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第7 章 平面直角坐标系（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．电影院里的座位按“×排×号”编排，小贤的座位简记为 ，小友的座位简记为 ，则
小贤与小友坐的位置（ ）
A．在同一排 B．前后在同一条直线上
C．中间隔10个人 D．前后隔10排
2．在平面直角坐标系中，点 到 轴的距离是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
3．在平面直角坐标系中，点 位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知点 ， 轴，且 ，则B点坐标是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
5．如图，点A，B，C在一次函数 的图象上，它们的横坐标依次为 ，1，2．分别过这
些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A．1 B． C． D．3
6．如图，将线段 平移后得到线段 ，已知点A和D是对应点，点A、B、C、D的坐标分别为
， ， ， ，则 的值为（ ）A．8 B．9 C．12 D．11
7．对坐标平面内不同的两点 ，定义 ，则 之间的距离
与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，点 ， ，点 ，点 ，若 ， ， 围成的三角形
面积为 ，则点 的坐标为( )
A． B．
C． 或 D． 或
9．如图，边 经过原点 ，点 在 轴上， 于点 ，若点 ， ， ，
则 的值是（）
A．8 B．12 C．16 D．20
10．我们把1，1，2，3，5，8，13，21⋯这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这
列数为半径作 圆弧 ， ， ，⋯，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接 ， ，
，⋯，得到螺旋折线（如图），已知点 ， ， ，则该折线上的点 的坐
标为（ ）A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一
部分，如果用 表示“士”的位置， 表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为
．
12．在平面直角坐标系中，点 在第二象限，且距离 轴 个单位长度，距离 轴 个单位长度，
则点 的坐标为 ．
13．已知点 在第二象限，且 到 轴的距离与它到 轴的距离相等，则 ．
14．在平面直角坐标系中，把点 向下平移 个单位得到点 ，则代数式
的值为 ．
15．在平面直角坐标系 中，对于点 ，我们把 叫做点 的友好点 已知点
的友好点为 ，点 的友好点为 ，点 的友好点为 ，这样依次得到各点 若 的坐标为
，设 ，则 的值是 ．
16．将一张坐标纸折叠一次，使得点（3，0）与（-3，0）重合，则点（ ，0）与 重合.
17．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2，0），点P为线段
AB外一动点且PA＝1，以PB为边作等边△PBM，则当线段AM的长取到最大值时，点P的横坐标
为 ．
18．如图，在直角坐标系中，已知点 的坐标为 ，进行如下操作：将线段 按逆时针方向
旋转 ，再将其长度伸长为 的 倍，得到线段 ；又将线段 按逆时针方向旋转 ，长
度伸长为 的 倍，得到线段 ，如此重复操作下去，得到线段 ， ， ，则：
（1）点 的坐标为 ；
（2）落在 轴正半轴上的点 坐标是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知点 ，根据下列条件求点 的坐标．
（1）点 在 轴上； （2）点 在 轴上．20．（8分）如图， 位于平面直角坐标系 中， ， ， ．点B与点C
关于直线l对称，直线l与 ， 的交点分别是点D，E．
（1）画出直线l；
（2）写出点A关于l的对称点A的坐标______；
（3）若点P在直线l上， ，请直接写出点P的坐标．
21．（10分）将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为（ ，
0） ，点D（ ，1）在BC上，将长方形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，
设点B的对应点为点E．
（1）当 时，点B的坐标为________，点E的坐标为_________；
（2）随着 的变化，试探索：点 能否恰好落在 轴上？若能， 请求出 的值；若不能，请说
明理由．
（3）如右图，若点E的纵坐标为1，且点（ ， ）落在△ADE 的内部，求 的取值范围．22．（10分）如图所示，在直角梯形 中， ， ， ， ．
（1）求点B的坐标，并且求出直角梯形 的面积；
（2）当P点沿 方向以每秒2个单位的速度从O点出发，经过多少时间后 的面积等于
的面积的一半？
（3）在（2）的条件下，若现在P、Q点同时出发，当Q点从A点出发，沿 方向每秒3个单位
的速度移动，问经过多少时间后 的面积等于直角梯形 的面积的 ？
23．（10分）如图在直角坐标系中，已知 ， ， 三点，若 ， ， 满足关系
