重难点01七种零点问题（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）(原卷版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习

重难点 01 七种零点问题（核心考点讲与练）
方法技巧
1.转化思想在函数零点问题中的应用
方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可
转化为函数值域问题.
2.判断函数零点个数的常用方法
(1)通过解方程来判断.
(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.
(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断.
3.正弦型函数的零点个数问题，可先求出零点的一般形式，再根据零点的分布得到关于整数 的不等式组，
从而可求相应的参数的取值范围.
4.涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借
助数形结合思想分析解决问题.
5.函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结
合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个
不同的值，就有几个不同的零点．
6.对于复合函数 的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数 和外层函数 ；（2）确定外层函数 的零点 ；
（3）确定直线 与内层函数 图象的交点个数分别为 、 、 、 、 ，则
函数 的零点个数为 .
能力拓展
题型一：零点存在定理法判断函数零点所在区间
一、单选题
1．（2022·河南河南·三模（理））若实数 ， ， 满足 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·北京密云·高三期末）心理学家有时使用函数 来测定在时间 内能够记忆的
量 ，其中A表示需要记忆的量， 表示记忆率．假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在
5min内该学生记忆20个单词．则记忆率 所在区间为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·河南焦作·一模（理））设函数 的零点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2021·江苏·泰州中学高三阶段练习）已知 ，函数 的零点为 ，的极小值点为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2022·湖北·荆州中学高三开学考试）函数 在区间 的最小值为 ，且
在区间 唯一的极大值点 ．则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）设函数 的定义域为R，如果存在常数 ，对于任意 ，
都有 ，则称函数 是“类周期函数”，T为函数 的“类周期”．现有下
面四个命题，正确的是（ ）
A．函数 是“类周期函数”
B．函数 是“类周期函数”
C．如果函数 是“类周期函数”，那么“ ， ”D．如果“类周期函数” 的“类周期”为 ，那么它是周期为2的周期函数
9．（2021·江西·模拟预测）已知实数 ，设方程 的两个
实数根分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．不等式 的解集为
B．不等式 的解集可能为空集
C．
D．
三、填空题
10．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的是___________．(写出所有正确命题的编号)
①在 中， 是 的充要条件；
②函数 的最大值是 ；
③若命题“ ，使得 ”是假命题，则 ；
④若函数 ， ，则函数 在区间 内必有零点．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，且 ， 为 的导函数，下
列命题：
①存在实数 ，使得导函数 为增函数；
②当 时，函数 不单调；
③当 时，函数 在 上单调递减；
④当 时，函数 有极值．
在以上命题中，正确的命题序号是______．
12．（2021·福建·三明一中高三学业考试）已知函数 的零点 ，则__________．
13．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 均为正实数，且满足 ， ，则下面四个
判断：① ；② ；③ ；④ .其中一定成立的有__（填序号即可）.
14．（2020·湖南邵阳·三模（理））在数学中，布劳威尔不动点定理是拓朴学里一个非常重要的不动点定
理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，简单来讲就是对于满足一定条件的连续函数
，存在一个点 ，使 ，那么我们称该函数 为“不动点”函数，给出下列函数：①
；② ③ ；④ （ ）；⑤
；其中为“不动点”函数的是_________.（写出所有满足条件的函数的序号）
15．（2020·全国·高三专题练习（理））函数f(x)＝1＋x－ ＋ ，g(x)＝1－x＋ － ，若函数F(x)＝
f(x＋3)g(x－4)，且函数F(x)的零点均在[a，b](a<b，a，b∈Z)内，则b－a的最小值为________.
四、解答题
16．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知函数 （e为自然对数的底数， ）.
(1)若 ，求证： 在区间 内有唯一零点；
(2)若 在其定义域上单调递减，求a的取值范围.
17．（2022·贵州遵义·高三开学考试（理））已知函数 .
