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第一章 有理数易错训练与压轴训练
01 题型导图
目录
易错题型一 带“非”字的有理数............................................................................................................................1
易错题型二 化简的多重符号.....................................................................................................................................5
易错题型三 根据点在数轴的位置判断式子的正负................................................................................................7
压轴题型一 根据点在数轴的位置化简绝对值......................................................................................................10
压轴题型二 利用分类讨论数学思想化简绝对值..................................................................................................12
压轴题型三 求解绝对值方程...................................................................................................................................15
压轴题型四 利用点在数轴上的几何意义化简绝对值..........................................................................................17
02 易错题型
易错题型一 带“非”字的有理数
例题：（23-24七年级上·辽宁营口·阶段练习）把下列各数填入它所属的集合内
， ， ， ，0，
(1)整数集合{____________________……}；
(2)分数集合{____________________……}；
(3)非负数集合{____________________……}．
巩固训练
1．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）把下列各数填入它所属的集合内
， ， ， ，0， ， ， ， 、 ……
(1)整数集合{__________……}；
(2)分数集合{__________……}；
(3)非负数集合{__________……}；
(4)有理数集合{__________……}．2．（23-24七年级上·福建福州·期中）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里：
， ， ， ， ， ， ，0．
(1)负整数集合：{ …}；
(2)非负整数集合：{ …}；
(3)正分数集合：{ …}；
(4)负分数集合：{ …}．
3．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期中）将下列各数填入相应的集合中：
， ， ， ，0， ．
负数集合：{ }；
分数集合：{ }；
整数集合：{ }；
非负数集合：{ }；
4．（23-24六年级上·山东威海·期中）请把下列各数填在相应的集合内：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
正数集合：{ …}
整数集合：{ …}
正分数集合：{ …}
非负整数集合：{ …}
易错题型二 化简的多重符号
例题：（2024·湖南·中考真题）计算： ．
巩固训练1．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23七年级上·海南海口·期中）下列化简，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24六年级下·全国·假期作业） 的相反数是 ．
4．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）化简 ．
5．（24-25七年级上·全国·假期作业）（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
易错题型三 根据点在数轴的位置判断式子的正负
例题：（2023·广西北海·一模）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则 0（填“ ”，
“ ”或“ ”）．
巩固训练
1．（22-23七年级下·广东惠州·阶段练习）点 ， 在数轴上的位置如图，则 ，
2．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）已知有理数 ， 在数轴上对应的点如图所示，那么下列结论正
确的有（填序号） ．
① ；② ；③3．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列结论中① ；②
；③ ；④ ，⑤ 其中正确的有 ．（填序号）
4．（22-23七年级上·江苏·阶段练习）数a、b在数轴上的对应位置如图所示，有以下结论：
① ；② ；③ ；④ ；
其中正确的有 （填写序号）．
03 压轴题型
压轴题型一 根据点在数轴的位置化简绝对值
例题：已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图：
(1)比较a﹣b与a+b的大小；
(2)化简|b﹣a|+|a+b|．
巩固训练
1.已知有理数 在数轴上的位置如图所示：（1）判断正负，用“>”、“<”或“=”填空： , ,
（2）化简： .
2.已知有理数a、b满足ab＜0，a+b＞0且|a|＜|b|
（1）在数轴上标出数a，﹣a，b，﹣b，并用“＜”号连接这四个数．
（2）化简：|2a﹣b|﹣|2b﹣a|+|a+b|
3.问题一：如图，试化简： ．
问题二：表示有理数 的点在数轴上的位置如图所示，
（1）比较 的大小关系
（2）化简： ．
压轴题型二 利用分类讨论数学思想化简绝对值
例题：（2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知 、 、 均为不等式0的有理数，
则 的值为 ．巩固训练
1.（2023秋·七年级单元测试）若 ，则 ．
2.（2023秋·河南南阳·七年级南阳市实验中学校考期末）已知 、 ，那么 ＝
3.（2023春·上海·六年级专题练习）（1）若 ， ；若 ， ；
（2）若 ，则 ＝ ；
（3）若 ，则 ．
压轴题型三 求解绝对值方程
例题：（2023·浙江·七年级假期作业）解下列方程：
(1) (2) (3) (4)
巩固训练
1.（2023秋·辽宁鞍山·七年级统考期末）阅读材料并回答问题：
的含义是数轴上表示数 的点与原点的距离，即 ，也就是说， 表示在数轴上数 与数0对应
的点之间的距离；因此可以推断 表示在数轴上数 与数1对应的点之间的距离．例如， ，就
是在数轴上到1的距离为2的点对应的数，即为 或 ；回答问题：
(1)若 ，则 的值是______；(2)利用上述方法解下列方程：① ；②
压轴题型四 利用点在数轴上的几何意义化简绝对值
例题：（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B
两点之间的距离表示为 ，在数轴上A、B两点之间的距离 ．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和 的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是 ，则点A和B之间的距离是 ，若 ，那么x为 ；
(3)利用数轴，求 的最小值 ；
(4)当x是 时，代数式 ；
巩固训练
1.（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离：3与5，4与 ， 与
．并回答下列各题：
(1)数轴上表示4和 两点间的距离是______；表示 和 两点间的距离是______．
(2)若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为 ．
①数轴上A、B两点间的距离可以表示为______（用含x的代数式表示）；
②如果数轴上A、B两点间的距离为 ，求x的值．
(3)直接写出代数式 的最小值为______．2.（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，若点 、 在数轴上分别表示有理数 、 ， 、 两点
之间的距离表示为 ．则 ．所以式子 的几何意义是数轴上表示有理数 的点与表示有理
数 的点之间的距离．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)若 ，则 ；
(2)若 ，则 ；
(3)式子 的最小值为 ；
(4)若 ，则 ；
(5)式子 的最小值为 ，此时 ．
3.（23-24七年级上·云南·阶段练习）（1）探索材料（填空）：
数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．例如数轴上表示数2和5的两点距离为 ；
①数轴上表示数3和 的两点距离为 ；
②则 的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离．
（2）实际应用（填空）：①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点
输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小；
②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工
点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小；
③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个
加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小．
（3）结论应用（填空）；
①代数式 的最小值是 ；
②代数式 的最小值是 ；
③代数式 的最小值是 ．
