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第13 章 轴对称（单元测试·基础卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列常见的手机软件图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 与 关于直线 对称，P为 上任一点（ ，P， 不共线），下列结论中不
正确的是（ ）
A． B． 垂直平分线段
C． 与 面积相等 D．直线 ， 的交点不一定在直线 上
3．如图， 中，点D在 边上，做点D关于直线 的对称点E，连接 ，做点D关于直线
的对称点F，连接 ． ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点 关于点 对称的点 在x轴上，则m的值为（ ）A． B． C． D．3
5．如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为 ，然后反射光
线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为
（ ）
A． B． C． D．
6．如图翻折纸带，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．70°
7．如图，分别以点 为圆心，大于 的长为半径作弧，连接两弧交点的直线交 于点 ，连接
AD．若 ， ，则 的周长是（ ）
A． B．8 C．11 D．13
8．如图，在 中， ， ，点P为直线 上一点，且 ，连接 ，则
的度数是（ ）A． B． C． 或 D． 或
9．如图，在 中， ， 的平分线交于点 ，过点 作 分别交 ， 于点 ，
，若 ， ，则 的周长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在 中， ， ，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交 于点M
和N，再分别以M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P，连接 并延长交 于点
D，若 ，则 的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如果点 和点 关于y轴对称，那么 的值是 ．
12．如图，在 中， ，点 是边 上一点，点 关于直线 的对称点为 ，当
时，则 的度数为 ．13．如图，在 中， 的垂直平分线分别交 于点E、F， ，则
的周长为 ．
14．如图， "，点E、F分别在射线 上， ， 的面积为10，点P是直线
上的动点，点P关于 对称的点为 ，点P关于 对称的点为 ，则 的面积最
小值为 ．
15．如图，点E在 上， 与 相交于点F， ， ， ，则 的度
数为 ．
16．如图，在等边 中， ， 是 延长线上一点，且 ， 是 上一点，且 ，
则 的长为 ．
17．如图， ，点M，N分别是边 ， 上的定点，点P，Q分别是边 ， 上的动点，记 ， ，当 的值最小时， 的大小 _______（度）．
18．如图，在 中， 于点 ，将 沿着 翻折得到 ，延长 交
于点 ，连接 ，设 ，以下四个结论：
（1）点 是 的中点；
（2）直线 是 的垂直平分线；
（3） ；
（4） ；
其中一定正确的是 （填写序号）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图1，在 中， ，垂足为 ．如图2，将 沿
所在直线翻折，使点 落在 边上，记为 ．
（1）若 ，求 的度数．
（2）若 ，则 的度数为______（用含 的代数式表示）．20．（8分）如图，在四边形 中， ，点 为边 上一点，连接 ．请用尺规作图法，
在 上找一点 ，使得 ．（保留作图痕迹，不写作法）
21．（10分）如图，在 中， ， ， 是边 上的中线， 的垂直平分线
交 于点 ，交 于点 ，点 是 上一点，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．22．（10分）如图，在四边形 中， ， 是 的中点，连接 并延长交 的延长线于
点 ，点 在 边上，且 ．
（1）求证： ．
（2）求证： ．
（3）连接 ， 垂直平分 吗？说明理由．
23．（10分）如图，在 中， ，以 为边作等边三角形 ．点E在 外，
， ．
（1）求 的度数；
（2）求证： 是等边三角形；
（3）连接 ，若 ， ，求 的长．24．（12分）【问题提出】如图1，在 中， ，D是 延长线上的点．连AD，以AD为
边作 （E、D在 同侧），使 ，连CE．若 ，判断CE与
的位置关系，并说明理由．
(1)【问题探究】先将问题特殊化．如图2，当D在线段 上， 时，直接写出 的度数
；
(2)再探究具体情形、如图1，判断CE与 的位置关系，并说明理由；
