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专题 01 二次根式的计算
目录
A题型建模・专项突破
题型一、 二次根式的加减...........................................................................................................1
题型二、 二次根式的乘除...........................................................................................................6
题型三、 二次根式的混合运算................................................................................................15
题型四、 分母有理化.................................................................................................................34
题型五、 化简求值.....................................................................................................................47
B综合攻坚・能力跃升
题型一、二次根式的加减
1．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的加减运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先化为最简二次根式，再合并
同类二次根式即可．
【详解】解：原式=
．
故答案为： ．
2．计算
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，通过合并同类项即可求解．
【详解】解： ．
故答案为： ．
3．化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的减法，二次根式的性质，先通过二次根式性质化简，然后进行合并即可，
掌握运算法则是解题的关键．【详解】解： ，
故答案为： ．
4．化简 的结果是 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的减法运算．先化简 ，再进行二次根式的减法即可．
【详解】解：
故答案为：
5．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据二次根式的性质，当被开方数相同时，可以直接合并系数.
【详解】解： .
故答案为 ．
6．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的计算：
（1）根据二次根式的性质进行计算即可．
（2）根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ．
7．计算(1)计算： ；
(2)解方程组 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的加减，加减消元法解二元一次方程组．
（1）先根据二次根式的性质化简，再计算加减法，即可求解；
（2）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解： ，
得， ，
解得： ，
将 代入①得， ，
解得： ，
∴原方程组的解为： ．
8．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先化简二次根式，再计算乘法，然后计算加减法即可得；
（2）先利用乘法公式计算，再计算加减法即可得．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式
．
9．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，涉及零指数幂和负整数指数幂的运算，解题的关键是熟练
掌握运算法则和正确化简二次根式．
（1）分别计算负整数指数幂、化简二次根式、零指数幂以及绝对值，再进行加减计算；
（2）先化简二次根式，再进行加减计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
10．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算：
（1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式；（2）先计算平方差，二次根式的除法，再进行加减运算．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
11．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，即可求解；
（2）根据乘法分配律展开，再进行二次根式的化简与计算即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
12．计算
(1) ；
(2)解方程组：
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组等知识点，
熟练掌握二次根式的运算法则及二元一次方程组的解法是解题的关键．
( )先化简二次根式，然后再进行二次根式的加减运算即可；
( )利用加减消元法解二元一次方程组即可．【详解】（1）解：
；
（2）
化简方程②，两边同时除以 得： ③
用③-①消去 ： ，
解得： ，
将 代入①，得 ，
解得： ，
∴方程组的解为 ．
题型二、二次根式的乘除
13．计算 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式乘法，利用二次根式的乘法法则，将根号内的数相乘后化简．
【详解】解： ，
故选：B．
14．计算 的结果是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键；根据二次根式的
乘法计算即可得解．
【详解】解： ，
故选： ．
15．对于任意的正数 ，定义运算为： ，计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据新运算定义分别计算 和 ，再求乘积即可求解，
