文档内容
期末押题预测卷（1）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（2022·山东青岛·七年级期中） 的倒数的相反数是（ ）
A．2020 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据倒数与相反数的定义直接可以得到答案．
【详解】解： 的倒数是 ， 的相反数是2020，
的倒数的相反数是2020；故选A．
【点睛】此题考查倒数与相反数的概念，熟练掌握这两个概念是解答此题的关键．
2．（2022·四川成都·七年级期末）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，
然后铺平，则得到的图形可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依据长方体的展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：A、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意；
B、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意；
C、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意；D、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图的特点是解题的关键．
3．（2022·山东滨州·七年级期末）小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，＋10.5表示收入10.5元，
下列说法正确的是（ ）
A．﹣6.3表示收入6.3元 B．6.3表示支出﹣6.3元
C．-6.3表示支出6.3元 D．收支总和为16.8元
【答案】C
【分析】根据+10.5表示收入10.5元，可以得出“收入”用正数表示，从而“支出”就用负数表示，得出
答案．
【详解】解：根据＋10.5表示收入10.5元，，“收入”用正数表示，那么“支出”就用负数表示，
于是-6.3表示支出6.3元，故选：C．
【点睛】考查正数、负数的意义，一个量用正数表示，那么与它具有相反意义的量就用负数表示．
4．（2022·四川成都·七年级期末）目前，成都市已累计改造的老旧小区惠及居民约45万户，大力促进了
人居环境有机更新，提升了市民幸福指数．将数据45万用科学记数法表示为（ ）
A．4.5×105 B．4.5×104 C．45×104 D．0.45×106
【答案】A
【分析】根据科学记数法的表示方法即可求得结果．
【详解】解：用科学记数法表示：45万=450000=4.5×105．
故选：A．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2022·四川成都·七年级期末）已知关于 的方程 的解是 ，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．-1
【答案】B
【分析】把x＝a代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：把x＝a代入方程得：3a＋2a−2＝0，移项合并得：5a＝2，解得：a＝ ．故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，解题关键是
掌握一元一次方程的解．
6．（2022·江西·南昌七年级期中）当x＝1时，代数式 的值为3，当 时，代数式
的值等于（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】B
【分析】利用整体代入的思想即可解决问题．
【详解】解：∵当x＝1时，代数式 的值为3，∴ ，∴ ，
当 时， ．故选：B．
【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是学会与整体代入的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．（2022·江苏七年级期末）球赛积分表问题：
某次篮球联赛积分表：
队
比赛场次 胜场 负场 积分
名
东
12 10 2 22
方
蓝
12 10 2 22
天
雄
12 9 3 21
鹰
远
12 9 3 21
大
北
12 7 5 19
极
卫
12 4 8 16
星
钢
12 0 12 12
铁
m12
m
