文档内容
重难点 12 五种椭圆解题方法（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：利用椭圆定义解决三角形周长或边长问题
一、单选题
1．（2022·湖北·模拟预测）椭圆： 有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上
的一点 反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且 ，当 时，椭圆的
中心 到与椭圆切于点 的切线的距离为：（ ）
A．1 B．
C． D． 或
2．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知点P为椭圆C： 上一点，点 ， 分别为椭圆
C的左､右焦点，若 ，则 的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆 的焦点分别为 ， ，焦距为2c，过 的
直线与椭圆C交于A，B两点. ， ，若 的周长为20，则经过点的直线（ ）
A．与椭圆C可能相交 B．与椭圆C可能相切
C．与椭圆C可能相离 D．与椭圆C不可能相切
4．（2022·湖北·模拟预测）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点 ， 在y轴上，短轴长等于 ，离心
率为 ，过焦点为 作 轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的方程为 B．椭圆C的方程为
C． D． 的周长为
5．（2022·山东菏泽·二模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，直线
与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（ ）
A．若直线CA的斜率为 ，BD的斜率 ，则
B．存在唯一的实数m使得 为等腰直角三角形
C． 取值范围为
D． 周长的最大值为
6．（2022·山东德州·高三期末）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，过点 的直线
l交椭圆于A，B两点，若 的最大值为5，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的短轴长为 B．当 最大时，C．椭圆离心率为 D． 面积最大值为
三、填空题
7．（2022·广东佛山·三模）已知椭圆 ， 、 为 的左、右焦点， 是椭圆上的动点，则
内切圆半径的最大值为________．
8．（2022·陕西·长安一中三模（理））已知椭圆C: 的焦点为 ， ，第一象限点P在C上，
且 ，则 的内切圆半径为_________.
四、解答题
9．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知椭圆E： 的离心率为 ， ，
为其左、右焦点，左、右顶点分别为A，B，过 且斜率为k的直线l交椭圆E于M，N两点（异于A，
B两点），且 的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆上一点，O为坐标原点， ，求 的取值范围．
10．（2022·福建南平·三模）已知椭圆 ： ， ， 分别为椭圆 的左､右焦点，焦
距为4.过右焦点 且与坐标轴不垂直的直线 交椭圆 于M，N两点，已知 的周长为 ，点M关
于x轴的对称点为P，直线PN交x轴于点Q.(1)求椭圆 的方程；
(2)求四边形 面积的最大值.
11．（2022·天津三中二模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，其离心率 ，
过左焦点 的直线l与椭圆交于A，B两点，且 的周长为8.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图过原点的直线 与椭圆C交于E，F两点（点E在第一象限），过点E作x轴的垂线，垂足为点G，
设直线 与椭圆的另一个交点为H，连接 得到直线 ，交x轴于点M，交y轴于点N，记 、
的面积分别为 ， ，求 的最小值.
12．（2020·河南濮阳·一模（理））如图，已知椭圆 的右焦点为 ， ， 为椭圆上的两个动点，周长的最大值为8.
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）直线 经过 ，交椭圆 于点 ， ，直线 与直线 的倾斜角互补，且交椭圆 于点 ， ，
，求证：直线 与直线 的交点 在定直线上.