理解新定义运算是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
16．估计 的值应在 （ ）
A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算以及无理数的估算．解题的关键在于熟练运用二次根式的乘法
法则进行计算．先根据乘法分配律计算 的结果，再对结果中的无理数部分进行估算，从
而确定其所在的取值范围．
【详解】∵
且 ， ， 介于 和 之间，
∴
∴
∴
∵ ， ，
∴
∴
∴
∴ 值在 和 之间，
故选 C．
17．下列运算中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】本题考查二次根式的运算和分式的化简，解题的关键是掌握以上运算法则．
根据二次根式的运算和分式的化简法则逐项进行判断，分式化简时，需确保分子和分母有公因式才能约分，
否则可能导致错误．
【详解】解：A. ，该选项计算正确，不符合题意；
B. ，该选项计算正确，不符合题意；
C.当 时， ，该选项计算错误，符合题意；
D. ，该选项计算正确，不符合题意；
故选：C．
18．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的运算性质，包括乘法、减法、乘方和算术平方根的定义，准确计算是解题的
关键．
逐一验证各选项是否符合运算法则即可得解．
【详解】 二次根式乘法法则： ，
，故 正确；
，故 错误；
，故 错误；
，故 错误；
故选 ．
19．计算 的结果是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键．
利用二次根式的除法法则计算即可．
【详解】解：∵ ，
故选：A．
20．计算 的结果是（ ）
A．3 B．6 C．2 D．
【答案】C【分析】本题主要考查二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法是解题的关键；利用二次根式的除法性
质，将除法转化为根号内的除法进行计算即可．
【详解】解： ；
故选C．
21．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法运算及平方差公式是解
题的关键．根据平方差公式计算即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
22． ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的除法，掌握知识点是解题的关键．
根据二次根式的除法法则计算即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
23．计算 的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，根据二次根式的乘法法则， ，直接
计算即可．
【详解】解： ，其中 已是最简二次根式，
故答案为： ．
24．计算： ．
【答案】
【分析】题目主要考查二次根式的除法运算，熟练掌握是解题关键．
根据二次根式的除法运算求解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
25．计算： ．
【答案】【分析】本题考查二次根式的乘除法，先化简 ，将除法转化为乘法，然后进行乘法运算，通过约分得
到结果．
【详解】解：
，
故答案为： ．
26．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果，熟练掌握运
算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
27．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可．【详解】（1）解：
．
（2）解：根据二次根式非负性得出 ，
．
28．计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据二次根式的乘法计算法则求解即可．
【详解】解：
．
29．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查二次根式的乘除运算、立方根与平方根的化简、绝对值的运算，依据根式、绝对值的定
义规则分步化简是解题关键．
（1）根据二次根式乘除法则，将被开方数先乘除再化简；
（2）分别化简立方根、平方根、绝对值，再按有理数运算法则计算．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
30．计算： ．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式的乘法和实数的混合运算，先计算二次根式的乘法、算术平方根、立方根，
最后计算加减即可．
【详解】解：原式 ．
31．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的运算，求一个数的立方根．
先计算二次根式的乘法，二次根式化简，立方根，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．
32．计算下列各式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先化简二次根式，再计算乘法即可；
（2）先化简二次根式，再计算除法即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
33．计算下列各式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先计算二次根式的乘法，再化简二次根式即可；
（2）先计算二次根式的除法，再化简二次根式即可；
（3）根据平方差公式计算即可；
（4）先化简二次根式，再根据完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：（2）解：
（3）解：
（4）解：
34．计算下列各式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)【分析】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键；直接利用二次根式的乘除法运算
法则对每个小题进行计算即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ；
（4）解： ．
35．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质计算即可．