有以下判断：①负一场积1分；②胜一场积2分；③如果一个队胜 场，则该队的总积分为 分；④不可能有一个球队的胜场总积分等于它的负场总积分．以上说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据钢铁队的积分情况可判断①，根据东方队的积分情况可判断②，根据负一场和胜一场的积分
可判断③，设某队胜a场，根据题意列出方程，解之即可．
【详解】解：①∵钢铁队胜场为0，负场为12，积分为12，∴12÷12=1，即负一场记1分，故正确；
②根据东方队胜场为10，负场为2，积分为22，∴（22-2）÷10=2，即胜一场记2分，故正确；
③如果一个队胜m场，则该队的总积分为2m+（12-m）=12+m（分），故正确；
④设某队胜a场，则负12-a场，由题意得2a=12-a，解得：a=4，
因为a是整数，所以存在某队胜场总积分能等于它的负场总积分，故错误；故选C．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，看清表格中蕴含的数量关系是解决问题的关键．
8．（2022·浙江绍兴·七年级期末）如图，点 在直线 上，射线 ， 在直线 的同一侧（其中
， ），射线 平分 ，射线 平分 ．若 和
互补，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由补角的定义可求得∠EOF+∠COD＝180°，结合平角的定义可求得∠COD＝∠AOE+∠BOF，
根据角平分线的定义可求得∠COE+∠DOF＝∠COD，进而可求解∠COD的度数，即可求解．
【详解】解：∵∠EOD和∠COF互补，
∴∠EOD+∠COF＝180°，∴∠EOF+∠COD＝180°，
∵∠EOF+∠AOE+∠BOF＝180°，∴∠COD＝∠AOE+∠BOF，
∵射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝∠COE，∠BOF＝∠DOF，∴∠COE+∠DOF＝∠COD，
∴∠COD＝180°÷3＝60°，故选：C．
【点睛】本题主要考查余角和补角，角平分线的定义，求解∠COD＝∠AOE+∠BOF是解题的关键．
9．（2022·重庆市九年级期中）在原点为O的数轴上，从左到右依次排列的三个动点A，M，B，满足
，将点A，M，B表示的数分别记为a，m，b．下列说法正确的个数有（ ）①当 时， ；②当 时，若a为奇数，且 ，则 或5；③若 ， ，
则 ；④当 ， 时，将点B水平右移3个单位至点 ，再将点 水平右移3个单位至点 ，
以此类推，…且满足 ，则数轴上与 对应的点 表示的数为 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据 ，可得 ，从而得到 ，可得①正确；当 时， ，
根据 ，可得 ，再由a为奇数，可得②错误；根据 ，可得 ，再分两
种情况，可得 或2，故③错误；根据题意得：点B向右移动n次时，点 对应的数为 ，从而
得到 ，可得点 对应的数为 ，从而得到④正确，即可求解．
【详解】解：∵ ，∴ ，∴ ，∴当 时， ，故①正确；
∵ ，∴ ，∴ ，∵a为奇数，∴ ，故②错误；
∵ ，∴ ，当点M在原点右侧时， ，即 ，
∵ ，∴ ，即 ；当点M在原点左侧时， ，即 ，
∵ ，∴ ，即 ；∴ 或2，故③错误；
当 ， 时， ，
根据题意得：点B向右移动n次时，点 对应的数为 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴点 对应的数为 ，
∴点 表示的数为 ，故④正确；∴正确的有①④，共2个．故选：B
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合思想和分
类讨论思想解答是解题的关键．
10．（2022·四川西区·）一副三角板 、 ，如图1放置，（ =30°、 45°），将三角板绕点 逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜ ＜90°，则下列结论中正确的个数有（ ）
① 的角度恒为105°；②在旋转过程中，若 平分 ， 平分 ， 的角
度恒为定值；③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；
④在图1的情况下，作 ，则 平分
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差逐个判断即可得．
【详解】
如图1，当 时
如图2，当 时
因此， 的角度不恒为 ，则①错误
如图1，当 时，
由角平分线的定义得
如图2，当 时，
由角平分线的定义得
因此， 的角度恒为定值 ，则②正确边与三角板 的三边所在直线夹角不可能成
如图1，当 时，设DE与AB的交点为F
，即
DE只与三角板 的AB边所在直线夹角成 ，次数为1次；DB只与三角板 的BC边所在直线夹
角成 ，次数为1次。如图2，当 时，延长DE交AB于点F
