通关秘籍09圆锥曲线大题（易错点+六大题型）（解析版）-备战2024年高考数学抢分秘籍（新高考专用）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_5.2024三轮冲刺

秘籍 09 圆锥曲线大题 目录 【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测 【应试秘籍】总结常考点及应对的策略 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点：解题规范 【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略 【题型一】极点、极线 【题型二】 自极三角形与调和点列 【题型三】 齐次化法解决斜率相关问题 【题型四】 定比点差法 【题型五】 定点、定值 【题型六】 求轨迹方程型 概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 题型预测 解答题☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 考向预测 极点、极线 圆锥曲线大题和小题考察的类型不一致，但是肯定都是以基础知识为前提的情况下进行考察，所以 一般第一问考察的大多还是求圆锥曲线的函数解析式，而第二问往往考察的是直线与圆锥曲线的位置关系， 这里对于解析几何的代数问题要求就比较高，题型也相应较多，需要多加练习。 一些固定题型解题方法的掌握还是需要熟练，并且理解圆锥曲线中解析几何的解题思维，延伸知识 点例如极点、极线，齐次化解法、定比点差法等等比较热门的需要熟练于心。 易错点一：解题规范 圆锥曲线大题在遇到直线与曲线相交相关的问题是，极点、极线的思想只能辅助我们解题，不可出现 在答题过程中，都需要设点或设线，写出完整的证明过程。 例（2023 年全国乙卷）已知椭圆 的离心率是 ，点 在 上．(1)求 的方程； (2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为 定点． 【极线思维】记 ，点B的极线 过点A，设极线与PQ交于点D，则B，P，D，Q为调和点 列，AB，AP，AD，AQ为调和线束，而AB平行y轴，故MN的中点为y轴于极线的交点 【详解】（1）由题意可得 ，解得 ， 所以椭圆方程为 . （2）由题意可知：直线 的斜率存在，设 ， 联立方程 ，消去y得： ， 则 ，解得 ， 可得 ， 因为 ，则直线 ， 令 ，解得 ，即 , 同理可得 ，则，所以线段 的中点是定点 . 变式1：（2024·湖南衡阳·二模）（多选）已知圆 是直线 上一动点，过点 作 直线 分别与圆 相切于点 ，则（ ） A．圆 上恰有一个点到 的距离为 B．直线 恒过点 C． 的最小值是 D．四边形 面积的最小值为 【答案】BCD 【详解】易知圆心 ，半径 ，如下图所示： 对于A，圆心 到直线 的距离为 ， 可得圆 上的点到直线 距离的最小值为 ,圆 上的点到直线 距离的最大值为 ， 所以圆 上恰有两个点到 的距离为 ，即A错误； 对于B，设 ，可得 ； 易知 ，由 ， 整理可得 ， 同理可得 ，即可知 两点在直线 上， 所以直线 的方程为 ，即 ， 令 ，解得 ， 所以直线 恒过定点 ，即B正确；对于C，由直线 恒过定点 ，当点 与圆心 的连线垂直于 时， 的值最小， 点 与圆心 之间的距离为 ，所以 ，故C正确； 对于D，四边形 的面积为 ， 根据切线长公式可知 ，当 最小值， 最小， PC d 3 2，所以 PA  14，故四边形ACBP的面积为2 14，即D正确； min min 故选：BCD 【题型一】极点、极线 二次曲线的极点极线 （1）.二次曲线 极点 对应的极线为 （半代半不代） （2）圆锥曲线的三类极点极线（以椭圆为例）：椭圆方程 ①极点 在椭圆外， 为椭圆的切线，切点为 则极线为切点弦 ； ②极点 在椭圆上，过点 作椭圆的切线 ， 则极线为切线 ； ③极点 在椭圆内，过点 作椭圆的弦 ，分别过 作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线 ； （3）圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线. 【例1】过点 （3，1） 作圆 的两条切线，切点分别为A 、 B则直线AB的方程为（ ） 2x+y−3=0 2x−y−3=0 4x−y−3=0 4x+y−3=0 A． B． C． D． 解析：直线 是点（3，1）对应的极线，则方程为 ，即 ．故选A． x2 y2 + =1 【例2】已知点P为 2x+y=4 上一动点．