(1)讨论 的导函数 零点的个数；
(2)若 的最小值为e，求a的取值范围.题型二：方程法判断零点个数
一、单选题
1．（2022·福建福州·三模）已知函数 ，以下结论中错误的是（ ）
A． 是偶函数 B． 有无数个零点
C． 的最小值为 D． 的最大值为
2．（2022·北京·模拟预测）已知函数 ，且 ，则 的零点个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
3．（2022·安徽·芜湖一中一模（理））声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数．
若某声音对应的函数可近似为 ，则下列叙述正确的是（ ）
A． 为 的对称轴 B． 为 的对称中心
C． 在区间 上有3个零点 D． 在区间 上单调递增
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则函数 零点个数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
5．（2022·海南海口·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 的定义域为R B． 是奇函数
C． 在 上单调递减 D． 有两个零点
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，下列说法正确的是（ ）.
A． 是周期函数B．若 ，则 （ ）
C． 在区间 上是增函数
D．函数 在区间 上有且仅有一个零点
7．（2022·全国·高三专题练习）若 和 都是定义在 上的函数，且方程 有实数解，则
下列式子中可以为 的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习（理））关于函数 有下述四个结论，则（ ）
A． 是偶函数 B． 的最小值为
C． 在 上有4个零点 D． 在区间 单调递增
三、填空题
9．（2022·福建·模拟预测）已知函数 ，其中 ，若 在区间( ， )上恰有
2个零点，则 的取值范围是____________.
10．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））已知函数 有3个零
点，则实数m的取值范围为______．
四、解答题
11．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数 .
(1)讨论 的单调性；(2)当 时，证明 在 上有且仅有两个零点.
12．（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））已知函数 .
(1)当 时，判定 的零点的个数；
(2)是否存在实数 ，使得当 时， 恒成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请
说明理由.
题型三：数形结合法判段函数零点个数
一、单选题
 1
x a,x0
f x x
1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知函数  lnx a,x0 ，则下列关于函数 的描述中，其中
 f(x)
正确的是（ ）．
①当a0时，函数 f(x)没有零点；
②当0a2时，函数 f(x)有两不同零点，它们互为倒数；
③当a2时，函数 f(x)有两个不同零点；
④当a2时，函数 f(x)有四个不同零点，且这四个零点之积为1．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
f x 2x 2 1 f2xmf xn0
2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数 ，则关于x的方程
有7个不同实数解，则实数 m,n 满足（ ）
A．m0且n0 B．m0且n0C．0m1且n0 D．1m0且n0
 lnx,x0
f x
3．（2022·安徽·模拟预测（文））已知函数 x22x,x0，若gx f xa有4个零点，则实
数a的取值范围是（ ）
0,1 0,1 0,1 1,
A． B． C． D．
2
4．（2022·河南河南·三模（理））函数 f xex1e1x  的所有零点之和为（ ）
x1
A．0 B．2 C．4 D．6
二、多选题
sinx,0x2

f(x)1
5．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）对于函数  f(x2),x2，下列结论中正确的是（ ）
2
3
A．任取x,x [1,)，都有 f(x
1
) f(x
2
) 
2
1 2
1 5 1  1
f   f     f  2k2
B． 2 2 2  2k1 ，其中kN；
f(x)2k f(x2k)(kN) x[0,)
C． 对一切 恒成立；
D．函数y f(x)ln(x1)有3个零点；
f x
xR
6．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知 是定义在R上的偶函数，且对任意 ，有
f 1xf 1x x0,1 f xx2x2
，当 时， ，则（ ）
f x
A． 是以2为周期的周期函数
3,0 f x
B．点 是函数 的一个对称中心
f 2021 f 20222
C．
y f xlog x1
D．函数 2 有3个零点
三、填空题sinx,x0,2

f x1
7．（2022·四川·成都七中三模（文））已知函数  f x2,x2,，则函数
2 y f(x)ln(x1)
的零点个数是______个．
8．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））下面四个命题：
f x f x2 f 2x1 f 30
①已知函数 的定义域为R，若 为偶函数， 为奇函数，则 ；
f x lgx kx2
k
②存在负数 ，使得 恰有3个零点；
(x1)3(x1)4  x4 a x3a x2 a xa a 5
③已知多项式 1 2 3 4，则 1 ；
④设一组样本数据 x 1 ,x 2 ,  ,x n的方差为 0.01 ，则数据 10x 1 ,10x 2 ,  ,10x n的方差为 0.1
其中真命题的序号为___________.
