文档内容
九年级上学期期中【压轴 60 题考点专练】
一．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）
1．（2021秋•汤阴县期中）阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x ＝2，x ＝﹣1（不合题意，舍去）．
1 2
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x ＝1（不合题意，舍去），x ＝﹣2
1 2
∴原方程的根是x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是 ．
二．根的判别式（共1小题）
2．（2021秋•徐汇区校级期中）如果关于x的方程mx2﹣2（m+2）x+m+5＝0没有实数根，试判断关于x的
方程（m﹣5）x2﹣2（m﹣1）x+m＝0的根的情况．
三．一元二次方程的应用（共1小题）3．（2021秋•宿州期中）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出
了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据
市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发
商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．
（1）填表：（不需化简）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
单价（元） 80 40
销售量（件） 200
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
四．二次函数的性质（共1小题）
4．（2021秋•蒙城县校级期中）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为
“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y ＝2x2﹣4mx+2m2+1和y ＝ax2+bx+5，其中y 的图象经过点A（1，1），
1 2 1
若y +y 与y 为“同簇二次函数”，求函数y 的表达式，并求出当0≤x≤3时，y 的最大值．
1 2 1 2 2
五．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
5．（2021秋•铜山区期中）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△OA′B′的
面积．
六．二次函数的应用（共2小题）
6．（2021秋•蜀山区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6．若动点D从点B出发，
沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点
D运动的时间为x秒，AE的长为y．
（1）求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求出△BDE的面积S与x之间的函数关系式；
（3）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？
7．（2021秋•西城区期中）某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售
情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角
时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．
设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？
七．二次函数综合题（共46小题）
8．（2021秋•长沙期中）如图1，抛物线y＝tx2﹣16tx+48t（t为常数，t＜0）与x轴交于A，B两点（点A
在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）点A的坐标是 ，点B的坐标是 ；
（2）如图2，点D是抛物线上的一点，且位于第一象限，连接BD，延长BD交y轴于点E，若∠BCE＝∠BEC．
①求点D的坐标（用含t的式子表示）；
②若以点D为圆心，半径为8作 D，试判断 D与y轴的位置关系；
⊙ ⊙
（3）若该抛物线经过点（h， ），且对于任意实数x，不等式tx2﹣16tx+48t≤ 恒成立，求△BOC
外心F与内心I之间的距离．
9．（2021秋•章贡区期中）如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物
线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求3m+n的值；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求
出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图
象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个
公共点，求b的值．
10．（2021秋•思明区校级期中）已知抛物线 y＝x2﹣（m﹣1）x+（m﹣3）（m为常数，m＞1）．A
（m+4，y ），B（2m，y ）是该抛物线上不同的两点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点O逆时针旋转
1 2
90°得到直线a，过抛物线顶点P作PH⊥a于H．
（1）当m＝3时，求出这条抛物线的顶点坐标；
（2）若无论m取何值，抛物线与直线y＝x﹣m（ + +k）（k为常数）有且仅有一个公共点，求k的
值；
（3）当2＜PH≤4时，试比较y ，y 之间的大小．
1 2
11．（2021秋•洪山区期中）如图1，已知抛物线的解析式为y＝﹣ x2﹣ ，直线y＝kx﹣4k与x轴交于
M，与抛物线相交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）当k＝1时，直接写出A，B，M三点的横坐标：x ＝ ，x ＝ ，x ＝ ；
A B M
（2）作AP⊥x轴于P，BQ⊥x轴于Q，当k变化时，MP•MQ的值是否发生变化？若变化，求出其变化
范围；若不变，求出其值；（3）如图2，点E在抛物线上，作EF⊥x轴于F， E以EF为半径，且与y轴相交于定点G．
⊙
①求定点G的坐标；
②点G关于原点的对称点G 到直线y＝kx﹣4k距离的最大值是 ．（直接写出结果）
1
12．（2021秋•开福区校级期中）如图1，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A，B两点（点A位于点
B的左侧），与y轴负半轴交于点C，若AB＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF∥AC交抛物线于点F，过E作EG⊥x轴交
AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得以Q、C、B、O为顶点的四边形被对角线分成面积
相等的两部分？如果存在，求点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．13．（2021秋•昌江区校级期中）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的
坐标为（6，0）．抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接
PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式；
②当S最大时，在抛物线y＝﹣ x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2021秋•新罗区校级期中）已知二次函数 y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过点（1，2），
（2，5）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，过点E（0，2）的一次函数图象与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B点的左侧），
过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．
①当CD＝3时，求该一次函数的解析式；
②分别用S ，S ，S 表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问是否存在实数t，使得S 2＝tS S 都成立？
1 2 3 2 1 3
