文档内容
第 13 章 轴对称全章复习攻略与检测卷
【目录】
倍速学习六种方法
【2个概念】
1.轴对称图形的概念
2.成轴对称的概念
【5个性质】
1.成轴对称的性质
2.线段的垂直平分线的性质
3.等腰三角形的性质
4.等边三角形的性质
5.含30°角的直角三角形的性质
【3个判定】
1.线段的垂直平分线的判定
2.等腰三角形的判定
3.等边三角形的判定
【2个应用】
1.垂直平分线作图的实际应用
2.最短与最长路径问题的应用
【1个技巧】
添加辅助线的技巧
【2种思想】
1.方程思想
2.分类讨论思想
【检测卷】
【倍速学习六种方法】【2 个概念】
1.轴对称图形的概念
轴对称图形的定义
一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它
的对称轴.
要点：
轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一
定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
【例1】（2022秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）下列标志中，可以看作是轴对称图
形的是（ ）.
A． B． C． D．
2.成轴对称的概念
两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
要点：
若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
轴对称与轴对称图形的区别与联系
轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和
轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，
若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.
【例2】下图中的两个图形成轴对称，如何画出它们的对称轴呢？【5 个性质】
1.成轴对称的性质
【例3】（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标
分别为A(2,4),B(3,1),C(-2,2)．
(1)请在平面直角坐标系内，画出△ABC关于y轴对称的图形，其中，点A、B、C的对应点分别为
A 、B 、C ；
1 1 1
(2)请写出A ,B ,C 的坐标分别是A （______________），B （______________）；C
1 1 1 1 1 1
（______________）；
(3)请写出点M(a,b)关于直线n（直线n上各点的横坐标都为1）对称的点M 的坐标．
1
2.线段的垂直平分线的性质
【例4】（2022秋•太仓市期末）如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，AB的垂直平分线分别交AB，
BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，则∠EAG＝ ．
3.等腰三角形的性质
【例5】（2022•江口县三模）已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm、7cm，则该三角形的周长是（
）
A．13cm B．13cm或17cm C．17cm D．16cm
【变式】（2022春•五华县期末）若等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成了 15cm和18cm两部分，则它的腰长为 cm．
4.等边三角形的性质
【例6】(2022•博山区一模）如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，则∠BOC的度数是（ ）
A．135° B．125° C．120° D．110°
5.含30°角的直角三角形的性质
【例7】（2022春•神木市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，
∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式】（2022•碑林区校级四模）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点
F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【3 个判定】
1.线段的垂直平分线的判定
【例8】（2023秋·八年级课时练习）如图， 为 的角平分线， ，请判断线段 所在的直
线是否为线段 的垂直平分线，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．【变式】（2023秋·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，已知 ，点P为 的平
分线上一点， ， ，垂足分别为E、F
(1)求证∶
(2)若 ，求证：点P在 的垂直平分线上．
2.等腰三角形的判定
【例9】（2021秋•鼓楼区校级期末）如图在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交
边AC于点D．
求证：△BCD为等腰三角形．
3.等边三角形的判定【例10】（2021秋•沐川县期末）如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝
CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形．
【2 个应用】
1.垂直平分线作图的实际应用
【例11】（2023春•渭南期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF
上的任意一点，则△ABP周长的最小值是 ．
2.最短与最长路径问题的应用
【例12】如图，直线l ，l 表示一条河的两岸，且l ∥ l ．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互
1 2 1 2
垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（ ）
A． B．
C． D．
【变式】如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
A． B．
C． D．
【1 个技巧】
添加辅助线的技巧
【例13】（2023•肇东市校级二模）如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4，CD为△ABC的中线，
点E、点F分别为线段CD、CA上的动点，连接AE、EF，则AE+EF的最小值为（ ）
A．4.8 B．2.4 C．6 D．5
【3 种思想】
1.方程思想
【例14】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点 A落在直
角
边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，
探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，
并画出符合条件的折叠后的图形．2.分类讨论思想
【例15】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
【变式1】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．
【变式2】在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．
【检测卷】
一．选择题（共10小题）1．（2023秋•南岗区校级月考）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（ ）
