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整式的乘法与因式分解中的求值问题专项训练（50 道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共50题，选择题15道，填空题15道，解答题20道，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深
度，综合性较强！
一．选择题（共15小题）
1．（2024•金华校级开学）已知2x﹣3y＝3，3y﹣4z＝5，x+2z＝8，则代数式3x2﹣12z2的值是（ ）
A．32 B．64 C．96 D．128
【分析】首先利用第一第二等式可以分别求出x、z的值，然后代入所求代数式即可求解．
【解答】解：∵2x﹣3y＝3①，3y﹣4z＝5②，
∴①+②得：2x﹣4z＝8，
∴x﹣2z＝4③，
而x+2z＝8④，
③+④得2x＝12，
∴x＝6，
把x＝6代入③得：z＝1，
∴3x2﹣12z2＝3×62﹣12×12＝96．
故选：C．
2．（2024•瑶海区校级二模）已知a、b不同的两个实数，且满足ab＞0、a2+b2＝4﹣2ab，当a﹣b为整数
时，ab的值为（ ）
3 1 3 1 3
A． 或 B．1 C． D． 或
4 2 4 4 4
【分析】先将a2+b2＝4﹣2ab变形为（a+b）2＝4，然后把a﹣b用含a+b的式子表示出来，再根据a﹣b
为整数进行讨论后得出ab的值．
【解答】解：∵a2+b2＝4﹣2ab，
∴（a+b）2＝4．
∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
∴（a﹣b）2＝4﹣4ab．
∴4﹣4ab≥0．∵a≠b．
∴a﹣b≠0．
∴4﹣4ab＞0．
解得，ab＜1．
∵ab＞0．
∴0＜ab＜1．
∴0＜4﹣4ab＜4．
∵a﹣b为整数，
∴4﹣4ab为平方数．
∴4﹣4ab＝1．
3
解得ab= ．
4
故选：C．
3．（2022春•高新区校级期末）若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣
3，则a的值为（ ）
A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5
【分析】先分解，再对比求出a．
【解答】解：∵多项式 2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式 2x﹣3，﹣6＝﹣
3×2．
∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．
∴a＝1．
故选A．
4．（2024•安庆模拟）已知a，b为不同的两个实数，且满足ab＞0，a2+b2＝9﹣2ab．当a﹣b为整数时，
ab的值为（ ）
5 9 5 1 9
A． 或2 B． 或 C． 或2 D． 或2
4 4 4 4 4
【分析】利用完全平方公式分析求解．
【解答】解：∵a2+b2＝9﹣2ab，
∴a2+b2+2ab＝9，
∴（a+b）2＝9，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，9-(a-b) 2
即ab= ，
4
9-(a-b) 2
由ab＞0，则 ＞0，
4
∴（a﹣b）2＜9，
又∵a﹣b为整数，
∴（a﹣b）2＝1或（a﹣b）2＝4，
当（a﹣b）2＝1时，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，9＝1+4ab，解得ab＝2；
5
当（a﹣b）2＝4时，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，9＝4+4ab，解得ab= ；
4
5
综上，ab的值为 或2，
4
故选：A．
5．（2022春•宁远县月考）已知a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，则多项式a2+b2+c2﹣
ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】先把原多项式扩大2倍得2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝（a﹣b）2+（c﹣b）2+（c﹣a）2，代
入a﹣b＝﹣1，c﹣b＝1，c﹣a＝2，计算即可．
【解答】解：∵a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，
∴a﹣b＝﹣1，c﹣b＝1，c﹣a＝2，
∴2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）
＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac
＝（a﹣b）2+（c﹣b）2+（c﹣a）2
＝1+1+4
＝6，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝3；
故选：D．
6．（2022春•汝州市校级月考）若（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p，则代数式（k﹣p）2的值为（ ）
A．98 B．49 C．14 D．7
【分析】根据多项式乘多项式的法则把等式的左边进行计算后，与等式的右边对比，即可求出 k和p的
值，进而即可得出答案．
【解答】解：∵（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p，∴15x﹣5x2+6﹣2x＝﹣5x2+kx+p，