若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．15．（2021秋•潢川县期中）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C
（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且S△AOP ＝4S△BOC ，求点P的坐标；
（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．
16．（2021秋•灵宝市期中）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于
另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2021秋•天河区校级期中）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为
m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不
存在，说明理由．
18．（2021秋•上城区期中）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点B和点A（﹣1，0），与y轴交于
点C（0，4），与一次函数y＝x+a交于点A和点D．
（1）求出a、b、c的值；
（2）若直线AD上方的抛物线存在点E，可使得△EAD面积最大，求点E的坐标；
（3）点F为线段AD上的一个动点，点F到（2）中的点E的距离与到y轴的距离之和记为d，求d的最小值及此时点F的坐标．
19．（2021秋•清丰县校级期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A（﹣4，0），B（0，﹣4），C
（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．
求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
20．（2021秋•工业园区校级期中）如图1，直线l：y＝﹣ x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，二次函
数y＝ax2﹣2ax﹣2（a＞0）的图象经过点A，交y轴于点C．
（1）则点C坐标为 ；抛物线对称轴是 ；a的值是 ；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，经过点 M作x轴的垂线MD，交直线l于点E，过点C作
CD⊥MD，垂足为D，连接CM．设点M的横坐标为m．
①当点M位于第一象限的抛物线上，且△CDM是等腰直角三角形时，CM交直线l于点F，设点F至直线DM的距离d ，到y轴的距离为d ，求 的值．
1 2
②如图2，将△CDM绕点C逆时针旋转得至△CD′M′，且旋转角∠MCM′＝∠OAB，当点M的对
应点M′落在y轴上时，请直接写出点M的横坐标m的值．
21．（2021秋•汉阳区期中）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）的顶点为D，与x轴交于A，B两点（A在
B左边）．
（1）若该抛物线的顶点D坐标为（1，4），求其解析式；
（2）如图（1），已知抛物线的顶点D在直线l：y＝﹣x+3上滑动，且与直线l交于另一点E，若
△ADE的面积为 ，求抛物线顶点D的坐标；
（3）如图（2），在（1）的条件下，P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线BP，BQ分别与抛物线交于M，N两点，求MN与PQ满足的数量关系．
22．（2021秋•江北区校级期中）如图，已知二次函数y＝﹣x2+mx+n（m，n均为常数）的图象顶点为A，
与x轴交于B（﹣1，0）、C两点，与y轴交于点D（0，3）．
（1）求该抛物线解析式．
（2）如图1，连接AD交x轴于点E，连接AB交y轴于点K，点M是抛物线四象限且位于对称轴右侧图
象上一点，过点M作MP⊥AD交直线AD于点P，连接MD．若∠M＝∠BKO，求出点M的坐标，以及
此时△MDP的周长，并写出解答过程．（3）如图2，将抛物线y沿射线AE方向平移4 个单位后，得到一个新的二次函数记为y′，令y′
与y两函数图象相交于点Q，连接CQ，点R为原抛物线图象上一动点，点F为直线AE上一动点，是否
存在以点C，Q，R，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点R的坐标，并把求其中一个R
点的坐标的过程写出来．
23．（2021秋•江津区期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A
的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．
（1）b＝ ，c＝ （直接填写结果）；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的
坐标；若不存在，说明理由．24．（2021秋•黄石期中）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与直线y＝x+3交于A、C两点，与x轴交于点 B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，且在直线AC下方，当△ACP的面积为6时，求点P的坐标；
（3）D为抛物线上一点，E为抛物线的对称轴上一点，请直接写出以A，C，D，E为顶点的四边形为
平行四边形时点D的坐标．
25．（2021秋•工业园区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1．（1）当m＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（2）①求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
②若点（m﹣1，y ），（m，y ），（m+3，y ）都在抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1上，则y ，y ，y 的大
1 2 3 1 2 3
小关系为 ；
（3）直线y＝x+b与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线
y＝x2﹣2mx+m2﹣1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的
取值范围．
26．（2021秋•鼓楼区校级期中）已知顶点为A的抛物线y＝a（x﹣2）2（a≠0）交y轴于点B（0，2），
且与直线l交于不同的两点M、N（M、N不与点A重合）．（1）求抛物线的解析式；
（2）若∠MAN＝90°，
①试说明：直线l必过定点；
②过点A作AE⊥l，垂足为点E，求点B到点E的最短距离．
27．（2021秋•吉林期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，﹣4）、B（5，﹣10）在抛物线y＝
x2+bx+c上，点P为该抛物线上一点，其横坐标为m．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P与点A关于该抛物线的对称轴对称时，求△PAB的面积；
（3）当该抛物线在点B与点P之间部分（含点B和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为3时，求
m的值；
（4）点Q为该抛物线的对称轴上任意一点，当以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直
接写出点P的坐标．
28．（2021秋•开福区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于
A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段
MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的 B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是 B上一动
点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD⊙，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连⊙接FD．
①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点的坐标；
②求FD长度的取值范围．
29．（2021秋•古冶区期中）如图，直线y＝﹣ x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣ x2+bx+c
经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，并求抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O A ，若线段O A 与抛物线只有
