文档内容
培优专题 15 与圆周角或圆心角有关的辅助线作法
◎作法一：构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角
模型展示
1．（2022·江苏淮安·九年级期中）如图， 点 A、B、C、D 在 ⊙O 上， ∠AOB=140°， 点 C 是 的
中点， 则 ∠D=（ ）
A．70° B．35° C．55° D．20°
【答案】B【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC= ∠AOB，再根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：连接OC，如图所示，
∵点C是 的中点，∠AOB=140°，
∴∠AOC= ∠AOB =70°，
由圆周角定理得，∠D= ∠AOC=35°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对
的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
2．（2022·陕西·西安铁一中分校九年级期末）知图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，连接AC、
CD，CD与AB相交于点E，若 =2 ，∠C＝20°，则∠AED的度数为（ ）
A．50° B．53° C．55° D．58°
【答案】C
【分析】连接OD，OC，先利用圆周角定理求出∠AOD，从而求出∠DOB，再根据 =2 ，求出
∠BOC，进而求出∠CAO，最后利用三角形的外角进行计算即可解答．
【详解】解：连接OD，OC，∵∠ACD=20°，
∴∠AOD=2∠ACD=40°，
∴∠DOB=180°-∠AOD=140°，
∵ =2 ，
∴∠BOD=2∠BOC，
∴∠BOC=70°，
∴∠CAO= ∠BOC=35°，
∴∠AED=∠ACD+∠CAO=55°，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系、三角形外角的性质，根据题目的已知条件并结
合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠BAC=42°，OD⊥BC于点E，
则∠BDE为_____°．
【答案】69
【分析】连接CD，由圆内接四边形的性质得∠BDC+∠BAC=180°，可得∠BDC =180°-42°=138°，再由垂径
定理得出 ，则BD=CD，然后根据等腰三角形的性质即可求出∠BDE的度数．
【详解】解：如图，连接CD，∵A，B，C，D是⊙O上的四个点，
∴∠BDC+∠BAC=180°，
∵∠BAC=42°，
∴∠BDC =180°-42°=138°，
∵OD⊥BC，
∴ ，
∴BD=CD，
∴∠BDE= ∠BDC= ，
故答案为：69．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质及垂径定理等知识，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分
弦所对的两条弧是解题的关键．
4．（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABC＝63°，则∠D的度数是__．
【答案】27°
【分析】根据题意易得∠ACB＝90°，然后根据圆的性质及直角三角形的两个锐角互余可求解．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°，
∴∠D＝∠A＝27°．
故答案为27°．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
5．（2021·江苏·九年级专题练习）如图， ， 是圆 的两条相等的弦，弧 ，弧 的度数分别为
30度，120度， 为劣弧 上一点，则 ______°．
【答案】127.5
【分析】分别连接OA，OB，OC，OD，根据圆心角定理可求得∠AOD和∠BOC的度数；再根据弦
AB=CD，可求得∠AOB和∠COD的度数；最后根据圆周角定理可求得∠APB的度数．
【详解】解：连接OA，OB，OC，OD，如图所示．
∵ 和 的度数分别是30°和120°，
∴∠AOD=30°，∠BOC=120°．
∵AB=CD，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆心角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的定理，圆周角定理等知识点，熟知上述定
理是解题的关键．◎作法二：利用直径构造直角三角形
模型展示
6．（2022·辽宁营口·中考真题）如图，点A，B，C，D在 上， ，则
的长为（ ）
A． B．8 C． D．4
【答案】A
【分析】连接 ，根据 可得 为 的直径，又根据 得到 ，故在直角三
角形中，利用特殊角的三角函数即可求出 ．
【详解】解：连接 ，
，
，为 的直径，
，
，
在 中,
，
．.
