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第二十九章 视图与投影（压轴题专练）
1．如图，是由27个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是 的正方形，若拿掉若干个小立方
块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为 的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
2．由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，组成这个几何体的小正方体
的个数可能是（ ）
A．4个或5个 B．5个或6个 C．6个或7个 D．7个或8个
3．由n个相同的小正方体堆成的一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，则n的最大值是( )．
A．18 B．19 C．20 D．21
4．用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看的形状图如下，则组成这样的几何体需要的立方块个
数为( )
A．最多需要8块，最少需要6块 B．最多需要9块，最少需要6块C．最多需要8块，最少需要7块 D．最多需要9块，最少需要7块
5．在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体
的小正方体的最少个数为m，最多个数为n，下列正确的是（ ）
A．m＝5，n＝13 B．m＝8，n＝10 C．m＝10，n＝13 D．m＝5，n＝10
6．（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，
古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹
角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在
日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时
刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．
（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即 ）位置时，晷针与晷面的夹角为 °．
（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影
子所在的直线相交于点 ．此时 与 满足的关系式 ．
7．（2023下·江西抚州·九年级校考阶段练习）如图1是折叠会议桌的实物图，其侧面可抽象成图2，桌面
可绕点 转动， ， ， ． ，点 是 点在地面
的正投影．(1)①桌面 到地面 的距离为______ ， ______ ．
②求桌脚 的长；（结果精确到 ）
(2)当桌面 绕点 转动到图3所示的位置时，求点 到地面 的距离．
（参考数据： ， ， ）
8．（2023·山东日照·校考一模）操作与研究：如图， 被平行于 的光线照射， 于D，
在投影面上．
(1)指出图中线段 的投影是______，线段 的投影是______．
(2)问题情景：如图1， 中， ， ，我们可以利用 与 相似证明
，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理．
(3)【结论运用】如图2，正方形 的边长为15，点O是对角线 的交点，点E在 上，过点
C作 ，垂足为F，连接 ，
①试利用射影定理证明 ；
②若 ，求 的长．
9．（2023·全国·九年级专题练习）甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了
测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm．
乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm．
丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长 为90cm，灯杆被阳光照射到的部分 长为50cm，未被照射到的部分 长为32cm．
(1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度．
(2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题：
①求灯罩底面半径 的长；
②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积．
10．（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形
中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图．
（2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示．请在从上面看
到的图形的小正方形中填人相应的数字，使得小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．其中，
图1填人的数字表示最多组成该几何体的小立方块的个数，图2填入的数字表示最少组成该几何体的小立
方块的个数．
11．（2021上·山东青岛·九年级校联考期末）小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶
魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为
此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且
a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n ）．
问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得
出一般性的结论．
探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2
个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共
包含 个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 个小立方体组
成．
探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图
7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方
体组成，那么该几何体一共有 个长方体．
探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 个长方体．
探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 个长方体．
探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果
拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种枧图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 个
小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 ．
12．平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为10 cm的小正方体堆成一个几何体，如图①所示.
(1)请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图;
(2)若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和俯视图不变，
Ⅰ.在图①所示几何体上最多可以添加 个小正方体;
Ⅱ.在图①所示几何体上最多可以拿走 个小正方体;
Ⅲ.在题Ⅱ的情况下，把这个几何体放置在墙角，使得几何体的左面和后面靠墙，其俯视图如图②所示，若
给该几何体露在外面的面喷上红漆，则需要喷漆的面积最少是多少平方厘米?13．（2023上·山东菏泽·七年级校考阶段练习）（1）如图，在平整的地面上，一些完全相同的棱长为1的
小正方体堆成一个几何体．在下面的网格中画出从正面、左面、上面看的形状图．
（2）如图所示，这是一个由小立方体搭成的几何体的俯视图，小正，方形中的数字表示在该位置的小立
方体的个数，请画出主视图与左视图．
14．（2023上·湖南岳阳·九年级统考期中）操作与研究：如图， 被平行于 的光线照射，
于D， 在投影面上.
(1)指出图中线段 的投影是______，线段 的投影是______.