∴﹣5x2+13x+6＝﹣5x2+kx+p，
∴k＝13，p＝6，
∴（k﹣p）2＝（13﹣6）2＝72＝49，
故选：B．
7．（2022秋•江油市期末）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2023的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】利用因式分解法将原式进行分解，再整体代入即可求解．
【解答】解：∵x2+x＝1，
∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2023
＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2023
＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2023
＝x2+x3﹣x2﹣2x+2023
＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2023
＝x﹣x2﹣2x+2023
＝﹣x2﹣x+2023
＝﹣（x2+x）+2023
＝﹣1+2023
＝2022．
故选：C．
8．（2024•安顺模拟）已知m2＝4n+a，n2＝4m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．无法确定
【分析】将m2＝4n+a与n2＝4m+a相减可得（m﹣n）（m+n+4）＝0，根据m≠n，可得m+n+4＝0，即
m+n＝﹣4，再将m2+2mn+n2变形为（m+n）2，整体代入即可求解．
【解答】解：将m2＝4n+a与n2＝4m+a相减得m2﹣n2＝4n﹣4m，
（m+n）（m﹣n）＝﹣4（m﹣n），
（m﹣n）（m+n+4）＝0，
∵m≠n，
∴m+n+4＝0，即m+n＝﹣4，
∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣4）2＝16．
故选：A．9．（2022秋•博兴县期末）已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．3 D．6
【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．
【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b
＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）
＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）
＝（ab﹣1）（a+b）
将a+b＝3，ab＝1代入，得
原式＝0．
故选：B．
10．（2022秋•鲤城区校级月考）若（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，p、q为正整数，则m的最大值与最小值
的差为（ ）
A．25 B．24 C．8 D．74
【分析】利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可．
【解答】解：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，
∵（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，
∴p+q＝m，pq＝36，
∵36＝4×9，则p+q＝13，
36＝1×36，则p+q＝37，
36＝2×18，则p+q＝20，
36＝3×12，则p+q＝15，
36＝6×6，则p+q＝12，
∴m的最大值为37，最小值为12．
其差为25，
故选：A．
11．（2022春•渠县校级期中）若a＝1999x+2000，b＝1999x+2001，c＝1999x+2002，则多项式a2+b2+c2﹣
ab﹣ac﹣bc的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】将多项式 a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca 转化为几个完全平方式的和，再将 a＝1999x+2000，b＝
1999x+2001，c＝1999x+2002分别代入求值．
【解答】解：∵2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca
＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2
＝（1999x+2000﹣1999x﹣2001）2+（1999x+2000﹣1999x﹣2002）2+（1999x+2001﹣1999x﹣2002）2
＝1+4+1
＝6．
1
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝6× =3．
2
故选：D．
12．（2022春•裕安区校级期中）已知4x＝18，8y＝3，则52x﹣6y的值为（ ）
A．5 B．10 C．25 D．50
【分析】利用幂的乘方的法则对已知的条件进行整理，再代入到所求的式子中进行运算即可．
【解答】解：∵4x＝18，8y＝3，
∴22x＝18，23y＝3，
∴（23y）2＝32，
即26y＝9，
22x 18
∴22x﹣6y= = =2，
26y 9
∴2x﹣6y＝1，
∴52x﹣6y＝51＝5．
故选：A．
13．（2022春•碑林区校级期中）已知（a+b）2＝29，（a﹣b）2＝13，则ab的值为（ ）
