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期中期末考前基础练练练-二次函数（38题）（解析版）
一、单选题
1．抛物线 y=x 2+2x+3 的对称轴是( )
❑
A．直线x=1 B．直线x= -1 C．直线x=-2 D．直线x=2
【答案】B
b
【解析】【解答】解：a=1，b=2，x= − =-1.
2a
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的对称轴直线公式即可得出答案。
2．抛物线 y=−(x−3) 2+7 的顶点坐标是（ ）
A．(−3,7) B．(−3,−7) C．(3,7) D．(3,−7)
【答案】C
【解析】【解答】解：抛物线 y=−(x−3) 2+7 的顶点坐标是 (3,7).
故答案为：C.
【分析】形如“y=a(x-h)2+k”的二次函数的顶点坐标为（h，k）可得结果.
3．二次函数y=2(x+1)2-3的图象的对称轴是（ ）
A．直线x=-1 B．直线x=1 C．直线x=-3 D．直线x=3
【答案】A
【解析】【分析】二次函数的顶点式为：y=a（x﹣h）2+k，其中a的正负确定抛物线的开口方向，对
称轴是直线x=h，顶点坐标是（h，k）．二次函数y=2（x+1）2﹣3，是二次函数的顶点式，对称轴
是直线x=﹣1．
故选A．
4．将抛物线 y=2x2 向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y=2(x+1) 2−3 B．y=2(x+1) 2+3
C．y=2(x−1) 2+3 D．y=2(x−1) 2−3
【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），
∴抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为（1，3），
∴平移后抛物线的解析式为y=2（x-1）2+3.故答案为：C.
【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），则抛物线y=3x2向右平移
1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为（1，3），然后再根据顶点式即可得到平
移后抛物线的解析式.
5．如果抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0）和（3，0），那么它的对称轴是直线（ ）
A．x= 0 B．x = 1 C．x = 2 D．x = 3
【答案】B
−1+3
【解析】【分析】抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，0)和（3，0)，则对称轴是x= =1.
2
【点评】该题较为简单，主要考查学生求抛物线对称轴的方法，建议通过画图求出。
6．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②若m为任意实数，则
a+b≥am2+bm；③a−b+c>0；④3a+c<0；⑤若ax2+bx =ax2+bx ，且x ≠x ，则x +x =2.
1 1 2 2 1 2 1 2
其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解： ∵ 抛物线开口向下，
∴a<0 ，
b
∵ 抛物线对称轴为直线 x=− =1 ，
2a
∴b=−2a>0 ，即 2a+b=0 ，所以①正确；
∵ 抛物线对称轴为直线 x=1 ，
∴ 函数的最大值为y= a+b+c ，
∴a+b+c≥am2+bm+c ，即 a+b≥am2+bm ，所以②正确；
∵ 抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线 x=1 ，
∴ 抛物线与x轴的另一个交点在（-1，0）的右侧，∴ 当 x=−1 时， y<0 ，
即a−b+c<0 ，所以③错误；
∵b=−2a ， a−b+c<0 ，
∴a+2a+c<0 ，即 3a+c<0 ，所以④正确；
∵ax2+bx =ax2+bx ，
1 1 2 2
∴ax2+bx −ax2−bx =0 ，
1 1 2 2
∴a(x +x )(x −x )+b(x −x )=0 ，
1 2 1 2 1 2
∴(x −x )[a(x +x )+b]=0 ，
1 2 1 2
而 x ≠x ，
1 2
b
∴a(x +x )+b=0 ，即 x +x =− ，
1 2 1 2 a
∵b=−2a ，
∴x +x =2 ，所以⑤正确．
1 2
综上所述，正确的有 ①②④⑤ 共4个.
故答案为：C.
【分析】由图象可得抛物线开口向下，则a<0，根据对称轴为直线x=1可得b=-2a>0，据此判断 ①；
根据图象可得当x=1时，函数取得最大值a+b+c，据此判断②；根据对称性可得与x轴的另一个交点
在 （-1，0） 的右侧，则当x=-1时，y<0，据此判断③；根据b=-2a结合a-b+c<0可判断④；根据
b
ax2+bx =ax 2+bx 可得x+x =− ，结合b=-2a可判断⑤.