过点P作椭圆 4 3 的两条切线，切点分别A、B，当点P 运动时，直线AB过定点，该定点的坐标是________． mx (−2m+4)y 解析：设点 的坐标是 ，则切点弦 的方程为 + =1，化简得 P （m,−2m+4） AB 4 3 3 3 ，令 ，可得x=2,y= ，故直线 过定点(2， )． (3x−8y)m=12−16y 3x−8y=12−16y=0 4 AB 4 【例3】（2024·广东湛江·一模）已知点P为直线xy30上的动点，过P作圆O:x2y2 3的两条 切线，切点分别为A，B，若点M为圆E:x22y32 4上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值 为 ． 【答案】7 【详解】设Px ,y ,Ax,y ,Bx ,y  ，则满足x y 30,x2 y2 3,x2 y2 3； 0 0 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 易知圆O:x2y2 3的圆心为O0,0 ，半径r  3； 圆E:x22 y32 4的圆心为E2,3 ，半径 ，如下图所示： R2 易知OAPA,OBPB，所以O  A    P  A  0，即x 1 x 1 x 0 y 1 y 1 y 0 0，整理可得x 1 x 0 y 1 y 0 30； 同理可得x x y y 30， 2 0 2 0 即Ax,y ,Bx ,y  是方程x xy y30的两组解， 1 1 2 2 0 0可得直线AB的方程为x 0 xy 0 y30，联立x 0 y 0 30，即x 0 xy3y30； xy0 x1 令 3y30 ，可得 y1 ，即 x1,y1 时等式 x 0 xy3y30 与 x 0 无关， 所以直线 恒过定点Q1,1，可得QE  212 312 5； AB 又Q在圆O内，当ABQE，且点M 为QE的延长线与圆E的交点时，点M 到直线AB的距离最大； 最大值为QE R527 【变式1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，且 ， 与短轴的一个端点 构成一个等腰直角三角形，点 在椭圆 ，过点 作互相垂直且与 轴 不重合的两直线 ， 分别交椭圆 于 ， 和点 ， ，且点 ， 分别是弦 ， 的中点． (1)求椭圆 的标准方程； (2)若 ，求以 为直径的圆的方程； (3)直线 是否过 轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：因为椭圆 经过点 ， 且 ， 与短轴的一个端点 构成一个等腰直角三角形， 可得 ，则 ，所以 ，解得 ，所以椭圆 的标准分别为 . （2）解：由（1）得 ，所以直线 的方程为 ， 联立方程组 ，解得 或 ，所以 ， 则CD的中点为 且 ，故以 为直径的圆的方程为 . （3）解：设直线 的方程为 ，且 ，则直线 的方程为 ， 联立方程组 ，整理得 ， 设 ，则 且 ， 所以 ， 由中点坐标公式得 ， 将 的坐标中的用 代换，可得 的中点为 ， 所以 ，所以直线 的方程为 ， 即 ，则直线 过定点 . 【变式2】（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆 ， 分别为椭圆 的左、右顶点， 分 别为左、右焦点，直线 交椭圆 于 两点（ 不过点 ）. (1)若 为椭圆 上（除 外）任意一点，求直线 和 的斜率之积； (2)若 ，求直线 的方程； (3)若直线 与直线 的斜率分别是 ，且 ，求证：直线 过定点. 【答案】(1) (2)(3)证明见解析 【详解】（1）在椭圆 中，左、右顶点分别为 ， 设点 ，则 . （2）设 ，由已知可得 ， ， 由 得 ，化简得 代入 可得 ， 联立 解得 由 得直线 过点 ， ， 所以，所求直线方程为 . （3）设 ，易知直线 的斜率不为 ，设其方程为 （ ）， 联立 ，可得 ， 由 ，得 . 由韦达定理，得 . ， . 可化为 ， 整理即得 ，，由 ， 进一步得 ，化简可得 ，解得 ， 直线 的方程为 ，恒过定点 . 【变式3】（2024·新疆喀什·二模）已知椭圆 的左焦点 ，点 在椭 圆 上，过点 的两条直线 分别与椭圆 交于另一点 ，且直线 的斜率满足 ． (1)求椭圆 的方程； (2)证明直线 过定点． 【答案】(1) ； (2)证明见解析. 【详解】（1）由点 在椭圆 上，得 ， 由 为椭圆 的左焦点，得 ， 所以椭圆 的方程为 . （2）依题意，直线 不垂直于坐标轴，设其方程为 ， ， ， 由 消去y并整理得 ， ， ， ， 由 得 ，即 ， 整理得 ，即有 ，而 ，解得 ，满足 ，直线 ： 过定点 ， 所以直线 过定点 . 【题型二】 自极三角形与调和点列 一、调和点列的充要条件 A C B D 如图，若 四点构成调和点列，则有（一般前2个出现较多） 二、调和点列与极点极线的联系 如图，过极点 作任意直线，与椭圆交于 ，与极线交点 则点 成调和点列，若点 的极 线通过另一点 ，则 的极线也通过 ．