【详解】解：原式
．
题型三、二次根式的混合运算
36．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的运算（化简、加减、乘除）及同类二次根式的概念，解题的关键是熟练掌
握二次根式的运算规则．
分别对每个选项按照二次根式的化简、加减、乘除规则进行计算，判断其正确性．【详解】解∶选项A∶ ，计算正确；
选项B∶ ， 与 不是同类二次根式，不能合并，错误；
选项C∶ ，不是 ，错误；
选项D∶ 与 不是同类二次根式，不能合并，错误．
故选A．
37．计算 的结果是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，积的乘方运算，涉及了平方差公式；通过观察 和
，其乘积为 ；利用这一特点，将原式拆分为 计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴
．
故选：D．
38．2025年5月4日，第八届数字中国建设峰会在福州圆满落幕．本次峰会讨论了多种数据加密方式，若
以下运算为数据加密方式： ，那么 的值为（ ）
A．1 B．4 C． D．9
【答案】B
【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解题意新定义是解题的关键．
根据新定义的运算法则计算即可．
【详解】解：由题意得，
．
故选：B．
39．下列运算正确的是（）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；根据二次根式的乘法、除法、加减法法则进行计算即可求解．
【详解】∵选项A： ，正确；
选项B： ，错误；
选项C： ，因为根式加减不能直接合并，且数值不相等，错误；
选项D： ，错误．
∴正确的是A．
故选：A．
40．下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平方根和立方根的计算、二次根式的乘除，需注意平方根的非负性和立方根的符号性质．
根据相关运算法则逐项计算即可得出答案．
【详解】解：选项A： ，原计算错误，不符合题意；
选项B： ，原计算错误，不符合题意；
选项C： ，原计算正确，符合题意；
选项D： ，原计算错误，不符合题意；
故答案为：C．
41．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根的定义及二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法
则是解题的关键．分别计算每个选项的表达式，依据平方根、算术平方根的定义及二次根式的运算法则判
断正误．
【详解】解： ，或 ，故A项错误．
，故B项正确．
，故C项错误．
，故D项错误．
故选：B．
42．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的运算，包括加法、除法、平方根性质和乘法公式，解题的关键是需要根据二
次根式的运算法则逐一判断．
【详解】解：A． 和 不是同类二次根式，不能合并，错误，不符合题意．
B． ，错误，不符合题意．
C． ，正确，符合题意．
D． ，错误，不符合题意，
故选：C．
43．下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的乘除运算，掌握知识点是解题的关键．
通过直接计算每个选项，判断其正确性即可．
【详解】解：对于选项A： ，∴A错误．
对于选项B： ，∴B错误．
对于选项C： ， ， ，∴C正确．
对于选项D： ，∴ D错误．
故选C．
44．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的运算性质．选项A错误，因为平方根不能直接相加；选项B错误，因为合并
同类项后应为 ；选项C错误，因为算术平方根为非负数；选项D正确，根据二次根式的除法法则计算．
【详解】解：A. ∵ ，∴ A错误．
B. ∵ ，∴ B错误．
C. ∵ ，∴ C错误．
D. ∵ ，∴ D正确．
故选：D．
45．若 ， ，则代数式 的值等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】此题主要考查了整体代入在代数求值中的应用．
将代数式 展开，利用已知条件 和 直接代入计算．
【详解】解：∵ ，
∵ ， ，
∴ ．
故选：C．
46．已知 ， ，则代数式 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，
先对x和y进行分母有理化，得到 ，然后分别计算 和 的值，最后求和即可．
【详解】解： ；，
，
，
，
．
故答案为：15．
47．如果 ， ，那么 ．
【答案】7
【分析】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，通过已知条件求出 ，利用完全平方公式将
所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果，利用完全平方公式正确进行变形是解此题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
48．设实数 的整数部分为a，小数部分为b．则 的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，熟练掌握无理数的估算，二次根式的混合
运算是解题的关键．根据 可得 ， ，再代入，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为2，∴小数部分为 ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：3．
49．计算 = ．
【答案】
【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键．
通过有理化分母，分别简化两个分式，然后相减得到结果．
【详解】解：对于第一项 ，分子和分母同乘以分母的共轭式 ：
对于第二项 ，分子和分母同乘以分母的共轭式 ：
原表达式为第一项减第二项：
，
故答案为 ．
50．对于任意两个正数m，n，定义运算※为：m※n＝ ，计算 的结果为
．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的运算，新定义运算的含义，根据新定义运算规则，分别计算 和
，再利用二次根式的混合运算法则计算乘积．
【详解】解：由定义， ，
．
则．
故答案为：