A．42 B．16 C．8 D．4
【分析】利用完全平方公式进行变形即可．
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
∴29﹣13＝4ab，
∴ab＝4．
故选：D．
14．（2022春•包河区期中）已知（2022﹣m）（2022﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2022﹣m）2的
值为（ ）
A．4046 B．2023 C．4042 D．4043【分析】利用完全平方公式变形即可．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．
∴（2022﹣m）2+（2022﹣m）2
＝[（2022﹣m）﹣（2022﹣m）]2+2×（2022﹣m）（2022﹣m）
＝4+2×2021
＝4046．
故选：A．
15．（2022秋•淅川县期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
【分析】根据已知条件得到x2﹣2x﹣5＝0，将其代入整理后的d的代数式．
【解答】解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2＝2x+5，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，
＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5
＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5
＝x2﹣2x﹣5+25
＝25．
解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x＝5，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5
＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5
＝6x2﹣12x﹣5
＝6（x2﹣2x）﹣5
＝6×5﹣5
＝25．
故选：A．
二．填空题（共15小题）
16．（2022春•临渭区期末）已知：a﹣b＝1，a2+b2＝25，则（a+b）2的值为 4 9 ．
【分析】根据完全平方公式解决此题．【解答】解：∵a﹣b＝1，a2+b2＝25，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝25﹣2ab＝1．
∴2ab＝24．
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49．
故答案为：49．
17．（2022春•鹤城区期末）若（am+1bn+2）•（a2n﹣1b2n）＝a5b3，则m﹣n的值为 4 ．
【分析】先利用单项式乘单项式法则计算（am+1bn+2）•（a2n﹣1b2n），再根据等式得到指数间关系，最后
求出m﹣n．
【解答】解：∵（am+1bn+2）•（a2n﹣1b2n）
＝am+1+2n﹣1bn+2+2n
＝am+2nb3n+2，
∴am+2nb3n+2＝a5b3．
∴m+2n＝5①，3n＝1②．
∴①﹣②，得m﹣n＝5﹣1＝4．
故答案为：4．
18．（2022春•通川区期末）已知（x﹣m）（x2﹣2x+n）展开后得到多项式为 x3﹣（m+2）x2+x+5，则
n2+4m2的值为 2 1 ．
【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则，求得（x﹣m）（x2﹣2x+n）＝x3﹣（m+2）x2+（n+2m）x﹣
mn，推断出n+2m＝1，﹣mn＝5．再根据完全平方公式解决此题．
【解答】解：（x﹣m）（x2﹣2x+n）
＝x3﹣2x2+nx﹣mx2+2mx﹣mn
＝x3﹣（m+2）x2+（n+2m）x﹣mn．
由题意得，（x﹣m）（x2﹣2x+n）＝x3﹣（m+2）x2+x+5．
∴n+2m＝1，﹣mn＝5．
∴（n+2m）2＝n2+4m2+4mn＝1．
∴n2+4m2＝1﹣4mn＝1+20＝21．
故答案为：21．
19．（2022春•通川区期末）已知2x﹣3y﹣2＝0，则9x÷27y的值为 9 ．
【分析】先逆用幂的乘方，把9x÷27y化为同底数幂的除法的形式，再利用同底数幂的除法法则运算，最
后转化已知代入求值．
【解答】解：9x÷27y＝（32）x÷（33）y
＝32x÷33y
＝32x﹣3y．
∵2x﹣3y﹣2＝0，
∴2x﹣3y＝2．
∴原式＝32＝9．
故答案为：9．
20．（2022春•萍乡月考）若[（a﹣2）2]3＝（a﹣2）（a﹣2）a（a≠2），则a的值为 1 或 3 或 5 ．
【分析】根据幂的运算法则进行解答便可．
【解答】解：∵[（a﹣2）2]3＝（a﹣2）（a﹣2）a（a≠2），
∴（a﹣2）6＝（a﹣2）a+1，
∴a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝6，
∴a＝3或a＝1或a＝5，
故答案为：1或3或5．
21．（2024•南山区模拟）已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）
（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b的值为 ﹣ 3 1 ．
【分析】直接提取公因式（3x﹣7），进而合并同类项得出即可．
【解答】解：（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）
＝（3x﹣7）（2x﹣21﹣x+13）
