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第二十一章 一元二次方程·培优卷
【人教版】
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖
面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级下·山东泰安·期中）下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（）
(1) 2 1
A．x2+1=0 B． + −2=0
x x
C． D．
ax2+bx+c=0 ❑√x2+❑√x−2=0
2．（3分）（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）关于x的一元二次方程(4−a)x2+a2x=16x+1化为一
般形式后不含一次项，则a的值为（ ）
A．0 B．±4 C．4 D．−4
3．（3分）（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知关于 的方程 与 的解完全
x (x−1)(x−m)=0 (x−2m) 2=c
相同，则常数c的值为（ ）
1 1
A． B． C．1 D．4
4 9
1
4．（3分）（24-25八年级下·山东威海·期末）关于x的一元二次方程(k2−1)x2+(k+1)x+ =0有实数
4
根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k>−1 B．k≥−1 C．k>−1且k≠1 D．k≥−1且k≠1
5．（3分）（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知a，b是方程x2+x−3=0的两个实数根，则
a2−b+2025的值是（ ）
A．2029 B．2028 C．2027 D．20266．（3分）（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践中，发现一种
植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，
则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
7．（3分）（24-25九年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则a=
（ ）
❑√5−1 1+❑√5 1−❑√5 1+❑√5 1−❑√5
A． B． C． D． 或
2 2 2 2 2
8．（3分）（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程x2−x=1.2的一个近似解
是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
x2−x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44
A．x≈0.11 B．x≈1.69 C．x≈1.71 D．x≈1.19
9．（3分）（24-25九年级下·江西·期末）满足方程x2+ y2=2(x+ y)+xy的所有正整数解有：（ ）
A．一组 B．二组 C．三组 D．四组
10．（3分）（2025·福建三明·一模）已知方程 的三个互不相等的实数根可作为三角
(x−2)(x2−4x+a)=0
形的三边边长，则实数a的取值范围是（ ）
A．1n))，若
x⊗(−1)=1 ，则实数x的值为 ．
m2+m+n(m≤n)
16．（3分）（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm
，动点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA方向运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC方
向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25cm．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级下·山东泰安·期末）解下列方程：
(1)4t2−4t+1=0；
(2)2x2−5x−7=0．
18．（6分）（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的
m 1
方程x2−mx+ − =0的两个实数根，
2 4
(1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根．
(2)若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
19．（8分）（24-25八年级下·山东济南·期末）商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40
元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，
商场平均每天可多售出10件．
(1)若商场平均每天要盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？
(2)要使商场平均每天盈利1400元，可能吗？请说明理由．
20．（8分）（24-25九年级上·江苏扬州·期中）定义：设m，n是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数
根，若满足|m+n|=|mn|，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程x2−4x+4=0是“同步方
程”．
(1)下列方程是“同步方程”的是________（填序号）；①x2=0，②x2−x−1=0，③x(x−3)=0；
(2)若方程x2−(a+3)x+3a=0是“同步方程”，求a的值；
(3)若方程2x2+bx+3c=0(a≠0)为“同步方程”，直接写出b、c满足的数量关系．
21．（10分）（24-25六年级下·山东威海·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．
例如，在计算(x−y−3)(x−y+3)时就可以将x−y看成一个整体，式子转化为：
．请借助整体思想完成：
(x−y) 2−32=x2−2xy+ y2−9
(1)(x+ y−3)(x−y+3)=___________；
(2) ，求 ___________；
(x2+ y2+2)(x2+ y2−2)=77 x2+ y2=
(3)已知 ，求
(x+2024) 2+(x+2026) 2=100 x+2025
22．（10分）（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−3=0．
(1)当m为何值时，该方程有两个实数根？
(2)若边长为❑√13的菱形的两条对角线的长分别为该方程两根的2倍，求m的值．
23．（12分）（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用
长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其
他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边AB长为x米，请用含x的代数式表示另一边AD的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为60平方米，求此时花圃的长与宽；
(3)建成花圃的面积能为61平方米吗？请说明理由．
24．（12分）（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方
式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求
值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
①用配方法分解因式：a2+6a+5
解：原式
=a2+6a+9−4=(a+3)2−4=(a+3+2)(a+3−2)=(a+5)(a+1)
②利用配方法求最小值：求a2+6a+5最小值．解： ，因为不论a取何值， 总是非负数，即
a2+6a+5=a2+2a⋅3+32−32+5=(a+3) 2−4 (a+3) 2
，所以 ，所以当 时， 有最小值，最小值是 ．
(a+3) 2≥0 (a+3) 2−4≥−4 a=−3 a2+6a+5 −4
【应用】根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2−12x+________=（x- ）2；
（2）将 变形为 的形式，并求出 的最小值；
x2−3x+66 (x+m) 2+n x2−3x+66
【探究】若M=5a2+9a+6，N=4a2+5a（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由．