A．50° B．65°或50° C．65° D．80°
2．（2023秋•广陵区月考）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、
白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点，BD＝AB，
DE⊥BC交AC于E，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023秋•江北区校级月考）在平面直角坐标系中，已知点A（2，m）和点B（n，﹣3）关于x轴对称，
则m+n的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
5．（2023春•西安月考）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．50° C．90° D．100°
6．（2023秋•广陵区月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，EF是边AB的垂直平分线，垂足为E，交
BC于F．MN是边AC的垂直平分线，垂足为M，交BC于N．连接AF、AN则∠FAN的度数是（ ）A．70° B．55° C．40° D．30°
7．（2023秋•东阿县校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点 D，过点 D作
EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若AB＝12，AC＝8，BC＝13，则△AEF的周长是（ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
8．（2023秋•南岗区校级月考）下列说法中，正确的有（ ）个．
①两个全等的三角形一定关于某直线对称；
②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；
③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
④到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点；
⑤△ABC的三边为a，b，c，且满足关系（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，则△ABC为等边三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2023秋•海门市校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN
分别交AB、BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为
（ ）
A．115° B．116° C．117° D．118°
10．（2023秋•泰兴市月考）如图，点P是∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点是H、G，直线
HG交OA、OB于点C、D，若HG＝4cm，且∠AOB＝30°，则△HOG的周长是（ ）A．4cm B．8 cm C．12 cm D．16 cm
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋•东阿县校级月考）如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥BO于点C，则关
于直线OE对称的三角形共有 对．
12．（2023秋•武汉月考）已知一个等腰三角形的两边长分别为 2和6，则该等腰三角形的周长是
．
13．（2023秋•广陵区校级月考）如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M、N
分别为BD、BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为 ．
14．（2023秋•沭阳县月考）如图，△ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，若△ABD的周长为
12cm，则AB+AC＝ cm．
15．（2023秋•江都区月考）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为 ．16．（2023秋•邗江区校级月考）如图，已知 S△ABC ＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则
S△ADC m2．
17．（2023秋•梁溪区校级月考）如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 ．
18．（2023秋•聊城月考）若点A（1+m，1﹣n）与点B（3，﹣2）关于y轴对称，则（m+n）2023的值是
．
三．解答题（共8小题）
19．（2023秋•梁溪区校级月考）如图．△ABC中，∠B＝∠C，点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且
PB＝QC，QB＝RC．
求证：点Q在PR的垂直平分线上．20．（2022秋•冠县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的是中点，AD＝AE，∠BAD＝
30°，求∠EDC的度数．
21．（2023秋•聊城月考）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长．
（2）若∠BAC＝115°，求∠DAE的度数．
（3）设直线DM、EN交于点O，试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由．
22．（2023秋•志丹县月考）一个等腰三角形的周长是30cm．
（1）若腰长是底边长的2倍，求各边的长．
（2）若其中一条边的长是8cm，求另外两条边的长．
23．（2023秋•泰兴市月考）如图，△ABC的顶点均在网格的格点上，△A B C 与△ABC关于直线m对称，
1 1 1
点A、B、C的对应点分别是A 、B 、C ．
1 1 1（1）在图中画出△A B C ；
1 1 1
（2）点B 与点B 关于直线n对称，请画出直线n；
1 2
（3）在AB上画出一点P，使得点P到边BC、边AC两边距离相等；
（4）在直线m上画出一点E，使得EA+EB最小．
24．（2023春•宣城月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB
于点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线
于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
25．（2022秋•句容市月考）（1）①在图1中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
②△ABC的面积为 ．
③在直线l上找到一点P，使PB+PC最短．
（2）如图2，已知，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，用尺规在BC边上求作一点D，使D到AC
的距离等于DB的长；若BD＝3，则△ACD的面积＝ ．
26．（2022春•吉安月考）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，
∠BOC＝ ，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证α：△OCD是等边三角形；
（2）当 ＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究α：当 为多少度时，△AOD是等腰三角形．
α
