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第二十七章 相似（单元重点综合测试）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2023上·福建宁德·九年级福鼎市第一中学校考期中）已知 ，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了比例的性质，解决问题的关键是掌握：内项之积等于外项之积．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ，
∴四个选项中，只有C选项符合题意，
故选C．
2．（2023上·上海静安·九年级上海市回民中学校考期中）在 中，点 分别在 的延长线
上，已知 ，下列各式不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线的判定即可求得答案．
【详解】解：A、根据 有 ，结合 则 ，故本选项不符合题
意；
B、根据 和 则有 ，故本选项不符合题意；
C、由 不能判定 ，故本选项符合题意；
D、根据 有 ，结合 则 ，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握判定条件是关键．
3．（2023下·山东烟台·八年级统考期末）操场上有一根竖直的旗杆 ，它的一部分影子 落在水平
地面上，另一部分影子 落在操场的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为 ，地面的影长为 ，同时测得一根高为 的竹竿 的影长是 ，请根据以上信息，则旗杆的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先需先求出旗杆全落在地面上的影子的长，即落在水平地面上的影长于落在操场的墙壁上的影
长之和，同时测得一根高为 的竹竿 的影长是 ，根据同一时刻物高与影长的比值相等，即
可列出方程求出答案．
【详解】解：由题意可知，墙壁上的影高为 ，同时测得一根高为 的竹竿 的影长是 ，
设这段影子在地面上的长为 ，可得：
，
，
旗杆落在地面上的影子的长是： ，
设旗杆的高度为 ,根据题意可得：
，
，
旗杆的高度为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应边成比例列方程是解题关键．
4．（2020上·北京顺义·九年级统考期末）如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点
上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ）A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
【答案】A
【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．
【详解】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，
又∵ ，
∴ ， ，
∴△ABC∽△ADE∽△HFA，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．（2010上·江苏无锡·八年级统考期中）如图， 中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是
．以点C为位似中心，在x轴的下方作 的位似图形 ，并把 的边长放大到原来的
2倍．设点B的对应点 的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点B作 轴于D，过点 作 轴于 ，根据相似三角形的性质求出 的长，得到点B的横坐标．
【详解】解：如图所示，过点B作 轴于D，过点 作 轴于 ，
∵点C的横坐标是 ， 的横坐标是 ，
∴ ，
由题意得， ，相似比为1：2，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点B的横坐标是 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，位似图形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
6．（2023上·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）如图，小明晚上由路灯 下的点 处走到点 处时，
测得自身影子 的长为1米，他继续往前走3米到达点 处，测得自己影子 的长为2米，已知小明的
身高是1.5米，那么路灯 的高度 是（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.5米 D．8米【答案】B
【分析】设 米， 米，先根据题意可得出 ， ，再根据相似三角形的判定与
性质即可得．
【详解】设 米， 米，
则 米， 米，
由题意得： ， ， 米，
， ，
， ，
即 ，
解得 ，
经检验， 是所列分式方程组的解，
则 米，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
7．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）如图，直线 分别交x轴、y轴于点C，D，点P为反比
例函数 在第一象限内图像上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线交直线 于点A，B，且
，则下列结论错误的是（ ）
A． 与 相似 B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，三角形相似的判定，平行坐标轴上的两点间的距离，如图，过B
作 轴于点F，过A作 轴于点E，利用等腰直角三角形的性质，反比例函数性质等计算即可，
熟练掌握性质和判定是解题的关键
【详解】如图，过B作 轴于点F，过A作 轴于点E.
在一次函数 中，令 ，
则 ；
令 ，则 ，
，
，
， 和 都是等腰直角三角形，
.
，
.
又 ，
，同理可得 ，
，
故选项A正确；
和 都是等腰直角三角形，
，
， ，
故选项B正确；
，，即 ，
故选项C正确；
设 ，则 ， ，
，即 ，
故选项D错误.
故选D.