，即
只有DB与三角板 的AB边所在直线夹角成 ，次数为1次
因此，在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成 的次数为3次，则③错误
如图3，作
，即 平分
如图4，作 显然 不平分 ，则④错误
综上，正确的个数只有②这1个故选：A．
【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差等知识点，
依据 正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，不能受两个示意图的影响，而少讨论
一种情况．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东·七年级期末）斐波那契数列，是由一串有数学美感的数字排列而成，因以兔子繁殖为例
作引入，故又称为“兔子数列”．仿照“兔子数列”有如下问题：一般而言，兔子在出生两个月后，就有
繁殖能力，假设一对兔子每个月能生出2对小兔子来，且兔子不会死亡．育才校园养了1对小兔子：
一个月后，小兔子没有繁殖能力，所以还是1对；
两个月后，兔子生下两对小兔子，所以是3对；
三个月后，小兔子没有繁殖能力，老兔子生下2对小兔子，所以一共是5对；
以此类推，八个月后，一共有________ 对兔子．
【答案】171
【分析】根据大兔，中兔与小兔进行分类大兔的2倍是小兔，小兔1个月后变中兔，三类兔子之和是总共
有的兔子，根据有理数的加法求和即可．
【详解】解：设两月后的兔子称“大兔”，一个月后的兔子称“中兔”，刚出生的兔子称“小兔”
一个月后中兔1对，共1对兔，
二个月后大兔1对，小兔2对，共有1+2=3对兔，
三个月后大兔1对，中兔2对，小兔2对，共有1+2+2=5对兔，
四个月后大兔3对，中兔2对，小兔6对，共有3+2+6=11对兔，
五个月后大兔5对，中兔6对，小兔10对，共有5+6+10=21对兔，
六个月后大兔11对，中兔10对，小兔22对，共有11+10+22=43对兔
七个月后大兔21对，中兔22对，小兔42对，共有21+22+42=85对兔，
八个月后大兔43对，中兔42对，小兔86对，共有43+42+86=171对兔．故答案为171．
【点睛】本题考查有理数的加法，根据分类确定大兔，中兔与小兔的对数是解题关键．
12．（2022·江苏扬州·七年级期末）下列说法：①对顶角相等；②两点之间的线段是两点间的距离；③过
一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤一个锐角的补角
一定比它的余角大90°，正确的有______．（填序号）
【答案】①⑤
【分析】根据对顶角、线段、直线、垂直的定义、平行线的性质及余补角的性质可直接进行求解．
【详解】解：①对顶角相等，原说法正确；②两点之间的线段长度是两点间的距离，原说法错误；③过直
线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与
已知直线垂直，原说法错误；⑤一个锐角的补角一定比它的余角大90°，原说法正确；
综上所述：正确的有①⑤；故答案为①⑤．
【点睛】本题主要考查对顶角、线段、直线、垂直的定义、平行线的性质及余补角的性质，熟练掌握相关概念及性质是解题的关键．
13．（2022·辽宁铁岭·七年级期末）已知 与 的和是单项式，则 的值为______．
【答案】
【分析】先根据题意判断出单项式 与单项式 是同类项，从而依据同类项概念得出x，y的值，
继而代入计算可得．
【详解】解：∵ 与 的和是单项式，
∴单项式 与单项式 是同类项，
则 ∴ ∴ 故答案为：5．
【点睛】本题主要考查合并同类项与同类项，解题的关键是掌握合并同类项的法则及同类项的概念：所含
字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
14．（2022·江苏·七年级期末）若 ，则 的值为_______．
【答案】1
【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性，求出x，y的值；再代入求乘方即可；
【详解】解：∵ ，∴x＋9=0，y-8=0，∴x=﹣9，y=8，
∴ = = ，故答案为：1；
【点睛】本题考查了乘方的运算，非负数的性质——几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；掌握
非负数的性质是解题关键．
15．（2022·辽宁·七年级期末）已知a，b，c三个有理数在数轴上对应的位置如图所示，化简|c﹣a|﹣|a﹣
b|﹣|b|＝_____．
【答案】c
【分析】先根据数轴得出a＜b＜0＜c且|a|＞|c|＞|b|，据此知c-a＞0，a-b＜0，b＜0，再根据绝对值的性