1 1 2 2 1 2 a
7．已知点A（﹣3，m），B（2，n）在二次函数y＝ax2+2ax+c上，且函数y有最大值，则m和n的
大小关系为（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+c，
b 2a
∴二次函数的对称轴x=− =− =−1，
2a 2a
∵函数y有最大值，
∴a＜0，二次函数开口向下，
∴二次函数上点离对称轴越近，函数值越大，
∵|-1+3|=2，|2+1|=3，2＜3，
∴m＜n.故答案为：A.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=-1，由函数有最大值可得图象开口向下，则离
对称轴越近的点，对应的函数值越大，据此进行比较.
8．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那
么在新坐标系下抛物线的解析式是( )
A．y＝2(x－2)2 + 2 B．y＝2(x + 2)2－2
C．y＝2(x－2)2－2 D．y＝2(x + 2)2 + 2
【答案】B
【解析】【分析】根据平移确定出抛物线的顶点在新坐标系中的坐标，然后利用顶点式解析式写出
即可．
【解答】抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0)，
∵把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，
∴在新坐标系中抛物线的顶点坐标为（-2，-2)，
∴抛物线的解析式为y=2（x+2)2-2．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便易懂．
9．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，下列几个结论：
①对称轴为直线x＝2；
②当y≤0时，x < 0或x > 4；
③函数解析式为y＝－x2＋4x；
④当x≤0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论有( )
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【解析】【解答】由图象可知对称轴为x=2，图象过原点，
b
∴c=0，- =2，∴b=4，
2×(−1)
∴二次函数的解析式为y=-x2+4x，由图象可知当0≤0或x≥4时，y≤0；
当x＜2时，y随x的增大而增大，
正确的有①③④，
故答案为：D．
【分析】观察图像可知对称轴为直线x＝2，可对①作出判断；当y≤0时，x≤ 0或x≥ 4，可对②作出
判断；利用待定系数法求出函数解析式，可对③作出判断；根据二次函数的性质，可对④作出判断，
即可得出结果。
10．抛物线 y=2(x−3)(x+4) 与 x 轴交点的横坐标分别为（ ）
A．−3 ， −4 B．3，4 C．−3 ，4 D．3， −4
【答案】D
【解析】【解答】解：由抛物线y=2（x-3）（x+4）知，该抛物线与x轴交点的横坐标分别为3，-4.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线解析式直接得到答案.
11．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列四个结论：①ac＜0；②方程
ax2+bx+c=0的两根是x=﹣1，x=3；③b=2a；④函数的最大值是c﹣a．其中正确的是（ ）
1 2
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【解析】【解答】解：∵函数图象开口向下，故a＜0，抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac
＜0，故①正确；
∵图象与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，两根是x=﹣1，x=3，故②正确；
1 2
b
对称轴为x=1=﹣ ，则2a+b=0，故③错误；
2a
又∵当x=1时，y=a+b+c=a﹣2a+c=c﹣a，故④正确．
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的开口方向，可确定a的取值范围，抛物线与y轴的交点情况，可确定出c的取
值范围，就可对①作出判断；利用抛物线的对称性，由对称轴及抛物线与x轴的一个交点坐标，可
得出另一个交点坐标，再根据抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的两根，b
可对②作出判断；利用对称轴为x=1=﹣ ，可对③作出判断；根据x=1时函数值最大，可对④作
2a
出判断，综上所述，可得出正确结论的序号。
12．平移抛物线y＝﹣（x﹣1）（x+3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点
（ ）
A．向左平移1个单位 B．向上平移3个单位
C．向右平移3个单位 D．向下平移3个单位
【答案】B
【解析】【解答】解：y＝﹣（x﹣1）（x+3）=-（x+1）2+4
A、向左平移1个单位后的解析式为：y＝-（x+2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故
本选项不符合题意；
B、向上平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+7，当x=0时，y=3，即该抛物线不经过原点，故
本选项符合题意；
C、向右平移3个单位后的解析式为：y=-（x-2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本
选项不符合题意.；
D、向下平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+1，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本
选项不符合题意.
【分析】先将抛物线解析式转化为顶点式，然后根据顶点坐标的平移规律即可解答.