8．（2023上·四川遂宁·九年级校考期中）如图， 是面积为1的等边三角形，取 边中点 ，作
， ， ， ．分别交 ， 于点 ， ，得到四边形 ，它的面积记作 ；
取 中点 ，作 ， ， ， 分别交 ， 于点 ， ，得到四边形 ，
它的面积记作 ……照此规律作下去，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的性质，先根据 ， 为 的中点，利用三角形相似的性质得到
四边形 的面积 是 面积的一半，再利用同样的办法求出 ，找出 ， 之间的规律，根据规
律得出 的值．
【详解】解： ，．
点 为 边的中点．
．
．
．
．
同理， ．
．
同理， ．
．
故选C．
9．（2023上·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ， ，
点 从点 出发，沿 以 的速度向点 移动，点 从点 出发，以 的速度向点 移动，若点
分别从点 同时出发，设运动时间为 ，当 取（ ） 时， 与 相似．
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据题意，用含 的式子分别表示出 ， ， ， ，分类讨论，第一种情况，当 时；第二种情况，当 时；根据相似三角形的判定方法即可求
解．
【详解】解：已知 ， ， ，点 的速度为 ，点 的速度为 ，设运
动时间为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
第一种情况，当 时， ，
∴ ，整理得， ，
∴ ；
第二种情况，当 时， ，
∴ ，整理得， ，
∴ ；
综上所述，当 或 时， 与 相似，
故选： ．
【点睛】本题主要考查动点与三角形的关系，相似三角形的判定和性质，理解题目中动点的运动规律，找
出边的数量关系，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
10．（2023上·安徽·九年级校联考期中）如图，在正方形 中， 是等边三角形， 、 的延
长线分别交 于点E，F，连接 ， 与 相交于点H，给出下列结论：① ；②
；③ ；④ ；⑤ ；其中正确结论的个数是（ ）A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半；
三角形相似的判定，勾股定理证明判断即可．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故④正确；在 中， ，
∴ ， ，
∴ ，故③错误；
设 ，则 ，
根据勾股定理得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故⑤正确．
综上分析可知，正确的结论有4个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定，
勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳彩虹学校校考期中）如图，四边形 四边形 ，若
， ，则 的度数为 ．
【答案】100
【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可．【详解】∵四边形 四边形 ，
， ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】考查了相似多边形的性质，解题的关舞是了解相似多边形的对应角相等，难度不大．
12．（2019下·北京石景山·八年级统考期末）如图， 和 中， ，添加一个适当的条件
，使 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由 ，可得 ，故添加 即可使得 ．
【详解】解∶添加
理由：∵ ，
∴ ，即 ，
又 ，
∴ ．
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．
13．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）鹦鹉螺是一类古老的软体动物.鹦鹉螺曲线的
每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图， 是 的黄金分割点（
），若线段 的长为 ，则 的长为 cm.（结果保留根号）【答案】
【分析】本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
【详解】解：∵点P是 的黄金分割点（ ），线段 的长为 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
14．（2023上·安徽亳州·九年级统考阶段练习）《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生
做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示的小孔成像实验中可简化为
数学问题： 与 相交于点 ， ．若点 到 的距离为 ，点O到 的距离为 ，
蜡烛火焰倒立的像的高度 是 ，则蜡烛火焰的高度 是 ．
【答案】
【分析】先证明 ，再根据相似三角形对应高的比等于相似比得到 ，即可得到
答案．
【详解】解：∵
∴
∴
又∵点O到 的距离为 ，点O到 的距离为 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟知“相似三角形对应高的比等于相似比”是解题的关键．
15．（2023上·福建泉州·九年级统考期中）在 中， 是 边上的中线， 是重心，如果 ，
那么线段 的长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形重心的性质，“重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 ”即
可求解，掌握三角形重心的性质是解题的关键．
【详解】解：如图， 是 边上的中线， 是重心，
∵ 是 边上的中线， 是重心，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，原点 是 和 的位似中心，点 与点
是对应点， 的面积是3，则 的面积是 ．
【答案】12
【分析】根据坐标可得 ， ，即可得 和 的位似比是： ，则有
和 的面积的比是 ，问题得解．【详解】解：∵点 与点 是对应点，原点 是位似中心，
∴ ， ，
∴ 和 的位似比是： ，
∴ 和 的面积的比是 ，
又∵ 的面积是3，
∴ 的面积是12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查位似图形和相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比和相似比的关系．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023上·陕西汉中·九年级统考期中）如图，直线 ，且直线 分别截直线 于点 ， ，
，截直线 于点 ， ．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．
（1）由平行线分线段成比例定理得到 ，代入已知线段长度即可得到 的长；
（2）由平行线分线段成比例定理得到 ，由 得到 ，由 得到，即可得到 的长．
【详解】（1）解：如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
即 的长为 ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
18．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图， 三个顶点的坐标分别为 ， ，
．(1)画出 关于x轴对称的 ，则点 的坐标为______；
(2)以点O为位似中心，在第一象限内，将 放大为原来的2倍，得到 ，请在网格中画出
， 的坐标为______．
【答案】(1)画图见解析，
(2)画图见解析，
【分析】此题考查了作轴对称图形，画关于原点对称的图形，正确掌握轴对称的性质及中心对称作图是解
题的关键．
（1）分别确定对称点 ， ， ，顺次连线即可；
