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培优专题 16 证明切线的两种类型
◎类型一：直线与圆有交点
方法归纳:直线过圆上某一点,证明直线是圆的切线时,只需“连半径,证垂直,得切
线”.“证垂直”时通常利用國中的关系得到 90°的角,如直径所对的圆周角等于
90°等.
常见证明垂直的思路有三种。
思路一：利用两个锐角互余证明垂直；
思路二：利用全等证明垂直；
思路三：利用勾股定理的逆定理证明垂直；
思路四：利用等腰三角形的性质证明垂直。
这三种思路在证明垂直时能经常用到，当选择用“作半径，证垂直”时可以考虑用这三
种思路。
1．（2022·江苏苏州·二模）如图，在平行四边形 中， 是对角线， ，以点 为圆心，
以 的长为半径作 ，交 边于点 ，交 于点 ，连接 ．(1)求证： 与 相切；
(2)若 ， ，求 的长．
2．（2022·河北·邢台市开元中学九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与
BC相交于点E，在边AC上取一点D，使得DE＝AD，连接OD、OE．
（1）求证：①△AOD≌△EOD；
②DE是⊙O的切线；
（2）当BC＝5，AD＝2时，求⊙O的半径．
3．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，射线AE交CD于点F，交
BC的延长线于点G，过点C，F，G画圆，连接CE．求证：CE是圆的切线．4．（2021·四川南充·中考真题）如图，A，B是 上两点，且 ，连接OB并延长到点C，使
，连接AC．
（1）求证：AC是 的切线．
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交 于点F，G， ，求GF的长．
◎类型二：不确定直线与圆是否有交点
方法归纳:直线与圆没有已知的公共点时,通常“作垂直,证半径,得切线”证明垂
线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角
的两边的距离相等.
5．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．∠ABC的平分线交AC于点O，以
点O为圆心，OC为半径．在△ABC同侧作半圆O．求证：AB与 O相切；
⊙
6．（2022·江苏淮安·一模）如图，在Rt ACD中，∠ACD=90°，点O在CD上，作⊙O，使⊙O与AD相
切于点B，⊙O与CD交于点E，过点D作DF ∥ AC，交AO的延长线于点F，且∠OAB=∠F．
求证：AC是⊙O的切线；
