文档内容
秘籍 01 排列与组合
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：对两个计数原理理解混乱
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】排列数与组合数（押题型）
【题型二】 人坐座位模型1：相邻捆绑与不相邻插空
【题型三】 人坐座位模型2：染色（平面、空间）
【题型四】 分配问题：球不同，盒不同
【题型五】 分配问题：球同，盒不同
【题型六】 书架插书模型
【题型七】 代替元法：最短路径
【题型八】 代替元法： 空车位停车等
【题型九】 环排问题：直排策略
【题型十】 数列思想：上楼梯等
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 排列组合题型考察
排列组合和二项式定理是高考热点知识点，有了多选题型后常和概率结合起来考察，所以需要考生对
于排列组合的基础题型有所了解，以及一些特殊的方法，这块有很多固定的题型，当然在掌握题型的基础
上还需要明白其原理，能够冷静分析，合理运用好排列组合的解题思维。
根据高考回归课本的趋势，排列数与组合数的运算以及术与式的归纳理解要求要相继变高，而这块内
容也是因为传统的固定题型容易被学生忽略的知识点，需要重视起来。易错点：对两个计数原理理解混乱
两个计数原理
完成一件事的策略 完成这件事共有的方法
分类加法 有两类不同方案❶，在第1类方案中有m种不同
N＝m＋n种不同的方法
计数原理 的方法，在第2类方案中有n种不同的方法
分步乘法 需要两个步骤❷，做第1步有m种不同的方法，
N＝m×n种不同的方法
计数原理 做第2步有n种不同的方法
(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法
就可完成这件事.
(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.
(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成
这件事.
(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.
易错提醒：1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方
法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有
N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.
2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的
方法……做第n步有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.
例 设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意
一面下山，则下列结论正确的是（ ）
A．从东面上山有20种走法 B．从西面上山有27种走法
C．从南面上山有30种走法 D．从北面上山有32种走法
破解：若从东面上山，则上山走法有2种，下山走法有10种，由分步计数原理可得共有20种走法；
若从西面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法；
若从南面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法；
若从北面上山，则上山走法有4种，下山走法有8种，由分步计数原理可得共有32种走法；
故选：ABD
变式1：近年来，重庆以独特的地形地貌、城市景观和丰富的美食吸引着各地游客，成为“网红城市”．
远道而来的小明计划用2天的时间游览以下五个景点：解放碑、洪崖洞、重庆大剧院、“轻轨穿楼”打卡
点、磁器口，另外还要安排一次自由购物，因此共计6项内容．现将每天分成上午、下午、晚上3个时间
段，每个时段完成1项内容，其中大剧院与洪崖洞的时段必须安排在同一天且相邻，洪崖洞必须安排在晚
上，“轻轨穿楼”必须安排在白天，其余项目没有限制，那么共有 种方案.变式2：从 ， ， ， ， ， ， 这 个数字中取出 个数字，试问：
(1)有多少个没有重复数字的排列
(2)能组成多少个没有重复数字的四位数
【题型一】排列数与组合数（押题型）
1.排列、组合的定义
排列的 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元
从 n 个不同元
定义 素的一个排列
素 中 取 出
组合的
m(m≤n)个元素 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
定义
2.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
从 n 个 不 同 元 素 中 取 出
定 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n，m，
m(m≤n，m，n∈N*)个元素的
义 n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
所有不同排列的个数
＝n(n－1)(n－2)…(n－m
公
式
＋1)＝
＝
性
＝n！，0！＝1 ＝1， ，
质
正确理解组合数的性质
(1) ：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数.
(2) ：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有
种方法；②含特殊元素A有 种方法.
【例1】组合数 恒等于（ ）A． B． C． D．
【例2】规定 ，其中 ，m是正整数，且 ，这是组合数 （n，m是正
整数，且 ）的一种推广．
(1)求 的值．
(2)组合数的两个性质：① ；② 是否都能推广到 （ ，m是正整数）的情形？
若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
(3)已知组合数 是正整数，证明：当 ，m是正整数时， ．
【例3】（1）求 的值；
（2）设m，n N*，n≥m，求证：
（m+1） +（m+2） +（m+3） + +n +（n+1） =（m+1） .