＝（3x﹣7）（x﹣8），
∵（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），
∴（3x﹣7）（x﹣8）＝（3x+a）（x+b），
则a＝﹣7，b＝﹣8，
故a+3b＝﹣7+3×（﹣8）
＝﹣31．
故答案为：﹣31．
22．（2022春•长兴县期中）已知6x＝192，32y＝192，则（﹣6）（x﹣1）（y﹣1）+2的值为 ﹣ 21 6 ．
【分析】将6x＝192变形为6x﹣1＝32，32y＝192变形为32y﹣1＝6；利用幂的乘方，同底数幂的乘法，同
底数幂的除法的逆运算法则运算后整体代入即可．
【解答】解：∵6x＝192，
∴（6x）y＝192y．即6xy＝192y①．
∵32y＝192，
∴（32y）x＝192x．
即32xy＝192x②．
①，②的两边分别相乘得：
6xy•32xy＝192y•192x．
∴（6×32）xy＝192x+y．
∴192xy＝192x+y．
∴xy＝x+y．
∴（﹣6）（x﹣1）（y﹣1）+2
＝（﹣6）（x﹣1）（y﹣1）×（﹣6）2
＝（﹣6）xy﹣（x+y）+1×36
＝（﹣6）×36
＝﹣216．
故答案为：﹣216．
23．（2022春•江阴市期中）若x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），则m﹣n的值为 3 ．
【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出 m与n的值，即可
求出m﹣n的值．
【解答】解：∵（x+3）（x+n）＝x2+nx+3x+3n＝x2+（n+3）x+3n，
{m=n+3
∴ ，
-15=3n
解得：m＝﹣2，n＝﹣5，
则m﹣n＝﹣2+5＝3，
故答案为：3．
24．（2024•高密市二模）已知x+y＝3，xy＝﹣2，则代数式x2y+xy2的值为 ﹣ 6 ．
【分析】先提取公因式分解因式，在把x+y＝3，xy＝﹣2，代入原式计算即可．
【解答】解：∵x2y+xy2
＝xy（x+y），
把x+y＝3，xy＝﹣2，代入，
原式＝3×（﹣2）＝﹣6，
故答案为：﹣6．25．（2022秋•西城区校级期中）若a5•（ay）3＝a17，则y＝ 4 ，若3×9m×27m＝311，则m的值为 2
．
【分析】先利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则计算 a5•（ay）3、3×9m×27m，再根据底数与指数分
别相等时幂也相等得方程，求解即可．
【解答】解：∵a5•（ay）3＝a5×a3y＝a5+3y，
∴a5+3y＝a17．
∴5+3y＝17．
∴y＝4．
∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+5m，
∴31+5m＝311．
∴1+5m＝11．
∴m＝2．
故答案为：4；2．
26．（2022春•诸暨市期末）已知x≠y，且满足两个等式x2﹣2y＝20212，y2﹣2x＝20212，则x2+2xy+y2的值
为 4 ．
【分析】联立方程，通过因式分解求出x+y的值，再将x2+2xy+y2因式分解得（x+y）2，将x+y的值代入
求解．
{x2-2y=20212①
【解答】解： ，
y2-2x=20212②
①﹣②得x2﹣y2+2x﹣2y＝0，
（x+y）（x﹣y）+2（x﹣y）＝0，
（x﹣y）（x+y+2）＝0，
∵x≠y，
∴x+y+2＝0，即x+y＝﹣2，
∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝4．
故答案为：4．
27．（2024•双流区模拟）若a+b＝﹣1，则3a2+6ab+3b2﹣5的值为 ﹣ 2 ．
【分析】由a+b＝﹣1，把33a2+6ab+3b2﹣5的前三项利用提取公因式法、完全平方公式分解因式，再整
体代入即可．
【解答】解：∵a+b＝﹣1，
∴3a2+6ab+3b2﹣5＝3（a+b）2﹣5
＝3×（﹣1）2﹣5
＝3﹣5
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
28．（2022春•简阳市 期中）已知（a﹣4）（a﹣2）＝3，则（a﹣4）2+（a﹣2）2的值为 1 0 ．
【分析】直接利用完全平方公式将原式变形，进而求出答案．
【解答】解：∵（a﹣4）（a﹣2）＝3，
∴[（a﹣4）﹣（a﹣2）]2
＝（a﹣4）2﹣2（a﹣4）（a﹣2）+（a﹣2）2
＝（a﹣4）2+（a﹣2）2﹣2×3
＝4，
∴（a﹣4）2+（a﹣2）2＝10．
故答案为：10．
29．（2022春•成都期中）若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca
的值为 3 ．
1
【分析】根据已知条件可得a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，再将a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca变形为 [（a
2
﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，然后代入计算即可．
【解答】解：∵a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，
∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，c﹣a＝2，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca
1
= （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca）
