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第二十一章 一元二次方程综合题拓展训练
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考点一 一元 二次方程的解法拓展
考点 二 解 一元 二次方程的综合应用
考点 三 一元 二次方程的根的判别式的应用
考点 四 与图形有关的一元二次方程应用
考点 五 营销背景下的一元二次方程应用
考点 六 动态几何背景下的一元二次方程应用
考点一 一元二次方程的解法拓展1．定义[x]为不大于实数x的最大整数，如 ．函数 的图象如
图所示，则方程 的根为（ ）
A．
B．
C． ，
D． ， ，
2．已知 ，则 的值是（ ）
A． 或1 B． 或 C． 或 D． 或2
3．定义：我们把形如 的数成为“无限连分数”．如果a是一个无理数，那么a就可以
展成无限连分数，例如： ，如果 ，则 ．
4．阅读理解
【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一
次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．
①因式分解法求解特殊的三次方程：将 变形为 ，
．
．
．
．
或 ．
原方程有三个根： ， ， ．
②换元法求解特殊的四次方程：
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ，解得 ， ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
原方程有四个根： ， ， ， ．
【应用新知】
（1）仿照以上方法，按照要求解方程：
①（因式分解法） ；
②（换元法） ；
【拓展延伸】
（2）已知： ，且 ，请综合运用以上方法，通过“降次”求 的值．
5．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称
这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ， ，则方程
是“邻2根方程”．(1)通过计算，判断方程 是否是“邻2根方程”；
(2)已知关于x的一元二次方程 （m是常数）是“邻2根方程”，求m的值．
考点二 解一元二次方程的综合应用
6．如图，正方形 和正方形 的边长分别为6和4，连接 ，H为 的中点，连接 ．将正
方形 绕点A旋转一周，则 的取值范围是 ；当C、F、G三点共线时， 的长是 ．
7．如图，已知 ，C为线段 上的一个动点，分别以 ， 为边在 的同侧作菱形
和菱形 ，点C，E，F在一条直线上， ．P、Q分别是对角线 ， 的中点，当点C在
线段 上移动时，点P，Q之间的距离最短为 （结果保留根号）．8．（1）当 __________时，多项式 的最小值为__________．
（2）当 __________时，多项式 的最大值为__________．
（3）当 、 为何值时，多项式 取最小值？并求出这个最小值．
9．求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法．
例如：若代数式 ，利用配方法求M的最小值： ， ，
当 时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足 ，用几何法求 的
最小值．如图， 为线段DC的长度， 为线段CE的长度，当 的值最小时，
D、C、E三点共线，所以最小值为 ．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)若代数式 ，求M的最小值；
(2)已知正数x，y满足 ，求 的最小值．
10．在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于点 两点，直线 与 轴交于
点 ，与直线 交于点 ，且 ．(1)如图1，求点 的坐标及 的值；
(2)如图2，点 是直线 上的一个动点，当 的值最大时，求点 的坐标；
(3)如图3，过点 作 轴的垂线，点 是垂线上的一点，当以点 为顶点的三角形是等腰三角形时直
接写出点 的坐标．
11．阅读材料 ： 为实数，且 ， ，因为 ，所以 ，从而
，当 时取等号．
阅读材料 ：若 （ ， ， 为常数），由阅读材料 的结论可知 ，所以当
，即 时， 取最小值 ．
阅读上述内容，解答下列问题：
(1)已知 ，则当 ________时， 取得最小值，且最小值为________；
(2)已知 ， ，求 的最小值．
(3)某大学学生会在 月 日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入 元；
二是参加活动的同学午餐费每人 元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的 倍．求当参
加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入 支出总费
用/参加活动的同学人数）
12．综合与实践
【项目学习】
配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其
实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．
例1：把代数式 进行配方．
解：原式 ．
例2：求代数式 的最大值．
解：原式 ．
， ，
， 的最大值为 ．
【问题解决】
(1)若 满足 ，求 的值．
(2)若等腰 的三边长 均为整数，且满足 ，求 的周长．
(3)如图，这是美国总统加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中 是 和 的三边长，
