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第 09 章 不等式与不等式组 章节测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．（22-23七年级下·广西贺州·期中）x与y的差为负数，用不等式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】 与 的差是 ；差是负数，那么所得结果小于0．
【详解】解： 与 的差是 ；
差是负数，
．
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式．
2．（22-23七年级下·云南昆明·阶段练习）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的定义逐一判断即可求解．
【详解】解：A、 不是一元一次不等式，故A选项不符合题意；
B、 是二元一次不等式，故B选项不符合题意；
C、 是一元一次不等式，故C选项符合题意；D、 不是一元一次不等式，故D选项不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（22-23七年级下·海南海口·期中）不等式组 的解集为 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出 的范围是解此题的关键．先
求出不等式组的解集，再根据已知条件判断 范围即可．
【详解】解：解不等式 得： ，
又因为不等式组的解集为： ，
．
故选：B
4．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式 的解集是 B． 是不等式 的一个解
C．不等式 的整数解有无数个 D．不等式 的正整数解有4个
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．
【详解】解：A、该不等式的解集为 ，故错误，不符合题意；
B、∵ ，故错误，不符合题意；
C、正确，符合题意；
D、因为该不等式的解集为 ，所以无正整数解，故错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况．
5．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）下列命题中：（1）若 ， ，则 ；（2）若
，则 ；（3）若 ，则 ；（4）若 ，则 ，正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理．利用反例对（1）进行判断；利用不等式的性质对（2）、（3）、（4）进行判断．
【详解】解：当 ， ， ， ，满足 ， ，但 ，所以（1）错误；
当 ，若 ，则 ，所以（2）错误；
当 ，若 ，则 ，所以（3）错误；
若 ，则 ，所以（4）正确．
故选：A．
6．（22-23七年级·全国·假期作业）一本书共98页，张力读了一周(7天)还没读完，而李永不到一周就已读
完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】张力平均每天读x页，则李永每天读 页，根据张力读了一周(7天)还没读完可得不等式
，根据李永不到一周就已读完可得不等式 ，再联立两个不等式即可．
【详解】解：设张力平均每天读x页，由题意得：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答此题的关键是找到关键性的描述语言，列出不等式组．
在求解时不要忽略x为整数这一关键性条件．
7．（22-23七年级下·河南南阳·期末）已知方程组 的解 为正数， 为非负数，给出下列结
论：① ；②当 时， ；③当 时，方程组的解也是方程 的解；其中
正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【答案】C
【分析】解方程组，由题意建立不等式组，解得 ，①正确； 时，代入计算，②正确；当
时， ， ，③正确．
【详解】解： ，解得
∴ ，解得 ，所以①正确；
时， ， ，所以②正确；
当 时， ， ，
∴方程组的解也是方程 的解，所以③正确；
故选：C．
【点睛】本题考查方程组解的定义，二元一次方程组的求解，掌握二元一次方程组的求解是解题的关键．
8．（20-21七年级下·全国·课后作业）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式组的概念，对5个式子逐一判断即可．
【详解】解：① 是一元一次不等式组；
② 是一元一次不等式组；
③ 含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④ 是一元一次不等式组；⑤ ，未知数是3次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3个，
答案：B．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的概念，掌握一元一次不等式组的概念是解决本题的关键.