2
1
= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]
2
1
= （1+1+4）
2
＝3．
故答案为3．
30．（2022春•西城区期末）（1）若x2+y2＝10，xy＝3，那么代数式x﹣y的值为 ± 2 ．
（2）若x2+xy+x＝14，y2+xy+y＝28，那么代数式x+y的值为 6 或﹣ 7 ．【分析】（1）利用完全平方公式列出关系式，将已知等式代入计算，开方即可求出x﹣y的值；
（2）已知两等式左右两边相加，利用完全平方公式变形，即可求出x+y的值．
【解答】解：（1）∵x2+y2＝10，xy＝3，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝10﹣6＝4，
则x﹣y＝±2；
（2）∵x2+xy+x＝14，y2+xy+y＝28，
∴x2+xy+x+y2+xy+y＝42，即（x+y）2+（x+y）﹣42＝0，
分解因式得：（x+y﹣6）（x+y+7）＝0，
则x+y＝6或﹣7．
故答案为：（1）±2；（2）6或﹣7
三．解答题（共20小题）
31．（2022秋•长沙月考）设a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，a3+b3+c3＝36．
求（1）abc的值；
（2）a4+b4+c4的值．
【分析】（1）由已知得出（a+b+c）2＝36，再由（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝a3+b3+c3﹣
3abc，将已知条件代入即可解出abc＝6；
（2）由（ab+bc+ac）2＝a2b2+b2c2+a2c2+2（a2bc+ab2c+abc2），将已知条件及（1）中推得的式子代入，
即可求出a2b2+b2c2+a2c2的值，由（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2（a2b2+b2c2+a2c2），即可解出答案．
【解答】解：（1）∵a+b+c＝6
∴（a+b+c）2＝36
∴a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）＝36
∵a2+b2+c2＝14
∴ab+bc+ac＝11
∵a3+b3+c3＝36
∴（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）
＝a3+b3+c3﹣3abc
＝6×（14﹣11）
＝18
∴36﹣3abc＝18
∴abc＝6．（2）∵（ab+bc+ac）2＝a2b2+b2c2+a2c2+2（a2bc+ab2c+abc2）
∴121＝a2b2+b2c2+a2c2+12（a+b+c）
∴a2b2+b2c2+a2c2＝121﹣12×6＝49
∴（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2（a2b2+b2c2+a2c2）
∴a4+b4+c4＝142﹣2×49＝98
∴a4+b4+c4的值为98．
32．（2024•肇源县二模）已知x2﹣4x﹣3＝0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．
【分析】求出x2﹣4x＝3，算乘法，合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣3＝0，
∴x2﹣4x＝3，
∴（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的
＝4x2﹣12x+9﹣x2+y2﹣y2
＝3x2﹣12x+9
＝3×3+9
＝18．
33．（2022春•合肥期末）已知（a+b）2＝9，（a﹣b）2＝5，求下列各式的值：
（1）ab．
（2）a2+b2．
【分析】（1）利用完全平方公式得a2+2ab+b2＝9，a2﹣2ab+b2＝5，然后把两式相减即可得到ab的值；
（2）把ab＝1代入上面容易一个等式中可得到a2+b2值．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝9，（a﹣b）2＝5，
∴a2+2ab+b2＝9①，a2﹣2ab+b2＝5②，
①﹣②得4ab＝4，
∴ab＝1；
（2）把ab＝1代入①得a2+2+b2＝9，
所以a2+b2＝7．
34．（2022春•宝应县校级月考）（1）若10x＝3，10y＝2，求代数式103x+4y的值．
（2）已知：3m+2n﹣6＝0，求8m•4n的值．
【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案．
【解答】解：（1）∵10x＝3，10y＝2，∴代数式103x+4y＝（10x）3×（10y）4
＝33×24
＝432；
（2）∵3m+2n﹣6＝0，
∴3m+2n＝6，
∴8m•4n＝23m•22n＝23m+2n＝26＝64．
35．（2022秋•黄石期末）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝1，求x2+y2与xy的值．
【分析】已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求式子的值．
【解答】解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1②，
∴①+②得：2（x2+y2）＝26，即x2+y2＝13；
①﹣②得：4xy＝24，即xy＝6．
36．（2022春•铁岭期中）已知5m＝2，5n＝4，求52m﹣n和25m+n的值．