题型二：待定系数法求椭圆方程
一、单选题
1．（2022·河北唐山·三模）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们
垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率 与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，
已知椭圆 的面积为 ，两个焦点分别为 ，点P为椭圆C的上项点．直线
与椭圆C交于A，B两点，若 的斜率之积为 ，则椭圆C的长轴长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
2．（2022·全国·模拟预测）已知过椭圆 的左焦点 的直线与椭圆交于不同的两点 ， ，与 轴交于点 ，点 ， 是线段 的三等分点，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，点
在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为 的直线与椭圆E交于A、B两点．
若线段AB的中点坐标为 ，则椭圆E的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2022·全国·模拟预测）已知直线x＝my－1经过椭圆C： 的一个焦点F，且与C
交于不同的两点A，B，椭圆C的离心率为 ，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆C的短轴长为
B．弦 的最小值为3
C．存在实数m，使得以AB为直径的圆恰好过点
D．若 ，则
5．（2022·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，椭圆 的左､右焦点分别为F 1､
F，长轴长为 ，焦距为2c，点P在椭圆C上且满足|OP|=|OF|=|OF|=c，直线PF 与椭圆C交于另一个
2 1 2 2点Q，若 ，点M在圆 上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的焦距为2 B．三角形MF F 面积的最大值为
1 2
C． D．圆G在椭圆C的内部
6．（2021·重庆·高三阶段练习）某文物考察队在挖掘时，挖出了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明
蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面（如图）由半椭圆 ： 与半椭圆
： 组成，其中 ， ，设点 ， ， 是相应椭圆的焦点， ，
和 ， 是轴截面与 ， 轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，其以曲线 为边界， ， 在宝
珠珠面上，若 ，则以下命题中正确的是（ ）
A．椭圆 的离心率是 B．椭圆 上的点到点 的距离的最小值为
C．椭圆 的焦距为4 D．椭圆 的长短轴之比大于椭圆 的长短轴之比
三、解答题
7．（2022·天津和平·三模）已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆过点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；(2)过右焦点 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的垂直平分线交直线 于点 ，交直线 于点
，求 的最小值．
8．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））已知椭圆 的焦距为 ，且过点
．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 分别为椭圆 的右顶点和上顶点，点 是椭圆 上在第一象限的任意一点，直线 与 轴交于
点 ，直线 与 轴交于点 ， 与 的面积分别为 ，求 的取值范围．
9．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知 是椭圆 的左､
右焦点， 是 的上顶点. 到直线 的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)设直线 与 轴的交点为 ，过 的两条直线 都不垂直于 轴， 与 交于点 与 交于点 ，直线 与 分别交于 两点，求证： .
10．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知椭圆C： 的左右顶点分别为A，B，坐标原点O与
A点关于直线l： 对称，l与椭圆第二象限的交点为C，且 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过A，O两点的圆Q与l交于M，N两点，直线BM，BN分别交椭圆C于异于B的E，F两点.求证：直
线EF恒过定点.
题型三：直接法解决离心率问题
一、单选题
1．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知 是椭圆 的左､右焦点，点 是椭圆上的一个动点，若 的内切圆半径的最大值是 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器内装有体积为 的液
体，当容器倾斜且其中液体体积不变时，液面与容器壁的截口曲线是椭圆，则该椭圆离心率的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·全国·模拟预测）椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点P在椭圆C上，若方程
所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说
法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B． 的最大值为4
C． 的面积可能为2 D． 的最小值为
三、填空题
4．（2022·浙江温州·三模）如图，椭圆 和 在相同的焦点 ， ，
离心率分别为 ，B为椭圆 的上顶点， ，且垂足P在椭圆 上，则 的最大值是
___________.5．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））如图， ， 是椭圆 与双曲线 的公共焦
点， ， 分别是 ， 在第二、四象限的公共点，若 ，且 ，则 与 的离心率
之积为_____.
四、解答题
6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，斜率为 且过点
的直线 与 轴交于点
(1)证明：直线 与椭圆相切
(2)记在（1）中的切点为 ，过点 且与 垂直的直线交 轴于点 ，记 的面积为 的面积为
，若 ，求椭圆的离心率7．（2022·安徽安庆·二模（理））已知曲线 ，其离心率为 ，焦点在x轴上.
(1)求t的值；
(2)若C与y轴交于A，B两点（点A位于点B的上方），直线y＝kx＋m与C交于不同的两点M，N，直线
y＝n与直线BM交于点G，求证：当mn＝4时，A，G，N三点共线.