（2）分别连接 ， ， 并延长二倍，确定点 ， ， ，顺次连线即可得到 ．
【详解】（1） 即为所求， ；（2） 即为所求；
由图可知： ．
19．（2023下·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，在 中， 的平
分线交 于点E， 的平分线交 于点F．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，且 ，求 的长．【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质和平行四边形的性质可以得到 ，设 ，根据相似
多边形的性质可得 ，列方程求出 的值，从而可解答本题．
【详解】（1）证明：∵ 的平分线交 于点 ，
∴ ．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
同理： ．
∴ ．
∵
∴四边形 是平行四边形．
∵ ，
∴四边形 是菱形；
（2）解：由（1）知，四边形 是菱形，
又四边形 是平行四边形，
，
设 ，
∵四边形 是平行四边形，且 ，
∴ ，
，即 ，整理得，
解得，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质以及相似多边形的性质，求出 与 的
数量关系是解答本题的关键
20．（2022上·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，F为四边形 边 上一点，连接 并延长交
延长线于点E，已知 ．
(1)求证： ；
(2)若四边形 为平行四边形， ，求 的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2) 的长度为4
【分析】（1）利用相似三角形的判定定理，即可得到结论；
（2）先证明 ，利用平行线分线段成比例，列出比例式，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质及相似三角形的判定，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边、对顶角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
21．（2023上·安徽亳州·九年级统考阶段练习）如图，在 的边长为1的小正方形网格中， 的三
个顶点都在格点上．
(1)直接写出 的形状______；
(2)若 垂足为D，证明： ；
(3)拓展应用：在A时测得某树（垂直于地面）的影长为4米，C时又测得该树的影长为16米，若两次日照
的光线互相垂直，则树的高度为______米．（直接写出结果）
【答案】(1)直角三角形
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用勾股定理求得 ， 的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解；
（2）证明 ，即可证明 ；
（3）利用（2）的结论即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ， ， ，
∴ 是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
（2）证明：由（1）知 是直角三角形，且 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（3）解：由题意得 ， ， 米， 米，
由（2）得 ，
∴ ，
∴ 米，
∴树的高度为 米．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解
决问题．
22．（2023上·河南开封·九年级统考期中）某数学学习小组在学习了相似三角形以后，他们发现对于同一
个物体在灯光下，它的影子的长度与电灯到物体的距离有一定的关系，利用物体影子的长度可以计算电灯
到物体的距离，利用电灯到物体的距离也可以计算物体影子的长度．
下面是他们的试验内容，请解答：
(1)如图①，放在水平地面上的正方形框架 ，在其正上方有一个小射灯 ，在小射灯 的照射下，正
方形框架在地面上的影子为 、 ，若正方形框架的边长为 ， ，则
________；小射灯 离地面的距离为_______ ．
(2)如图②，不改变（1）中的条件，将另一个同样大小的小正方形框架紧贴在原小正方形框架的左边并排
摆放，即正方形 ．求小射灯下的影长 的长度．
(3)如图③，小射灯 到地面的距离为 ，一共有 个边长为 的小正方形框架（无重叠）并排如图摆放，
影长 与 的和为__________________（用 、 、 表示）．
【答案】(1) ；80
(2)
(3)【分析】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、相似三角形的性质在实际问题中的应用
等知识与方法，
（1）设 于点 ，交 于点 ，由正方形的性质得 ， ，
， ，则 ，所以 ，再证明 ，得
，则 ，所以 ，求得 ，于是得到问题的答案；
（2）由（1）得 ， ， ，则 ， ，
，可证明 ，得 ，于是得 ，求得 ，则小
射灯下的影长 的长度为 ；
（3）设 于点 ，交 于点 ，则 ， ， ，由 ，
得 ，则 ，所以 ，于是得到问题的答案．
此题综合性强，难度较大，正确理解和应用相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】（1）如图①， 于点 ，交 于点 ，
四边形 是边长为 的正方形，
， ， ， ，
， ， ，
，
点 在正方形 的正上方，
，，
， ，
，
，
，
，
解得 ，
小射灯 离地面的距离为 ，
故答案为： ，80．
（2）如图②， 于点 ，交 于点 ，
由（1）得 ， ， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
解得 ，
答：小射灯下的影长 的长度为 ．
（3）如图③， 于点 ，交 于点 ，则 ， ， ，，
，
，
，
，
故答案为： ．
23．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图1，在矩形 中， ，点P从点
B出发，沿 边向终点A以每秒 的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→B→A向终点A以每秒
的速度运动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒，解答下列问题：
(1)若Q在 上运动，当t=______秒时， ？
(2)如图2，以P为圆心， 长为半径作 ，在整个过程中，是否存在这样的t的值，使 正好与
的一边（或所在的直线）相切？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)t的值为 秒或2秒或3秒或 秒．
【分析】（1）由题意易得 的长，由 建立方程即可求得t的值；
（2）分5种情况讨论即可．
【详解】（1）解：由题意， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ；
（2）解：∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ．
①若与 相切，过P作 于K，如图所示：
则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，②若与 相切，Q在 上， ，如图所示：
则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，或 ，
∴ 或 ；
③若与 相切，当P、Q两点中Q先到A点时，如图所示：
此时 ；
④若与 相切，当点Q未到达点A时，如图所示：
则 ，
∴ ，解得： ，
⑤若与 相切，过P作 于K，如图所示：
则 ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： 秒，舍去．
综上所述，t的值为 秒或2秒或3秒或 秒．
【点睛】本题是动点问题的综合，考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理
等知识，解决第（2）小题时，要分类讨论，分类的情形较多，不要遗漏．