13．将抛物线y=（x﹣1）2+4先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的
顶点坐标为（ ）
A．（5，4） B．（1，4） C．（1，1） D．（5，1）
【答案】D
【解析】【解答】解：抛物线y=（x﹣1）2+4的顶点坐标为（1，4），
∵向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（5，1）．
故选：D．
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛
物线的顶点坐标即可．
13 5
14．若 A(− ，y )、B(−1，y )、C( ，y ) 为二次函数 y=−(x+2) 2+k 的图象上的三点，
4 1 2 3 3
则y、y、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y >1 ，
4 4 3 3 3 4
∴点C离对称轴最远，点B离对称轴最近，
∴y＜y＜y．
3 1 2
故选：C．
【分析】二次函数 y=a(x−ℎ) 2+k 的对称轴为直线x＝h，当a>0，开口向上，离对称轴越远，值
越大；当a<0，开口向下，离对称轴越远，值越小；为此先求出各点离对称轴的距离，然后比较大小，
即可判断.
15．与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ ）
1
A．y=1+ x2 B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2 D．y=2x2
2
【答案】D
【解析】【解答】解：y=2（x﹣1）2+3中，a=2．
故选D．
【分析】抛物线的形状只是与a有关，a相等，形状就相同
二、填空题
16．已知二次函数y＝ax2开口向下，且|2﹣a|＝3则a＝ .
【答案】-1
【解析】【解答】∵二次函数y＝ax2开口向下，
∴a<0 ，
∴2−a>0 ，
∴2−a=3 ，解得 a=−1 ，
故答案为 −1 .
【分析】根据二次函数开口朝下，得到 a<0 ，进而得到 2−a>0 ，即 2−a=3 ，即可求得a的值.
17．二次函数 y=x2−2 图象的对称轴是 ．
【答案】y轴（直线 x=0 ）
【解析】【解答】∵y=x2−2 ，b
∴x=− =0 ，
2a
∴对称轴是y轴（直线 x=0 ）；
故答案是y轴（直线 x=0 ）．
b
【分析】先求出x=− =0 ，再求对称轴即可。
2a
18．物线 y=−x2+3 的顶点坐标是 ．
【答案】（0,3）
【解析】【解答】∵抛物线 y=−x2+3 ，
∴抛物线 y=−x2+3 的顶点坐标是（0,3），
故答案为：（0,3）．
【分析】根据抛物线求出顶点坐标即可。
1
19．二次函数y＝ （x-2）2+3的顶点坐标是 .
2
【答案】（2，3）
1
【解析】【解答】二次函数y＝ （x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（2，3）.
2
故答案为（2，3）
【分析】抛物线顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标为（h,k）据此解答即可.
20．抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是 .
【答案】−10 ，
故答案为： −1−
3
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-3x2+2x+m与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac>0，
即22-4×(-3)m=4+12m＞0，
1
解得m> − .
3
1
故答案为：m> − ．
3
【分析】由抛物线与x轴有两个交点，则△=b2-4ac＞0，从而求出m的取值范围．
23．根据下列表中的对应值：
x 2.1 2.2 2.3 2.4
ax2+bx+c ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解的取值范围为 ．
【答案】2.3＜x＜2.4
【解析】【解答】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，
函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；
由表中数据可知：y=0在y=﹣0.11与y=0.56之间，
对应的x的值在2.3与2.4之间，即2.3＜x＜2.4．
故答案为2.3＜x＜2.4．
【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，再根据函数的增减性
即可判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围．24．下列关于二次函数 y=−(x−m) 2+m2+1 （ m 为常数）的结论，①该函数的图象与函数
y=−x2 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点 (0,1) ；③当 x>0 时，y随x的增大而减小；
④该函数的图象的顶点在函数 y=x2+1 的图像上，其中所有正确的结论序号是 .
【答案】①②④
【解析】【解答】 ∵ 当 m>0 时，将二次函数 y=−x2 的图象先向右平移m个单位长度，再向上
平移 m2+1 个单位长度即可得到二次函数 y=−(x−m) 2+m2+1 的图象；当 m<0 时，将二次函
数 y=−x2 的图象先向左平移 −m 个单位长度，再向上平移 m2+1 个单位长度即可得到二次函数
y=−(x−m) 2+m2+1 的图象
∴ 该函数的图象与函数 y=−x2 的图象形状相同，结论①正确
对于 y=−(x−m) 2+m2+1
当 x=0 时， y=−(0−m) 2+m2+1=1
即该函数的图象一定经过点 (0,1) ，结论②正确
由二次函数的性质可知，当 x≤m 时，y随x的增大而增大；当 x>m 时，y随x的增大而减小
则结论③错误
y=−(x−m) 2+m2+1 的顶点坐标为 (m,m2+1)
对于二次函数 y=x2+1
当 x=m 时， y=m2+1
即该函数的图象的顶点 (m,m2+1) 在函数 y=x2+1 的图象上，结论④正确
综上，所有正确的结论序号是①②④
故答案为：①②④.