题型四：构造齐次方程法求离心率的值或范围
一、单选题
1．（2022·广东·模拟预测）已知 ， 分别为椭圆 的两个焦点，P是椭圆E上的
点， ，且 ，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ，过C的左焦点
作一条直线与椭圆相交于A，B两点，若 且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·模拟预测）过椭圆 的左、右焦点 ， 作倾斜角分别为 和 的两条直线 ， ．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江西·模拟预测（文））如图，椭圆 的左、右焦点分别为 ，两平行
直线 分别过 交M于A，B，C，D四点，且 ，则M的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·辽宁·育明高中一模）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离
心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点
A和短轴一端点 分别向内层椭圆引切线 ， ，且两切线斜率之积等于 ，则椭圆的离心率为（
）
A． B． C． D．二、填空题
6．（2022·河南焦作·三模（文））已知椭圆 的右焦点为F，直线 与C交于
A，B两点，若以 为直径的圆经过点F，则C的离心率为___________.
7．（2022·广东汕头·三模）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆E： 上，若正方形
ABCD的一条边经过椭圆E的焦点F，则E的离心率是__________．
8．（2022·江西·模拟预测（理））如图，椭圆M： 的左、右焦点分别为 ， ，两
平行直线 ， 分别过 ， 交M于A，B、C，D四点，且 ， ，则M的离心率为
___．
三、解答题
9．（2022·辽宁·沈阳二中二模）已知椭圆 的左、右焦点为 ，P为椭圆上一点，
且 ， ．
(1)求椭圆 的离心率 ；
(2)已知直线 交椭圆 于 两点，且线段 的中点为 ，若椭圆 上存在点 ，满足
，试求椭圆 的方程．10．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C： ， ， 分别为C的左､右焦点，过
作直线l与C交于A，B两点，满足 ，且 .设e为C的离心率.
(1)求 ；
(2)若 ，且 ，过点P（4，1）的直线 与C交于E，F两点， 上存在一点T使 .
求 的轨迹方程.
11．（2022·全国·高三专题练习）F、F 是椭圆 的左、右焦点，过点F 作直线
1 2 2
交椭圆于 两点， 现将椭圆所在平面沿直线 折成平面角为锐角 的二面角， 翻折后
两点的对应点分别为 ， ，且 ，
（1）求椭圆 的离心率；
（2）设直线 与椭圆 在第一象限的交点为 ， 为椭圆 的上顶点，且直线 与直线 交
于点 ，若 ，求 的值．题型五：利用自变量范围求离心率范围
一、单选题
1．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知椭圆 的上焦点为 ，过原点
的直线 交 于点 ，且 ，若 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（理））已知两定点 和 ，动点 在直线
上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左右焦点为 ，若椭圆 上恰好有
6个不同的点，使得 为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．二、多选题
4．（2022·江苏南通·高三期末）已知椭圆 的焦点为 、 ，点 在椭圆 的内
部，点 在椭圆 上，则（ ）
A． B．椭圆 的离心率的取值范围为
C．存在点 使得 D．
三、填空题
5．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆 的右焦点为F，P､Q是椭圆上关于原点对称
的两点，M､N分别是PF､QF的中点，若以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率e的范围是
___________.
6．（2022·浙江·高三专题练习）已知F是椭圆 的一个焦点，若直线 与椭圆相交
于A，B两点，且 ，记椭圆的离心率为e，则 的取值范围是___________.
7．（2021·全国·模拟预测）已知椭圆C： 的左，右焦点分别为 ， ，长轴长为4，
点 在椭圆内部，则椭圆C的离心率的取值范围是______.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，过原点的直线
与C交于A，B两点(A在第一象限)，若 ，且 ，则椭圆离心率的取值
范围是___________.
四、解答题9．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： （ ）的左、右两焦点分别为 ， ，短
轴的一个端点为 ，直线 ： 交椭圆 于 ， 两点， ．
(1)若椭圆的离心率为 ，求椭圆的方程；
(2)若点 到直线 的距离不小于 ，求椭圆的离心率的取值范围．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： （ ）的长半轴长为 ．
(1)若椭圆 经过点 ，求椭圆 的方程；
(2) 为椭圆 的右顶点， ，椭圆 上存在点 ，使得 ．求椭圆 的离心率的取值范围．