f x f 2x x0,1
9．（2022·四川成都·二模（文））定义在R上的奇函数f（x）满足 ，且当 时，
f xx2 ．则函数 gx f x x 7 2 的所有零点之和为______．
f x lgx kx2
10．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，给出下列四个结论：
（1）若k 0，则 f(x)有两个零点；
（2）k0，使得 f(x)有一个零点；
（3）k0，使得 f(x)有三个零点；
（4）k 0，使得 f(x)有三个零点．
以上正确结论的序号是 __．
四、解答题
D(,0)  (0,) f(x) x0
11．（2022·北京·高三学业考试）给定集合 ， 为定义在D上的函数，当 时，
4x
f(x)
x24 ，且对任意xD，都有___________．
从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，补充在横线处，使 f(x)存在且唯一确定．
f(x) f(x)1
条件①： ；f(x) f(x)1
条件②： ；
f(x) f(x)1
条件③： ．
解答下列问题：
f(1) f(1)
（1）写出 和 的值；
f(x) (0,)
（2）写出 在 上的单调区间；
g(x) f(x)m(mR) g(x)
（3）设 ，写出 的零点个数．
π  3
f x 3sinωxcosωxsin2  ωx ω0
12．（2021·河北·高三阶段练习）已知函数 2  2 的最小正周期
为.
f x
（1）求函数 的单调递增区间；

（2）若先将函数 f x 图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将其图像向左平移
6
gx gx lgx 10 0,
个单位长度，得到函数 的图像，求方程 在 上根的个数.  1
f(x)cos2  x 3sinxcosx (0)
13．（2021·辽宁·高三阶段练习）已知函数 2  2 的最小正周期
为．
（I）求函数 f(x)的解析式；

（II）若先将函数 f(x)的图象向左平移
12
个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的
2
倍
g(x) yg(x)|lgx| (0,)
（纵坐标不变），得到函数 的图象，求 在 上的零点个数．
题型四：转化法判断函数零点个数
一、单选题
1．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（文））已知函数 ，则函数
的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则函数 的零点个数为
（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
3．（2021·天津市实验中学滨海学校高三期中）已知函数 则函数的零点个数不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021·辽宁沈阳·高三阶段练习）对于任意正实数 ，关于 的方程 的解
集不可能是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·江苏无锡·高三期末）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有
这样一个函数就是以他名字命名的：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，
又称为取整函数.如： ， .则下列结论正确的是（ ）
A．函数 是 上的单调递增函数
B．函数 有 个零点
C． 是 上的奇函数
D．对于任意实数 ，都有
6．（2022·全国·高三专题练习）定义域和值域均为 （常数 ）的函数 和 图象如
图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（ ）
A．方程 有且仅有三个解
B．方程 有且仅有三个解
C．方程 有且仅有九个解D．方程 有且仅有一个解
三、填空题
7．（2022·全国·高三专题练习）已知 是定义在R上的奇函数，当 时， = ，则方程
解的个数为___________.
8．（2021·全国·模拟预测）已知函数 若直线 与函数 的图象交于A，B两点，
且满足 ，其中O为坐标原点，则k值的个数为___________.