一般称 、 互为共轭点． 三、自极三角形 如图, 设 P 是不在圆雉曲线上的一点, 过 P 点引两条割线依次交二次曲线于 E,F,G,H四点, 连 接对角线EH,FG 交于 N, 连接对边 EG,FH交于 M, 则直线 MN 为点 P 对应的极线. 若P为圆雉 曲线上的点, 则过P点的切线即为极线.同理, PM为点N对应的极线, PN为点M所对应的极线. 因而将△MNP称为自极三点形. 设直线 MN交圆锥曲线于点A,B两点, 则PA, PB恰为圆锥曲线的两条切线. 从直线 上任意一点 向椭圆 的左右顶点 引两条割线 与椭圆 交于 两点，则直线 恒过定点 ． 【例1】已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， ，P为直 线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【自极三角形思路】延长CB,AD交于点Q， ，则△EPG为自极三角形，故x=6为E点的极线， 则E为 【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程 可得： ， ， ， ， 椭圆方程为： （2）证明：设 ， 则直线 的方程为： ，即： 联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得： ，解得： 或 将 代入直线 可得： 所以点 的坐标为 . 同理可得：点 的坐标为 当 时， 直线 的方程为： ， 整理可得： 整理得：所以直线 过定点 ． 当 时，直线 ： ，直线过点 ． 故直线CD过定点 ． 【例2】（2022·全国乙卷高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过 两点． (1)求E的方程； (2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足 ．证明：直线HN过定点． 【调和点列思路】AB为P所对应的极线，故P，M，C，N四点成调和点列，故AP，AM，AC，AN 四条线成调 和线束，因为直线HM平行AP，且T为HM中点，由调和线束平行性质(平行于一组调和线束中的其中一条直 线交另外三条直线的三个交点，其中一个点为另外两个点的中点)，故H点必然在直线AN上，故直线HN过 定 【详解】（I）解：设椭圆 的方程为 ，过 ，则 ，解得 ， ，所以椭圆 的方程为： ． （II）证法一：定点为 ，证明如下： 点 对应的极线为 ，即 ，即为直线 ，则 为调和线束， 过 作 // ，交 于 ，由调和性质可知 为 中点，故直线 过定点 ． 证法二： ，所以 ， ①若过点 的直线斜率不存在，直线 ．代入 ，可得 ， ，代入AB方 程 ， 可 得 ， 由 得 到 ． 求 得 方 程 ： ，过点 ． ②若过点 的直线斜率存在，设 ． 联立 得 ， 可得 ， ，且 联立 可得 ， 可求得此时 ， 将 ，代入整理得 ， 将 代入，得 ，显然成立． 综上，可得直线 过定点 ． 【变式1】（2024江南十校联考）在平面直角坐标系 中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是 坐标轴，右支与x轴的交点为 ，其中一条渐近线的倾斜角为 . (1)求C的标准方程； (2)过点 作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段 上取一点E满足 ，证明：点E在一条定直线上. 【极线思路】显然E在T的极线上，故E点轨迹为T的极线 【详解】（1）根据题意，设双曲线的方程为 ，由题知 ， ，可得 ； 所以双曲线方程为 . （2）易知 为双曲线的右焦点，如下图所示： 由题知直线l斜率存在， 根据对称性，不妨设斜率为 ，故直线的方程为 ， 代入双曲线方程得 ， 设 ， ， 由韦达定理有 ， ， 且 ， ， 设 ，点E在线段 上，所以 由 可得 化简得 ， 代入 和 并化简可得 ， 即存在点E满足条件，并且在定直线 上. 【变式2】设椭圆 过点 ，且左焦点为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）当过点 的动直线 与椭圆 相交于两不同点 ， 时，在线段 上取点 ，满足 ，证明：点 总在某定直线上． 1 1 { {c 2 =2¿ + =1 ¿¿¿ ¿ 解析：（1）由题意得 ，解得 ，所求椭圆方程为 ． a 2 b 2 x2 y2 a2 =4,b2 =2 4 + 2 =1| ⃗PB| | ⃗QB| （2）解法：已知 = ，说明点 关于椭圆调和共轭，根据定理3，点 在点 对应的极线上，此 | ⃗PA| | ⃗QA| P,Q Q P 4⋅x 1⋅y 极线方程为 + =1，化简得 ．