式： ．一动点 从 点出发，以每秒 个单位长度的速度沿 轴负半轴
运动，同时一动点 从 点出发，以每秒 个单位长度的速度沿 轴正方向运动．
（1）直接写出 、 、 三点坐标： ， ， ．
（2）在运动过程中是否存在点 ，使 的面积等于 的面积?若存在，求出点 的坐标，
若不存在，请说明理由．（3）在点 点 运动的过程中，当 时，请直接写出 与 之间的数量关系．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， ， ，将线段 平移后
得到线段 ，点 在 轴上，连接 、 ， 交 轴于点 ， 轴．
（1）直接写出点 、点 的坐标；
（2）点 为线段 上一点，点 的横坐标为 ，连接 、 ，用含 的式子表示三角形
的面积（不要求写出 取值范围）；
（3）在（2）的条件下，线段 与线段 重合（点 与点 重合，点 与点 重合），将线段
沿 轴向下平移，连接 、 、 、 、 ，当三角形 的面积比三角形 的面
积大2时， ，求点 的坐标．参考答案：
1．A
【解析】略
2．C
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y
轴的距离为点的横坐标的绝对值，据此即可解答．
【详解】解：点 到 轴的距离是 ，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了第二象限点坐标的特征．熟练掌握第二象限点坐标的特征为 是解题的关键．
由题意知， ，然后根据第二象限点坐标的特征为 进行作答即可．
【详解】解：由题意知， ，
∴ 在第二象限，
故选：B．
4．D
【分析】由 平行于x轴可知，A、B两点纵坐标相等，再根据线段 的长为5，B点可能在A点的左边
或右边，分别求B点坐标．
【详解】解：∵ 轴，
∴A、B两点纵坐标相等，都是4，
又∵A的坐标是 ，线段 的长为5，
∴当B点在A点左边时，B的坐标为 ，
当B点在A点右边时，B的坐标为 ．
故B点坐标是： 或 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了与坐标轴平行的平行线上点的坐标特点及分类讨论的解题思想．
5．D【分析】设 轴于点 ； 轴于点 ； 于点 ，然后求出 各点
的坐标，计算出长度，利用三角形面积公式即可计算出答案．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及函数图象，根据一次函数上点的坐标特
征，得出三个三角形均是底为1，高为2的直角三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，设 轴于点 ； 轴于点 ； 于点
由题意可得:
点坐标为 ，
点坐标为 ，
点坐标为 ，
点坐标为 ，
点坐标为 ，
点坐标为 ，
点坐标为
所以，
,
所以图中阴影部分的面积和等于故选：D．
6．C
【分析】根据点A、 D横坐标判定出 向右平移了5个单位，从而可由点B、C坐标求出b；根据点B、
C纵坐标判定出 向上平移了1个单位，从而可由点A、 D纵坐标求出a；然后代入计算即可．
【详解】解：∵将线段 平移后得到线段 ， ， ， ， ，
∴将线段 向右平移了5个单位，向上平移了1个单位后得到线段 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查根据平移后点的坐标，判定平移方式，再根据平移方式确定平移后点的坐标，熟练掌握
平移坐标变换规律“左减右加，上加下减”是解题的关键．
7．B
【分析】本题考查两点之间线段最短的性质，坐标与图形性质，根据点的坐标的特征， 、 、
三者正好构成直角三角形，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：当两点不与坐标轴平行时，
∵ 的长度是以 为斜边的直角三角形，
∴ ．
当两点与坐标轴平行时，
∴ ．故选：B．
8．C
【分析】根据已知得出， ，点 到 轴的距离为 ，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解： 点 ， ，点 ，点 ，
，点 到 轴的距离为 ，
，
即 ，
，
点 的坐标为 或 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了坐标与图象，点到坐标轴的距离，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查的是在坐标系中求图形面积的题目，掌握“利用点的坐标计算相应线段的长”是解题的
关键．
先根据三角形面积公式得到 ，故只需求得 的面积即可解题；根据面积的和差关系
得 ，再结合点 、 、 的坐标，利用三角形的面积公式分别计算 和 ，至
此问题不难解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∵
∴ ，
∴ ．
故选：D．10．B
【分析】观察图象，推出 的位置，即可解决问题．
【详解】解：观察发现：
先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到 ；
先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到 ；
先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到 ；
先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到 ；
