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第 27 章 相似 章节整合练习（14 个知识点+40 题练习）
章节知识清单练习
知识点1．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫
做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若 ＝ ，则ad＝bc．
②合比性质．若 ＝ ，则 ＝ ．
③分比性质．若 ＝ ，则 ＝ ．
④合分比性质．若 ＝ ，则 ＝ ．
⑤等比性质．若 ＝ ＝…＝ （b+d+…+n≠0），则 ＝ ．
知识点2．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如
ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段
之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
知识点3．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC
＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝ AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比： ；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金
比： ．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为 ．
知识点4．相似图形
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
知识点5．相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
知识点6．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平
行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的
三边与原三角形的三边对应成比例．知识点7．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平
方．
知识点8．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时
要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
知识点9．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等
两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有
的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线
构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似
的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
知识点10．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在
同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造
“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直
角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为
三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
知识点11．作图-相似变换
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简
单的相似变换作图．如图所示：
（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的
三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
知识点12．几何变换的类型
（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）
且相等． （2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于
对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分． （3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，
对应直线的夹角等于旋转角． （4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一
条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位
似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与
它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆
相切时切点为位似中心．
知识点13．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比
等于k或﹣k．
知识点14．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作
的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩
小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或
在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的
位似图形的结果是不唯一的．
章节题型整合练习
一、单选题
1．已知两个相似三角形的相似比为4:9，则这两个三角形的对应高的比为（ ）
A． B． C． D．
2．已知a、b、c三条线段满足 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．3 D．6
3．如图，在 中，点 是 上一点，过 作 交 于点 ， ， ，
则 与 的比是（ ）A．3：2 B．3：5 C．9：16 D．9：4
4．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．两个相似三角形的周长之比为4：9，则面积之比为（ ）
A．4：9 B．8：18 C．16：81 D．2：3
6．如图，点D在 的边 上，添加一个条件，使得 ，下列不正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．一块矩形绸布的长AB＝a米，宽AD＝1米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，
且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值为（ ）
A．3 B． C．3 D．
8．将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（ ）
A．可能是锐角三角形 B．不可能是直角三角形
C．仍然是直角三角形 D．可能是钝角三角形
9．如图，如果五边形 五边形 ，且对应边上的高之比为3：2，那么五边形 和五
边形 的周长之比是（ ）A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4
10．如图， 是由 经过位似变换得到的， 点是位似中心， ，则 与 的面积
比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：25
11．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B．若△ABD的面积为a，则△ACD
的面积为（ ）
A．a
B．
C．
D．
12．如图，矩形ABCD和矩形CEFG中，AD=2，AB=1，CE=3，EF=6，连接AF，H是AF的中点，那么CH的
长是（ ）A． B．
C． D．2
13．如图， ， 与 相交于点E，若 ， ， ，则 值是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD•AC D．
15．一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，最小三角形的面积为 ，把较大两个三角形纸片按
图2方式放置，图2中的阴影部分面积为 ，若 ，则矩形的长宽之比为（ ）A．2 B． C． D．
16．如图所示，在反比例函数 的图象上有一动点A（点A位于第二象限），连接 并延长交图象
的另一分支于点B．在第一象限内有一点C，满足 ，当点A运动时，点C始终在函数 的图
象上运动．若 ，则k的值为（ ）
A． B．6 C．8 D．16
二、填空题
17．如图，有三个三角形，其中相似的是 .
18．小明的身高是 米，他的影长是 米，同一时刻古塔的影长是 米，则古塔的高是 米．
19．直线CD∥EF，若OC=3，CE=4，则 的值是 ．20．已知ΔABC与 相似且对应中线的比为 ，则ΔABC与 的相似比为 .
21．把图中的四边形ABCD缩小到原来的 ．
分析：把原图形缩小到原来的 ，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形上各对应顶点到位
似中心的距离之比为 ．
作法：
（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得 ；
（4）顺次连接点A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形．
22．若 ，则 ．
23．在 中， ，点D在 上，且 ，点E在 上，当 时，以
A，D，E为顶点的三角形与 相似．24．如图，AB∥CD∥EF，直线 、 与这三条平行线分别交于点A、D、F和点B、C、E．若AD：DF＝3：
1，BE＝10，则CE的长为 ．
25．如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转一定的角度得 ，且
点D恰好落在边 上， 与 交于点F．
（1）求 ；
（2）当 时， ．
26．如图，小卓利用标杆EF测量旗杆AB的高度，测得小卓的身高 米，标杆 米， 米，
米，则旗杆AB的高度是 米．
27．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现测得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，，则容器的内径是 cm．
28．如图，在正方形ABCD中，E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连接CF，
并延长CF交AD于点G，延长BF交AD边于点H．若 = ，则 的值 ．
三、解答题
29．已知，如图，在 ABC中，∠C=60°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，试说明 CDE∽△CAB．
△ △
30．如图，把 缩小后得到 ，求 与 的相似比．31．如图所示的平面直角坐标系中， ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣
1，1），请按如下要求画图： △
(1)以坐标原点O为旋转中心，将 ABC顺时针旋转90°，得到 ，请画出 ；
△
(2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出 ABC的位似图形 ，使它与 ABC的位似比为2：
△ △
1．32．如图，在矩形 中， ， ， 是 的中点，连接 、 ．求证： ．
33．如图所示，两个四边形相似， 求未知数x，y和角度α的大小．
34．画一个任意四边形 ，在它的内部任取一点O，以点O为位似中心，画一个四边形 ，使
它与四边形 位似，且相似比为 ．35．如图，在 ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上
的垂直平分线与△ AC、BC分别交于点G、F，
（1） AEF是什么形状？你能证明吗？
△
（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG= BC吗？
（3）DG=5cm，试求 AEF的周长．
△
36．如图，在△ ABC 中， AB ＝5， BC ＝3， AC ＝4，动点 E (与点 A ， C 不重合)在 AC 边上， EF
∥ AB 交 BC 于 F 点．
（1）当△ ECF 的面积与四边形 EABF 的面积相等时，求 CE 的长；
（2）当△ ECF 的周长与四边形 EABF 的周长相等时，求 CE 的长；
（3）试问在 AB 上是否存在点 P ，使得△ EFP 为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存
在，请求出 EF 的长．
37．如图，矩形 中， ， ，点 ， 分别在AD， 边上， ，求证：矩形 矩形 ．
38．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)画出△ABC沿x轴翻折后的△A B C ；
1 1 1
(2)以点M为位似中心，在网格中作出△A B C 的位似图形△A B C ，使其位似比为2：1；
1 1 1 2 2 2
(3)点A 的坐标______；△ABC与△A B C 的周长比是______．
2 2 2 2
39．如图1．在正方形 中，点F，H分别在边 ， 上，连结 ， 交于点E，已知
．(1)线段 与 垂直吗？请说明理由．
(2)如图2，过点A，H，F的圆交 于点P，连结 交 于点K．求证： ．
(3)如图3，在（2）的条件下，当点K是线段 的中点时，求 的值．
40．已知抛物线 经过点 ， ，与 轴的另一个交点为 ．图1 图2
(1)求出此抛物线的表达式及点 坐标
(2)如图2， 的中点记为 ， ，将 绕点 在 的左侧旋转， 与射线 交于点
， 与射线 交于点 ．设 ， ，求 关于 的函数关系式．
(3)当的边经过点时，求，的值（直接写出结果）．