故点 总在直线 ． 4 2 2x+y−2=0 Q 2x+y−2=0 【变式3】已知 、 分别为椭圆 : 的上、下焦点，其中 也是抛物线 的焦点，点 是 与 在第二象限的交点，且 . （1）求椭圆 的方程; （2）已知点 和圆 : ，过点 的动直线 与圆 相交于不同的两点 ，在线段 上取一 点 ，满足: ， ，( 且 ).求证:点 总在某定直线上. 【极线思路】由题可知 ，即 ，故点Q在P点的极线上 【详解】（1）设 ，因为点M在抛物线 上，且 ，所以 ，解得 ， 又点M在抛物线 上，所以 ，且 ，即 ，解得 ， 所以椭圆 的方程 ； （2）设 ， ，因为 ，所以 ，即有 ， 又 ，所以 ，即有 ， 所以 得： ， 又点A、B在圆 上，所以 ，又 ，所以 ，故点Q总在直线 上． 【题型三】 齐次化法解决斜率相关问题 “齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思.在代数里也有“齐次”的叫法，例如 f =ax²+bxy+cy²称为二次齐次式， f中每一项都是关于x，y的二次项.与圆锥曲线相关的问题以大运算 量著称，齐次化引入圆锥曲线有时会极大地缩减运算量. 1：“齐次化”方法使用场景 题目中出现了一个定点引出的两条动直线的斜率之和 k₁+k₂或斜率乘积 k₁⋅k₂为定值时，优先考 虑使用齐次化的技巧. 2： 用法：必须先把该定点平移至原点位置，然后将两个动点所成的直线假设为 mx+my=1,再联 立即可. 3: 方程为 mx+my=1的直线，可以表示不过原点 (原点坐标不适合方程)的所有直线 (讨论m.n与 0的关系) x2 y2 √2 【例1】如图，椭圆 E: + =1(a⟩b>0)经过点. A(0,−1),且 离心率为 . a2 b2 2 (1):求椭圆E的方程; (2)：经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P、Q (均异于点A), { c √2 = 解: (1)由题意, b=1,又 a 2 , a2=1+c2 x2 所以，a=√2,b=1,c=1, 所以，椭圆E的方程为 + y2=1. 2 (2)首先将椭圆向上平移1个单位， x2 得椭圆. E'的方程： +(y−1) 2=1即 x²+2y²−4 y=0, 2 此时, 点(1,1)向上平移1个单位, 变为(1.2), 设直线方程为 mx+my=1,直线过(l,2), 则有 m+2m=1,将直线方程代入 x²+2y²−4 y=0得 x²+2y²−4 y(mx+ny)=0 平移之后， 点P、Q变为 P'(x₁,y₁),Q'(x₂,y₂)， ( y) 2 y 变换得 (4n−2) +4m −1=0,平移不改变直线的斜率， x xy y −4m −2m −2m 所以 k +k =k +k = 2+ 1= = = =2. AP AQ oP' oQ' x x 4n−2 2n−1 1−m−1 2 1 原问题成立. x2 y2 √2 【例2】已知椭圆 C: + =1(a⟩b>0)的离心率为 ,且过点A(2,1). a2 b2 2 (1)求椭圆C的方程; (2) 点M,N在椭圆C上, 且. AM⊥AN,AD⊥MN, D为垂足. { c √2 = {a=√6 a 2 解:(1)由题意得: , 结合 a²=b²+c², 解得 b=√3, 4 1 + =1 c=√3 a2 b2 x2 y2 椭圆的方程为 + =1,即 x²+2y²=6 6 3 (2)当直线 A'M',A'N'的斜率都存在， 将整个图形平移一下，将点A平移到坐标原点 A'(0,0), 相应的其它点平移为 M',N',D',平移不改变直线的斜率， 椭圆方程为： (x+2)²+2(y+1)²=6,即 x²+2y²+4x+4 y=0, 设M N':mx+ny=1, 将直线代入椭圆方程，得： x²+2y²+(4x+4 y)(mx+ny)=0, 即: (4n+2) ( y) 2 +4(m+n) y +4m+1=0,由于 k ⋅k = y 1 ⋅ y 2= 4m+1 =−1, x x A'M' A'N x x 4n+2 1 2 所以， − 4 m− 4 n=1, 所以，直线 mx+my=1经过点 B'( − 4 ,− 4) , 3 3 3 3 (2 1) 再将整个图形重新平移回去，直线MN经过定点 B ,− , 3 3 (4 1) 由题意可知， △ADB为直角三角形，斜边AB的中点 Q , ,满足|DQ|为定值. 3 3 当直线AM，AN的斜率有一个不存在时， (2 1) 不妨设 N(2,−1),M(−2,1),直线. MN:x+2y=0,也经过点 B ,− 3 3 (4 1) 2√2 综上所述，存在点 Q , ,使|DQ|为定值.