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2025-2026 学年八年级下册数学单元自测
第二十章 勾股定理·基础通关
建议用时：60分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列属于勾股数的是（ ）
A．2，4，5 B．2，5，8 C．5，12，19 D．6，8，10
2．满足下列条件的 ，不是直角三角形的是（）
A． B．
C． D．
3．已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边上的高为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．3 D．4
4．如图，在 中， ，以 的三边为边向外作三个正方形， 、 、 分别表示这
三个正方形的面积，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，根据尺规作图痕迹，可以判断弧线与数轴的交点C表示的数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在 中， ，将 折叠，使点C落在 边上的点E处， 是折痕，
则 的周长为（ ）
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7．如图，在一个长方形草坪 上，放着一根长方体的木块，已知 ， ，该木块的较
长边与 平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是
（ ）
A．13m B．10m C． D．
8．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，
故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对 周髀算经 内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外
一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不
能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，某同学用圆规 画一个半径为 的圆，测得此时 ，为了画一个半径更大的同心圆，
固定 端不动，将 端向左移至 处，此时测得 ，则 的长为（ ）
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10．如图， ，过点P作 且 ，再过点 ，作 且 ，又过点 作
且 ，…依此法继续作下去，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在 中， ，如果 ，那么 ．
12．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足 ，则这个三角形按形状分类是
三角形．
13．如图， 中， ， 平分 交 于点D， ， ，则点D到 的距
离为 ．
14．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳 与地面垂直，向前荡起到最高点B处时距地面
竖直高度 为 ，摆动水平距离 为 ，最高点 处距离秋千顶端O的竖直高度 为 ；然
后向后摆到最高点 处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且 与 成 角，则小丽在 处时距离地面
的竖直高度 的长度是 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司15．如图1，是直角边长分别为 的直角三角形，用这样4个形状、大小完全相同的直角三角形分
别拼成了如图2、图3的正方形，已知正方形 的面积为125，正方形 的面积是5，那么图1中
直角三角形的面积是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中， ， 两点分别在 轴， 轴上，点 的坐标为 ，点 的坐标为
，点 为射线 上一动点，点 关于直线 的对称点为点 ，当 为直角三角形时， 的长
为 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．（1）在 中， ， ， ，求 ．
（2）在 中， ， ， ，求 的长．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司18．如图，一架梯子 长 ，斜靠在一竖直的墙 上，此时梯子顶端 A到地面的距离为 ．
(1)求梯子底端B到墙角O的距离；
(2)如果梯子的顶端 A沿墙下滑 ，那么梯子底端 B 将向外移动多少米？
19．如图①是小华同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点 （ 的三个顶
点都在正方形的顶点处）．
(1)由图①可知 ，则 ______， ______．
(2)请你在图②的正方形网格中，补画出格点 ，其中 ， ，并求出 的面积．
（只要画出一个符合条件的 ）
20．如图，有一架救火飞机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且直线 上A，B
两点与点C的距离分别为 和 ，又 ，飞机中心周围 以内可以受到洒水影响．
(1)着火点C受洒水影响吗？为什么？
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司(2)若飞机以 的速度沿直线 匀速飞行，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火
点C能否被扑灭？
21．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名
的数学家，也有数学爱好者．
(1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形， ，请推导勾
股定理．
(2)如图2，在 中， ，垂足为H，求 的长．
22．【合作探究】如图①，在 中， ，过点 作 交 于点 ，求
的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
（1）设 ，则 ____________（用含 的代数式表示）；
（2）请根据勾股定理，利用 作为“桥梁”，建立方程，并求出 的值；
【类比应用】如图②，在 ， ，求 的面积．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司23．八年级数学小组以“直角三角形的折叠”为主题，开展数学探究活动．
如图①，已知，在 中， ， ， ，点D是边 上一动点， 于点
(1)【操作判断】如图②，将 沿直线 折叠，点C恰好与点A重合，则 与 的数量关系是
______；
(2)【问题解决】在（1）的条件下，求 的长；
(3)【问题探究】将 沿直线 折叠，点C落在边 上的点F处，连接 ，当 是等边三角
形时，直接写出 的面积．
24．阅读并回答下列问题
【几何模型】（1）如图①， 、 是直线 同侧的两个定点，问题：在直线 上找一点 ，使 值最
小．
方法：如图②，作 点关于 的对称点 ，连接 交 于 点，则 为所求作的点．试说明理由．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司【模型应用】（2）如图③，若 、 两点在直线 同侧，分别过点 、 作 ， ， 为
线段 上一动点，连接 、 ．已知 ， ， ，设 ．请问点 满足什么条件
时， 的值最小，并求出最小值；
【拓展应用】（3）直接写出代数式 的最小值．
25．在 中， ，点D，E分别是边 上的点，连接 ．
(1)若点E为 的中点， ，则 是__________三角形．（填“等腰”“等边”
或“直角”）
(2)如图1，连接 ，若 平分 ，求 的长．
(3)如图2，点 在边 上运动，连接 ， 始终保持与 相等， 是 的垂直平分线，交 于
点 ．
①判断 与 的位置关系，并说明理由；
②若 ，求 的长．
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