【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当 x=0
时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数 y=−(x−m) 2+m2+1 的
顶点坐标，再代入函数 y=x2+1 进行验证即可得.
25．若抛物线 y=x2+2x+m 的图像与 x 轴有交点，那么 m 的取值范围是 ．
【答案】m≤1
【解析】【解答】解： ∵ 抛物线 y=x2+2x+m 的图像与 x 轴有交点，∴ 令 y=0 ，有 x2+2x+m=0 ，即该方程有实数根，
∴Δ=b2−4ac≥0 ，
∴m≤1 ．
故答案是：m≤1．
【分析】令y=0，根据抛物线的图象与x轴有交点可得△≥0，代入求解可得m的范围.
三、解答题
26．已知二次函数y=x2-bx+c的图象经过点(-2，3)和(1，6)，试确定二次函数的表达式。
{3=4+2b+c
【答案】解：根据题意得
6=1−b+c
{b=−2
解得 ，所求二次函数表达式为y=x2+2x+3．
c=3
【解析】【分析】根据待定系数法，把 点(-2，3)和(1，6)的横纵坐标代入二次函数表达式，得到关于
b，c的二元一次方程组，即可求解.
27．已知二次函数的图象与x轴交于点(－1，0)和 (3，0)，并且与y轴交于点(0，3)．求这个二次函
数表达式．
【答案】解：设二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c ，
把点(－1，0)， (3，0)和(0，3)代入，则
{
a−b+c=0
9a+3b+c=0 ，
c=3
{a=−1
解得： b=2 ，
c=3
∴二次函数的表达式为： y=−x2+2x+3 .
【解析】【分析】设二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c ，把点(－1，0)， (3，0)和(0，3)代入，即
可求出表达式.
28．已知抛物线的顶点为 (−3,2) 且该抛物线过点 (−5,−8) ，求该抛物线的解析式（结果要化为
一般式）.并判断该抛物线与 x 轴有无交点，说明理由.
【答案】解：设抛物线的解析式为 y=a(x+3) 2+2 .
∵该抛物线过 (−5,−8) ，
∴a(−5+3) 2+2=−8
5
∴a=−
25
∴y=− (x+3) 2+2
2
5 41
即 y=− x2−15x− .
2 2
5 41
由y=0,即 − x2−15x− =0
2 2
5 41
Δ=(−15) 2−4×(− )×(− )=20>0
2 2
∴该抛物线与x轴有两个交点.
【解析】【分析】利用抛物线的顶点坐标，因此可设函数解析式为y=a（x+3）2+2，再将（-5，-8）
代入函数解析式，建立关于a的方程，解方程求出a的值，即可得到函数解析式，然后求出b2-4ac的
值，由此可判断出抛物线与x轴的交点情况.