此定值为 3 3 3 【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知P为椭圆 上一点，过原点且斜率存在的直线 与椭圆C 相交于A，B两点，过原点且斜率存在的直线 （ 与 不重合）与椭圆C相交于M，N两点，且点P满足 到直线 和 的距离都等于 ．(1)求直线 和 的斜率之积； (2)当点P在C上运动时， 是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) ； (2)是，12. 【详解】（1）设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ， ， 则根据点到直线的距离公式可得 ， 化简得 ， 同理可得 ， 所以 ， 是一元二次方程 的两实数根， ， 则有 ． 又因为点 在C上，所以 ，即 ， 所以 （定值）． （2） 是定值，且定值为12． 理由如下： 设 ， ， 联立方程组 ，解得 ， 所以 ， 同理可得 ． 由椭圆的对称性知 ， ， 所以 ． 由（1）知 ， 所以（定值）． 【变式2】（2024·安徽合肥·二模）已知椭圆 的右焦点为 ，左顶点为 ，短轴长 为 ，且经过点 ． (1)求椭圆 的方程； (2)过点 的直线 （不与 轴重合）与 交于 两点，直线 与直线 的交点分别为 ，记 直线 的斜率分别为 ，证明： 为定值． 【答案】(1) ； (2)证明见解析. 【详解】（1）因为 ，所以 ，再将点 代入 得 ， 解得 ，故椭圆 的方程为 ； （2）由题意可设 ， 由 可得 ， 易知 恒成立，所以 ， 又因为 ， 所以直线 的方程为 ，令 ，则 ，故 ， 同理 ，从而 ， 故 为定值． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知曲线 与曲线 关于直线 对称． (1)求曲线 的方程． (2)若过原点的两条直线分别交曲线 于点 ， ， ， ，且 （ 为坐标原点），则四边形 的面积是否为定值？若为定值，求四边形 的面积；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值， 【详解】（1）设点 为曲线 上任一点，则点 关于直线 的对称点 在曲线 上． 根据对称性，得 解得 将 代入曲线 并整理，得 ．故曲线 的方程为 ． （2）四边形 的面积为定值．理由如下： 当直线 的斜率不存在时，直线 轴，则 ．因为 ，所以不妨设 ，则 ， 此时取 ， ， 根据对称性可知四边形 为平行四边形， 则四边形 的面积 ，为定值． 当直线 的斜率存在时，设 ，且 ， ． 联立 得 ． 由 ，得 ，则 ， ， 则 ． 因为 ，即 ，即 ， 所以 ． 因为原点 到直线 的距离 ， 由于四边形 为平行四边形， 所以四边形 的面积 ． 综上，四边形 的面积为定值 ．【题型四】 定比点差法 直线与圆雉曲线相交时,中点(定比分点)问题通常运用韦达定理和点差法两种方式.点差 法(定比点差)是从设点的视角,将点的坐标代人曲线方程,通过系数调配后进行两式作差. 一般地,设椭圆 上两点 ,若定点 满足 ,则得 到 , 化简得 由 得 两式相减得 . 把 代 人 , 得 , 化 简 得 .特别地,如果 (或 ),则可以得到方程组 继而能相对快捷地求出 交点坐标,避免暴求交点.椭圆、双曲线中的多点共线的倍值问题,也可类似解决,其实质就是 一种降维处理.此外,当 时,则 是 的中点即转化为中点弦问题. 【例1】直线 与椭圆 交于 两点， 与 轴、 轴分别交于点 .如果 是线 段 的两个三等分点，则直线 的斜率为 ． 【解析】设点 . 由 得 ； 由 得 . 所以 . (*)由 两式相减得 . 把(*)代入，知 ，故 ，所以点 ，所以 . 【例2】设 分别为椭圆 的左右两个焦点，点 在椭圆上. 若 ，则点 的坐标是 ． 【解析】延长 交椭圆于点 . 由 知， ， 所以 把点 代入 ， 得 两式相减，得 ， 化简，得 . 与 联立，解得 ，代入椭圆求得点 . 【例3】已知点 ，椭圆 上两点 满足 ，则 当 时，点 横坐标的绝对值最大.. 【解析】设点 由 . 所以 ， 所以 ，代入 ， 可得 ，当 时取得等号. 【变式1】已知 是双曲线 的左焦点，点 的坐标为 ，直线 与双曲线 的两条渐进线分别交于点 .若 ，则双曲线 的离心率为 ．【答案】 . 【解析】设点 . 由于 , 故 ,得到 由点 均在渐近线 0上可以知道, 则 两式相减得 . 把 代人,知 ,化简得 . 结合 ,解得 ,故点 . 由 得 ,所以 . 【变式2】已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与抛物线 交于 两点，与 轴 的交点为 . (1) 若 ，求直线 的方程； (2)若 ，求 的值.【答案】(1) ; (2) . 【解析】(1) 设直线 的方程为 . 设点 , 故 . 由抛物线定义可得 , 解得 . 