1 1 1 1
一个公共点，请你直接写出m的取值范围．
30．（2021秋•林州市期中）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣
x+5经过点B（5，0），C（0，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴直线l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
31．（2021秋•林州市期中）如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点
B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求S△CAB ；
（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB 面积最大，若存在，
求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．（4）设点Q是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q，使S△QAB ＝S△CAB ，若存在，直接写出Q点的坐
标；若不存在，请说明理由．
32．（2021秋•千山区期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣
1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的
最大值和此时点P的坐标；
（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
33．（2021秋•姑苏区校级期中）如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与
y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；
（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当
△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．34．（2021秋•安阳期中）已知．在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OA＝2 ，若以O为坐标
原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB
折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．
（2）若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，连接MO、MC，问：点M位于何处时三角形
MOC的面积最大？并求出三角形MOC的最大面积．
（3）抛物线上是否存在点P，使∠OAP＝∠BOC？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
35．（2021秋•嘉祥县期中）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA
＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，
CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是 时，求△ABD的面积；
（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，
D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
36．（2021秋•海曙区校级期中）如图①，已知抛物线 的顶点为点P，与y轴交于点B．
点A坐标为（3，2）．点M为抛物线上一动点，以点M为圆心，MA为半径的圆交x轴于C，D两点
（点C在点D的左侧）．（1）如图②，当点M与点B重合时，求CD的长；
（2）当点M在抛物线上运动时，CD的长度是否发生变化？若变化，求出 CD关于点M横坐标x的函
数关系式；若不发生变化，求出CD的长；
（3）当△ACP与△ADP相似时，求出点C的坐标．
37．（2021秋•平邑县期中）如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A（﹣2，0）和点B，交y轴于点C
（0，2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点M在抛物线上，且S△AOM ＝2S△BOC ，求点M的坐标；（3）如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．
38．（2021秋•周村区校级期中）已知，抛物线y＝ x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A和点B（其
中点A在y轴左侧，点B在y轴右侧），对称轴直线x＝ 交x轴于点H．（1）若抛物线y＝ x2+bx+c经过点（﹣4，6），求抛物线的解析式；
（2）如图1，∠ACB＝90°，点P是抛物线y＝ x2+bx+c上位于y轴右侧的动点，且S△ABP ＝S△ABC ，求
点P的坐标；
（3）如图2，过点A作AQ∥BC交抛物线于点Q，若点Q的纵坐标为﹣ c，求点Q的坐标．
39．（2021秋•惠城区校级期中）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（2，﹣3）和（1，﹣
），与x轴从左至右分别交于点A、B，点M为抛物线的顶点．（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，
若不存在，请说明理由．
（3）连接BM，若点Q为线段OB上的一动点（点Q不与点B、点O重合），过点Q作x轴的垂线交线
段BM于点N，当点Q以1个单位/s的速度从点B向点O运动时，设运动时间为t，四边形OCNQ的面
积为S，求S与t之间的函数关系及自变量t的取值范围，并求出S的最值．
（4）若点R在抛物线上，且以点R、C、B为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出所有符合条件的
点R的坐标（不需要计算过程）．
40．（2021秋•肇源县期中）已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点
坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积S△MCB ．
41．（2021秋•饶平县校级期中）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，
0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不
存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求
出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
42．（2021秋•饶平县校级期中）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（ ， ）和
B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明
理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
43．（2021秋•越秀区校级期中）如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0， ）三点，设点
E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的
最大值？
（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，
请说明理由．
44．（2021秋•谷城县期中）如图，抛物线y＝﹣ x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物
线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出
P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置
时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
45．（2021秋•德城区校级期中）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左
边），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；
