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第13 章 轴对称（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点A在直线l上，△ABC与 关于直线l对称，连接 ，分别交AC， 于点D， ，
连接 ，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜 ， ，两
个平面镜所成的夹角为 ，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光
的路径为入射光线 经过平面镜 反射后，又沿 射向平面镜 ，在点 C 处再次反射，反射光线为
，已知入射光线 ，反射光线 ，则 等于（ ）A． B． C． D．
4．如图，已知 ，直线l与直线a，b分别交于点A，B，分别以点A，B为圆心，大于 长为半径
画弧，两弧相交于点M，N，作直线 分别交直线a，b于点D、C，连接 ，若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在等腰 ， ， ， 为 的角平分线，过点 作 交
的延长线与点 ，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图， ， ， ，若 ，则 与 间的数
量关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．某平板电脑支架如图所示，其中 ， ，为了使用的舒适性，可调整 的大小．若
增大 ，则 的变化情况是（ ）A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
8．如图，在 中， ，边AB的垂直平分线交 于点 ，边 的垂直平分线交 于点
，连接 ， ．则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD是 ABC的角平分线，若P，Q分别是AD
和AC边上的动△点，则PC+PQ的最小值是（ ） △
A． B．2 C． D．
10．如图，在 中， ，AD是高， 是中线，CF是角平分线，CF交AD于G，交
于H，下面说法： ① ；② ；③ ；④ ．其中正确的
是( )
A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①③④二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，在 中，分别以点B和点C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，
作直线 ，交 于点D，连接 ，若 的周长为24， ，则 的周长为 ．
12．如图，直线 ，点A是直线m上一点，点B是直线n上一点， 与直线m，n均不垂直，点P
为线段 的中点，直线l分别与m，n相交于点C，D，若 ，m，n之间的距离为
2，则 的值为 ．
13．如图， ，F为 的中点， ，则 的长为 ．
14．如图所示，在平面直角坐标系中， 满足 ，点A，C的坐标分别是
，点B在y轴上，在坐标平面内存在一点D（不与点C重合），使 ，且与 是对应边，请写出点D的坐标 ．
15．如图， ，C是 延长线上一点， ，动点M从点C出发沿射线 以
的速度移动，动点N从点O出发沿射线 以 的速度移动，如果点M、N同时出发，设运动的时间
为 ，那么当 s时， 是等腰三角形．
16．如图，锐角 中， ， ， 的面积是 ， ， ， 分别是三边上的动点，
则 周长的最小值是 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ， ，…在x轴正半轴上，点 ， ， ，…在直线
上，若 ，且 ， ， ，…均为等边三角形，则线段 的
长度为 ．18．如图，将长方形纸片 沿 折叠（折线 交 于 ，交 于 ），点 的对应点分别
是 、 ， 交 于 ，再将四边形 沿 折叠，点 、 的对应点分别是 、 ，
交 于 ，给出下列结论：
①
②
③若 ，则
④
上述正确的结论是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）在 中， ， ， ，交 延长线于点 ．
求证： ．
20．（8分）如图，点P是 外的一点，点E与点P关于 对称，点F与点P关于 对称，直线
分别交 于C、D两点，连接 ．
（1）若 ，求 的度数；（2）若求 ， ， ，求 的长．
21．（10分）如图，在 中， 平分 ，点 为 中点， 与 相交于点 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）过点 作 交 延长线于点 ，作 关于 对称的 ，设 ， 的
面积分别为 ，若 ，试求 的值．
22．（10分）已知： 平分 ，点A，B分别在边 ， 上，且 ．
（1）如图1，当 时，求证： ．
（2）如图2，当 时，作 于点C．求证： ．23．（10分）已知，在 中， ， 于点 ，点 在线段 上，且 ，点
在线段 上，且
（1）如图1，求证：
（2）如图1，若 ，且 ，求 的面积
（3）如图2，若点 是 的中点，求 的值．
24．（12分）如图，在 中， ， ， 是等边三角形，点 在边 上．
（1）如图1，当点 在边 上时，求证
（2）如图2，当点 在 内部时，猜想 和 数量关系，并加以证明；
（3）如图3，当点 在 外部时， 于点 ，过点 作 ，交线段 的延长线于点
， ， ，求 的长．参考答案：
1．B
【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，折叠后对称轴两旁的图形
重合．
根据轴对称图形的意义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就
叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．据此判断即可．
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
2．D
【分析】利用轴对称的性质和全等三角形的性质逐项判断即可．
【详解】解： 与 关于直线 对称，
， ， ， ， ，
， ，即选项A、B正确；
由轴对称的性质得： ，
，即 ，选项C正确；
由轴对称的性质得： ，但 不一定等于 ，即选项D不一定正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
3．C
【分析】本题考查了光的反射定律，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由光的反射定律以及平行线的性质，推出 ，再结合三角形内角和，推出 的度数．
【详解】如图所示，由光的反射定律，可以知道 ，
，
，
故选：C ．
4．B
【分析】本题考查尺规作图−垂直平分线、三角形内角和定理、平行线的性质，由题意得， 是直线l的
垂直平分线，可得 ，根据三角形内角和定理求得 ，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：由题意得， 是直线l的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
5．B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，延长 交 的延长线于
点 ，证明 ，得 ，再证 ，得 ，然后由等腰三角形的
性质得 ，即可得出结论．掌握等腰三角形三线合一性质是解题的关键．
【详解】解：如图，延长 交 的延长线于点 ，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角的性质，解题的关键是掌握全等
三角形的对应边相等，等边对等角．
易得 ，通过证明 得出 ，则
，最后根据在 中， ，即可得出结论．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
整理得： ，
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，设设原来 ，求出此时
，然后类似求出变化后 ，然后两角作差即可得出结论.