先向左平移5个单位，再向下平移5个单位得到 ；
先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到 ；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了点的坐标变化规律等知识，解题的关键是理解题意，确定 的位置．
11．
【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：“将”的位置应表示为 ．
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
12．
【分析】根据点所在的象限，确定横纵坐标的符号，根据到 轴、 轴的距离，确定横纵坐标的数值，本
题考查了点的坐标，解题的关键是：掌握四个象限内点的坐标符号特点，和到 轴、 轴的距离所对应的坐标数值．
【详解】解： 点 在第二象限，
横坐标为负，纵坐标为正，
距离 轴 个单位长度，距离 轴 个单位长度，
横坐标： ，纵坐标为 ，
，
故答案为： ．
13．
【分析】本题主要考查了点的坐标．根据点 在第二象限，且到 轴的距离与它到 轴的距离相
等，列出方程求解即可．
【详解】解：∵点 在第二象限，
∴ ， ，
∴ ，
根据题意得：
，
所以 ，
解得 （舍去）或 ．
故答案为： ．
14．5
【分析】本题考查了由平移方式确定点的坐标，根据题意得 ，即 ，利用整体思想
即可求解．
【详解】解：将点 向下平移 个单位得到点 ，
，
，
，
故答案为： ．15．
【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，解答本题的关键是准确理解题意，发现变换规律，求出字母
的值．】求出 、 、 、 的坐标，找到规律，即可求出 的值．
【详解】解：根据题意，点 的坐标为 ，
则 ， ， ， ，
由此可知，每四次一循环，
因为 ，
所以 ， ，
解得： ， ，
，
故答案为：
16．（ ，0）
【详解】解：∵将一张坐标纸折叠一次，使得点（3，0）与（﹣3，0）重合，∴折痕是y轴，∴点（﹣ ，
0）与点（ ，0）重合．故答案为（ ，0）．
17．﹣
【分析】如图，将△MPA绕点P顺时针旋转60°，得到△BPN，连接AN．根据旋转不变性可知：PA＝PN，
∠MPB＝∠APN＝60°，AM＝BN，推出△PAN是等边三角形，推出AN＝PA＝1，由BN≤AN+AB，推出当N，
A，B共线时，BN的值最大，此时点N在BA的延长线上，由此即可解决问题.
【详解】如图，将△MPA绕点P顺时针旋转60°，得到△BPN，连接AN．
根据旋转不变性可知：PA＝PN，∠MPB＝∠APN＝60°，AM＝BN，∴△PAN是等边三角形，
∴AN＝PA＝1，
∵BN≤AN+AB，
∴当N，A，B共线时，BN的值最大，此时点N在BA的延长线上，可得点P的横坐标为﹣1﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【点拨】本题考查等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键
是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
18．
【分析】考查坐标的旋转问题，得到相应的旋转规律及 的长度的规律是解决本题的关键．
（1）易得 在第三象限的角平分线上，先得到 的长度，进而判断 的坐标即可；
（2）易得 轴正半轴上的点横坐标与底数为 的幂相关．
【详解】解：（1）由图可得 在第三象限的角平分线上，
， ，
，作 轴， 轴，
，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ；
（2） 通过旋转最后落在 轴正半轴上，而每次旋转 ，
需要旋转 次才能落在 轴正半轴上，并且每旋转一次 扩大一倍，
，旋转到点 的坐标为 ，其中 满足的条件是 （ ， ， 的整数），
故答案为： ．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，一元一次方程的应用；
（1）由点 在 轴上得 ，即可求解；
（2）由点 在 轴上得 ，即可求解；
理解“ 在 轴上时， ，在 轴上时， ．”是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点 在 轴上，
∴ ，
解得： ，
∴
，
∴点 的坐标为 ．
（2）解：∵点 在 轴上，
∴ ，
解得： ，
∴
，
∴点 的坐标为 ．
20．(1)见解析
(2)(3) 和
【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质和判定，轴对称的性质，垂直平分线的性质．
恰当分类并构造等腰直角三角形是解题的关键．
（1）根据点B与点C的坐标求出中点坐标D，然后过点D作 的垂线即可得出直线l；
（2）根据轴对称的性质：对应点到对称轴的距离相等，结合点 的坐标求解即可；
（3）分两种情况：当 在直线 上方时，当 在直线 下方时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴中点D的坐标为 ，
过点D作 的垂线，即为所求作的直线l，如图所示：
（2）解：∵ ，直线l为 ，
∴ ，
∴点A关于l的对称点A的坐标为 ，
故答案为： ；
（3）解：∵B与点C关于直线l对称，
∴直线l垂直平分 ，
∵点P在直线 上，
∴ ，
∵ ，