四、解答题
9．（2021·全国·高三专题练习）证明：函数 的图象与 的图象有且仅有一个
公共点．
10．（2020·安徽·淮南市第五中学高三阶段练习（理））已知 是定义在 上的偶函数，当 时，
（1）求 ， 的值；
（2）求 的解析式并画出函数的简图；
（3）讨论方程 的根的情况.题型五：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数
一、单选题
1．（2022·广东韶关·二模）已知直线 既是函数 的图象的切线，同时也是函数
的图象的切线，则函数 零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．1或2
2．（2022·天津·高三专题练习）设函数 有5个不同的零点，则正实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 有两个零点，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2021·江苏·泰州中学高三阶段练习）已知函数f(x)＝sin(|cosx|)＋cos(|sinx|)，则以下结论正确的是（
）
A．f(x)的图象关于直线 对称 B．f(x)是最小正周期为2π的偶函数
C．f(x)在区间 上单调递减 D．方程 恰有三个不相等的实数根
5．（2021·湖北恩施·高三开学考试）已知函数 ，则以下说法正确的是（ ）
A． 是偶函数
B． 在 上单调递增
C．当 时，
D．方程 有且只有两个实根6．（2022·全国·高三专题练习）函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A．函数 是 上的单调递增函数
B．对于任意实数 ，不等式 恒成立
C．若 ，且 ，则
D．方程 有3个不相等实数解
三、解答题
7．（2022·江西南昌·二模（文））已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 ，证明：方程 有且仅有一个正根.
8．（2022·河北·模拟预测）已知函数 .
(1)请研究函数 在 上的零点个数并证明；
(2)当 时，证明： .
9．（2022·全国·高三专题练习）设 为实数，函数 .
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)讨论 的单调性；(3)当 时，讨论 在 上的零点个数.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若 ，求函数 在 上的零点个数；
(2)当 时都有 ，求实数 的取值范围.
题型六：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围
一、单选题
1．（2022·四川成都·三模（理））若函数 的零点为 ，则 （ ）．
A． B．1 C． D．2
2．（2022·湖南岳阳·三模）已知函数 ，若不等式 有且仅有2个整数解，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山西·模拟预测（文））已知函数 若函数 有三个零点，则实
数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
二、多选题
4．（2021·辽宁·东北育才学校二模）一般地，若函数 的定义域为 ，值域为 ，则称为的“
倍跟随区间”；若函数的定义域为 ，值域也为 ，则称 为 的“跟随区间”.下列结论
正确的是（ ）
A．若 为 的跟随区间，则
B．函数 存在跟随区间
C．若函数 存在跟随区间，则
D．二次函数 存在“3倍跟随区间”
三、填空题
5．（2022·福建南平·三模）已知函数 有零点，则实数 ___________.
6．（2022·四川·石室中学三模（文））若函数 的图象关于直线 对称，且直
线 与函数 的图象有三个不同的公共点，则实数k的值为______．
四、解答题
7．（2021·辽宁·东北育才学校二模）已知二次函数 满足以下条件：①经过原点 ;② ，
;③函数 只有一个零点
(1)求二次函数 的解析式；
(2)若函数 与 的图象有两个公共点，求实数 的取值范围.题型七：利用函数的交点（交点个数）求参数
一、单选题
1．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知函数 （ 且 ），若函数
的零点有5个，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． 或
C． 或 或 D． 或
2．（2022·山东济宁·二模）已知函数 ，若函数 有5个零点，则实
数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数 的图象关于直线 对称，对 ，都有
恒成立，当 时， ，当 时，若函数 的图象和直线
有 个交点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2022·福建莆田·三模）已知函数 ，函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 有3个不同的零点，则a的取值范围是
B．若 有4个不同的零点，则a的取值范围是
C．若 有4个不同的零点 ，则
D．若 有4个不同的零点 ，则 的取值范围是
5．（2022·辽宁鞍山·二模）已知函数 ，若 有四个不同的实数解 ， ，
， ，且满足 ，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
6．（2022·贵州毕节·三模（文））已知函数 在 有且仅有 个零点，
则 的取值范围为__________．
7．（2022·福建宁德·模拟预测）已知 是定义在R上的偶函数，当 时， .
若 的图象与x轴恰有三个交点，则实数a的值为___________.
8．（2022·全国·三模（理））已知 是定义在R上的奇函数，且 是偶函数，当 时，
．设 ，若关于x的方程 有5个不同的实根，则实
数m的取值范围是__________．
9．（2022·新疆昌吉·二模（文））已知函数 ，若关于x的方程
有三个不同的实根，则m的取值范围为______．四、解答题
10．（2022·北京密云·高三期中）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求证： 函数 存在极小值；
(3)请直接写出函数 的零点个数.