(3)如图3，在 中， ．点E为 外一点， 于D，
．求BD的长．参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
根据轴对称图形的定义：在一个平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
由此问题可求解．
【详解】解：符合轴对称图形的定义只有A选项；
故选：A．
2．D
【分析】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，轴对称的
三角形全等由此面积相等是解题的关键．
【详解】解： 与 关于直线 对称， 为 上任意一点，
垂直平分 ，
∴ ， 与 面积相等，故A，B，C选项不符合题意；
直线 ， 关于直线 对称，因此交点一定在 上，故D选项符合题意．
故选：D．
3．A
【分析】此题考查轴对称的性质，由点E和点F分别是点D关于 和 的对称点，得
，再根据 ，所以
，即可求出答案．
【详解】解： 点E和点F分别是点D关于 和 的对称点，
，
，
，
，
故选：A．
4．A
【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，过A作 轴于
H，则 ， ，由轴对称的性质得到 ，证明 ，得到，据此可得答案．
【详解】解：过A作 轴于H，
∵点 ，
∴ ， ，
∵点A与点 关于点 对称，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查轴对称的性质和平行线的性质，根据“入射光线与直线的夹角始终与反射光线与该直线
的夹角相等”得到 ，由平行线的性质可得 ，即可得出结论．熟练掌握平行线的性质是
解题的关键．
【详解】解：如图，∵从点光源 射出的光线射到直线 上的A点，入射角为 ，然后反射光线射到直线 上的 点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当这束光线继续从 点反射出去后，反射光线与直线 的夹角度数为 ．
故选：D
6．D
【分析】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，先由平行线的性质得出 ， ，因
为折叠得 ，再结合平角概念列式计算，即可作答．
【详解】解：如图：
∵纸带的两边平行
∴ ，
∵翻折
∴
∴
故选：D
7．B
【分析】本题考查了垂直平分线的作图及性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键，根据作图可得线段
AB的垂直平分线交 于点 ，可得 ，再根据三角形的周长计算方法即可求解．
【详解】解：根据作图可得，线段AB的垂直平分线交 于点 ，
∴ ，
∵ 的周长为： ，∴ ，
故选：B ．
8．C
【分析】本题考查了三角形内角和性质，等边对等角，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的
关键．注意点P为直线 上一点，分别作图，运用三角形内角和性质，等边对等角，三角形外角性质分
别列式计算，即可作答．
【详解】解：如图所示：
以点C为圆心， 为半径画弧，分别交直线 于两点，即 ,连接
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴
∵
∴
∴
故选：C
9．B
【分析】本题考查角平分线，等腰三角形，平行线的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定．根据角
平分线的定义，则 ， ；根据平行线的性质可证得 ，
，然后根据等角对等边，则 ， ，最后根据三角形的周长，即可．【详解】∵ ， 分别是 ， 的角平分线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：B．
10．C
【分析】作 于点 ，根据角平分线的性质得 ，由 知 ．本题主要
考查作图 基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质．
【详解】解：如图，作 于点 ，
为 的平分线，
，
，
则 ，
∴
故选：C．
11．5
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标为互为相反数，纵坐标
相同进行求解即可．
【详解】解：∵ 和点 关于y轴对称，
∴ ，
∴ ，
故答案为：5．
12． / 度
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，利用平行线的性质得到，则由平角的定义可得 ，然后根据轴对称的性质得到
，则可得∠CDB的度数，进而问题可求解．
【详解】解：∵
∴ ，
∴ ,
∵点B关于直线 的对称点为 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： .