【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵5m＝2，5n＝4，
∴52m﹣n＝（5m）2÷5n＝4÷4＝1；25m+n＝（5m）2•（5n）2＝4×16＝64．
37．（2022秋•兰考县期末）已知（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝49，求x2+y2与xy的值．
【分析】已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求式子的值．
【解答】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝1①，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝49②，
∴①+②得：2（x2+y2）＝50，即x2+y2＝25；
①﹣②得：4xy＝﹣48，即xy＝﹣12．
1 1
38．（2022春•定远县期中）先化简，再求值，若x= ，y=- ，求（2x+3y）2﹣（2x﹣y）（2x+y）的值．
3 2
【分析】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算
即可求出值．
【解答】解：原式＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2＝12xy+10y2，
1 1
当x= ，y=- 时，原式＝﹣2+2.5＝0.5．
3 2
39．（2022春•东乡区期中）已知：a为有理数，a3+a2+a+1＝0，求1+a+a2+a3+…+a2012的值．
【 分 析 】 首 先 将 1+a+a2+a3+… +a2012 变 形 为 ： 1+a （ 1+a+a2+a3 ） +a5 （ 1+a+a2+a3 ） … +a2009
（1+a+a2+a3），然后将a3+a2+a+1＝0代入即可求得答案．
【解答】解：∵a3+a2+a+1＝0，∴1+a+a2+a3+…+a2012，
＝1+a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3）…+a2009（1+a+a2+a3），
＝1．
1
40．（2022春•郫都区校级期中）（1）若（x2+px- ）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，求解以下问
3
题：
①求p，q的值；
②代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．
（2）若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求ab．
【分析】（1）①利用条件中积不含x项与x3项，将积算出来后，令相应的项系数为0即可；
②利用第①问中的结果，代入求值；
（2）多项式整除问题，把商假设出来，转化为多项式的乘法进行计算．
1 1
【解答】解：（1）①原式＝x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p- ）x2+（1+pq）x- q，
3 3
∵积中不含x项与x3项，
{1+pq=0
∴ ，
p-3=0
{
p=3
∴ 1．
q=-
3
②由①得pq＝﹣1，
1
原式＝4p2- +（pq）2012q2
3
1 1
＝36- +
3 9
7
＝35 ．
9
（2）设2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝（x2+x﹣2）（2x2+mx+n）
＝2x4+（m+2）x3+（m+n﹣4）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
m+2=-3
{
m+n-4=a
∴ ，
n-2m=7
-2n=b
解得a＝﹣12，b＝6，∴ab＝﹣72．
41．（2022春•白银区校级月考）已知ax•ay＝a4，ax÷ay＝a
（1）求x+y与x﹣y的值．
（2）求x2+y2的值．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则
底数不变，指数相减可得答案；
（2）首先计算x、y的值，然后可得x2+y2的值．
【解答】解：（1）∵ax•ay＝a4，ax÷ay＝a，
∴x+y＝4，x﹣y＝1；
{x+ y=4
（2） ，
x- y=1
{x=2.5
解得： ，
y=1.5
x2+y2＝8.5．
n2-m2
42．（2022春•鄞州区校级期末）若（x﹣3）（x+m）＝x2+nx﹣15，求 的值．
8n+5
【分析】首先把（x﹣3）（x+m）利用多项式的乘法公式展开，然后根据多项式相等的条件：对应项的
系数相同即可得到m、n的值，从而求解．
【解答】解：（x﹣3）（x+m）
＝x2+（m﹣3）x﹣3m
＝x2+nx﹣15，
{ m-3=n
则
-3m=-15
{m=5
解得： ．
n=2
n2-m2 22-52
= =-1．
8n+5 8×2+5
43．（2022春•姜堰区校级月考）已知4m+n＝90，2m﹣3n＝10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．
【分析】原式利用平方差公式分解，变形后将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵4m+n＝90，2m﹣3n＝10，
∴（m+2n）2﹣（3m﹣n）2
＝[（m+2n）+（3m﹣n）][（m+2n）﹣（3m﹣n）]＝（4m+n）（3n﹣2m）
＝﹣900．
