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第24 章 圆（单元测试·培优卷）
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1．（22-23九年级上·云南红河·期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．顶点在圆心的角是圆心角 B．半径是弦
C．长度相等的弧是等弧 D．同一个圆内的弦都相等
2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，在 中，点 为 的中点，半径 交弦AB于点 ，已
知 ， ，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知 ， ， 三点可以确定一个圆，则以
下 点坐标不满足要求的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·重庆江北·阶段练习）如图， 是 的直径，点 ， 在圆上，且 经过 中
点 ，连接 并延长，与 的延长线相交于点 ，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
5．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）如图， 为 的直径，点 是 的中点，过点 作于点 ，延长 交 于点 ．若 ， ，则 的直径长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·江苏苏州·模拟预测）如图，扇形 中， ，半径 是 的中点，
，交 于点 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图， ， ， 是 上的三个点，若 ， ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，以 的一边 为直径的半圆与其他两边 ，
分别交于点D，E，且E为 的中点，若 ， ，则 的长为（ ）A．7 B．7.5 C． D．
9．（2024·江苏徐州·一模）如图， ， ， ，点 在 上运动，当 最大
时，则 的长度是（ ）
A．15 B．20 C． D．
10．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在 中， ， ，现以三角形的
一条边为直径作圆，圆与另外两条边所在的直线交于点D，E（D，E不与 的顶点重合），则 的
长为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或2π D． 或
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图， 是 的外接圆， 是 的高，且
， ， ，E是 上一个动点，不与A，C重合，则 ．12．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中， 过原点 ，交 轴， 轴分
别于点 ．若点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
13．（23-24九年级上·天津·期末）如图，在 中， ， 的内切圆 与
分别相切于点D、E、F，若 的半径为2， ，则 的长 ．
14．（21-22九年级上·江苏扬州·期中）如图， 为 的直径，弦 于点 ，直线 切 于点
，延长 交 于点 ，若 ， ，则 的长度为 ．
15．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在圆内接正六边形 中， ， 分别交 于点 ，
，若该圆的半径为12，则线段 的长为 ．16．（23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图， 是 的直径，点 在 上， 于
交 于点 ， ， ， ，则 的半径为 ．
17．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图， 是⊙ 的直径， 、 、 、 是 上的点，过点
作为 切线交 延长线于点 ，若 ， ，则 半径是 ．
18．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知 是 的直径，点C为圆上一点．将 沿弦
翻折，交 于D，把 沿直径 翻折，交 于点E，作 ，若点E恰好是翻折后的
的中点，则 的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（本小题满分8分）（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 是 的弦，C是AB上的一点，且
．若 的半径为6，求弦 的长．
20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，在 中， ，D为边
上的点，以AD为直径作 ，连接BD并延长交 于点E，连接CE， ．
(1)求证：CE是 的切线；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在 中， ，以 为直
径的 分别交 、 于点D、G，过点D作 于点E，交 的延长线于点F．
(1)求证： 与 相切；
(2)当 时，求阴影部分的面积．22．（本小题满分10分）（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，已知 是 的直径， ， 是
两侧圆上的动点，且 ，过点 作 ，交直径 于点 ，连结 ， ．
(1)求证： ；
(2)试判断四边形 的形状，并说明理由；
(3)若 ， ，求 的长．
23．（本小题满分10分）（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 为 的一条弦， 切 于点
，直线 交 于点E，交 于点C．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 交直线 于点D，交 于另一点F．
①求证： ；
②若 ，求 的半径．
24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·湖南长沙·期中）已知 为 的外接圆， ．
(1)如图1，延长 至点 ，使 ，连接 ．
①求证： 为直角三角形；
②若 的半径为4， ，求 的值；
(2)如图2，若 ， 为 上的一点，且点 ， 位于 两侧，作 关于 对称的图形
，延长 交 于点 ，连接 和 ；试猜想 ， ， 三者之间的数量关系并给予证
明．参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C B B D B D D A
1．A
【分析】本题考查了命题与定理、圆的相关知识点，根据圆的相关概念逐项判断即可得出答案，熟练掌握
圆的相关概念是解此题的关键．
【详解】解：A、顶点在圆心的角是圆心角，原说法正确，故该选项符合题意；
B、半径不是弦，原说法错误，故该选项不符合题意；
C、同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原说法错误，故该选项不符合题意；
D、同一个圆内的弦不一定相等，原说法错误，故该选项不符合题意；
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，连接 ， ，先根据圆心角定理的推论
可得 ，再根据等腰三角形的三线合一可得 ，由垂径定理得 ，然
后在 中，利用勾股定理求得 ，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接 ， ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