51．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给第一
位同学，他完成第一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算，规则是每人只能看到前一人传
过来的式子．在接力中，自己负责的式子出现错误的两位同学是 ．
【答案】小丽，小红
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，第一步小明的计算正确，第二步小丽的计算结果应该为
，第三步小红按照小丽的计算结果所计算的结果为 ，第四步小亮按照小红的计算结果所计
算的结果正确．
【详解】解：
，
∴观察解题过程可知小丽和小红的解题过程错误，
故答案为：小丽，小红．
52．斐波那契数列是按某种规律排列的一列数，这列数中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第
为正整数 个数 可表示为 表示．通过计算求出斐波那契数列中的第1个数
为 ，第2个数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；将 和 分别代
入斐波那契数列的通项公式，通过二次根式的运算计算即可．
【详解】解：当 时， ；
当 时，；
故答案为1；1．
53．若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及已知式子的值，求代数式的值，分别求出
、 即可求解；
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
54．已知 ，n是m的小数部分，求 的值 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查了二次根式的分母有理化、无理数的小数部分确定以及代数式求值，熟练掌握分母
有理化方法和完全平方公式是解题的关键．首先对 进行分母有理化，得到 ．然后确定 的小数
部分 ．最后计算表达式 的值．
【详解】解： ，
∴m的整数部分为2，小数部分 ．
∴．
故答案为7．
55．已知 ， ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】先将代数式 因式分解为 ，然后分别计算 和 的值，最后代入求值．
本题考查了因式分解，二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握运算，因式分解是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
，
又∵ ，
∴原式 ，
故答案为： ．
56．计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式，分母有理化，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的加减法计算括号内的运算，再计算除法即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
57．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．
（1）根据完全平方公式和平方差公式，结合二次根式混合运算法则，进行求解即可；
（2）根据二次根式混合运算法则，进行求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．58．计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；因此此题可根据二
次根式的运算进行求解即可．
【详解】解：原式
．
59．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了根式的化简与运算，完全平方公式及平方差公式的运用．
（1）先化简 得到4 ，再计算 得到 ，最后合并同类项二次根式，即可得出结果；
（2）先使用完全平方公式展开第一项，再将第二项利用平方差公式展开，最后合并两部分结果得出最终
答案．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
60．计算：
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先进行分母有理化、平方差公式及二次根式的乘法进行计算，然后再进行合并即可解答．【详解】解：原式
61．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先计算二次根式的乘除，再化简二次根式；
（2）先化简二次根式，再计算加减即可；
（3）先根据乘法公式计算，再计算加减即可．
【详解】（1）解： ；
；
（2）解： ；
；
（3）解：．
62．计算：
(1) ；
(2)
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，零指数幂，负指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关
键．
（1）先计算零指数幂，负指数幂，再按有理数混合运算法则计算即可；
（2）先计算二次根式除法，再化简二次根式，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
63．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是
解决问题的关键．
（1）先化简二次根式，再计算加减即可；
（2）先计算乘法公式，再计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
64．计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则
是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，然后再计算即可；
（2）直接运用二次根式的混合运算法则计算即可；
（3）直接运用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：．
（3）解：
．
65．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，整数指数幂等知识，掌握相关概念及运算法
则是解题的关键；
（1）计算二次根式的乘法、化简二次根式即可；
（2）利用完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可求解；
（3）化简第一个二次根式，再合并同类二次根式即可；