(2)问题情景：如图1， 中， ， ，我们可以利用 与 相似证明
，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理.
(3)拓展运用：如图2，正方形 的边长为15，点O是对角线 、 的交点，点E在 上，过点C
作 ，垂足为F，连接 ；试利用射影定理证明 ；15．（2023上·福建三明·七年级校联考阶段练习）（ ）图 是一个正方体．若将该正方体的表面沿某些棱
剪开，展成一个平面图形，需要剪开_____条棱；
（ ）用一个平面从不同方向去截图 中的正方体，得到的截面可能是_______（填写符合要求的序号）；
三角形 四边形 五边形 六边形
（ ）图 是由一些小正方体搭成的几何体从正面看和上面看得到的形状图，若要搭成该几何体的正方体
的个数最多是 ，最少是 ，求 的值．
16．（2023上·广东佛山·七年级校考阶段练习）某学校设计了如图所示的雕塑，取名“阶梯”，现在工厂
师傅打算用油漆喷刷所有暴露面，经测量，已知每个小立方体的棱长为 ．
(1)请分别画出该雕塑的俯视图和左视图；（画出的图需涂上阴影）
(2)请你帮助工人师傅计算一下，需要喷刷油漆的总面积是多少．
17．（2023上·山东青岛·七年级青岛超银中学校考阶段练习）如图是由几个小立方块所搭几何体从上面看
到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置小立方体的个数，请画出这个几何体从正面和左面看到的形
状图．18．（2023下·山东青岛·九年级统考开学考试）甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼 高16米．当地中
午12时，物高与影长的比是 ．
(1)如图1，当地中午12时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距 的长为_________米．
(2)当地下午14时，物高与影长的比是 ．如图2，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影
子 的长．
19．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图1，某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合面成的立体图形，
已知正方体的棱长与圆柱的底面直径及高相等，都是 ．
(1)图2是这个立体图形主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整；
(2)为了防腐，需要在这个立体图形表面刷一层油漆．已知油漆每平方米50元，那么一共需要花费多少元？
（ 取3.14）（说明：正方体一底面立于地上，不刷油漆；圆柱一底面立于正方体上，重合部分不刷油
漆．）
20．（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）如图是由6个棱长都为1的小立方块搭成的几何体．(1)请画出这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图；
(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可
以再添加_________个相同的小立方块．
21．（2023上·河南南阳·七年级校联考期末）综合与实践
如图①所示的几何体是由边长为1的8个相同小正方体摆放而成．
(1)关于这个几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）
主视图与左视图相同 主视图与俯视图相同
左视图与俯视图相同 三种视图都相同
(2)这个几何体的表面积（含底面）是_____________;
(3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图都不变，那么最
多可以再添加_________个小正方体．
(4)如果从这个几何体上取出一个小正方体，如图②所示，在它的每一个面上都写着一个代数式，且相对的
面上的两个代数式的值互为相反数，将其剪开展开成平面图形如图③所示放置，求 的值．
22．（2023上·四川达州·九年级统考期末）值日生小王准备制作一些无盖纸盒，收纳班级讲台上的粉笔．(1)图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______（填序号）．
(2)小王把折叠成的6个相同的正方体纸盒摆成如图2所示的几何体．
①在图3网格内画出图2的左视图；
②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，
最多可以再添加多少个正方体纸盆？
23．（2023上·辽宁阜新·七年级阜新实验中学校考期末）在水平的桌面上，由若干个完全相同棱长为
的小正方体堆成一个几何体，如图所示．
(1)请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图；
(2)若给该几何体露在外面的喷上红漆（不含几何体的底面），则需要喷漆的面积是______ ？
24．（2023·江苏盐城·统考三模）盐城市某初级中学数学小组想探究：大楼影长对相邻大楼的影响．分成
了两个实验小组，在某天下午 时，同时进行了两项实验：
实验一：测量高为 竹竿的影长．通过测量发现影长为 ．
实验二：探究长方体的影子．如图 是该长方体在当天下午 时阳光下投影，图 是图 中长方体的俯视图．
(1)该长方体的高 ，宽为 ．
①此时 的影长 为______ ；
②此时测得 ，求 ；
(2)某小区预规划两栋一样的楼房甲、乙，朝向与“实验二”中长方体一致，俯视图如图3，相关数据如图