质求解即可．
【详解】解：由数轴知a＜b＜0＜c且|a|＞|c|＞|b|，
∴c-a＞0，a-b＜0，b＜0，则原式=c-a+a-b+b=c，故答案为：c．
【点睛】本题主要考查数轴，解题的关键是根据数轴判断出a＜b＜0＜c且|a|＞|c|＞|b|及绝对值的性质．
16．（2022·福建泉州·七年级期中）把 这9个数填入 的方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），洛
书是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则 的值为_________．
【答案】7
【分析】根据任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，先求解对角线上的三个数之和为
设第三行第三列的数字为 ，根据题意列出方程，求得 ，继而求得 的值，从而可得答案．
【详解】解：由对角线上的三个数之和为：
任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，
设第三行第三列的数字为 ，则 ，解得
故答案为：7
【点睛】本题考查的是有理数的加减运算，一元一次方程的应用，弄懂题意列式计算或列方程求解是解题
的关键．
17．（2022·河北·七年级期末）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中图①有3张黑色正
方形纸片，图②有5张黑色正方形纸片，图③有7张黑色正方形纸片，……按此规律排列下去，图n中黑
色正方形纸片的张数为________．（用含有n的代数式表示）
【答案】
【分析】设图n中有a （n为正整数）张黑色正方形纸片，观察图形，根据各图形中黑色正方形纸片张数
n
的变化可找出变化规律“a =2n+1（n为正整数）”，此题得解．
n
【详解】解：设图n中有a （n为正整数）张黑色正方形纸片，
n
观察图形，可知：a =3=2×1+1，a =5=2×2+1，a =7=2×3+1，a =9=2×4+1，…，
1 2 3 4
∴a =2n+1（n为正整数）． 故答案是：2n+1．
n
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中黑色正方形纸片张数的变化，找出变化规律“a =2n+1（n为正整数）”是解题的关键．
n
18．（2022·四川成都·七年级期末）如图，长方形纸片 ，点E在边 上，点F、G在边 上，连
接 、 ．将 对折，点B落在直线 上的点 处，得折痕 ；将 对折，点A落在直
线 上的点 处，得折痕 ． ，则 __________．
【答案】100°或80°
【分析】分两种情况：当点G在点F的右边，∠MEN=∠NEF＋∠MEG＋∠FEG；当点G在点F的左边，
∠MEN=∠NEF＋∠MEG－∠FEG；利用角平分线的定义，计算角的和差即可解答；
【详解】解：当点G在点F的右边，∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，
∴∠NEF= ∠AEF，∠MEG= ∠BEG，
∴∠NEF＋∠MEG= （∠AEF＋∠BEG）= （180°－∠FEG）=80°，
∴∠MEN=∠NEF＋∠MEG＋∠FEG=80°＋20°=100°；
当点G在点F的左边，∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG，
∴∠NEF= ∠AEF，∠MEG= ∠BEG，
∴∠NEF＋∠MEG= （∠AEF＋∠BEG）= （180°＋∠FEG）=100°，
∴∠MEN=∠NEF＋∠MEG－∠FEG=100°－20°=80°；综上所述∠MEN=100°或∠MEN=80°；故答案为：100°或80°；
【点睛】本题考查角的对折，角平分线的定义，角的和差计算；据F、G两点位置不同分类讨论是解题关
键．
三、解答题（本大题共10小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
19．（2022·四川成都·七年级期末）（1）计算：﹣12022+8×（ ）3+2×|﹣6+2|；
（2）先化简，再求值：2（﹣3x2y﹣2xy2 ）﹣5（﹣xy2﹣2x2y+1）﹣xy2，其中 ．
【答案】（1）6；（2）4x2y，8
【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减，进行计算即可；
（2）先去括号，然后再合并同类项，最后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：（1）原式=-1+8×（ ）+2×4
=-1+（-1）+8
=6；
（2）原式=-6x2y-4xy2+5+5xy2+10x2y-5-xy2，