根据勾股定理可得 ，我们把关于 的一元二次方程 称为“勾系一元二
次方程”．已知实数 满足等式 ，且 的最小值是“勾系一元二次方程”
的一个根．四边形 的周长为 ，试求 的面积．
13．阅读理解
（一）阅读与思考：通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，刚学过的《勾股定理》及《一次函数》都与
它有着密切的联系，方程家族也将迎来《一元二次方程》这一新成员，它的求解方法之一“配方法”，例
如，
解一元二次方程 ．
解 ⇒ ⇒ ⇒ 或 ．
∴ 或 ．
（二）解决问题：
如图1，矩形 中， ， ，点G在 上，且 ，点P以1单位每秒的速度在 边
上从点B到点C方向运动，设点P运动时间为x秒．
(1)记△APG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求 时x的值；
(2)在点P从B向C运动的过程中，是否存在使 的时刻？若存在，求出x的值，请说明理由；
(3)如图2，M，N分别是 ， 的中点，线段 所扫过的图形是什么形状 ，并直接写出它的面积 ．
考点三 一元二次方程的根的判别式的应用
14．若关于x的不等式组 有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程
有实数根，则符合条件的整数m的和为 ．
15．若关于 的一元二次方程 至少有一个整数根，且 为正整数，则满足条件的
共有 个．
16．对于函数 ，若 ，则称 为 的“不动点”；若 ，则称 为 的“稳定
点”．(1)求证：若 为 的“不动点”，则 为 的“稳定点”；
(2)若 ．若函数存在“不动点”和“稳定点”，且函数的“不动点”和“稳定
点”集合分别记为 和 ，即 ， ，且 ，求实数 的取值范围．
17．已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为 ，且 为整数，求整数m所有可能的值．
18．在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过点 ，与y轴交于点D．
(1)若关于x的一元二次方程 有两个相等实数根，求点B的坐标；
(2)已知点 ，若直线 与x轴交于点 ， ，原点O到直线CD的距离为
，求 的面积．
19．如图1，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是 和 边长，易
知 ，这时我们把关于x的形如 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
(3)如图1，若 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 的周长是 ，求 面积；
(4)如图2， 的三边分别为a，b，c， ，且 ．求证：关于x的一元二次方程
必有实数根．
20．若关于 的一元二次方程 的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发
现，任何一个“快乐方程”的判别式 一定为完全平方数．现规定 为该“快乐方
程”的“快乐数”．例如“快乐方程” ，的两根均为整数，其“快乐数”
，若有另一个“快乐方程” 的“快乐数”
，且满足 ，则称 与 互为“开心数”．
(1)“快乐方程” 的“快乐数”为________；
(2)若关于 的一元二次方程 （ 为整数，且 ）是“快乐方程”，求
的值，并求该方程的“快乐数”；
(3)若关于 的一元二次方程 与 （ 、 均为整数）都是“快乐方程”，
且其“快乐数”互为“开心数”，求 的值．
考点四 与图形有关的一元二次方程应用
21．利用图形的分、和、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法．如图1， 是矩形
的对角线，将 分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若
，则矩形 的面积是（ ）A．42 B． C． D．21
22．【观察思考】
【规律发现】
第1个图案中有“★”的个数为： （个）；
第2个图案中有“★”的个数为： （个）；
第3个图案中有“★”的个数为： （个）；
第4个图案中有“★”的个数为： （个）；
第5个图案中有“★”的个数为 个；（填最简结果）
第 个图案中有“★”的个数为 个．（用含 的式子填空）
【规律应用】第 个图案中有“★”有227个，求 的值．
23．综合实践：如何用最少的材料设计花园？
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园 ，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长
为20米，设 的长为x米．
【项目解决】
目标1：确定面积与边长关系．
当篱笆全部用完，且围成矩形花园 的面积为32平方米时，求 的长．
目标2：探究最少的材料方案．
现要围面积为 平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米．
（1）若 米，能成功围成吗？若能，求出 的长；若不能，请说明理由．
（2）若要成功围成，则m的最小值为______米，此时， ______米．24．项目化学习：
主
“校庆主题”草坪设计
题
情 为了迎接第60周年校庆，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“校庆主题”草坪设计．以
境 下为小组对草坪设计的研究过程．
请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、
丁四种典型的方案．
活
动
任
务
一
驱
动
问 （1）请直接写出小组设计出来的四种方案小路面积 ， ， ， 的大小关系．
题
一
活
动