【详解】解：设原来 ，则
∵ ，
∴ ，
∴ ，
增大 后， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 的变化情况是减小 ，
故选：D.
8．D
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到 ， ，再利用等腰三角形的性质得到
， ，接着利用三角形内角和定理得到 ，然后利用
可计算出 的度数．本题考查了线段垂直平分线的性质，
三角形的内角和，角的和差关系，等腰三角形的性质掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，
∴ ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选： ．
9．C
【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．
得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用面积法即可求得答案．
【详解】
如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC=3，BC=4，∠ACB=90°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称-最短问题以及角平分线的性质，解题的关键是学会利用轴对称的性质找出
满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．
10．C
【分析】①无法证明是否同底等高的两个三角形面积相等即可判断；②根据三角形内角和定理求出
，根据三角形外角性质即可推出；③根据三角形内角和定理求出 ，根据角
平分线定义即可判断；④根据等腰三角形的判定方法即可判断．
【详解】解：∵无法证明 ，
故无法证明 ，
故①错误；
是角平分线，
，
是高，
，
，
， ，
，
， ，
，故②正确；
是高，
，
，， ，
，
是角平分线，
，
，
即 ，故③正确；
根据已知条件不能推出 ，
因此不能证明 ，故④错误；
综上可知，②③结论正确，
故选C．
【点睛】此题考查了三角形的角平分线、中线和高性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，
难度一般，解题的关键是综合运用上述知识．
11．15
【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题
的关键．
由作图过程可知，直线 为线段 的垂直平分线，则 ．由题意可得， ，则
的周长为 求解．
【详解】解：由作图过程可知，直线 为线段 的垂直平分线，
∴ ．
∵ 的周长为24， ，
∴ ．
∴ 的周长为 ．
故答案为：15．
12．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，延长 交 于点 ，过点 作
，证明 ，得到 ，进而得到 ，证明 ，得到 ，
再根据等积法，得到 ，等量代换，即可得出结果．
【详解】解：延长 交 于点 ，过点 作 ，∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵点P为线段 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．13．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决
问题的关键．先证明 和 是等腰三角形，再证明 ，设 ，则 ，
根据 ，列方程可得结论．
【详解】解： ， ，
，
，
设 ，则 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
∴ ，
．
故答案为： ．
14．
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性
质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
根据已知可得 是等腰直角三角形，得到 ，利用等量代换，进而可证 ，
由此得到 ， ，再证明 ，即可得到 ，， ，由此可求点D的坐标．
【详解】解：过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
点 的坐标分别是 ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的坐标是 .
故答案为: .