=4x2y，
∵（x+1）2+|y-2|=0，
∴x+1=0，y-2=0，
∴x=-1，y=2，
当x=-1，y=2时，原式=4×1×2=8．
【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，有理数的混合运算，偶次方和绝对值的非负性，准确熟练地进
行计算是解题的关键．
20．（2022·江苏常州·七年级期末）如图，方格纸中小正方形的边长均为1cm，三角形ABC的顶点均为格
点．
（1）过点C画AB的平行线l；
1
（2）过点C画AB的垂线l；
2
（3）三角形ABC的面积＝ cm2．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）取格点E，作直线EC即可．
（2）取格点F，作直线CF即可．
（3）利用分割法求解即可．
【详解】解：（1）如图，直线l 即为所求作．
1
（2）如图，直线l 即为所求作．
2
（3）△ABC的面积＝3×3﹣ ×2×3﹣ ×1×2﹣ ×1×3＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查作图−应用与设计，平行线的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题
意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（2022·广东·九年级专题练习）解方程：
1[ 1 ] 2
x− (x−1) = (x−1)
(1) ； (2) ； (3)2 2 3 ； (4)
．
【答案】(1) (2) (3) (4)【分析】（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤依次进行计算；
（2）按照去分母，去括号，移项的步骤依次进行计算；
（3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤依次进行计算；
（4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤依次进行计算．
【详解】（1）解：去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ．
（2）解： ，
去分母得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ．
1[ 1 ] 2
x− (x−1) = (x−1)
（3）解：2 2 3 ，
去分母得， ，
去括号得， ，
，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得， ．
（4）解： ，
去分母得， ，
去括号得， ，
移项得， ，合并同类项得， ，
系数化为1得， ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，正确的解相关方程是解题的关键．
22．（2022·四川成都·七年级期末）如图，是由7个棱长为1的小正方体组合成的简单几何体．请画出这个
几何体的三视图：（注：所画线条用黑色签字笔描黑）
【答案】见解析
【分析】从正面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，3，2；从左面看得到从左往右2列正方形的
个数依次为3，1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1，依此画出图形即可．
【详解】解：如图，
【点睛】此题考查了作图--三视图，解题的关键是熟练掌握三视图的知识：三视图分为主视图、左视图、
俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看所得到的图形．
23．（2022·广西·七年级期末）亮亮家买了新房，如图是房屋的平面图，根据图中的数据（单位：m），解
答下列问题：(1)用含x、y的代数式表示厨房的面积为______m2，卫生间的面积为______m2：若图中x、y的值满足
，厨房和卫生间的总面积为______m2．
(2)亮亮的爸爸打算在两个卧室内的四周贴上墙纸（门和窗户忽略不计），已知房间的高度是3米，求需要
购买多少平方米的墙纸？
【答案】(1) ， ，9
(2)需要购（12x+21y+18）平方米的墙纸
【分析】（1）利用长方形的面积公式表示出厨房和卫生间的面积即可，然后根据绝对值的非负性求出x，
y的值，代入列的代数式即可解答；
（2）求出卧室的周长，然后乘以房间的高度即可解答．
(1)解：由题意得：
厨房的面积为xym2，卫生间的面积为 xym2，
∵|x−3|＋|2−y|＝0，
∴x−3＝0，2−y＝0，