故直线 方程为 . (2) 设直线 的方程为 设点 , 故 由 可得 , 可得 代入上式可得 . 故直线 方程为 . 解得点 , 故 . 【变式3】如图，椭圆 .过点 作直线 分别交椭圆 于 ， 四点， 且直线 的斜率为 .试判断直线 与直线 的位置关系. 【答案】 . 【解析】设点 , , , .设 , 则由定比分点得到 又点 , 在椭圆 上, 所以 又 三式相加得 . 同理, 设 , 可得 . 两式相减得 . 又直线 的斜率为 , 则 . 所以 , 即 . 所以 . 【题型五】 定点、定值 求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 直线过定点问题或圆过定点问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再 表达出直线方程或圆的方程，结合方程特点，求出所过的定点坐标. 【例1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ， 的左焦点与点 连线的斜率为 ． (1)求 的方程． (2)已知点 ，过点 的直线 与 交于 两点，直线 分别交 于 ．试问：直线 的 斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) ；(2)是，定值为 【详解】（1）由题意可设椭圆 的半焦距为 ，则椭圆 的左焦点为 ． 由题意得 ，则 ，所以椭圆 的方程为 ． （2） 由已知，得直线 的斜率必存在且不为0， 故设直线 的方程为 ． 设 ，则直线 的方程为 ． 由 并结合 ，得 ． 由 是方程的两根，可知 ，则 ． 将 代入 ，可得 ． 同理可得 ． 所以 ．故直线 的斜率为定值，且定值为 ． 【例2】（2023·河南焦作·模拟预测）已知椭圆 的长轴为4，直线 与圆 相切于点 ，与 相交于 ， 两点，且 ， ， . (1)记 的离心率为 ，证明： ； (2)若 轴右侧的点 在 上，且 轴， ， 是圆 的两条切线，切点分别为 ， （ 在 上方），求 的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为椭圆 的长轴为4， 所以椭圆 的方程为 ， . 设 ，则 ，当 时，因为 ， 所以直线 的斜率为 ， 直线 的方程为 ，即 ， 联立椭圆 与直线 的方程得 再根据 整理得 ， ，则 ， ， 故 ， 故 当 时， ，易得 . 综上所述， .（2）由（1）中 ，得点 的纵坐标为 ，横坐标 ，故 . 设 ， ， 由（1）得圆 在 ， 两点的切线方程分别为 ， . 因为 在直线 ， 上，所以 ， ， 因此直线 的方程是 . ， 两点坐标满足方程 整理得 ； ， 两点坐标满足方程 整理得 . 故 ， ， ， 四点的纵坐标满足同一个一元二次方程， 又因为点 在点 上方，点 在点 上方， 故 ， 两点的纵坐标相等， ， 两点的纵坐标相等，从而 轴. ，同理可得 ，所以 . 又 ，可知 . 【例3】（2024·上海奉贤·二模）已知曲线 ， 是坐标原点， 过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点. (1)当 与 轴垂直时，求 的面积； (2)过圆 上任意一点 作直线 ， ，分别与曲线 切于 ， 两 点，求证： ；(3)过点 的直线 与双曲线 交于 ， 两点（ ， 不与 轴重合）.记直线 的斜 率为 ，直线 斜率为 ， 当 时，求证： 与 都是定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由题可知，直线为 ， 代入椭圆方程 ，解得 ， 所以 . （2）设 ， 当 时， ，不妨取 ， ， ， 则 ， ，所以 ，即 成立； 当 时，设 ， 的斜率分别为 ，直线 ， 由 ， 因为直线 与椭圆相切，所以 ， 即 ， 化简可得 ，化为关于 的一元二次方程为 ， 所以 . 因为 在圆上，所以 ， 代入上式可得 ， 综上可得 . （3）设 、 、 、 ， 直线 、 的斜率分别为 、 ， 设直线 ，与椭圆联立得 ， 则 ， ， ， 由 得 ， 即 ， 计算分子部分： ，所以 ， 设直线 ，与双曲线联立得 ， 则 ， ， ， ， 所以 ， 计算分子部分 ，所以 ， 综上可得 、 均为定值. 【变式1】（2024·上海崇明·二模）已知椭圆 ， 为 的上顶点， 是 上不同于点 的两 点． (1)求椭圆 的离心率； (2)若 是椭圆 的右焦点， 是椭圆下顶点， 是直线 上一点.若 有一个内角为 ，求点 的坐 标； (3)作 ，垂足为 ．若直线 与直线 的斜率之和为 ，是否存在 轴上的点 ，使得 为 定值？