∴ 平分 ，∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
当 在直线 上方时，如图所示：
此时点P的纵坐标为： ，
∴此时点P的坐标为 ；
当 在直线 下方时，如图所示：
此时点P的纵坐标为： ，
∴此时点P的坐标为 ；
综上分析可知，点P的坐标为 和 ．
21．（1）（0，1）
（2）
【分析】（1）根据点A、点D、点C的坐标和矩形的性质可以得到点B和点E的坐标；（2）由折叠的性质求得线段DE和AE的长，然后利用勾股定理得到有关m的方程，求得m的值即可．
【详解】解：（1）点B的坐标为（3，4），点E的坐标为（0，1）
（2）点E能恰好落在x轴上．理由如下：
∵四边形OABC为矩形，∴BC=OA=4，∠AOC=∠DCE=90°．
由折叠的性质可得：DE=BD=OA-CD=4－1=3，AE=AB=OC=m．
如图所示，
假设点E恰好落在x轴上，
在Rt△CDE中，由勾股定理可得，
，
则有 ．
在Rt△AOE中，OA2+OE2=AE2，
即 ，解得 ．
（3）—1＜a＜2．
22．(1) ，96；
(2)4秒；
(3)2秒或 秒．
【分析】（1）根据已知中线段的长度即可直接求得A、B、C的坐标，利用梯形的面积公式求得梯形面积
公式；
（2）设x秒后 的面积等于 的面积的一半，利用三角形面积公式，即可列方程求得x的值；
（3）设t后 的面积等于直角梯形 的面积的 ，再利用P，Q相遇前以及相遇后分别得出等式求出答案．
【详解】（1）解：∵在直角梯形 中， ， ， ， ，
∴A的坐标是 ，B的坐标是 ，C的坐标是 ，
直角梯形 的面积是： ；
（2）如图（1）所示：设经过t秒后 的面积等于 的面积的一半，
，
，
解得： ，
∵P点沿 方向以每秒2个单位的速度从O点出发，
∴经过 秒后 的面积等于 的面积的一半；
（3）解：由（1）得直角梯形 的面积为96，
则 的面积为：24，
当P，Q相遇前如图（2），则 ，则 ，
解得： ，
当P，Q相遇后如图（3），则 ，
则 ，
解得： ，
综上所述：经过2秒或 秒后 的面积等于直角梯形 的面积的 ．
【点拨】此题考查了一元一次方程的应用以及三角形的面积以及直角梯形的面积的综合应用，正确分类讨
论是解题关键．
23．(1) ， ， ；
(2)存在， 当 在 上时， ； 当 在 的延长线上时， ．(3) 或 ．
【分析】（ ）利用几个非负数之和为零，每一项都为两，即可求出 ， ， ，则可求解
， ， ；
（ ）分情况讨论， 当 在 上时，设 ，则 ， ，当 的面积等于
的面积时，即 ，则有 ，故 ； 当 在 延长线上时，设 ，则
， ，当 的面积等于 的面积时，即 ，则有 ，故
；
（ ）分情况讨论， 当 在 上时，过 作 ，由（ ）得 ，则 ，再根据平
行线的性质和角度和差即可求解， 当 在 延长线上时，过 作 ，由（ ）得 ，则
，再根据平行线的性质和角度和差即可求解，
【详解】（1）∵ ，
∴ ， ， ，
解得： ， ， ，
∴ ， ， ，
故答案为： ， ， ；
（2）存在，如图，
当 在 上时，
由（ ）得： ， ， ，
∴ ， ， ， ，
设 ，∴ ， ，
当 的面积等于 的面积时，即 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
当 在 得延长线上时，
由（ ）得： ， ， ，
∴ ， ， ， ，
设 ，
∴ ， ，
当 的面积等于 的面积时，即 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
（3） 当 在 上时，如图，过 作 ，由（ ）得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
当 在 得延长线上时，如图
过 作 ，由（ ）得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
【点拨】此题考查了坐标与图形性质，非负数的性质，平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上
知识的应用和添加辅助线进行分类讨论．
24．(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据 轴，得到 点纵坐标为 ，利用平行的性质，得到 点坐标，进而得到 点坐
标；
（2）根据题意画出图形，利用三角形的面积公式进行求解即可；
（3）分点 在线段 上和在线段 的延长线上，两种情况进行讨论求解．【详解】（1）∵点 平移后在 轴上，
∴点 先向右平移4个单位，
∵ 轴，
∴ 点纵坐标为 ，
∴点 向上平移2个单位，
∴平移规则为，先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，
∴ ；
（2）如图：
∵
∴ ，
∵ 的横坐标为 ，
∴ 的画积为 ；
（3）①当 在 上时，如图：设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 的面积比三角形 的面积大2，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ；
②当 在 的延长线上时，如图：
设 ，则 ，
∴ ， ，∵ 的面积比三角形 的面积大2，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ；
综上： 或 ．
【点拨】本题考查坐标与平移，坐标与图形．熟练掌握平移的性质，正确的画出图形，利用数形结合和分
类讨论的思想进行求解是解题的关键．