∴x＝3，y＝2，
∴xy＋ xy＝ xy＝ ×3×2＝9（平方米），
∴厨房和卫生间的总面积为9m2，
故答案为：xy， xy，9；
(2)由题意得： 2(x+y+3)×3+2(2y+x+12y)×3=6x+6y+18+15y+6x=12x+21y+18
答：需要购（12x+21y+18）平方米的墙纸．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，代数式求值，绝对值的非负性，根据题目的已知并结合图形去分析是解题的关键．
24．（2022·四川成都·七年级期末）今年成都的天气比往年要寒冷许多，进入12月份以后人们对暖手宝热
水袋的需求开始增加，某超市第一次共购进300件甲、乙两种品牌的暖手宝热水袋，全部出售后赚得2700
元．已知甲品牌暖手宝的进价为22元/件，售价为29元/件，乙品牌暖手宝的进价为30元/件，售价为40
元/件．
（1）该超市第一次购进甲、乙两种暖手宝各多少件？
（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种暖手宝，其中乙品牌的件数不变；甲品牌按原价销
售，乙品牌打九折销售．第二次两种暖手袋都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多600元，
求第二次购进甲品牌多少件？
（3）该超市第三次进货时，厂家给出了如下优惠方案：
甲品牌优惠方案
一次性购买数量 不超过100件的部分 超过100件的部分
折扣数 九折 八折
乙品牌优惠方案
购买总金额 不超过3000元 超过3000元但不超过5000元 超过5000元
返现金金额 0元 直接返现金200元 先返购买总金额的5％，再返现金200元
已知超市购进甲品牌共支付了3740元，购进乙品牌共支付了4930元．将第三次购进的甲、乙两种暖手宝
全部卖完一共可获得多少利润？
【答案】（1）甲100件，乙200件（2）300件（3）4330元
【分析】（1）设第一次购进甲 件，则第一次购进乙 件，依题意列出一元一次方程，故可求解；
（2）设第二次购进甲品牌 件，根据题意列出一元一次方程，故可求解；
（3）分别求出第三次购进的甲、乙品牌的件数，故可求解．
【详解】解：（1）设甲 件，乙 件，
依题意可得 ，
解得
∴超市第一次购进甲种暖手宝100件、乙种暖手宝乙200件，（2）设第二次购进甲品牌 件，
根据题意可得 ，
，
∴第二次购进甲品牌300件。
（3）设第三次购进甲品牌 件，
依题意可得 ，
，
设第三次购进乙品牌总金额 元 ，
依题意可得 ，
，
（件）
∴共获利： （元）
答：第三次购进的甲、乙两种暖手宝全部卖完一共可获得4330元利润．
【点睛】此题主要考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解．
25．（2022·浙江·宁波市海七年级期中）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C
到B的距离2倍，我们称点C是 的好点．
例如，如图1，点A表示的数为 ，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是
1，那么点C是 的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点 不是
的好点，但点 是 的好点．知识运用：
(1)若 、 为数轴上两点，点 所表示的数为 ，点 所表示的数为7．
①在数 和7之间，数________所表示的点是 的好点；
②在数轴上，数________所表示的点是 的好点；
(2)如图2，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为 ，点B所表示的数为50．现有一只电子蚂蚁P从点
B出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止，运动时间为t秒；同时另一只电子蚂蚁Q从A
点的位置开始，以3个单位每秒的速度向右运动，并与P点同时停止．请求出P是 的好点时的t的
值；
(3)在（2）的条件下，当 ________时，P、A和B中恰有一个点为其余两个点的好点．（直接写出结
果）
【答案】(1)①3；② 或
(2) 或
(3) 或 或
【分析】（1）设所求数为x．①直接根据“好点”的定义列出等式，解出x即可；②分类讨论：当该点在
点 和点 之间时和当该点在点 的左侧时，再根据“好点”的定义列出等式，解出x即可；
（2）由题意可求出 ， ， ，进而得出 ， ．再分类讨论：当点P在点Q右侧时和当点P在点Q左侧时，分别求出 的长，最后根据“好点”的定义分别列出关于t的等式，
解出t即可；
（3）分类讨论：①当P为 的好点时，②当P为 的好点时，③当A为 的好点时和④当