9．（22-23七年级下·北京昌平·期中）定义新运算“ ”，规定： ．若关于 的不等式
的解集为 ，则 的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据定义的新运算得到 ，得 ，由不等式的解集得 ，即可求
得 的值．
【详解】解： ，
，
得： ，
不等式 的解集为 ，
，
解得： ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查对新定义运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，解题的关键是将新定
义运算转化为所熟悉的不等式．
10．（22-23七年级下·吉林白山·期中）已知关于x的不等式组 的所有整数解的和为 ，则m的
取值范围为（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据已知得出
关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．【详解】 ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ，
∵关于x的不等式组 的所有整数解的和为 ，
∴不等式组必有整数解 或是 ，
∴ ，或 ，
∴ 或 ，
故选：B．
第Ⅱ卷
二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）
11．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，若未知数为 ，则数轴上所表示的不等式解集为 ，其
负整数解为 ．
【答案】
【解析】略
12．（22-23七年级下·甘肃庆阳·阶段练习）下列不等式组：① ② ③ ④
⑤ ．其中是一元一次不等式组的有 个．
【答案】2
【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可．【详解】解：① 是一元一次不等式组；
② 含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
③ 是一元一次不等式组；
④ 不是一元一次不等式组；
⑤ ，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有2个，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在
一起，就组成了一个一元一次不等式组．
13．（22-23七年级下·全国·课后作业）用不等式表示：
（1） 不等于0： ；
（2） 与2的差小于 ： ；
（3） 与 的2倍的和是正数： ．
【答案】
【解析】略
14．（22-23七年级下·吉林长春·期中）将“a与b的和是负数”用不等式表示为 ．
【答案】
【分析】a与b的和为负数即是小于0的数，据此列不等式．
【详解】解：由题意得， ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序
和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
15．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的不等式 的解集为 ，则关于x
的不等式 的解集为 ．【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解集及解一元一次不等式；根据题意求得 ，且 ，把
代入不等式中，即可求解．
【详解】解：由 ，得 ，
∵关于x的不等式 的解集为 ，
∴ ，且 ，
∴ ，
整理得： ，
∵ ，
∴ ，
把 代入 中，整理得： ，
∴ ，
故答案为： ．
16．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的不等式组 的解集中所有整数解之
和最小，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于 a的不等式组是解此题的关键．先求出
求出不等式组的解集，再根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
∵不等式组 的解集中所有整数解之和最小，
∴不等式组的整数解为 或 ，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
17．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知 ，下列结论：① ；② ；③若 ，则
；④若 ，则 ．其中正确的结论是 （填序号）．
【答案】④
【解析】略
18．（22-23七年级下·河南南阳·期中）对 、 定义一种新运算“ ”规定： （ 、 均
为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如 已知 ， 则关
于 的不等式 的最小整数解为 ．
【答案】
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出 与 的值，即可由 ，得出
，解得 ，从而得出关于 的不等式 的最小整数解为 ．
【详解】解： ， ， ，
，
，
解得 ，
，
，
解得 ，关于 的不等式 的最小整数解为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．
三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分）三、解答
题
19．（19-20七年级下·北京海淀·期末）已知关于x，y的二元一次方程组 ．
（1）若该方程组的解是 ，求关于x，y的二元一次方程组 的解．
（2）若y 0，且m n，求x的最小值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据两个方程组中各项系数的对应关系可知 ，解出此方程组的解即可；
（2）先分别求出m和n的值，再根据 可得不等式 ，然后解不等式即可得结论．
【详解】（1）∵二元一次方程组 的解是 ，
∴ ，
解得： ；
（2） ，
由①得： ，
由②得： ，∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
解得： ，
故x的最小值是 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式等知识点，熟练掌握方程组和不等式的解法是
