业）当 时，不等式
是关于x的一元一次不等式．
13．（20-21七年级下·河北邢台·期末）对于实数x，y规定“x△y＝ax﹣by（a，b为常
数）”．已知2△3＝4，5△（﹣3）＝3
（1）a+b＝ ．
（2）已知m是实数，若2△（﹣m）≥0，则m的最大值是 ．
14．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）不等式 的正整数解的和是
．
15．（23-24七年级下·福建福州·期中）若不等式 的解集为 ，则
的取值范围是 ．
16．（20-21·山东菏泽·阶段练习）不等式2x﹣a＜1的解集如图所示，则a的值是 ．
17．（2024·全国·专题练习）有10名菜农，每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩
的收入是0.5万元，辣椒每亩的收入是0.8万元，要使总收入不低于15.6万元，则最多只能
安排 名菜农种茄子．
18．（22-23·江西景德镇·期中）在通过桥洞时，往往会看到如图所示的标志：这是限制车
高的标志，表示车辆高度不能超过 ，通过桥洞的车高 应满足的不等式为
．
三、解答题19．（21-22七年级下·河南信阳·期末）已知 、 满足 和 ，求
的最小值．
20．（23-24七年级下·全国·课后作业）若满足 的每一个解都能使不等式 成立．
(1)在数轴上表示m满足的不等式的解集；
(2)化简： ．
21．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）解方程组：（1） ；
（2）
解下列不等式：
（3）
22．（22-23七年级下·四川巴中·期末）定义：对任意一个两位数 ，如果 满足个位数字
比十位数字大 ，那么称这个两位数为“慧泉数” 将一个“慧泉数”的个位数字与十位数
字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与 的商记为 ．例如：
，对调个位数字与十位数字后得到新的两位数为 ，新两位数与原两位数的和为
，其和与 的商为： ，所以 ．
根据以上定义，回答下列问题：
(1) ______；
(2)若 ，求 ；
(3)如果一个“慧泉数” 的十位数字是 ，另一个“慧泉数” 的个位数字是 ，且满足
，求 、 的值．23．（22-23七年级下·河南鹤壁·期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题．
例：解绝对值方程： ．
解：分情况讨论：①当 时，原方程可化为 ，解得 ；
②当 时，原方程可化为 ，解得 ．
所以原方程的解为 或 ．
根据材料，解下列绝对值方程：
(1)理解应用： ；
(2)拓展应用：不等式 的解集为______．
24．（22-23七年级下·湖北黄石·期末）在平面直角坐标系中，有点 ， ，点
在第一象限，若a，b满足 ．
(1)求点A，B的坐标；
(2)若点P在直线 上方，且 ，求m的取值范围；(3)点C在直线 上，且 ，求点C的坐标．
25．（22-23七年级下·辽宁抚顺·期末）学校策划了“多读书、读好书、善读书”的主题活
动．根据同学们的需求，张老师要为学校图书馆补充一种科普书．某书店的优惠方案如下：
已知该科普书定价30元
(1)当购买数量不超过5本时，张老师应选择哪种优惠方案？说明理由．
(2)当购买数量超过5本时，张老师如何选择优惠方案？
26．（22-23七年级下·福建泉州·期中）用列方程（组）或不等式解决下列问题：
受“新冠病毒”的影响，医院的呼吸机严重紧缺．为了战胜“疫情”，某公司抓紧制造 、
两种机械设备生产呼吸机，每台 种设备的成本比每台 种设备的成本多2万元，公司
若投入50万元可生产 、 两种设备各5台．请解答下列问题：
(1) 、 两种设备每台的成本分别是多少万元？
(2)若 、 两种设备每台的售价分别是6万元、9万元，公司决定生产两种设备共50台，
计划销售后获利不低于103万元
①求最多可生产 种设备多少台；
②由于受到资金等因素影响，公司生产 种设备的产量不低于34台．销售前，公司决定从
这批设备中拿出一部分，赠送给非洲某贫困国家，剩余设备全部售出，公司仍获利30万元，赠送的设备采用水路运输和航空运输两种方式，共运输4次，水路运输每次运4台 种设
备，航空运输每次运2台 种设备（运输过程中产生的费用由该国承担）．请求出水路运
输的次数．