44．（2022秋•崇川区校级月考）已知a+b＝10，ab＝6，求：（1）a2+b2的值；（2）a3b﹣2a2b2+ab3的值．
【分析】把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可．
【解答】解：∵a+b＝10，ab＝6则
（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣12＝88；
（2）a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab[（a+b）2﹣4ab]＝6×（100﹣24）＝456．
45．（2022春•西湖区校级月考）阅读下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．
解：∵a2＝3﹣a，∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12
∵a2+a＝3，∴﹣（a2+a）+12＝﹣3+12＝9∴a2（a+4）＝9
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）已知a2﹣a﹣10＝0，求2（a+4）（a﹣5）的值；
（2）已知x2﹣x﹣1＝0，求x3﹣2x+1的值；
（3）已知（999﹣a）（998﹣a）＝1999，求（999﹣a）2+（998﹣a）2的值．
（4）已知x2+4x﹣1＝0，求代数值2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．
【分析】（1）根据阅读材料的解答过程，利用整体代入的方法即可求解；
（2）根据因式分解的提公因式法将式子变形，然后整体代入计算即可求解；
（3）根据换元的思想，利用阅读材料的解答过程即可求解；
（4）根据因式分解和整式的混合运算，整体代入即可求解．
【解答】解：（1）∵a2﹣a﹣10＝0，∴a2﹣a＝10，
∴2（a+4）（a﹣5）＝2（a2﹣a﹣20）＝2（10﹣20）＝﹣20
答：2（a+4）（a﹣5）的值为﹣20；
（2）∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣x＝1，x2＝x+1，
∴x3﹣2x+1＝x（x2﹣2）+1＝x（x+1﹣2）+1＝x（x﹣1）+1＝x2﹣x+1＝1+1＝2；
答：x3﹣2x+1的值为2；
（3）∵（999﹣a）（998﹣a）＝1999，
∴设：998﹣a＝x
∴（x+1）x＝1999，x2+x＝1999，
（999﹣a）2+（998﹣a）2
＝（x+1）2+x2
＝x2+2x+1+x2＝2（x2+x）+1
＝2×1999+1
＝3999
答：（999﹣a）2+（998﹣a）2的值为3999．
（4）∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x＝1，x2＝1﹣4x，
∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1＝2x2（x2+4x﹣2）﹣8x+1
＝2（1﹣4x）（1﹣2）﹣8x+1
＝﹣2+8x﹣8x+1
＝﹣1．
答：代数值2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值为﹣1．
46．（2022秋•丛台区校级月考）若（x2+px+8）（x2﹣3x﹣q）的展开式中不含有x2和x3项，求p、q的值．
【分析】直接利用多项式乘法将原式变形，进而得出p，q的等式，即可得出答案．
【解答】解：（x2+px+8）（x2﹣3x﹣q）
＝x4﹣3x3﹣qx2+px3﹣3px2﹣pqx+8x2﹣24x﹣8q
＝x4+（﹣3+p）x3+（﹣q﹣3p+8）x2+（﹣pq﹣24）x﹣8q，
展开式中不含有x2和x3项，
{-3+p=0
∴
-q-3p+8=0
{ p=3
∴解得： ．
q=-1
47．（2022秋•东城区校级期中）在（x2+ax+b）（2x2﹣3x﹣1）的积中，x3项的系数为﹣5，x2项的系数为
﹣6，求a，b的值．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据x3项的系数为﹣5，x2项的系数为﹣6即可
求出a与b的值．
【解答】解：（x2+ax+b）（2x2﹣3x﹣1）
＝2x4﹣3x3﹣x2+2ax3﹣3ax2﹣ax+2bx2﹣3bx﹣b
＝2x4+（2a﹣3）x3+（2b﹣3a﹣1）x2﹣（a+3b）x﹣b，
根据题意得：2a﹣3＝﹣5，2b﹣3a﹣1＝﹣6，
解得：a＝﹣1，b＝﹣4．
48．（2022春•新华区校级期中）（1）先化简，再求值：2b2+（a+b）（a﹣2b）﹣（a﹣b）2，其中a＝﹣
1
3，b= ．
2（2）已知ab＝﹣3，a+b＝2．求下列各式的值：
①a2+b2；
②a3b+2a2b2+ab3；
③a﹣b．
【分析】（1）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可；
（2）①根据完全平方公式求出即可；
②先分解因式，再代入求出即可；
③先求出（a﹣b）2的值，再开方求出即可．
【解答】解：（1）2b2+（a+b）（a﹣2b）﹣（a﹣b）2，
＝2b2+a2﹣2ab+ab﹣2b2﹣a2+2ab﹣b2
＝ab﹣b2，
1 7
当a＝﹣3，b= ，原式=- ；
2 4
（2）①∵ab＝﹣3，a+b＝2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10；
②∵ab＝﹣3，a+b＝2，
∴a3b+2a2b2+ab3；＝ab（a+b）2＝﹣3×22＝﹣12；
