文档内容
重难点 01 七种零点问题（核心考点讲与练）
方法技巧
1.转化思想在函数零点问题中的应用
方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可
转化为函数值域问题.
2.判断函数零点个数的常用方法
(1)通过解方程来判断.
(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.
(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断.
3.正弦型函数的零点个数问题，可先求出零点的一般形式，再根据零点的分布得到关于整数 的不等式组，
从而可求相应的参数的取值范围.
4.涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借
助数形结合思想分析解决问题.
5.函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结
合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个
不同的值，就有几个不同的零点．
6.对于复合函数 的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数 和外层函数 ；（2）确定外层函数 的零点 ；
（3）确定直线 与内层函数 图象的交点个数分别为 、 、 、 、 ，则
函数 的零点个数为 .
能力拓展
题型一：零点存在定理法判断函数零点所在区间
一、单选题
1．（2022·河南河南·三模（理））若实数 ， ， 满足 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京密云·高三期末）心理学家有时使用函数 来测定在时间 内能够记忆的
量 ，其中A表示需要记忆的量， 表示记忆率．假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在
5min内该学生记忆20个单词．则记忆率 所在区间为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·河南焦作·一模（理））设函数 的零点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2021·江苏·泰州中学高三阶段练习）已知 ，函数 的零点为 ，的极小值点为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2022·湖北·荆州中学高三开学考试）函数 在区间 的最小值为 ，且
在区间 唯一的极大值点 ．则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）设函数 的定义域为R，如果存在常数 ，对于任意 ，
都有 ，则称函数 是“类周期函数”，T为函数 的“类周期”．现有下
面四个命题，正确的是（ ）
A．函数 是“类周期函数”
B．函数 是“类周期函数”
C．如果函数 是“类周期函数”，那么“ ， ”D．如果“类周期函数” 的“类周期”为 ，那么它是周期为2的周期函数
9．（2021·江西·模拟预测）已知实数 ，设方程 的两个
实数根分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．不等式 的解集为
B．不等式 的解集可能为空集
C．
D．
三、填空题
10．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的是___________．(写出所有正确命题的编号)
①在 中， 是 的充要条件；
②函数 的最大值是 ；
③若命题“ ，使得 ”是假命题，则 ；
④若函数 ， ，则函数 在区间 内必有零点．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，且 ， 为 的导函数，下
列命题：
①存在实数 ，使得导函数 为增函数；
②当 时，函数 不单调；
③当 时，函数 在 上单调递减；
④当 时，函数 有极值．
在以上命题中，正确的命题序号是______．
12．（2021·福建·三明一中高三学业考试）已知函数 的零点 ，则__________．
13．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 均为正实数，且满足 ， ，则下面四个
判断：① ；② ；③ ；④ .其中一定成立的有__（填序号即可）.
14．（2020·湖南邵阳·三模（理））在数学中，布劳威尔不动点定理是拓朴学里一个非常重要的不动点定
理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，简单来讲就是对于满足一定条件的连续函数
，存在一个点 ，使 ，那么我们称该函数 为“不动点”函数，给出下列函数：①
；② ③ ；④ （ ）；⑤
；其中为“不动点”函数的是_________.（写出所有满足条件的函数的序号）
15．（2020·全国·高三专题练习（理））函数f(x)＝1＋x－ ＋ ，g(x)＝1－x＋ － ，若函数F(x)＝
f(x＋3)g(x－4)，且函数F(x)的零点均在[a，b](a