B为 的好点时，根据“好点”的定义分别列出关于t的等式，解出t即可．
【详解】（1）设所求数为x．
①∵点 所表示的数为 ，点 所表示的数为7，且x在 和7之间，
∴由题意可得： ，
解得： ．
∴当 时其所表示的点是 的好点；
②分类讨论：当该点在点 和点 之间时，
由题意可得：
解得： ；
当该点在点 的左侧时，
由题意可得：
解得： ．
综上可知当 或 时其所表示的点是 的好点．
故答案为：3； 或 ；
（2）由题意可知： ， ， ，
∴ ， ．
分类讨论：当点P在点Q右侧时，
．
∵P是 的好点，
∴ ，即 ，
解得： ；当点P在点Q左侧时，
．
∵P是 的好点，
∴ ，即 ，
解得： ．
综上可知当点P是 的好点时t的值为 或 ；
（3）分类讨论：①当P为 的好点时，
∴ ，即 ，
解得： ；
②当P为 的好点时，
∴ ，即 ，
解得： ；
③当A为 的好点时，
∴ ，即 ，
解得： ；
④当B为 的好点时，
∴ ，即 ，
解得： ；
综上可知当 或 或 时，P、A和B中恰有一个点为其余两个点的好点．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，数轴及数轴上两点的距离、动点问题．理解新定义，由定义列出
方程是本题的关键．
26．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图①．直线 上有一点 ， 过点 在直线 上方作射线 ，将一直角三角板 （其中 ）的直角顶点放在点 处， 一条直角边 在射线 上， 另一
边OA在直线DE的上方，将直角三角形绕着点O按每秒 的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
(1)当直角三角板旋转到图②的伩置时， 射线 恰好平分 ， 此时， 与 之间的数量
关系为____________．
(2)若射线 的位置保持不变， 且 ，
①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线 ， 射线 ， 射线 中的某一条射线是另外两条射
线所夹锐角的角平分线? 若存在，请求出 的值； 若不存在， 请说明理由；
②在旋转过程中， 当边 与射线 相交时， 如图③， 请直接写出 的值____________．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据OB平分∠COE，得出∠COB=∠EOB，根据∠AOB=90°，得出∠BOC+∠AOC =90°，
∠BOE+∠AOD =90°，利用等角的余角性质得出∠AOC=∠AOD即可；
（2）①存在，根据 ，得出∠COE=180°-∠COD=180°-120°=60°，当OB平分∠COE时，直角边
在射线 上，∠EOB=∠BOC= ，列方程15°t=30°，解得t=2；当OC平分
∠EOB时，∠BOC=∠EOC=60°，∠EOB=2∠EOC=120°＞90°，∠EOB不是锐角舍去，当OE平分∠BOC时，
∠EOB=∠EOC=60°，∠BOC=2∠EOC=120°＞90°∠BOC不是锐角舍去即可；
②如图根据∠COD=120°，可得AB与OD相交时，∠BOC=∠COD-∠BOD=120°-∠BOD，∠AOD=∠AOB-
∠BOD=90°-∠BOD，代入计算即可．
（1）
解：∵OB平分∠COE，∴∠COB=∠EOB，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC+∠AOC =90°，∠BOE+∠AOD =90°，
∴∠AOC=∠AOD，
故答案为：∠AOC=∠AOD；
（2）
解：①存在，
∵ ，
∴∠COE=180°-∠COD=180°-120°=60°，
当OB平分∠COE时，直角边 在射线 上，
∠EOB=∠BOC= ，
则15°t=30°，
∴t=2；
当OC平分∠EOB时，∠BOC=∠EOC=60°，
∴∠EOB=2∠EOC=120°＞90°，
∴当OC平分∠EOB时，∠EOB不是锐角舍去，
当OE平分∠BOC时，∠EOB=∠EOC=60°，
∴∠BOC=2∠EOC=120°＞90°，
当OE平分∠BOC时，∠BOC不是锐角舍去，综上，所有满足题意的t的取值为2，
②如图∵∠COD=120°，
当AB与OD相交时，
∵∠BOC=∠COD-∠BOD=120°-∠BOD，∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-∠BOD，
∴ ，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查角平分线定义，三角板中角度计算，图形旋转，角的和差计算，熟练掌握角平分线的性
质，分类讨论的思想运用是解答的关键．