任 为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米．
务
二
驱
动
问 （2）请计算两条小路的宽度是多少？
题
二
为了展示校庆元素，打算在草坪上的校庆宣传主题墙前，靠墙用篱笆围（三边）建成一个矩形
，且 ，如图．
活
动
任
务
三
驱
（3）数学之星小聪查阅资料发现：短边为长边的 倍的矩形称为黄金矩形．黄金矩形能够给画
动
问 面带来美感，令人愉悦．为了使长40米的篱笆恰好用完同时围住矩形的三面，且矩形的形状更接近
题
黄金矩形． 应设计成多少米？（参考数据 ， ，结果取整数）
三
25．综合与实践：
用硬纸板制作无盖纸盒背 在一次劳动课中，老师准备了一些长为 ，宽为 的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作
景 两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）．
配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求 的最大值，过程如下：
素
材
∴当 时， 有最大值5．
方 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁
案 掉四个边长为 的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒
1 的底面是正方形 ．
方 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为 的正方
案 形，再在中间裁掉一块正方形 ，分别沿着虚线折起来，
2 其中一个纸盒的底面是矩形 ．
任
在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为 （用含x的代数式表示），并判断底面积能
务
否达到 ．
1
任
务 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面 边的长．
2
任
务 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小．
3
任
务 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值．
4
26． 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的
方法，以 为例，大致过程如下：
第一步：将原方程变形为 ．即 ．
第二步：构造一个长为x，宽为 的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示．
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示．第四步：将大正方形边长用含x的代数式表示为______．小正方形边长为常数______，长方形面积之和为
常数______．由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程__________，两边
开方可求得 ， ．
(1)单选题：这一过程体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．化归思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
(2)第四步中横线上应依次填入______，______，______，______；
(3)请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程 ．
27．有两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板．
(1)如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳
盒．若该收纳盒的底面积为 ，求剪去的小正方形的边长．
(2)如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒．
若 和 两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为 ．有一个玩具机械狗，其尺寸大小
如图3所示，请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
28．教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生的劳动价
值观和良好的劳动品质．东北育才学校生态园新一年也有了新的规划，请你根据素材完成任务．
东北育才学校生态园 年春季规划
（1） 型劳动工具的单价比 型劳动工具少3元．
素 市场调研 ，
材 两种型号的劳动
（2）用 元购买 型劳动工具的数量与用 元购买 型劳动工具的数量相
一 工具价格．
等．素 计划购买 ， （1） ， 两种型号的劳动工具共 个．
材 两种型号的劳动
二 工具 （2） 型劳动工具的数量不少于 型劳动工具数量的一半．
（1）苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为 ），另三边用木栏围成，中间
也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，（2）如图所示，在两处各留 宽的
门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为 ，
素
新规划一块矩形
材
苗圃
三
问题解决
任
务 求 ， 两种型号劳动工具的单价各是多少元．
一
任
务 求购买这批劳动工具的最少费用．
二
设苗圃 的一边 长为 ．