解题关键．
20．（22-23七年级下·四川凉山·期末）某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳 根，
乙种跳绳5根，需要 元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要 元．
(1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？
(2)若该体育用品店刚好用了 元购进这两种跳绳，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种
跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于 根，那么该文具店共有哪几种购买方案？
(3)若该体育用品店销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，在第（2）问的各种
进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)购进甲种跳绳每根需要 元，购进乙种跳绳每根需要 元
(2)有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳 根，乙种跳绳 根；方案②购进甲种跳绳 根，乙种跳绳
根；方案③购进甲种跳绳 根，乙种跳绳 根
(3)购进甲种跳绳 根，乙种跳绳 根，获利最大，最大利润是 元
【分析】（1）设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，然后根据题意建立二元一次方
程组求出其解即可；
（2）设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳 个，然后根据题意建立不等式组求出其解即可；
（3）根据（2）的结论，结合题意，分别求得利润，比较即可求解．
【详解】（1）解：设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，由题意得：
，解得： ，
答：购进甲种跳绳每根需要 元，购进乙种跳绳每根需要 元．（2）解：设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳 个，根据题意得，
解得： ，
∵ 为正整数，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，不是整数，不符合题意，舍去，
当 时， ，
当 时， ，不是整数，不符合题意，舍去，
当 时， ，
答：该商店有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳 根，乙种跳绳 根；方案②购进甲种跳绳 根，乙
种跳绳 根；方案③购进甲种跳绳 根，乙种跳绳 根；
（3）解：∵销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，
由（2）可知，方案①：购进甲种跳绳 根，乙种跳绳 根，则利润为 ；
方案②：购进甲种跳绳 根，乙种跳绳 根，则利润为 ；
方案③：购进甲种跳绳 根，乙种跳绳 根，则利润为 ；
∵ ，
∴方案③：购进甲种跳绳 根，乙种跳绳 根，获利最大，最大利润是 元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组
是解题的关键．
21．（21-22七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题：
例：解不等式 ，
解：因为 ，所以原不等式可化为由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：① ，或② ，解不等式组①得
，解不等式组②无解，所以原不等式 的解集为 ．
(1)用例题的方法解不等式 的解集为 ；
(2)解不等式 ．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）仿照例题的思路，即可解答；
（2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得：① 或② ，然后进行计算即可解
答．
【详解】（1）因为 ，
所以原不等式可化为 ，
由有理数乘法法则“两数相乘，同号得正”，得：
① 或 ，
解不等式组①得 ，
解不等式组②得 ，
所以原不等式 的解集为 或 ，
故答案为： 或 ；
（2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得：
① 或② ，
解不等式组①得无解，
解不等式组②得 ，所以原不等式 的解集为
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，理解例题的思路是解题的关键．
22．（22-23七年级下·北京东城·期中）某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示．
按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行．
(1)若 ，请通过计算写出该程序需要运行多少次才停止；
(2)若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围．
【答案】(1)4次
(2)
【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，程序流程图与不等式：
（1）根据流程图，列出算式进行计算，直至最终的结果大于 ，即可得出结果；
（2）根据流程图，列出不等式组，求解即可．
【详解】（1）解： ，
∵ ，
∴若 ，该程序需要运行4次才停止；
（2）依题意，得 ，解得 ．
故若该程序只运行了2次就停止了，x的取值范围为 ．
23．（22-23七年级下·河南鹤壁·期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题．
例：解绝对值方程： ．
解：分情况讨论：①当 时，原方程可化为 ，解得 ；
②当 时，原方程可化为 ，解得 ．
所以原方程的解为 或 ．
根据材料，解下列绝对值方程：(1)理解应用： ；
(2)拓展应用：不等式 的解集为______．
【答案】(1)① ；② 或
(2) 或
【分析】（1）分为两种情况：①当 时，②当 时，去掉绝对值符号后求出即可；