若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或 ； (3)存在， 【详解】（1）由题意， ，所以离心率 （2）由题意， ， ， ，所以直线 的方程为： ， 设 ，显然有 或 两种情况， ①当 时，直线 的倾斜角为 ，其与 轴的交点为 ，则 ， 因为 ， 由 ，得： ，解得 （舍去）或 ，所以，点 的坐标是 ②当 时，此时 ， 则 ， 因为 ， 由 ，得： ， 解得 （舍去）或 综上所述，点 的坐标是 或 （3）假设存在定点 满足题意， 当 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， 由 得 ， 由题意， ，即 ①． ， ， 所以 ，代入①，得： ， 所以 或 ，即存在直线 使得直线 与直线 的斜率之和为2 直线 的方程为 ，直线 的方程为 由 ，得： ，即 所以所以当 时， 为定值 ，. 当直线 斜率不存在时，设 ， ， 则 ， ，此时 ， 满足题意． 所以存在定点 ，使得 为定值且定值为 ． 【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ． (1)求椭圆 的标准方程． (2)设过点 且斜率不为0的直线 与椭圆 交于 ， 两点．问：在 轴上是否存在定点 ，使直线 的斜率 与 的斜率 的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ； (2)存在，且该定点为 【详解】（1）因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，即 ， 所以 ，所以椭圆 的方程为 ， 因为椭圆 过点 ，所以 ，解得 ， 故 ， ， 所以椭圆 的标准方程为 ； （2）假设存在定点 ．设 ， ， 易知直线 的斜率显然存在，且不为0，设其方程为 ，联立椭圆方程与直线方程，得 ，消去 并整理， 得 ， 所以 ， ， 由 ，解得 ，且 ， 所以 ， 则当 时， 为定值，此时 ． 所以存在定点 ，使直线 的斜率 与 的斜率 的积为定值． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知离心率为 的椭圆 的左、右顶点分别为 ，点 为椭圆 上的动点，且 面积的最大值为 ．直线 与椭圆 交于 两点，点 ，直线 分别交椭圆 于 两点，过点 作直线 的垂线，垂足为 ． (1)求椭圆 的方程． (2)记直线 的斜率为 ，证明： 为定值． (3)试问：是否存在定点 ，使 为定值？若存在，求出定点 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) ； (2)证明见解析；(3)存在点 . 【详解】（1）由题意，得 解得 所以椭圆 的方程为 ． （2） 证明：设 ． 又 ，所以可设直线 的方程为 ． 联立椭圆方程与直线 的方程，得 消去 ，得 ． 又 ，所以 ，可得 ． 由根与系数的关系，得 ，则 ， 所以 ，同理，得 ． 从而直线 的斜率 ． 又 ，所以 ，即 ，为定值． （3）由（2）可得直线 的方程为 ． 由椭圆的对称性可知，若直线 恒过定点，则此定点必在 轴上， 所以令 ，得 ． 故直线 恒过定点 ，且点 的坐标为 ． 因为 ，垂足为 ，且 ，所以点 在以 为直径的圆上运动． 故存在点 ，使 ． 【题型六】 求轨迹方程型 求轨迹方程的常见方法有: ①直接法，设出动点的坐标 ，根据题意列出关于 的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把 分别用第三个变量表示，消去参数即可； ④逆代法，将 代入 . 【例1】（2024·上海嘉定·二模）如图：已知三点 、 、 都在椭圆 上． (1)若点 、 、 都是椭圆的顶点，求 的面积； (2)若直线 的斜率为1，求弦 中点 的轨迹方程； (3)若直线 的斜率为2，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，是否存在定点 ，使得 恒成立？若存在，求出所有满足条件的点 ，若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2) ， (3) 或 【详解】（1）因为点 、 、 都是椭圆 的顶点， 所以 的面积为 ； （2）设 ， ，因为直线 的斜率为 ， 所以可设直线 的方程为 ， 由 ，消去 ，整理得 ， ，即 ， ， ， 设弦 中点 ，则 ， ， 消去 ，得 ， 所以 ， 所以点 的轨迹方程为 ， ； （3）设 ， ， ，则 ， 因为直线 的斜率为 ，设直线 的方程为 ， 其中 ，且 不过 ， 椭圆的方程可化为 ，即 ， 所以 ， 即 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， ，解得 ， 代入 ，解得 ，所以 ， 所以存在点 或 ，使得 恒成立． 