任 （1）用含 的代数式表示苗圃靠墙一边 的长是________ ；
务
（2）若苗圃 的面积为 ，求 的值；
三
（3）苗圃 的面积能否为 ．________（直接回答“能或不能”．）
考点五 营销背景下的一元二次方程应用
29．一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件 元，“打坐熊
猫”成本每件 元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的 倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比
“打坐熊猫”多卖 件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达 元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定
降价出售，但规定降价后的售价不低于成本价的 ，“抱竹熊猫”的售价降低了 ，当天“抱竹熊
猫”的销量在第一天基础上增加了 ；“打坐熊猫”的售价打 折，结果“打坐熊猫”的销量在第一
天基础上增加了 ，最终第二天两款熊猫玩偶的总利润为 元，求 的值为（ ）A． B． C． D．
30．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出
200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所
示的函数关系．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
(3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；
若不能，请说明理由．
31．正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于
北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3
斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．
(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工
汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按
售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全
部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
32．2022年某地桑葚节于4月5日到4月20举行，热情的当地居民为游客准备了桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、
桑葚膏等等，在当地举行的“桑葚会”上，游客不仅可以品尝纯正的桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚音，
而且还能体验制作它们的过程．各类桑葚产品均对外销售，游客们可以买一些送给亲朋好友．已知桑葚酒
是桑葚酱单价的 ，预计桑葚节期间全镇销售桑葚酒和桑葚酱共7500千克，桑葚酒销售额为200000元，
桑葚酱销售额为125000元．
(1)求本次桑葚节预计销售桑葚酒和桑葚酱的单价；(2)今年因受“新冠”疫情的影响，前来参加桑葚节的游客量比预计有所减少，当地镇府为了刺激经济，减
少库存，将桑葚酒和桑葚酱降价促销．桑葚酱在预计单价的基础上降低 销售，桑葚酒比预计单
价降低 元销售，这样桑葚酱的销量跟预计一样，桑葚酒的销量比预计减少了a%，桑葚酒和桑葚酱的销
售总额比预计减少了3500a元．求a的值
33．随着武汉解封，湖北各地的复工复产正有序进行，经济复苏也按下了“重启键”．为助力湖北复苏，
月 日抖音发起了“湖北重启，抖来助力--抖音援鄂复苏计划”，通过直播或短视频助力推广湖北特色产
品 已知当天的直播活动中热干面和周黑鸭共销售 万份，其中周黑鸭的销量是热干面的 倍．
(1)求当天的直播活动中销售了多少万份周黑鸭？
(2)为刺激消费，直播中推出了优惠活动 疫情前，疫情期间售价均为 元一份的周黑鸭（一份里面有一盒
锁骨，两盒鸭脖，一盒鸭掌），以 折力度售卖．疫情前，疫情期间售价均为 元一份的热干面（一份里
面有 包热干面），以 折力度售卖．已知疫情前周黑鸭的日销售量比直播当天的销量少 ，疫情期间
的日销售额比疫情前的日销售额减少了 万元；疫情前热干面的日销量比直播当天热干面的销量少
，疫情期间的日销售量比疫情前的日销售量减少了 ；疫情期间周黑鸭和热干面的总日销售额比
直播当天的总销售额少 ，求 的值．
34．葡萄不仅味美可口，营养价值很高，而且用途广泛，堪称“果中珍品”，它既可鲜食又可加工成各种
产品，如葡萄干、葡萄酒、葡萄汁等．当下正值食用葡萄的好时节，经过市场调研顾客最喜欢“黑珍珠”、
“仙粉黛”两个品种，某商店老板看准商机，决定购进这两种葡萄销售，商店原计划在6月购进“黑珍
珠”、“仙粉黛”两种葡萄共200千克，其中“仙粉黛”的质量至少是“黑珍珠”质量的3倍．
（1）那么原计划今年6月至少购进“仙粉黛”多少千克？
（2）今年6月商店按照原计划购进并售完“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄，且“仙粉黛”的质量恰好是
原计划的最小值．今年7月商店按照“黑珍珠”与“仙粉黛”的质量比为1∶3购进两种葡萄一共160千克，
按照单价4∶3售出，共得销售额1040元．通过7月对市场的观察，商店老板决定增加两种葡萄的进货量，
同时降价促销；8月商店购进“黑珍珠”、“仙粉黛”的质量在6月的基础上分别增加了 ，同时