③∵ab＝﹣3，a+b＝2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝22﹣4×（﹣3）＝16，
∴a﹣b=±√16=±4．
49．（2022春•泉山区校级期中）基本事实：若am＝an（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．
试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！
①如果2×8x×16x＝222，求x的值；
②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．
【分析】①根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则把原式变形为21+7x＝222，得出1+7x＝22，求解即可；
②把2x+2+2x+1变形为2x（22+2），得出2x＝4，求解即可．
【解答】解：①∵2×8x×16x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝21+7x＝222，
∴1+7x＝22，∴x＝3；
②∵2x+2+2x+1＝24，
∴2x（22+2）＝24，
∴2x＝4，
∴x＝2．
50．（2024•青岛模拟）“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的x，y二次三项
式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a ，a 的积，即a＝a•a ，把y2项系数c分解成两
1 2 1 2
个因数，c ，c 的积，即c＝c•c ，并使a•c+a•c 正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：
1 2 1 2 1 2 2 1
ax2+bxy+cy2＝（ax+cy）（ax+cy）
1 1 2 2
例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2
解：如右图，其中1＝1×1，﹣8＝（﹣4）×2，而﹣2＝1×（﹣4）+1×2∴x2﹣2xy﹣8y2＝（x﹣4y）
（x+2y）
而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，
如图1，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果
mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式
＝（mx+py+j）（nx+qy+k）；
例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2
解：如图2，其中1＝1×1，﹣3＝（﹣1）×3，2＝1×2；
而 2＝1×3+1×（﹣1），1＝（﹣1）×2+3×1，3＝1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2＝（x﹣y+1）
（x+3y+2）
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：6x2﹣7xy+2y2＝ （ 2 x ﹣ y ）（ 3 x ﹣ 2 y ） x2﹣6xy+8y2﹣5x+14y+6＝ （ x ﹣ 2 y ﹣ 2 ）（ x
﹣ 4 y ﹣ 3 ）
（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．
（3）已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+4y＝﹣1，求x，y．【分析】（1）结合题意画出图形，即可得出结论；
（2）结合题意画出图形，即可得出结论；
（3）将等式左边先用十字相乘法分解因式，再提取公因式，将右边﹣1改写成1×（﹣1）的形式，由
x、y均为整数可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．
【解答】解：（1）如图3，
其中6＝2×3，2＝（﹣1）×（﹣2）；而﹣7＝2×（﹣3）+3×（﹣1）；
∴6x2﹣7xy+2y2＝（2x﹣y）（3x﹣2y）．
如图4，
其中1×1＝1，（﹣2）×（﹣4）＝8，（﹣2）×（﹣3）＝6；
而﹣6＝1×（﹣4）+1×（﹣2），﹣5＝1×（﹣3）+1×（﹣2），14＝（﹣2）×（﹣3）+（﹣4）×（﹣
2）；
∴x2﹣6xy+8y2﹣5x+14y+6＝（x﹣2y﹣2）（x﹣4y﹣3）．
故答案为：（2x﹣y）（3x﹣2y）；（x﹣2y﹣2）（x﹣4y﹣3）．
（2）如图5，
∵关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，
∴存在：其中1×1＝1，9×（﹣2）＝﹣18，（﹣8）×3＝﹣24；
而7＝1×（﹣2）+1×9，﹣5＝1×（﹣8）+1×3，m＝9×3+（﹣2）×（﹣8）＝43或m＝9×（﹣8）+（﹣
2）×3＝﹣78．
故若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，m的值为43或者﹣78．
（3）∵x2+3xy+2y2+2x+4y＝（x+2y）（x+y）+2（x+2y）＝（x+2y）（x+y+2）＝﹣1＝1×（﹣1），且
x、y为整数，
{ x+2y=1 {x+2y=-1
∴有 ，或 ，
x+ y+2=-1 x+ y+2=1
{x=-7 {x=-1
解得： ，或 ．
y=4 y=0
故当x＝﹣7时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝0．