15．4或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用．熟练掌握等腰
三角形的性质，等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用是解题的关键．
由题意知，当 时， ；当 时， ， ，由 是等腰三角形，可知当 时， ，即 ，计算求解即可；当 时，证明 是等边三角形，则
，即 ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，当 时， ；
当 时， ，
，
∵ 是等腰三角形，
∴当 时， ，即 ，
解得， ，
当 时， 是等腰三角形，
∴ 是等边三角形，
∴ ，即 ，
解得， ，
综上所述， 的值为4或 ，
故答案为：4或 ．
16． /
【分析】根据对称性质，将 周长转换为一条直线，如图所示（见详解），作点 关于 的对称点
，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ，三角形 是等边三角形， 周长
，即 最小就是 的值最小， 的面积是 ， ，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，作点 关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ，
，
∴ ，即 是 的垂直平分线， 是 的垂直平分线，且 ，
∵ ，∴ ，即 ，
∴三角形 是等边三角形，
∴ ，
∴当点 在一条直线上时， 周长 ，即 最小就是 的值最小，
根据点到直线垂线段最短，可知当 时， 最小，即 周长最小，
∵ 的面积是 ， ，即 ，
∴ ，即 周长最小 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查点的对称性找最短路径，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解和掌握垂直
平分线的性质，对称轴的性质找最短路径的方法是解题的关键．
17．
【分析】
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，能根据题意得出 (n为正整
数 是解题的关键．
根据所给一次函数解析式得出直线与x轴正半轴的夹角为 ，再依次求出 的长度，发现规律即可解
决问题．
【详解】
解： 一次函数的解析式为 ，
此直线与x轴正半轴的夹角为 是等边三角形，
， ，
，
点 的坐标为 ，∴
同理可得，
，
，
…，
所以 （n为正整数），
当 时，
故答案为：
18．②③④
【分析】由折叠性质得到 ，根据平行线性质得到
，再由三角形外角性质确定 ，设 ，
则 ，只有当 时结论①才成立；由 ，得到 ，结合折叠性
质求证即可得到②正确；在①的求证过程中可知 ，设 ，则
，从而由折叠性质表示出角度关系列方程求解即可得到③正确；在①的证明过程
中 ，结合外角性质即可得到④正确；从而得到答案．
【详解】解：由折叠性质得 ，
，，
，则 ，
是 的一个外角，
，
设 ，则 ，
当 时， ，
题中并未明确 的度数，故①错误；
，
，
由折叠性质可知 ，则 ，故②正确；
由折叠性质得 ，
由①的证明过程可知， ，
设 ，则 ，
，
，
，解得 ，即 ，故③正确；
由①知 ，
是 的一个外角，
，故④正确；
综上所述，题中正确的结论是②③④，
故答案为：②③④．【点睛】本题考查折叠求角度关系，涉及折叠性质、邻补角定义、三角形外角性质、平行线性质等知识，
数形结合，利用相关几何性质准确表示出各个角度之间的关系是解决问题的关键．
19．证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，过 作 于点 ，则
，根据等腰三角形的“三线合一”定理得 ，再证明 ，根
据全等三角形的性质即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，过 作 于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
20．(1)
(2)【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握轴对称的性质，三角形内角和定
理是解题的关键．
（1）由点E与点P关于 对称，点F与点P关于 对称， ，可得
， ，则 ， ， 根据
，求解作答即可；
（2）由点E与点P关于 对称，点F与点P关于 对称， ，可得 ， ，
即 ，由 ，可求 ，进而可得 的长．
【详解】（1）解：∵点E与点P关于 对称，点F与点P关于 对称， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵点E与点P关于 对称，点F与点P关于 对称， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
21．(1)
(2)3
【分析】本题是三角形综合题，考查了轴对称，三角形的中线，与角平分线有关的三角形内角和定理、三
角形外角的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
（1）由三角形内角和定理可求 ，由角平分线的性质和外角的性质可求解；
（2）根据对称的性质得到 ，由面积的和差关系可得
，从而得到 ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∴ ；
（2）∵ 关于 对称的 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
22．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，全等三角形的判定与性质，解题的关
键是理解题意并掌握这些知识点．
（1）根据 平分 得 ，根据 得 ，利用等角对等边即可得；
（2）作 于点D，利用 可证明 ，得到 ，然后证明出
，得到 ，进而求解即可．
【详解】（1）证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图所示，作 于点D，
∵ 于点C， 平分 ，
∴ ， ，∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
23．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可得 ，证明 ，即可得证；
（2）设 ，则 ，利用三角形内角和定理得 ，继而得到 ，
，再利用面积公式可得答案；
（3）过 作 于点 ，连接 ，可得 ，设 ，证明 和
，继而得到 ， ，即可得解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
由（1）知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
由（1）可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ；
（3）过 作 于点 ，连接 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
设 ，
由（2）及 是 的中点可知： ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
由（1）知： ，
∴ ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
∵ 是 的中点，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，直角三角形两锐角互余，等角对等边，三角形中线的性质，三
角形的面积等知识点．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．(1)见解析
(2) ，证明见解析
(3)
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟
练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据等边三角形的性质得出 ，从而得出 ，从而得出 ；
（2）取 的中点 ，连接 、 ，根据 和 为等边三角形，从而得出 和 全
等，然后得出 和 全等，从而得出答案；
（3）取 的中点 ，连接 、 、 ，根据题意得出 和 全等，然后得出 和
全等，设 ，则 ， ，根据题意列出一元一次方程求出 的值得出答案．
【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
取 的中点 ，连接 、 ，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图：取 的中点 ，连接 、 、 ，
由（2）得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，即 ．