（4）分别计算实数的绝对值、零指数与负整数指数幂，再相加即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：
．
66．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了零指数幂和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据负整数指数幂、乘方、绝对值和零指数幂的运算法则计算即可；
（2）先化简二次根式、计算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可；
（3）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（4）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：原式 ，
，
；（2）解：原式 ，
，
；
（3）解：原式 ，
，
；
（4）解：原式
．
67．计算：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算．
（1）按照运算法则计算即可；
（2）按照运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
68．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式和完全平方公式化简后再进行加减运算即可．
【详解】解：
．
69．计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)8
【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂，负整数幂，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关
键．
（1）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则结合平方差公式、完全平方公式进行计算即可；
（3）先计算零指数幂，负整数幂，绝对值，化简二次根式，再加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式；
（3）解：原式
．
70．计算：
(1) ；
(2) ；
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）先将二次根式化为最简二次根式，再合并即可；
（2）先运用分配律进行计算，再根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
题型四、分母有理化
71．阅读下面材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分
母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：
，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较 和 的大小可以先将它们分子有理化如下：
， ，因为 ，所以 ．再例如：求
的最大值．做法如下：
解：由 ， 可知 ，而 ，当 时，分母
有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
(1)由材料可知， ；
(2)比较 和 的大小；
(3)式子 的最大值是________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据分子有理化的方法进行求解即可；
（2）模仿题干过程，进行整理，即可作答．
（3）模仿题干过程，进行整理，即可作答．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ．
（2）解：依题意， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
∴ ；
（3）解： ，
∵ ，
∴由 ， 可知 ，则
当 时，分母 有最小值 ，
∴ 的最大值是 ．
72． “双剑合璧，天下无敌”，意思是两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相
辅相成的“对子”，像 、 、 （ ），两
个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 ，
与 ， 与 等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，例如： ；
．
解答下列问题：
(1) 与________互为有理化因式，将 分母有理化得________， 可以化简为________．
(2)已知有理数 、 满足 ，求 、 的值．
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1) ； ；
(2) ，
(3)
【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式等知识点，掌握二次根式的混合
运算法则是解题的关键．
（1）根据平方差公式、分母有理化进行解答即可；
（2）先对等式左边进行分母有理化，然后求解即可；
（3）先将 分母有理化，得到 ，然后将其代入式子计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 与 互为有理化因式；
；；
故答案为： ； ； ；
（2）解：
，
，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ；
（3）解：∵ ，
∴
．
73．阅读材料：像 ， ， 两个含有二
次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 与
与 等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．把分母中的根号化去叫分母有理化．例如： ，
解答下列问题：
(1) 与__________互为有理化因式，将 分母有理化得__________；
(2)计算： ．
【答案】(1) ； ；
(2) ．
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，二次根式的乘法计算，正确理解题意是解题
的关键．
（1）对于第一空利用平方差公式求解即可；对于第二空，分子和分母同时乘以 后约分即可；
（2）先分母有理化和计算绝对值，再计算加减法即可．