13．13
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相
等是解答此题的关键．直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
【详解】解： 的垂直平分线分别交 于点E、F，
，
，
的周长为 ，
故答案为：13．
14． 90°/ 度
【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，，
先利用三角形的面积公式求出 ，再根据轴对称的性质可得 ， ，
，从而可得 ，然后利用三角形的面积公式可得 的面积为 ，根据垂
线段最短可得当点 与点 重合时， 取得最小值， 的面积最小，由此即可得．
【详解】解：如图，连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，∵ ，且 ，
∴ ，
∵点 关于 对称的点为 ，点 关于 对称的点为 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ，
由垂线段最短可知，当点 与点 重合时， 取得最小值，最小值为 ，
∴ 的面积的最小值为 ，
故答案为：90°； ．
15． /70度
【分析】本题主要考查全等三角形的性质、等边对等角和三角形内角和定理，根据题意得 ，结合全
等三角形的性质有 和 ，利用等边对等角和三角形内角和定理可求得 和 ，
即可求得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
那么， ．故答案为： ．
16．3
【分析】过点 作 于 ，先根据含 的直角三角形的性质求出 ，再根据等腰三角形的三线
合一性质求出 ，即可得出 ．本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含 的直角三
角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：过点 作 于 ；如图所示：
则 ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
；
故答案为：3．
17．50
【分析】本题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作M关于 的对称点 ，N
关于 的对称点 ，连接 ，交 于点P，交 于点Q，连接 ， ，可知此时
最小，此时 ， ，再根据三角形外角的性质和平角的定义
即可得出结论．
【详解】解：作M关于 的对称点 ，N关于 的对称点 ，连接 ，交 于点P，交 于点Q，连接 ， ，如图所示．
根据两点之间，线段最短，可知此时 最小，即 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ,
∴ ，
∴ ，
故答案为：50．
18．
【分析①】②本③题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据等腰
三角形三线合一的性质以及翻折的性质可判断 ，根据三角形内角和定理和平角的定义可判定 ．
【详解】解： ， ， ①② ③④
， ∵
∴即点 是 的中点，故 正确．
将 沿着 翻折得①到 ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，且 平分 ，
∴即直线 是 的垂直平分线；故 正确．
②
，
∵
，
∴ ，
∴，故 正确．
∴ ③
，
∵
，
∴
，故 错误．
∴ ④
综上 正确，
故答①案为②：③
19．(1) ①②③
(2)
【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义以及性质，折叠的性质，掌握翻折的性质
是解本题的关键；
（1）先得到 ，再根据折叠的性质得 ，根据三角形外角性质即可求解；
（2）由已知条件可得出 点落在线段 上时，同（1）解题过程一样求解即可．
【详解】（1）解： ， ，
，
由翻折的性质可得出 ，
∵ ，
；
（2）∵ ，且 点落在线段 上时，
∵ ，
，
由翻折可知
．
20．见解析．
【分析】本题考查作图 复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过点 作
于点 即可．
【详解】解：如图，点 即为所求．21．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形性质得 ， ，由此可
得 ，进而得 ，据此可得出结论；
（2）根据线段垂直平分线性质得 ，则 ，进而得 ，从而得
为等边三角形，则 ，在 中根据 得 ，由此得 ，
进而可得 的长．
【详解】（1）证明：在 中，
是边AB上的中线
， ，
（2） 是线段BD的垂直平分线为等边三角形
在 中， ，
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质以及含 度角的直角三角形，
熟练掌握等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、含 度角的直角三角形是解决问题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3) 垂直平分 ，见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识：
（1）根据 ，可得 ，可利用 证明 ，即可；
（2）根据 ，可得 ，再由 ，可得 ，即可；
（3）根据 ，可得 ，再根据等腰三角形的性质解答，即可．
【详解】（1）证明： ，
，
∵ 是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
；（2）证明： ，
，
，
，
．
（3）解：结论： 垂直平分线段 ．理由如下：
∵ ，
，
，
，
垂直平分线段 ．
23．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、含 角的直角三角形的特征：
（1）利用等边三角形的性质及 可得 ，进而可得 ，则可求解；
（2）利用 可证得 ，进而可得 ，再根据等边三角形的判定即可证结论；
（3）连接 ，可得 ，进而可得 ，再根据 即可求解；
熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．（2）证明：∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形．
（3）解：连接 ，如图：
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
24．(1)60°
(2)详见解析(3)5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质
等知识点，熟记相关结论进行几何推理是解题关键．
（1）证 即可求解；
（2）过D作 ，交 的延长线于F，证 得 ，即可求解；
（3）过A作 交CE的延长线于F，证 可得 ，再证
即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ 是等边三角形
∵ ，
∴ 是等边三角形
∴
∴
即：
∴
∴ ，
故答案为：
（2）解：过D作 ，交 的延长线于F，如图所示：
则 ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，∴
∵ ，
∴ ，
即 ，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
（3）解：过A作 交CE的延长线于F，如图所示：
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ．