【变式1】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）（多选）若 ， 为正整数且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·山东济南·一模）（多选）下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2024·安徽合肥·一模）“ 数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设 是非零实数，对任意
，定义“ 数” 利用“ 数”可定义“ 阶乘”
和“ 组合数”，即对任意 ，
(1)计算： ；
(2)证明：对于任意 ，
(3)证明：对于任意 ，【题型二】 人坐座位模型1：相邻捆绑与不相邻插空
人坐座位模型：
特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，
剩余座位随人排列。
主要典型题：1.捆绑法;2.插空法；3.染色。
出现两个实践重叠，必要时候，可以使用容斥原理来等价处理：
容斥原理
【例1】高二年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若
采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的
2位同学没有被排在一起的概率为：（ ）
A． B． C． D．
【例2】某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、
乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有
A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种
【例3】在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着
出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为
A．30 B．36 C．60 D．72
【变式1】（2023·陕西安康·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，
2，3，5，8，…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为
他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（ ）
A．144 B．120 C．108 D．96
【变式2】现有7位同学（分别编号为 ）排成一排拍照，若其中 三人互不相邻，
两人也不相邻，而 两人必须相邻，则不同的排法总数为 ．（用数字作答）
【变式3】 “迎冬奥，跨新年，向未来”，水球中学将开展自由式滑雪接力赛．自由式滑雪接力赛设有空
中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三个项目，参赛选手每人展示其中一个项目．现安排两名男生和两名女生组
队参赛，若要求相邻出场选手展示不同项目，女生中至少一人展示雪上芭蕾项目，且三个项目均有所展示，
则共有 种出场顺序与项目展示方案．（用数字作答）
【题型三】 人坐座位模型2：染色（平面、空间）
染色问题：1.用了几种颜色
2.尽量先从公共相邻区域开始。
空间几何体，可以“拍扁”，转化为平面图形
【例1】如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，
其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有
A．360种 B．720种 C．780种 D．840种
【例2】某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其 5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面所
涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A．1080种 B．720种 C．660种 D．600种
【例3】如图，用5种不同的颜色给图中的 、 、 、 、 、 6个不同的点涂色，要求每个点涂1种
颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有 种.
【变式1】如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条
线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用A．288种 B．264种 C．240种 D．168种
【变式2】如图，一圆形信号灯分成 四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每
块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．42
【变式3】如图，圆被其内接三角形分为4块，现有5种颜色准备用来涂这4块，要求每块涂一种颜色，且
相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有
A．360种 B．320种 C．108种 D．96种
【题型四】 分配问题：球不同，盒不同
球不同，盒不同（主要的）
方法技巧：盒子可空，指数幂形式，盒的球次幂，盒子不可空“先分组再排列”分类讨论
注意平均分组时需要除以组数的全排列。
【例1】（2024高三下·全国·专题练习）8张不同的邮票，按下列要求各有多少种不同的分法？（用式子表
示）
(1)平均分成四份；
(2)平均分给甲、乙、丙、丁四人；
(3)分成三份，一份4张，一份2张，一份2张；
(4)分给甲、乙、丙三人，甲4张，乙2张，丙2张；(5)分给三人，一人4张，一人2张，一人2张；
(6)分成三份，一份1张，一份2张，一份5张；
(7)分给甲、乙、丙三人，甲得1张，乙得2张，丙得5张；
(8)分给甲、乙、丙三人，一人1张，一人2张，一人5张．
【例2】如图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否
则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均
分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（
）
A． B． C． D．
【例3】（23-24高三上·云南昆明·开学考试）现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，
已知书籍 分发给了甲，则不同的分发方式种数是 .（用数字作答）
【变式1】（2023·山东烟台·三模）教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，
毕业后分配到相应的地区任教．现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，
则（ ）
A．甲学校没有女大学生的概率为
B．甲学校至少有两名女大学生的概率为
C．每所学校都有男大学生的概率为
D．乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为
【变式2】某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2
名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ）
A．48 B．54 C．60 D．72
【变式3】已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（ ）
A．150 B．240 C．390 D．1440
【题型五】 分配问题：球同，盒不同
球相同，盒子不同
方法技巧：盒子不可空用挡板法，盒子可空用接球法。
【例1】1.10块相同的巧克力，每天至少吃一块，5天吃完，有 种方法；若10块相同的巧克力，每
天至少吃一块，直到吃完为止又有 种方法．（用数字作答）
【例2】（2024高三下·江苏·专题练习）某校将8个足球赛志愿者名额分配到高一年级的四个班级，每班
至少一个名额，则不同的分配方法共有 种（用数字作答）.
【例3】按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？
（1）5个不同的小球放入3个不同的盒子；
（2）5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（3）5个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（4）5个不同的小球放入3个不同的盒子，恰有1个空盒．
【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均
装2个球，则不同的装法种数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式2】（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，
要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（ ）
A．90种 B．120种 C．160种 D．190种
【变式3】（2023高三上·全国·专题练习）（要求每个盒子可空）将8个相同的小球分别放入4个不同的盒
子中，每个盒子可空，有多少种不同的放法？
【题型六】 书架插书模型
（1）书架上原有书的顺序不变；（2）新书要一本一本插；
（2）定序问题可使用倍缩法。
【例1】有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其
他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）A．168 B．260 C．840 D．560
【例2】书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺序不变，则不
同的插法种数为（ ）.