【详解】（1）解： ，
∴ 与 互为有理化因式；
；
故答案为： ； ．
（2）解：
．74．阅读材料：像 ； ； …两个含有二
次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 ， 与
， 与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分
母中的根号．例如： ．
小明利用上述材料内容解决了问题：已知 ，求 值．
∴ ，
∴ ，∴ 即 ，
∴ ，∴ ，
请你利用上述内容，解答下列问题：
(1) 与 互为有理化因式，将 分母有理化得 ；
(2)根据上面的规律，计算下列式子的值：
．
(3)利用上面的规律，比较 与 的大小．
(4) ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简，代数式的恒等变形，解题的关键在于掌握分母有理化
的计算方法，记得分子分母同时乘以相同的数，避免遗漏分子．
（1）①对根据有理化因式的定义写出式子，并计算，看看是否符合条件；②将 分母有理化，分子分
母同乘 ，化简即可；
（2）现将每个分式进行分母有理化，发现分母都为 ，分子可相加减，计算后得 ，再与
相乘，用平方差公式计算即可；（3）将 和 进行分母有理化得逆运算，得到分母为二次根式相加的一个分式，方便比较
大小；
（4）将 进行分母有理化得出 ，再根据需要找到 ， ， ，便于进行降次计算，代入目标
多项式化简计算即可．
【详解】（1）①∵
不含根号，
∴ 与 互为有理化因式．
故答案为 ．
②将 分母有理化得
故答案为 ．
（2）
（3）∵ ，
∴
（4）将 进行分母有理化得，两边平方得，
，
，
，
则 ，
∴
75．阅读：由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含
有二次根式，我们称这样的两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时
可以化去分母中的根号，
例如； ，请完成下列问题．
(1) 的有理化因式是______ 一个即可 ，化去式子中的根号： ______；
(2)利用你发现的规律计算下列式子的值：
．
【答案】(1) （答案不唯一），
(2)
【分析】 根据有理化因式的定义和分母有理化解决问题；
先分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题
的关键．也考查了分母有理化．
【详解】（1）解： 的有理化因式是 ，化去式子中分母的根号：；
故答案为： 答案不唯一 ， ；
（2）解：原式
．
76．【知识链接】
①有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做
有理化因式．例如： 的一个有理化因式是 ； 的一个有理化因式是 ．
②分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母
有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：
， ．
【知识理解】（1）将 的分母有理化；
【启发运用】（2）计算：
【答案】（1）
（2）9
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，运用平方差公式进行运算，解题关键是掌握上述
知识点并能熟练运用求解．
（1）根据材料中的方法进行分母有理化；
（2）先将各部分分母有理化，再计算加减．
【详解】（1）解： ；
（2）
．
77．阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新
结论的重要方法．例如 ，观察它们的结果，积不含根号，我们称
这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：
如 ．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分
母中的根号化去的过程，叫分母有理化．
解决问题：
(1)将 分母有理化得 ， 分母有理化得 ．
(2)利用上述方法，化简 ．
【答案】(1) ，
(2)27
【分析】本题考查了二次根式混合运算，也考查了分母有理化，解题的关键是熟练掌握运算法则．
（1）利用分母有理化直接求解；
（2）先分母有理化，然后合并即可．
【详解】（1）解： ；
；
故答案为： ， ；
（2）解：
．
78．阅读材料：
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理
化因式．
例如： ， ，我们称 的一个有理化因式是 的一个有理化因式是 ．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中
不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如 ，
．
请你根据以上材料解决下列问题：
(1) 的一个有理化因式为____， 的一个有理化因式为____；
(2)利用分母有理化将下列各式化简
① ；
② ；
(3)计算： ．
【答案】(1) （答案不唯一）； （答案不唯一）
(2)① ；②
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和平方差公式是解
决问题的关键．
（1）根据有理化因式的定义求解；
（2）①把分子分母都乘以 ，然后根据平方差公式计算即可求解；
②把分子分母都乘以 ，然后根据平方差公式计算即可求解；
（3）先分母有理化，然后合并即可．
【详解】（1）解： ，
的有理化因式为 ，
，
的一个有理化因式为 ，
故答案为： （答案不唯一）； （答案不唯一）；（2）解：①
；
②
；
（3）解： ，
，
同理： ，
，
原式
．
79．像 、 、 …两个含有二次根式的代
数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， 和 、 与 、
与 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母
中的根号．请完成下列问题：
(1)直接写出化简结果： ， ；
① ②
(2)化简： ；(3)已知有理数 、 满足 ，求 、 的值．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)
【分析】此题考查了分母有理化计算，正确掌握各式子的有理化因式是解题的关键．
（1） 分子、分母都乘以 ； 分子、分母都乘以 ．
① ②
（2）将式子变形成 ……
然后再分母有理化，最后再计算即可；