【例2】（2024·安徽合肥·二模）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系 中两个点 和 ，记 ，称 为点 与点 之间的“ 距离”，其中 表示 中较大者． (1)计算点 和点 之间的“ 距离”； (2)设 是平面中一定点， ．我们把平面上到点 的“ 距离”为 的所有点构成的集合叫做 以点 为圆心，以 为半径的“ 圆”．求以原点 为圆心，以 为半径的“ 圆”的面积； (3)证明：对任意点 ． 【答案】(1) ； (2)4； (3)证明见解析. 【详解】（1）由定义知， ； （2）设 是以原点 为圆心，以 为半径的 -圆上任一点，则 ． 若 ，则 ；若 ，则有 ． 由此可知，以原点 为圆心，以 为半径的“ 圆”的图形如下所示： 则“ 圆”的面积为 . （3）考虑函数 ． 因为 ，所以 在 上单调递增． 又 ， 于是 ， 同理， ． 不妨设 ， 则 . 【例3】（2024·河南开封·三模）已知 ， ，对于平面内一动点 ， 轴于 点M，且 ， ， 成等比数列． (1)求点P的轨迹C的方程； (2)已知过点A的直线l与C交于M，N两点，若 ，求直线l的方程．【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得 ，则 ， ， ， 由于 ， ， 成等比数列，所以 ， 即 ， 故点P的轨迹C的方程为 （2）由（1）知点P的轨迹C的方程为：当 或 ， 当 时， ，如图； 由题意可知直线 有斜率，设 方程为 ， 联立 ， 则 ，故 , 联立 ， 则 ，故 , , 解得 ， 故直线方程为【变式1】（2024·广东韶关·二模）已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为4， 是其 左、右顶点， 是其右焦点． (1)求椭圆 的标准方程； (2)设 是椭圆 上一点， 的角平分线与直线 交于点 ． ①求点 的轨迹方程； ②若 面积为 ，求 ． 【详解】（1）由题意知， ，解得 ， 所以椭圆 的标准方程为 ； （2）①：由（1）知， ，设 ，则 ， 易知当 时， ， ，此时 ， 由 ，解得 ，即 ； 当 时， ， ，设直线 的斜率为 ， 则 ， 所以直线 方程为 ，又直线 方程为 ， 由 ，得 ，即 ， 解得 ，将 代入直线 方程，得 ，即 ， 又 ，所以 ， 故点 的轨迹方程为 ； ②：由 ，得 ， 又 ，所以 ，得 ， 整理得 ，又 ，所以 ， 整理得 ，即 ， 由 ，解得 . 【变式2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点 ， ， 和动点 满足 是 ， 的等差中项． (1)求 点的轨迹方程； (2)设 点的轨迹为曲线 按向量 平移后得到曲线 ，曲线 上不同的两点M，N的连线交 轴于点 ，如果 （ 为坐标原点）为锐角，求实数 的取值范围； (3)在（2）的条件下，如果 时，曲线 在点 和 处的切线的交点为 ，求证： 在一条定直线上． 【答案】(1) ； (2) 或 ； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题意可得 ， ， ， 则 ， ， 又 是 ， 的等差中项，， 整理得点 的轨迹方程为 ． （2） 由（1）知 ， 又 ， 平移公式为 即 ， 代入曲线 的方程得到曲线 的方程为： ， 即 ． 曲线 的方程为 ． 如图由题意可设M，N所在的直线方程为 ， 由 消去 得 ， 令 ， ，则 ， ， ， 又 为锐角， ，即 ， ，又 ， ，得 或 ． （3）当 时，由（2）可得 ，对 求导可得 ， 抛物线 在点， ， 处的切线的斜率分别为 ，， 在点M，N处的切线方程分别为 ， ， 由 ，解得交点 的坐标 ． 满足 即 ， 点在定直线 上． 【变式3】（2024·山西吕梁·二模）在平面直角坐标系 中，动点 在圆 上，动点 在直线 上，过点 作垂直于 的直线与线段 的垂直平分线交于点 ，且 ，记 的轨迹 为曲线 . (1)求曲线 的方程. (2)若直线 与曲线 交于 两点， 与曲线 交于 两点，其中 ，且 同向，直线 交于点 . （i）证明：点 在一条确定的直线上，并求出该直线的方程； （ii）当 的面积等于 时，试把 表示成 的函数. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析， ；（ii） 【详解】（1）由题意得， ， 设 ，则 ，化简整理得 ， 所以动点 的轨迹 的方程为 ； （2）（i）设 ， 联立 ，整理得 ， 则 ，得 ， 且 ，同理 ， 设 的中点分别为 ，则 ， 由题意可知存在实数 ，使 ， 所以 三点共线，即点 在定直线 上；（ii）由（i）得， ， 同理 ，设 的底边 上的高为 ，梯形 的高为 ， 则由相似比得 ， 解得 ， 所以 的面积 ， 又 ，所以 ， 整理得 ，所以 ， 即 .