故选： ．
3．C
【分析】考查了确定圆的条件及一次函数图象与点的关系，解题的关键是了解“不在同一直线上的三点确
定一个圆”，难度不大．利用待定系数法求出直线 的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同
一直线上的三点能确定一个圆，由于 在直线 上，可知答案．【详解】解：设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
A、当 ， ，故 不在直线 上，根据不在同一直线三点确定一个圆得
与 ， 可以确定一个圆，故本选项不符合题意；
B、当 ， ，同理，故本选项不符合题意；
C、当 ， ，故(−1,7)在直线 上，故不能确定一个圆，故本选项符合题意；
D、 ， ，同理，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．B
【分析】由题意易得 ，即 ，则有 ，进而可得 ，然
后根据三角形外角的性质是可进行求解．
本题主要考查垂径定理的推论及圆周角定理，熟练掌握垂径定理的推论及圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵ 经过 中点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．5．B
【分析】连接 ，首先证明 ，设 ,在 中，利用勾股定理构建方程即可解决
问题
【详解】解：如图，连接 ．
，
， ，
点D是弧 的中点，
，
，
，
，
设 ,
在 中，则有 ，
解得 ，
，
故选：B．
【点拨】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程
解决问题，属于中考常考题型．
6．D
【分析】连接OC，延长CD交OB于点E，如图，易得△AOB、△COE、△BDE都是等腰直角三角形，然后
根据等腰直角三角形的性质求出CE与DE的长，从而可得答案．
【详解】解：连接OC，延长CD交OB于点E，如图，∵ ， 是 的中点，
∴∠COE=45°，
∵ ， ，
∴CE⊥OB，
∴∠OCE=∠COE=45°，
∴CE=OE= ，
∴BE=OB－OE= ，
∵OA=OB， ，
∴∠ABO=45°，
∴∠BDE=∠ABO=45°，
∴EB=ED= ，
∴CD=CE－DE= ．
故选：D．
【点拨】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握
等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键．
7．B
【分析】本题考查圆周角定理及圆的基本性质，由 得 ，再根据等边对等
角得 ，由三角形内角和定理得 ，可得结论．解题的关键
是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
【详解】解：∵在 中， 和 所对的弧是 ， ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数为 ．
故选：B。
8．D
【分析】本题主要考查圆周角的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握圆周角的性质及勾股
定理是解题的关键；连接 ，由题意易得 ，则有 ，设 ，则 ，然
后根据勾股定理可建立方程进行求解．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ 为直径，
∴ ，即 ，
∵E为 的中点，
∴ ，
设 ，则 ，根据勾股定理可得：
，即 ，
解得： ，
∴ ；
故选D．
9．D
【分析】本题考查了三点共圆，切线的判定，含 的直角三角形，勾股定理，解题的关键是正确的作图，
理解当P运动到圆上时， 最大；过 的中点Q作 于P，由含 的直角三角形的性质，
可推出 三点共圆，可证 与圆Q相切于P，进而推出此时 最大，再由勾股定理求解即可；【详解】过 的中点Q作 于P，则 ，
Q是 的中点， ，
，
，
， ，
，
，
三点在以Q为圆心的圆上，
，
与圆Q相切与P，
此时 最大，
在 中， ，
故选： ．
10．A
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的性质等，分两种情况讨论，作出图形，根据等
腰三角形的性质，利用圆周角定理求得∠DOE的度数，然后求得圆O的半径，利用弧长公式求得即可．
【详解】解：如图1，以 为直径作 ，交 于D，交 、 的延长线于点D、E，连接 、 ，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，O是 的中点，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图2，以 为直径作 ，交 于D，交 的延长线于E，连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
综上， 的长为 或 ，
故选：A．
11． /45度
【分析】本题考查了勾股定理、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质，连接 ，由勾股定理得出
，证明 是等腰直角三角形，得出 ，再由圆周角定理即可得解．
【详解】解：如图：连接 ，
，
∵ 是 的高，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 和 所对的弧都为弧 ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，矩形的判定和性质，坐标于图形，全等三角形的判定和性质的
综合，根据题意，如图所示，连接 ，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，可得四边形是矩形， ，则 ，由勾股定理可得 的值，再证
，可得 ，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，
∴四边形 是矩形，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ，
在 中， ，
∵ 是圆的半径，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：13．10
【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，
构建方程解决问题．连接 ．则由题意可知四边形 是正方形，边长为2．设 ，
，则 ，由 ，由此即可解决问题；
【详解】解：如图连接 ．则由题意可知四边形 是正方形，边长为2．
∵ 的内切圆 与 分别相切于点D、E、F，
∴可以假设 ， ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：10．
14．
【分析】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得
是解题的关键，根据垂径定理求得 ， ，即可得到
.则 是等腰直角三角形，得出 根据切线的性质得到
，得到 是等腰直角三角形，进而即可求得
【详解】解： 为 的直径，弦 于点，
，
是等腰直角三角形
直线 切 于点 ，
是等腰直角三角形
故答案为：
15．
【分析】本题主要考查了圆内接正六边形．熟练掌握圆内接正六边形的性质，等边三角形的判断和性质，
含 的直角三角形性质，是解题关键．含 的直角三角形性质：三边是 的关系．
连接 、 ，根据圆内接正六边形的性质得到 是等边三角形，得到 ，推出
， ，得到 ，得到 ，推出 ，