（3）将等式左边分母有理化，得到 ，根据a、b都是有理数，即可求解．
【详解】（1）解： ，
①
故答案为： ；
，
②
故答案为： ；
（2）解：
……
……
．
（3）解： ，
∵
，
∴，
∴
，
∴a、b都是有理数，
， ，
∵
∴解得 ， ．
80．阅读材料：像 ，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积
不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去
分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题：
(1)化简： ___________；
(2)① 的有理化因式是___________，
②请利用 的有理化因式化简： ；
(3)比较大小： ___________ ．（填“>”“<”或“=”）
【答案】(1)
(2)① ；②
(3)>
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运
算法则是解答关键．
（1）利用二次根式的运算法则进行化简求解；
（2）①利用有理化因式的定义求解即可；
②根据二次根式的运算法则进行化简求解；
（3）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解．
【详解】（1）解： ．
故答案为： ．
（2）解：①∵ ，
∴ 的有理化因式是 ．
故答案为： ．② ．
故答案为： ．
（3）解：∵ ，
，
而 ，
．
和 都是大于 的数，
．
故答案为： ．
题型五、化简求值
81．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，涉及知识点：分式的混合运算、完全平方公式、因式分解。解
题方法是先对分式约分、通分，将除法转化为乘法后化简，再代入求值；解题关键是正确进行因式分解与
分式运算，易错点是通分或符号处理错误。先分解分子分母的因式，通分计算括号内的减法，再将除法转
乘法化简，最后代入 的值计算．
【详解】解：
，代入 ，
原式 ．
82．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了分式的化简求值．
先化简原分式，再将 代入计算即可．
【详解】解：原式
，
，
原式 ．
83．先化简，再求值：已知 ， ，求 的值．
【答案】 ，8
【分析】此题考查了二次根式的运算，准确的计算是解决本题的关键．
先将代数式进行化简，再将a，b代入求解即可（利用因式分解变形可简化计算）．
【详解】解： ，
当 ， 时，
，
，
，
原式．
84．先化简，再求值：已知 ， ，求 的值．
【答案】
；
【分析】本题主要考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题
的关键．先运用分式的性质结合完全平方公式和平方差公式化简 ，再运用二次根式的混合运
算法则求得 ， ，然后将 ， 整体代入计算即可．
【详解】解：
，
，
，
，
∴原式 ．
85．先化简，再求值，已知 ， ，求： 的值．
【答案】4
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，
先分母有理化求出x，y，再因式分解代入求值即可．
【详解】解： ， ，
∴ ．86．化简，求值：已知 ，求 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则．
先对分子进行因式分解化简，再代入求值即可．
【详解】解：
当 时，原式 ．
87．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的分母有理化，代数求值等，解题的关键是掌握
二次根式的各运算法则．
先进行二次根式的混合运算，再代数求值．
【详解】解：原式 ．
将 代入，得原式 ．
88．先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】0，0
【分析】本题考查了分母有理化，分式化简求值，先把 整理得 ，以及把 整理
得 ，再运算 ，即可作答．
【详解】解： ，
，则 ，
当 ， 时，则 ．
89．先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题关键是利用乘法公式化简．
先利用平方差公式、完全平方公式进行约分，然后合并同类二次根式，再代入求解．
【详解】解：原式
，
当 ， 时，原式 ．
90．先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，利用二次根式混合运算的法则将所求式子化简，
最后代入 ， 计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
当 ， 时，原式 ．
91．先化简再求值： ，其中 ．【答案】 ，
【分析】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，已知字母的值求代数式的值．正确掌握相关性质
内容是解题的关键．先整理 得 ，则 ，化简 ，再把
代入 进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意， ，
则 ，
；
把 代入 ，
得 ．
92．先化简，再求值：已知 ，求 的值．
【答案】 ；
【分析】本题主要考查的是分母有理化，能够利用完全平方公式对所求代数式进行变形是解题的关键．
先对原式进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：；
当 时，
原式 ．
93．像 ， ，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全
平方式进行化简．
如： ；
．
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简： ；
(2)化简： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点
是解题的关键．
（1）根据定义化成完全平方式的形式即可；
（2）根据定义化成完全平方式的形式即可．
【详解】（1）解：原式
；（2）解：原式
；
1．阅读材料：像 ； ； 两个含有二
次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如 与 ， 与
， 与 等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如： ．
解答下列问题：