A．60 B．120 C．336 D．504
【例3】（21-22高二下·重庆渝中·阶段练习）一张节目单上原有8个节目，现临时再插入A，B，C三个新
节目，如果保持原来8个节目的相对顺序不变，节目B要排在另外两个新节目之间（也可以不相邻），则
有 种不同的插入方法．（用数字作答）
【变式1】（2023·陕西宝鸡·模拟预测）2022年10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕.
某班举行了以“礼赞二十大､奋进新征程”为主题的联欢晩会，原定的 个学生节目已排成节目单，开演前
又临时增加了两个教师节目，如果将这两个教师节目插入到原节目单中，那么不同的插法的种数为（ ）
A．42 B．30 C．20 D．12
【变式2】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节
目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）
A．6 B．12 C．15 D．30
【变式3】（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）书架上已有《诗经》、《西游记》、《菜根谭》、
《呐喊》、《文化苦旅》五本书，现欲将《围城》、《骆驼祥子》、《四世同堂》三本书放回到书架上，
要求不打乱原有五本书的顺序，且《骆驼祥子》和《四世同堂》必须相邻，则不同的放法共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【题型七】 代替元法：最短路径
左右上下移动的最短距离，可以把移动方向看做字母，比如，向右是字母A，向上是字母B，则移动几步
就是几个A，与B相同元素排列
代替元法：标记元素为数字或字母，重新组合，特别适用于“相同元素”
【例1】格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点.一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原
点的“格点距离”（如： ，则点 到原点的格点距离为 ）.格点距离为定值的点的轨迹称为
“格点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径.当格点半径为6时，格点圆的半
径有 条（用数字作答）.
（多选）【例2】（2023·江苏·高二专题练习）2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参
加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法
正确的是（ ）A．小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
B．小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
C．小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
D．小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F；
事件B：从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
【例3】如图所示是某个区域的街道示意图（每个小矩形的边表示街道），那么从 到 的最短线路有
（ ）条
A． B． C． D．
【变式1】有一道路网如图所示，通过这一路网从A点出发不经过C、D点到达B点的最短路径有
___________种.
【变式2】某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），
则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 条．
【变式3】由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，
从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有（ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
【题型八】 代替元法： 空车位停车等
这类题大多可以用字母元来代替转化为简单的问题从而解决问题。
【例1】某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位中恰好
有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ）
A．240 B．360 C．480 D．720
【例2】马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其
中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有
种
【例3】现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车
位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有_________种.
【变式1】（2020·浙江·模拟预测）现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要
求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有 种.
【变式2】（2023·江西新余·二模）据中国汽车工业协会统计显示，2022年我国新能源汽车持续爆发式增
长，购买电动汽车的家庭越来越多.某学校为方便驾驶电动汽车的教职工提供充电便利，在停车场开展充电
桩安装试点.如下图，试点区域共有十个车位，安装了三个充电桩，每个充电桩只能给其南北两侧车位中的
一辆电动汽车充电.现有3辆燃油车和2辆电动汽车同时随机停入试点区域（停车前所有车位都空置），请
问2辆电动汽车能同时充上电的概率为（ ）A． B． C． D．
【变式3】甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每
辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车
不同的搭配方式有
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【题型九】 环排问题：直排策略
环排问题即为手拉手围一圈的模型，此类问题以一人为中心考虑，比如三人手拉手围一圈，以其中一人为
中心将其一分为二，即变成中间两人全排列问题，再合起来即为一圈。
【例1】已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置
后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有 位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左
边的站法共有 种，那么这 位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，
3个小孩均不相邻的站法种数是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
【变式1】（23-24高三下·江西·开学考试）“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国
《易经》的四象八卦组合.当A，B，C三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC”与该排列旋转一个或
几个位置得到的排列“BCA”或“CAB”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为
.（用数字作答）
【变式2】现有m位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有60种，那么这m位同学围成一
个圆时，不同的站法种数为 （用数字作答）．
【题型十】 数列思想：上楼梯等
1.斐波那契数列数列构造求解
2.可以把台阶转化为数字化型，一次一阶，记为数字1，一步两阶记为数字2，以此类推，这样上台阶转化
为数字1,2，。。排列，注意重复元素的排列
【例1】欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有A．34种 B．55种
C．89种 D．144种
【例2】斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称
为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在数学上，斐波那契数
列以如下被递推的方法定义： ， ， .这种递推方法
适合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两
个台阶，则他到二楼就餐有（ ）种上楼方法.
A．377 B．610 C．987 D．1597
【例3】设整数数列 ， ，…， 满足 ， ，且 ， ，则
这样的数列的个数为___________.
【变式1】（2023·江苏扬州·模拟预测）某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也
可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步走完，则第二步走两级台阶的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高三上·河南南阳·期末）某楼梯共有 个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上 个或
者 个台阶，则小明不同的上楼方法共有 种．（用数字作答）