，得到 是等边三角形，即得 ．
【详解】连接 、 ，
∵六边形 是圆内接正六边形，圆的半径为12，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
故答案为： ．
16．
【分析】由直径所对的圆周角是直角得到 ，则 ，再证明
得到 ，根据等边对等角得到 ，则 ，可得 ，再由
勾股定理求出 的长即可得到答案．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，在 中，由勾股定理得 ，
∴ 的半径为 ，
故答案为； ．
【点拨】本题主要考查了圆周角与弦之间的关系，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等边对等角，证
明 ，得到 是解题的关键．
17．
【分析】本题考查切线的性质，连接 ，设 的半径为 ，证明 和 都是等边三角形，得
，继而得到 ，根据切线的性质得 ，
，根据 角所对的直角边等于斜边的一半得 ，即可得解．解题的关
键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．
【详解】解：连接 ，设 的半径为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 半径是是 ．
故答案为： ．
18． /
【分析】根据弧与圆周角的关系可得 ，再由点E恰好是翻折后的 的中点，得到
，则 ，如图所示，连接CD，在 上截取 ，连接 ，则
，证明 都是等腰直角三角形，得到 ，
设 ，则 ，则 ，据此可得
．
【详解】解：∵ 、 、 所在的圆是等圆， 、 、 所对的圆周角都是 ，
∴ ，
∵点E恰好是翻折后的 的中点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
如图所示，连接CD，在 上截取 ，连接 ，∴ ，
∵ 的度数为90°，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ 都是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，折叠的性质，等边对等角，等腰直角三角形的性质与判
定，勾股定理等等，证明 是解题的关键．
19．
【分析】本题考查了圆的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键，连接 ，
根据题意结合三角形内角和定理得到 ， ，再利用勾股定理可得 的长，进而得到
的长，从而得到答案．
【详解】解：连接 ，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又 ，即 ，
，
．
20．(1)详见解析
(2) ，详见解析
【分析】（1）连接 ，则 ，由 ，得 ，而 ，则
，即可证明 是 的切线；
（2）由勾股定理得 ，而 ， ，所以
，求得 ，则 ，如图，过点E作 交 于点F，利用三角形
的面积公式求得 的长，然后利用勾股定理即可求得 的长．
【详解】（1）连接 ，则 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，且 ，
∴ 是 的切线．
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴
如图，过点E作 交 于点F，
∴在 中， ，
∴ ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴ 的长是 ．
【点晴】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、勾股定理，
三角形的面积等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，由 可得 ，再由 可得 ，等量代换可
得 ，根据同位角相等两条直线平行可得 ，又因为 ，根据垂直于两条平行线
中的一条，与另一条也垂直，得到 ，即可证明结论；
（2）先证明 ，可得 ， ，利用含 的直角三
角形的性质与勾股定理可得 ， ，结合 ，从而可得答案．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
，，
，
是⊙O的切线．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
．
【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定，切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股
定理的应用，求解扇形的面积，熟练的证明圆的切线是解本题的关键．
22．(1)证明见解析
(2)四边形 是菱形，详见解析
(3) 或8
【分析】本题是圆的综合题，考查了弧、弦、圆心角的关系，垂径定理推论，勾股定理，菱形的判定，全
等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）由弧、弦、圆心角的关系和垂径定理推论可得出答案；
（2）证明 ，得出 ，证出四边形 是平行四边形，由（1）得 ，则
可得出结论；
（3）分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案．
【详解】（1）证明： ，，
是直径，
，
；
（2）解：四边形 是菱形，理由如下：
，
，
又 ， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
由（1）得 ，
四边形 是菱形；
（3）解： ， ，
①如图1，当点 在点 左侧时，
，
，
，
在 中， ，
．
②如图2，当点 在点 右侧时，，
，
，
在 中， ，
．
23．(1)见解析
(2)①见解析；②5
【分析】（1）连接 ， ．证明 ，推出 即可解决问题．
（2）①连接 ，想办法证明 即可解决问题．
②利用勾股定理求出 ，设 ，在 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接 ， ．
是 的切线，
，
，
， ， ，
，
，
，
是 的切线；（2）①证明：连接 ．
， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
．
②解： ， ，
，
，
， ， ，
，设 ，
在 中， ，
，
，
的半径为5．【点拨】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰
三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．(1)①见解析；②6
(2) ，证明见解析
【分析】（1）①由题意得出 ，由等边对等角得出 ， ，求出
即可得证；②连接 ， ，设 ，则 ，由勾股定理求出
，由①知： ， 垂直平分 ，从而得出 ， ，即可得解；
（2）延长 交 于点 ，连接 ， ，由等腰直角三角形的性质得出 ，求出
，由勾股定理得出 ．求出 ，再证明
得出 即可得解．
【详解】（1）证明：① ，
，
， ，
，
∴ 为直角三角形；
②连接 ， ，如图，
∵ ，
，且 ．
的半径为4，
．
设 ，则 ，
， ，
∴ ．
解得： ．
由①知： ， 垂直平分
， ．
．
（2）解： ， ， 三者之间的数量关系为： ．理由：
延长 交 于点 ，连接 ， ，如图，
， ，
．
， ．
．
．
与 关于 对称，
，
，
．
．
．即 ．
，．
在 和 中，
，
．
．
．
【点拨】本题考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与
性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