(1) 与_____互为有理化因式，将 分母有理化得_____；
(2)①比较大小： _____ （填入 ， ， 或 中的一种）；
②计算下列式子的值： ；
(3)已知正整数a，b满足 ，求a，b的值．
【答案】(1) ，
(2)① ；②
(3) ，
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，以及分母有理化，理解有理化因式，掌握二
次根式的运算法则是解题关键．
（1）根据有理化因式的额定义和分母有理化求解即可；
（2）①根据有理化因式得到 ， ，即可比较大小；
②仿照题意根据分母有理化的方法得到 ，再把所求式子裂项求解即可；
（3）先分母有理化，再合并同类二次根式，得到 ， ，即可求解．
【详解】（1）解： 与 互为有理化因式，
，
故答案为： ， ；
（2）解：① ， ，
， ，
，
，
，
故答案为： ；
②∵
，．
（3）解：
，
，
，
，
， ，
．
2．阅读下列材料：
，像 与 与
这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中
一个是另一个的有理化因式．请运用上面的知识解决下列问题：
(1)指出 的有理化因式；
(2)计算化简， _________， ________， ________；
(3)类比（2）的方法，化简下列式子：
__________；
(4)①已知 ，求 的值；
②若 同时满足以下两个方程： ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)9
(4)① ；②
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式，掌握二次根式的混合运算、平方差公式，分母有
理化是解题关键．
（1）根据有理化因式的定义解答即可；
（2）根据分母有理化解答即可；（3）先把分母有理化，然后相加解答即可；
（4）①将已知两等式相乘可得出关于a的方程，然后解方程即可；
②两等式相乘可得出 ，然后解方程求出x值，再检验解答即可．
【详解】（1）解： 的有理化因式是 ；
（2）解： ；
；
；
故答案为： ；
（3）解：
，
故答案为： ；
（4）解：①
，
即 ，
；
②将 两式左右分别相乘得，
，
则 ，
解得 或 ，
经检验， 不是原方程的解，
．
3．先阅读，再解答：由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，
积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题：
(1) 的有理化因式是_______；
(2)化去式子分母中的根号： ______．（直接写结果）
(3)比较 与 大小，并说明理由；
(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：
【答案】(1)
(2)
(3) ；理由见解析
(4)2024
【分析】（1）根据有理化因式定义，找与 相乘后积不含二次根式的式子．
（2）利用平方差公式，给分子分母同乘分母的有理化因式 来化去分母根号．
（3）通过求两个式子的倒数，比较倒数大小，进而得出原式大小关系．
（4）先将每一项分母有理化，化简后再利用平方差公式计算．
【详解】（1）解： ，积不含二次根式，
的有理化因式是 ．
故答案为：
（2）解：
（3）解： ，
，
，
，
又 ， ，分子相同，分母大的分数小，
．（4）解：
【点睛】本题主要考查了二次根式的有理化因式、分母有理化以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根
式有理化的方法和平方差公式是解题的关键．
4．【认识概念】
一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化
因式．
如： ； ，我们称 的一个有理化因式为 ， 的一个有理化因
式是 ．
二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含
根号，这种变形叫做分母有理化．
如： ．
【理解应用】
（1）填空： 的有理化因式是________；将 分母有理化得________；
（2）化简： ；
【拓展应用】
（3）利用以上解题方法比较 与 的大小，并说明理由；
（4）已知有理数a，b满足 ，求a，b的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ，理由见解析；（4）
【分析】本题考查了互为有理化因式，分母有理化的概念，正确理解互为有理化因式，分母有理化是解题
的关键．
（1）根据互为有理化因式定义，分母有理化定义解答即可；
（2）先分母有理化，然后再把被开方数相同的二次根式合并解答即可．
（3）把分子有理化，根据分子相等，再通过比较分母大小进行比较；（4）先把等式左边各项分母有理化，根据 为有理数，再列方程求解即可．
【详解】解：（1） ，
的有理化因式为 ，
故答案为： ；
，
故答案为： ．
（2）
；
（3） ，理由如下：
，
∴
；（4）
，
．
5．阅读材料：像 ， ，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不
含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分
母中的根号．
如： ，
请你解决如下问题：
(1) 的有理化因式是______， ______．
(2)化简 ．
(3)数学课上，老师出了一道题“已知 ，求 的值”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为 ，所以 ．
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以
利用上述方法：若 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次
根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可；
（2）先分母有理化得到 ，再把所求式子每一项按照这种形式分母有
理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
（3）根据题干给出的解题方法，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 的有理化因式是 ，
，
故答案为： ， ；
（2）解：
，
∴
；
（3）解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