29．已知：二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点（﹣1，﹣8），（0，﹣3）．
（1）求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）画出此函数图象的示意图．
【答案】解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点（﹣1，﹣8），（0，﹣3），
{−1−b+c=−8 { b=4
∴ ，解得 ，
c=−3 c=−3
∴此二次函数的表达式为y=﹣x2+4x﹣3；
y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1；
（2）∵y=﹣（x﹣2）2+1，
∴顶点坐标为（2，1），对称轴方程为x=2．
∵函数二次函数y=﹣x2+4x﹣3的开口向下，顶点坐标为（2，1），与x轴的交点为（3，0），（1，
0），
∴其图象为【解析】【分析】（1）先将点（﹣1，﹣8），（0，﹣3）代入y=﹣x2+bx+c，列出关于b、c的二元
一次方程组，求解得出b、c的值，得到二次函数的表达式，再用配方法化为顶点式的形式
（2）利用描点法画出函数图象即可．
30．抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。(结果化成一般式)
【答案】解：由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），
设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4
把点（3，0）代入解析式，得：
4a+4，即a=-1
所以此函数的解析式为y=-（x-1）2+4
故答案是y=-x2+2x+3
【解析】【分析】由图知抛物线的顶点为（1，4），且与x轴交于点（-1，0）和（3，0），可设为
顶点式y=a(x−ℎ) 2+k求解析式（方法不唯一）。
31．某产品成本为400元/件，由经验得知销售量y与售价x是成一次函数关系，当售价为800元/件时能卖1000件，当售价1000元/件时能卖600件，问售价多少时利润W最大？最大利润是多少？
【答案】解：设销售量y与售价x的函数关系式为y＝kx+b，
{800k+b=1000 {b=2600
，得 ，
1000k+b=600 k=−2
∴即销售量y与售价x的函数关系式为y＝﹣2x+2600，
∴W＝（x﹣400）（﹣2x+2600）＝﹣2（x﹣850）2+405000
∴当x＝850时，W取得最大值，此时W＝405000，
答：售价为850元/件时，有最大利润405000元．
【解析】【分析】根据销售量y与售价x是成一次函数关系，当售价为800元/件时能卖1000件，当
售价1000元/件时能卖600件，可以求得销售量与售价的函数关系式，从而可以得到利润与售价的函
数解析式，然后利用二次函数的性质，即可求得售价多少时利润W最大，最大利润是多少．
32．进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每
件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售
800件．设每件降价x元 （x为正整数），每星期的利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由．
（3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？
【答案】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x）•（500+100x）=﹣100x2+500x+5000，
{ 50−x≥42
∵ ，
500+100x≥800
∴3≤x≤8；
5
（2）y=﹣100x2+500x+5000=﹣100（x﹣ ）2+5625，
2
∵x为整数，
∴当x取2或3时，有最大值，为5600，
∴5600是最大利润．
5
（3）令y=﹣100（x﹣ ）2+5625≥5000，
2
解得0≤x≤5时，
即当售价在45到50元时，月利润不低于5000元．
【解析】【分析】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x，销售量=500+100x，
而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x的取值范围；
（2）根据（1）的关系式配方后确定 大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润；（3）设当y=5000时x有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000．
四、综合题
33．已知二次函数y=ax2的图象经过A（2，﹣3）
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）请写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向．
3 3
【答案】（1）解：将点（2，－3）代入原函数，得4a=-3，解得a= − ,故解析式为y= − x2
4 4
（2）解：a＜0,抛物线开口向下，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴.
【解析】【分析】（1）将A（2,3）代入y=ax2中，求出a值即可得出抛物线的解析式；
3
（2）根据y= − x2 可得出顶点坐标、对称轴及开口方向.
4
34．已知抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴；
（3）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上；
（4）求出此抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2经过点A（﹣2，﹣8），
∴a•（﹣2）2=﹣8，
∴a=﹣2，
∴此抛物线对应的函数解析式为y=﹣2x2
（2）解：由题可得，抛物线的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴
（3）解：把x=﹣1代入得，y=﹣2×（﹣1）2=﹣2≠﹣4，
∴点B（﹣1，﹣4）不在此抛物线上
（4）解：把y=﹣6代入y=﹣2x2得，﹣6=﹣2x2，
解得x=± √3 ，
∴抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标为（ √3 ，﹣6）或（﹣ √3 ，﹣6）
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入 抛物线y=ax2 即可算出a的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）由于（1）所求的抛物线的解析式就是顶点式，根据顶点式的性质即可直接得出顶点坐标，及
对称轴直线；
（3）将B点的横坐标代入抛物线的解析式，算出对应的函数值，将该函数值与B点的纵坐标进行比
较即可得出结论；
（4 ）将y=-6代入就可算出对应的自变量的值，从而得出 此抛物线上纵坐标为﹣6的点的坐标。35．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度
增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品
每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利
润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销
售利润，销售价应定为每千克多少元？
【答案】（1）解：由题意得出：w=（x﹣20）∙y=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600，