所示，若楼高42米，请通过计算说明实验当天下午3时甲楼的影子是否落在乙楼的墙上．25．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）问题背景：在某次活动课中，甲、乙两个学习小
组于同一时刻在阳光下对校园中的旗杆和景观灯进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：
如图1，测得学校旗杆的影长为900cm，在影子的外端F点处测得旗杆顶端E的仰角为 ．
乙组：如图2，测得校园景观灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影
长为156cm．
任务要求：
(1)请根据以上的信息计算出学校旗杆的高度；
(2)如图2，设太阳光线 与 相切于点M．请根据以上的信息，求景观灯灯罩的半径（景观灯的影长
等于线段 的影长．）（参考数据： ）
26．（2023上·江苏无锡·七年级校联考期末）一透明的敞口正方体容器 装有液体，棱
始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（注：图 中 α，图 中 ）．(1)探究如图 ，液面刚好过棱 ，并与棱 交于点 ，其三视图及尺寸如图 所示，那么：图 中，液
体形状为 （填几何体的名称）；
(2)利用图 中数据，可以算出图 中液体的体积为 ．（公式：体积 底面积 高）
(3)拓展在图 的基础上，以棱 为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．若从正面看，液面与棱
交于点 、 （ 始终在棱 上），设 ，请你在下图中把此容器主视图补充完整，并用含 的代
数式表示 的长度．
27．（2023·浙江温州·统考一模）根据信息，完成活动任务．
活动一 探究某地正午太阳光下长方体高度与影子的关系．
如图1是长方体在正午阳光下投影情况，图2是图1的俯视图，通过实验测得一组数据如下表所示：的长（cm）
的长（cm） 30
【任务1】如图2，作 于点 ，设 ， ，求 关于 的函数表达式．
活动二 设计该地房子的数量与层数．
在长方形土地上按图3所示设计 幢房子，已知每幢房子形状、高度相同，可近似看成长方体，图中阴影
部分为1号楼的影子，相关数据如图所示．现要求每幢楼层数不超过 ，每层楼高度为3米．
【任务2】当1号楼层数为 时，请通过计算说明正午时1号楼的影子是否落在2号楼的墙上．
【任务3】请你按下列要求设计，并完成表格．
（1）所有房子层数总和超过 ．
（2）正午时每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上．
方案设计
每幢楼层数 的值 层数总和_______________ _______________ _______________
28．（2023上·山西太原·九年级山西大附中校考期末）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些
数学问题请你解答：
(1)如图1，白天在阳光下，小彬将木杆 水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段 ．
①若木杆 的长为 ，则其影子 的长为___________ ；
②在同一时刻同一地点，将另一根木杆 直立于地面，请画出表示此时木杆 在地面上影子的线段
：
(2)如图2，夜晚在路灯下，小桃将木杆 水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段 ．
①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点 ；
②若木杆 的长为 ，经测量木杆 距离地面 ，其影子 的长为 ，则路灯 距离地面的高度
为___________ ．
29．（2022下·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，图形W在坐标轴上的投影长度定义
如下：设点 ， 是图形W上的任意两点，若 的最大值为m，则图形W在x轴上的投
影长度为 ；若 的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度为 ．如图1，图形W在x轴
上的投影长度为 ；在y轴上的投影长度为 ．
(1)已知点 ，如图2所示，若图形W为四边形 ，则 __________，
___________；(2)已知点C（ ，0），点D在直线 上，若图形W为 ，当 时，求点D的坐标；
(3)若图形W为函数 的图象，其中（ ），当该图形满足 时，请直接写出a
的取值范围．
30．（2020·四川攀枝花·中考真题）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平
地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线 的距离皆为 ．王诗
嬑观测到高度 矮圆柱的影子落在地面上，其长为 ；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．
已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线 互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度 ，在
不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：
（1）若王诗嬑的身高为 ，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少 ？
（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答
这个猜想是否正确？
（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为 ，则高圆柱的高度为多少 ？
