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专题 14 旋转中常见的几何模型
◎类型一：“手拉手”模型
模型特征：两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点。
模型说明：如图1，▲ABE，▲ACF都是等边三角形，可证▲AEC≌▲ABF。
如图2，▲ABD，▲ACE都是等腰直角三角形，可证▲ADC≌▲ABE
如图2，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证▲ABD≌▲AFC
1．（2022·全国·九年级专题练习）【探究发现】（1）如图1，在四边形 中，对角线 ，垂足
是O，求证： ．
【拓展迁移】（2）如图2．以三角形 的边 、 为边向外作正方形 和正方形 ，求证：
．
（3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接 ，若 ， ， ，则 的长_____________．（直接填写答案）
2．（2022·四川自贡·九年级专题练习）问题：如图1，在等边三角形ABC内，点P到顶点A、B、C的距离
分别是3，4，5，求∠APB的度数？
探究：由于PA、PB、PC不在同一个三角形中，为了解决本题，我们可以将△ABP绕点A逆时针旋转60°
到△ACP′处，连结P P′，这样就将三条线段转化到一个三角形中，从而利用全等的知识，求出∠APB的度
数．请你写出解答过程：
应用：请你利用上面的方法解答：如图2，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点，且
∠EAF=45°，求证：
3．（2022·重庆巴蜀中学一模）在等边 中，点D在AB上，点E在BC上，将线段DE绕点D逆时针
旋转60°得到线段DF，连接CF．(1)如图（1），点D是AB的中点，点E与点C重合，连接AF．若 ，求AF的长；
(2)如图（2），点G在AC上且 ，求证： ；
(3)如图（3）， ， ，连接AF．过点F作AF的垂线交AC于点P，连接BP、DP．将
沿着BP翻折得到 ，连接QC．当 的周长最小时，直接写出 的面积．
◎类型二： “半角”模型
模型特征：大角含半角+有相等的边，通过旋转“使相等的边重合，拼 出特殊角”
模型说明：
（1）如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，将▲ADF绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABG可证
▲AEF≌AEG，所以可到DF+BE=EF
（2）如图，在等腰直角▲ABC中，∠MAN=45°，将▲ACN绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABQ，可证
▲AMN≌▲AMQ，所以可得CN²+BM²=MN²（3）如图，等腰▲ABC中，AB=BC，∠DBE= 将▲CBD绕点B逆时针旋转∠CBA的度数得到
▲ABD’可证▲DBE≌▲D’BE。
4．（2022·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：
“如图1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF．”
小明同学的思路：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．
把△ABE绕点A逆时针旋转到 的位置，然后证明 ，从而可得 ．
，从而使问题得证．
(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°， ，直接写出EF，BE，DF之间的
数量关系．
(2)【应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°， ，求证：EF＝BE＋
DF．
(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC是 的内接四边形，BC是直径，AB＝AC，请直接写出PB＋PC
与AP的关系．5．（2022·江苏·八年级专题练习）问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝
120°，BD＝DC．
特例探究
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝ 度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为 ；
归纳证明
（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间
的数量关系，并加以证明．
拓展应用
（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ．
6．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图①，在四边形 中， ， ， ，
分别是边 ， 上的点，且 ．请直接写出线段 ， ， 之间的数量关系：
__________；（2）如图②，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且
，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 所在直线上的点，且
．请画出图形（除图②外），并直接写出线段 ， ， 之间的数量关系．
◎类型三：构造旋转模型解题
方法指导：若一个图形中含有相等的线段和特殊的角度，通常是以等线段的公共端点为旋转中心进行旋
转，使得相等的边重合，得出特殊的图形.
常见图形旋转：“等边三角形”的旋转
方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形的一边与原等
边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到
同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决．
7．（2021·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线
BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
（1）如图1，若点D在边BC上，直接写出CE，CF与CD之间的数量关系；
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明
理由；
（3）如图3，若点D在边CB的延长线上，请直接写出CE，CF与CD之间的数量关系．8．（2021·广东广州·九年级期中）如图，等边 中， 分别交 、 于点 、 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）将 绕点 顺时针旋转 （ ），设直线 与直线 相交于点 ．
①如图，当 时，判断 的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
②若 ， ，当 ， ， 三点共线时，求 的长．
9．（2014·甘肃兰州·中考真题）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，
则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将 ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到 DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．
△ △①求证： BCE是等边三角形；
②求证：△DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