（2）分为两种情况：①当 时，②当 时，分情况求出即可．
【详解】（1）解：分情况讨论：
①当 时，
原方程可化为 ，解得 ；
②当 时，
原方程可化为： ，
解得： ，
所以原方程的解为 或 ；
（2）解：分情况讨论：
①当 时，
解得： ；
②当 时，
解得： ，
所以不等式解集为 或 ．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程及一元一次不等式的应用，关键是能去掉绝对值符号，
用了分类讨论思想．
24．（22-23七年级下·湖北黄石·期末）在平面直角坐标系中，点 ， ，若a，b满足
．(1)求点A，B的坐标；
(2)如图1，连接 ，求 的面积；
(3)如图2，3将线段 平移到 ．
①若点E在y轴上，点F在x轴上，点 在线段 上，试确定m，n应满足什么关系式？
②若点E在x轴上，点F在y轴上，点D在直线 上，且点D的纵坐标为t，当满足 时，
求t的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)10
(3)① ；② 或 ．
【分析】（1）根据算术平方根和平方的非负性可求得 ， ，即可求得；
（2）分别过点A，B作 轴于C， 轴于D，根据 ， 求得 ， ，
， ， ，根据三角形面积公式，梯形面积公式，即可求得；
（3）①如图2所示，作 轴于M， 轴于N，连接 ，设 ，根据点坐标的
平移特点求出 ，即 ，再根据 即可求出对应的关系式，
同理可求得图3中的关系式；
②根据平移的性质可得 ， ，根据点D在直线 上，且D点的纵坐标为t和三角形的面积公
式求得 ，根据 ，得到 ，即可求得．【详解】（1）解：∵ ， ，
∴
∴ ，
解得： ，
∴ ， ．
（2）解：分别过点A，B作 轴于C， 轴于D，如图：
∵ ， ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ．
（3）解：①如图2所示，作 轴于M， 轴于N，连接 ，设 ，
∵将线段 平移到 ， ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴4 ，
∴m、n满足的关系式为： ．
∵ 平移到点E， 平移到点F，
∴点 ， ，
∵点D在直线 上，且D点的纵坐标为t，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴解得： 或 ，
当满足 时，t的取值范围是 或 ．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，三角形面积公式，梯形面积公式，平移的性质，
解不等式等，熟练掌握以上性质是解题的关键．
25．（22-23七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系 中，对于点 ，点 ，定义与 中的值较大的为点 ， 的“绝对距离”．记为 ．特别地，当 时，
规定 ，例如，点 ，点 ，因为 ，所以点 ， 的“绝对距离”为
，记为 ．
(1)已知点 ，点 为 轴上的一个动点．
①若 ，求点 的坐标；
② 的最小值为______；
③动点 满足 ，所有动点 组成的图形面积为64，请直接写出 的值．
(2)对于点 ，点 ，若有动点 ，使得 ，请直接写出 的取值范
围．
【答案】(1)①点 的坐标为 或 ；②1；③ ；
(2)
【分析】（1）①设 ，根据 可得 ，求出b即可得到点 的坐标；
②根据点A、B的纵坐标之差的绝对值是1可得 的最小值为1；
③判断出点C在以 为中心，以 为边长的正方形上，然后根据点 组成的图形面积为64计算即可；
（2）根据点D、E的纵坐标之差的绝对值为5，可知点M到点D、E的横坐标的距离之和小于等于5，然后分情况列出不等式求出 的取值范围即可．
【详解】（1）解：①设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 或 ；
②∵ ，设 ，
∴ ，
∴ 的最小值为1；
③∵ ，点 满足 ，
∴点C在以 为中心，以 为边长的正方形上，如图，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵点 ，点 ，
∴点D、E的纵坐标之差的绝对值为5，∵有动点 ，使得 ，
∴ ，
①当 时，由题意得： ，
解得： ，
∴
②当 时， ，符合题意；
③当 时，由题意得： ，
解得： ，
∴
综上，若有动点 ，使得 ， 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形性质，正确理解“绝对距离”的定义是解题的关键．
26．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱
在东风着陆场成功着陆．某超市为了满足广大航天爱好者需求，销售每件进价分别为80元和60元的A，
下表是近两周的销售情况：
销售时
销售数量 销售收入
段
A种型号 B种型号
第一周 4件 5件 955元
第二周 2件 6件 810元
（进价、售价均保持不变，利润 销售收入 进价）
(1)求A，B两种型号运载火箭模型的销售单价；
(2)若超市准备用不超过1400元的金额再采购这两种型号的运载火箭模型共20件，求A种型号的运载火箭
模型最多能采购多少件？
(3)在（2）的条件下，超市销售完这20件运载火箭模型能否实现利润为800元的目标？请说明理由．
【答案】(1)A种型号的销售单价为120元，B种型号的销售单价为95元
(2)A种型号最多能采购10件
(3)超市销售完这20件运载火箭模型能实现利润为700元的目标，理由见解析【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，读懂题意，找出数量有关系是解题
的关键．
（1）设A种型号的销售单价为x元，B种型号的销售单价为y元，根据表格中的销售收入列方程即可解答；
（2）设A种型号采购m件，则B种型号为 件，根据题意列出一元一次不等式，即可解答；
（3）由（2）可知A种型号最多能采购10件，代入求解即可．
【详解】（1）解：设A种型号的销售单价为x元，B种型号的销售单价为y元，
根据题意列方程组得 ，
解得 ，
答：A种型号的销售单价为120元，B种型号的销售单价为95元；
（2）解：设A种型号采购m件，则B种型号为 件，
根据题意得 ，
解得 ，
答：A种型号最多能采购10件；
（3）解：超市销售完这20件运载火箭模型能实现利润为700元的目标．理由如下：
由（2）可知A种型号最多能采购10件，
（元），
，
∴超市销售完这20件运载火箭模型能实现利润为700元的目标．