故选：A．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，解三角形，解题的关键是掌握公式、定理。
7．（2022·江苏连云港·二模）如图，弦CD所对的圆心角为 ，AB为直径，CD在半圆上滑动，F是
CD的中点，过点D作AB的垂线，垂足为E，则∠DEF的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，先根据等腰三角形的三线合一可得 ， ，再判
断出点 四点共圆，然后根据圆周角定理即可得．
【详解】解：如图，连接 ，
弦 所对的圆心角为 ，
，
，且点 是 的中点，， （等腰三角形的三线合一），
又 ，
点 四点共圆，
则由圆周角定理得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
8．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，⊙C经过原点O，并与两坐标轴相交于A、D两点，已知∠OBA＝
60°，点D的坐标是（0，2），则圆的半径为__．
【答案】2
【分析】本题可先分别连接OC，AD，根据圆周角定理的推论．得出AD是直径、∠ODC的大小为60°，
进而可得三角形ODC为等边三角形，进而得出半径的长．
【详解】解：连接OC，AD，
由于∠AOD是直角，则AD过点C，是直径．
∴ ，
∵ （在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等）．
∴ 是等边三角形．
∴OC＝OD＝2．
∴圆的的半径为2．
故答案为：2．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论、等边三角形的性质和判定等知识．正确添加辅助线，熟练运用相
关知识是解题的关键．
9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在 中，半径为4，将三角板的60°、90°角顶点A，B放在圆上，
AC，BC两边分别与 交于D，E两点， ，则△ABC的面积为______．
【答案】
【分析】连结AE，根据∠CBA=90°所对的弦得出AE为 的直径，得出AE=8，根据BE=DE，得出
∠BAE=∠DAE，可求∠BAE=∠DAE=30°，利用30°直角三角形性质求出BE=DE= ，利用勾股定理
求出AB= ，然后利用直角三角形性质求出BC=BE+CE=12即可．
【详解】解：连结AE，
∵∠CBA=90°，
∴AE为 的直径，
∴AE=8，
∵BE=DE，∴ ，
∴∠BAE=∠DAE，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠DAE=30°，
∴BE=DE= ，AB= ，
∵AE为直径，
∴∠EDA=90°，
∵∠A=180°-∠ABC-∠BAC=180°-90°-60°=30°，
∴EC=2ED=8，
∴BC=BE+CE=12，
∴S ABC= ．
△
故答案为 ．
【点睛】本题考查直角所对弦和直径所对圆周角性质，30°直角三角形性质，勾股定理，三角形面积，掌握
直角所对弦和直径所对圆周角性质，30°直角三角形性质，勾股定理，三角形面积是解题关键．
10．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形 内接于 ， ， ， ，则
的值为________．【答案】5
【分析】如图，连接 证明 为直径，则 三点共线，再证明 结合 从而可
得答案.
【详解】解：如图，连接
为直径，则 三点共线，
， ，
故答案为：5
【点睛】本题考查的是 的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，熟悉以上两个性质是解
题的关键.
◎作法三：构造圆内接四边形
模型展示11．（2021·浙江·温州外国语学校九年级期中）如图，四边形 是 的内接四边形， ，则
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用圆的内接四边形对角互补的性质可直接求出答案．
【详解】解：∵ 四边形 是 的内接四边形， ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查圆的内接四边形，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．
12．（2021·湖南永州·一模）如图， 内接于 ， ，D是边BC的中点，连接OD并延长，
交 于点E，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】连接CE，根据圆内接四边形的性质得到∠BEC＝180°﹣∠A＝140°，根据垂径定理得到OE⊥BC，
求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如下图，连接CD，
∵∠A＝40°，
∴∠BEC＝180°﹣∠A＝140°，
∵D是边BC的中点，
∴OE⊥BC，BD＝CD，
∴BE=CE，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、垂径定理、等腰三角形的性质等知识，正确理解题意是解题的
关键．
13．（2021·全国·九年级课时练习）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接
AD、CD，若圆的半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为_____．
【答案】4 ．
【分析】连接BO并延长交AC于E，交 于D，根据垂径定理得到点D到AC的距离最大，根据直角三
角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】连接BO并延长交AC于E，交 于D，连接AD、CD，∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，
∴ ，
∴OE⊥AC，点D为 的中点，
此时点D到AC的距离最大，
∴△ADC的面积最大，即以A、B、C、D为顶点的四边形的面积最大，
在Rt△BAD中，∠ABD＝30°，
∴AD＝ BD＝2，
由勾股定理得，AB＝ ＝2 ，
∴以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积＝ ×2×2 ×2＝4 ，
故答案为：4 ．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质，掌握垂径定理、等边三角形的性质是
解题的关键．
14．（2022·黑龙江大庆·九年级期末）如图，点A，B，C在 O上，四边形OABC是平行四边形，若对角
⊙
线AC＝2 ，则 的长为 _____．
【答案】【分析】作圆周角∠AMC，连接OB交AC于N，根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠AMC，根据平行四边形
的性质得出∠B＝∠AOC＝2∠AMC，根据圆内接四边形的性质得出∠AMC+∠B＝180°，求出∠AMC＝
60°，求出∠AOC＝120°，解直角三角形求出ON、OA，再根据弧长公式求出即可．
【详解】解：如图，作圆周角∠AMC，
则∠AOC＝2∠AMC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠ABC＝∠AOC＝2∠AMC，
∵四边形MABC是 O的内接四边形，
∴∠AMC+∠B＝18⊙0°，
∴∠AMC+2∠AMC＝180°，
∴∠AMC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AN＝CN＝ ，
∵OA＝OC，
∴∠AOB＝∠COB＝60°，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴OA＝2ON，
∴ ，
解得：ON＝1，
即OA＝2ON＝2，
∴ 的长是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，圆周角定理，弧长公式，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质等知识点，能求出∠AOC的度数是解此题的关键．
15．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点M在AD的延长线上，
∠AOC＝142°，则∠CDM＝_____．
【答案】71°
【分析】根据圆周角定理得到∠B＝71°，再根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角即可得解．
【详解】解：∵∠AOC＝142°，
∴∠B＝ ∠AOC＝71°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDM＝∠B＝71°，
故答案为：71°．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的
关键．
