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第 14 章 整式的乘法与因式分解能力提升测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．下列因式分解变形正确的是（ ）
A． B．
8m2n+2mn=mn(8m+2) am2−an2=a(m−n) 2
C． D．
ma2−2am+m=m(a+1) 2 a2+2a−3=(a−1)(a+3)
2．计算 的结果是（ ）
(−2m) 3×(−m2)
A．8m6 B．−8m6 C．8m5 D．−8m5
3．已知a+b=5，ab=3，则a2+b2的值是（ ）
A．9 B．16 C．17 D．19
4．若4x2−bx+9是一个完全平方式，则b的值是（ ）
A．2 B．6 C．12 D．12或−12
5．观察下列等式：
；
(x−1)(x+1)=x2−1
；
(x−1)(x2+x+1)=x3−1
；…
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1
根据以上规律，则210+29+28+⋯+23+22+2+1的结果可以表示为（ ）
A．211 B．211−1 C．210 D．210−1
6．(
1−
1 )
×
(
1−
1 )
×⋅⋅⋅⋅⋅⋅×
(
1−
1 )
=
（ ）
22 32 102
1 11 1 11
A． B． C． D．
4 2 2 20
7．已知 ，则 的值为（ ）
(x+m)(x−n)=x2−3x−4 m−n
A．1 B．3 C．−1 D．−38．数学活动课上，小明用一张边长为4cm的正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计
成如图2的“天鹅”作品，该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（ ）
A．8cm2 B．7cm2 C．6cm2 D．5cm2
9．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 （n为非负整数）展开式的项数及各
(a+b) n
项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
(a+b) 0=1 (a+b) 1=a+b
(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3 1 ¿ ¿ ¿1 ¿1 ¿ ¿ ¿1¿¿¿1¿¿4¿¿6¿¿4¿¿4¿¿1¿¿5¿¿10¿¿10¿¿5¿¿1¿
1 ¿2 ¿1 ¿ ¿1 ¿3 ¿
(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
……
(a+b) 5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
按照上述规律，则 展开式中所有项的系数和是（ ）
(a+b) 10
A．29 B．29+2 C．210 D．210+2
10．如图，甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①(2a+b)(m+n)；②
m(2a+b)+n(2a+b)；③2a(m+n)+b(m+n)；④2am+2an+bm+bn．你认为正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
11．下列等式，成立的是（ ）
A．
(x+ y) 2=x2+ y2
B．
(−2m2) 3 =−8m6
C． D．
(4m+n)(n−4m)=16m2−n2 x2−x−2=(x−1)(x+2)
12．如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数(1,2,1)，恰
好对应 展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应
(a+b) 2=a2+2ab+b2的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算：
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
(1) 4 (1) 3 (1) 2 1 （ ）
+4× +6× +4× +1=
3 3 3 3
1 16 256 125
A． B． C． D．
81 81 81 81
二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．若mn=5，m−n=8，则m2n−mn2的值是 ．
14．如果(2x−1)(x+a)的结果中不含x的一次项，那么实数a的值为 ．
15．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是 ．
16．先阅读下列材料，再解答问题．材料：因式分解： ．
(x+ y) 2+2(x+ y)+1
解：将“ ”看成整体，设 ，则原式 ．
x+ y x+ y=m =m2+2m+1=(m+1) 2
再将 代入，得原式 ．
x+ y=m =(x+ y+1) 2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题过程中常用的一种思想方法．请你写出下
列因式分解的结果：
（1） ；
1−2(x−y)+(x−y) 2=
（2） ；
25(a−1) 2−10(a−1)+1=
（3） .
(y2−4 y)(y2−4 y+8)+16=
17．如图，分别以长方形ABCD的BC，CD为边向外做正方形BEFC和正方形DCGH，长EF，HG交于
点I．若正方形BEFC和正方形DCGH的面积和为13，长方形ABCD面积为6，则正方形AEIH的周长为．
18．多项式a2−2ab+2b2−6b+27的最小值为 ．
三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：
(1) a2·a4+(−2a2) 3 +a8÷a2 ；
(2)y(3−4 y)−(x+2y)(x−2y)．
20．（6分）因式分解：
(1) ； (2) ．
4x2−16x+16 a2(x−y)+9b2(y−x)
1
21．（6分）先化简，再求值：[(x−2y) 2−(x+ y)(3x−y)−5 y2)÷(2x)，其中x=−2，y= ．
2
22．（6分）乘法公式的探究及应用．(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ．（写成多项
式乘法的形式）
(3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用式子表达）
(4)运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7
②(2m+n−p)(2m−n+p)
23．（6分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有其他多项式只用上述方法无法分解，
如 x²−4 y²−2x+4 y．观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，
前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程
为： x²−4 y²−2x+4 y=(x+2y)(x−2y)−2(x−2y)=(x− 2y)(x+2y−2)，这种分解因式的
方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题．
(1)分解因式：x²−9 y²−2x+6 y；
(2)分解因式：x²−8xy+16 y²−1；
(3)已知 △ABC的三边长分别为a、b、c，且满足 a²−ab−ac+bc=0，判断△ABC的形状．
24．（6分）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一
个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.例如，由图①，可得等式： ．
(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2
(1)如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形
式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来，
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c=10,a2+b2+c2=38，求ab+bc+ac的值．
(3)如图③，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结BD和
BF，若这两个正方形的边长满足a+b=10,ab=20，请求出阴影部分的面积．
25．（6分）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式 变形为 的形式，然后由
x2+bx+c (x+m) 2+n
就可求出多项式 的最小值．例题：求多项式 的最小值．
(x+m) 2≥0 x2+bx+c x2−6x+11
解： ，
x2−6x+11=(x−3) 2+2
，
∵(x−3) 2≥0
，
∴(x−3) 2+2≥2
当时， ．
∴ x=3 (x−3) 2+2=2
有最小值，最小值为2，即 的最小值为2．
∴(x−3) 2+2 x2−6x+11
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
(1)【理解探究】填空：①代数式A=x2−10x+30，则A的最小值为____________；
②代数式B=−y2+8 y−10，则B的最大值为____________；
(2)【类比应用】
我校劳动课基地有甲、乙两块长方形种植园，已知甲种植园的两边长分别是(3a+2)米、(2a+5)米，
乙种植园的两边长分别是5a米、(a+5)米，试比较这两块种植园的面积S 和S 的大小，并说明理由；
甲 乙
(3)【拓展升华】
如图，△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=10cm，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点
M从A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当其中
一点到达终点时，两点同时停止．设时间为t，则当t为何值时，S 的值最大，最大值为多少？
△MCN
26．（6分）阅读材料：
若x满足 ，求 的值．
(30−x)(x−10)=60 (30−x) 2+(x−10) 2
解：设30−x=a，x−10=b，则(30−x)(x−10)=ab=60，a+b=(30−x)+(x−10)=20，
．
(30−x) 2+(x−10) 2=a2+b2=(a+b) 2−2ab=202−2×60=280
解决问题：(1)若x满足 ，则 __________；
(100−x)(x−95)=5 (100−x) 2+(x−95) 2=
(2)若x满足 ，求 的值；
(2023−x) 2+(x−2020) 2=2021 (2023−x)(x−2020)
(3)如图，在长方形ABCD中，AB=10，BC=6，点E、F分别是BC、CD上的点，且BE=DF=x，
分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为40，
求图中阴影部分的面积和．