为了尽快全部售出，每千克售价在今年7月份的基础上分别降价 （降价幅度不超过50%），最
终8月的销售额比7月的销售额增加了535元．求 的值．
35．美丽的鲜花为人们传递着各种各样的情感：桔梗象征着永恒；水仙象征着尊敬；康乃馨象征着母亲的爱；风铃草象征着知恩图报……3月里，花店里的桔梗、风铃草两种鲜花共销售了1000朵，其中风铃草和
桔梗的销量之比为3：2，且风铃草的单价是桔梗单价的 ．
（1）若3月份两种鲜花的总销售额不低于3600元，则桔梗的单价至少为多少元？
（2）根据往年的经验，4月份的桔梗更美，它的进价也会有所提升，因此商家决定将桔梗的单价在（1）
中的最少单价的基础上提高m%，预计桔梗的销量将比3月份提高4m%，则4月份枯梗的销售额将比（1）
中总销售额最低时风铃草的销售额多192元，求m的值．
考点六 动态几何背景下的一元二次方程应用
36．如图，某数学兴趣小组在学完矩形的知识后一起探讨了一个纸片折叠问题：如何将一张平行四边形纸
片 的四个角向内折起，拼成一个无缝隙、无重叠的矩形 ．图中 ， ， ， 表示折
痕，折后 的对应点分别是 ．若 ， ， ，则纸片折叠时 的长应取
．
37．如图，在矩形 中， ， ，动点 ， 分别从点 、 同时出发，点 以 厘米
秒的速度向终点 移动，点 以 厘米秒的速度向 移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设
运动的时间为 秒，问：(1)当 为何值时，点 和点 距离是 ？
(2)当 为何值时，以点 、 、 为顶点的三角形是以 为腰的等腰三角形．
38．如图， 是边长为 的等边三角形．动点 和动点 分别从点 和点 同时出发，沿着
逆时针运动，已知动点 的速度为 ，动点 的速度为 ．设动点 、动点 的运动时间为 ．
(1)当 为何值时，两个动点第一次相遇；
(2)从出发到第一次相遇这一过程中，当 为何值时，以 ， ， 为顶点的三角形的面积为 ？
39．如图， 中， ， ， ．
(1)如图1，点 从 点开始沿 边向点 以 的速度移动（到达点 即停止运动），点 从 点开始
沿 边向点 以 的速度移动（到达点 即停止运动）．如果点 ， 分别从 ， 两点同时出发．
①经过多少秒钟， 的面积等于 ；
②线段 能否将 分成面积为 的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；
(2)如图2，若 点沿射线 方向从 点出发以 的速度移动，点 沿射线 方向从 点出发以
的速度移动， ， 同时出发，直接写出几秒后， 的面积为 ．
40．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线 先由A向D运动，再由D向C运动，点Q
以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t
秒．
(1)两平行线 与 之间的距离是__________．
(2)当点P、Q与 的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值．
(3) ，以 ， 为一组邻边构造平行四边形 ，若 的面积为 ，求t的值．
41．如图，在 中， ， ，D为 的中点，点P在线段 上以 的速
度由点B向点C运动，同时点Q在线段 上由点C向点A运动．
(1)若点Q的运动速度与点P相同，经过 后， 与 是否全等？请说明理由．
(2)若点Q的运动速度与点P不相同，当点Q的运动速度为多少时，能够使 与 全等？
(3)若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都沿 的三边逆时针运
动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在 的什么位置上相遇．
42．如图，在 中， ， 的面积为 ， 是边 上的高，动点P从点B出发，以
每秒1个单位长度的速度沿 匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，连接 、 ．设点P
的运动时间为t秒．(1)求 的长；
(2)用含t的代数式表示 的长；
(3)在点P运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求 的面积；
(4)点P在 上运动，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在以点P为顶点的等腰三角形．且不是直
角三角形时，直接写出t的值．
43．在 中， ， ，动点 从点 出发，在线段 上以每秒 个单位长度的
速度向点 运动，到达点 停止运动，设运动时间为 秒．
(1)求 的面积；
(2)如图①，过点 作 、交 于点 、若 与 的面积和是 的面积的 ，求 的值；
(3)如图②、点 在射线 上，且 ，以线段 为边向 上方作正方形 ．在运动过程中，
若设正方形 与 重叠部分的面积为 ，求 的值．
44．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发，每秒 个单位长度的速度沿
方向运动，点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线 方向运动．已知点 、 两点同
时出发，当点 到达点 时， 、 两点同时停止运动，连接 ，设运动时间为 秒．(1) _________， _________；
(2)当 为何值时， ；
(3)在运动过程中，是否存在一个时刻 ，使所得 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边
形为菱形？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
(4)当点 关于点 的对称点 落在 的内部（不包括边上）时，请直接写出 的取值范围．