（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直
角三角形，求点Q的坐标．
46．（2021秋•大化县期中）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛
物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，
若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的
坐标．
47．（2021秋•曾都区期中）已知如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，
点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y
轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明
理由．
48．（2021秋•温江区校级期中）如图：抛物线 y＝ax2﹣4ax+m与x轴交于A、B两点，点A的坐标是
（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）过点C作CP⊥对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接AC、BP，且∠BPD＝∠BCP，求抛
物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为G，连接BG、CG、求△BCG的面积．49．（2021秋•上城区校级期中）如图，以矩形OCPD的顶点O为原点，它的两条边所在的直线分别为x
轴和y轴建立直角坐标系．以点P为圆心，PC为半径的 P与x轴的正半轴交于A、B两点，若抛物线
y＝ax2+bx+4经过A，B，C三点，且AB＝6． ⊙
（1）求 P的半径R的长；
⊙
（2）求该抛物线的解析式并直接写出该抛物线与 P的第四个交点E的坐标；
⊙
（3）若以AB为直径的圆与直线AC的交点为F，求AF的长．
50．（2021秋•涡阳县期中）如图，已知抛物线y＝ax2﹣4x+c经过点A（0，﹣6）和B（3，﹣9）．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在抛物线上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的
值及点Q的坐标；
（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点M，使得△QMA的周长最小．51．（2021秋•雷州市期中）如图所示，抛物线y＝ax2+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底
AD在x轴上，其中A（﹣2，0），B（﹣1，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A，B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；
（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD ＝4S△ABM 成立，求点P的坐标．52．（2021秋•广饶县期中）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣
3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存
在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求
此时E点的坐标．
53．（2021秋•广汉市期中）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在
两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y＝ax2+ax﹣2经过点B．
（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若
存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
八．垂径定理的应用（共1小题）
54．（2021秋•溧阳市期中）一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工
厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．
九．圆周角定理（共1小题）
55．（2021秋•越城区期中）已知：如图，等边△ABC内接于 O，点P是劣弧 上的一点（端点除外），
⊙
延长BP至D，使BD＝AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；
（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？
一十．切线的性质（共1小题）
56．（2021秋•涟水县期中）如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为
圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC＝60°，P是x轴上的一动点，连接CP．
（1）求∠OAC的度数；（2）如图①，当CP与 A相切时，求PO的长；
⊙
（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与 A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等
腰三角形？ ⊙
一十一．圆锥的计算（共1小题）
57．（2021秋•灌南县期中）铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为 16cm的正方
形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计
了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案
二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算可以吗？
（1）请说明方案一不可行的理由；
（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由．
一十二．旋转的性质（共2小题）
58．（2021秋•思明区校级期中）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD
的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG＝CG且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？
请直接写出你的猜想．
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？
请写出你的猜想，并加以证明．
59．（2021秋•鄂尔多斯期中）把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一
起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕
O点顺时针旋转（旋转角 满足条件：0°＜ ＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分
（如图②）． α α
（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；
（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH＝x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写
出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的 ？若存在，求
出此时x的值；若不存在，说明理由．
一十三．作图-旋转变换（共1小题）
60．（2021秋•莒南县期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直
角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）
①画出△ABC关于x轴对称的△A B C ；
1 1 1
②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A B C ；
2 2 2③△A B C 与△A B C 成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；
1 1 1 2 2 2
④△A B C 与△A B C 成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．
1 1 1 2 2 2