故w与x的函数关系式为：w=﹣2x2+120x﹣1600
（2）解：w=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元
（3）解：当w=150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200=150．
解得：x=25，x=35．
1 2
∵x<28，
∴x=35不符合题意，应舍去．
2
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元
【解析】【分析】（1）利用这种产品每天的销售利润=销售量×销售单价，列出函数关系式即可。
（2）利用配方法将（1）中的函数解析式转化为顶点式，再利用二次函数的性质可求出最大值。
（3）将W=150代入（1）中的函数解析式，再解二元一次方程求出x的值，然后根据x的取值范围
确定出x的值。
36．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y
（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；
当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，
才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设 y 与 x 的关系式为 y=kx+b，
{36=22k+b
把（22，36）与（24，32）代入， 得： ，
32=24k+b{k=−2
解得： ， 则 y=﹣2x+80；
b=80
（2）解：由题意可得：
w=（x﹣20）（﹣2x+80）
=﹣2x2+120x﹣1600
=﹣2（x﹣30）2+200，
此时当
x=30 时，w 最大，
∴即当 x=30 时，w 最大=﹣2×（30﹣30）2+200=200（元），
答：该纪念册销售单价定为 30 元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，
最大利润是 200 元．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据所获得总利润=每本利润×销售数量列
出函数解析式，配方成顶点式可得答案．
37．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，连接AC，且AD＝5，CD＝8，将
Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试
探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请
出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
{ −1+b+c=0 {b=4
∴ ，解得 ，
−25+5b+c=0 c=5
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）解：∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，且CD=8，∴C（﹣6，8），
设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，
代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），∵C
（﹣6，8），∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，
∴m的值为7或9；
（3）解：∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线对称轴为x=2，∴可设P（2，t），由（2）可知
E点坐标为（1，8），
①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边
形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，{∠QPN=∠BEF
则∠BEF=∠BMP=∠QPN，在△PQN和△EFB中 ∠PNQ=∠EFB
PQ=BE
∴△PQN≌△EFB（AAS），
∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，
设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，
∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，
当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，
∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；
②当BE为对角线时，
∵B（5，0），E（1，8），
∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），
设Q（x，y），且P（2，t），
∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，
∴Q（4，5）；综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．
【解析】【分析】（1）将A，B两点的坐标分别代入抛物线y=﹣x2+bx+c，得出关于b，c的二元一
次方程组，求解得出b，c的值，从而得出解析式；
（2）根据题意得出OD=6，且CD=8，从而得出C点的坐标，设平移后的点C的对应点为C′，根据
平移的性质，则C′点的纵坐标为8，又C′在抛物线上，将y=8代入解析式得出对应的自变量的值，
从而得出C′的坐标，进而得出结论；
（3）将抛物线配成顶点式，得出抛物线的对称轴，进而设出P点的坐标，由（2）可知E点坐标为
（1，8），①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE
为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，然后由AAS判断出△PQN≌△EFB，
根据全等三角形对应边相等及线段的和差得出NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，设Q（x，y），则QN=|x
﹣2|，从而得出关于x的方程，求解得出x的值，将x的值代入抛物线解析式可求得对应的函数值，从而得出Q点的坐标；②当BE为对角线时，根据B，E两点的坐标，得出线段BE的中点坐标，进
而得出线段PQ的中点坐标，设Q（x，y），且P（2，t），从而得出关于x的方程，求解得出x的
值，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，从而得出Q点的坐标。
38．已知抛物线y＝ax2﹣2abx+ab2+9，与x轴交于A、B．
（1）若a＝﹣1，b＝1时，求线段AB的长；
（2）若a＝﹣1，b≠1时，求线段AB的长；
（3）若一排与y 形状相同的抛物线在直角坐标系上如图放置，且每相邻两个的交点均在x轴上，
1
M（12，0），若OM之间有5个它们的交点，求a的取值范围．
【答案】（1）解：∵a＝﹣1，b＝1，
∴y＝﹣x2+2x﹣1+9＝﹣x2+2x+8，
令y＝0，
得x＝4，x＝﹣2，
1 2
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6．
（2）解：a＝﹣1，b≠1时，y＝﹣x2+2bx﹣b2+9＝﹣（x﹣b）2+9
令y＝0，﹣（x﹣b）2+9＝0x＝b+3，x＝b﹣3，
1 2
∴AB＝（b+3）﹣（b﹣3）＝6，
∴线段AB的长为6．
√ 9
（3）解：令y＝0，a（x﹣b）2＝﹣9， x=b± − ，
a
√ 9 √ 9 √ 9
此时AB的长 AB=(b+ − )−(b− − )=2 − ，
a a a
∵OM之间有5个交点，
12 √ 9 12
∴ <2 − ≤ ，
5 a 4
1
∴−6
