文档内容
清单 07 相似（11 个考点梳理+题型解读+核心素养
提升+中考聚焦）
【知识导图】
【知识清单】
知识点一、图形的相似的概念
形状相同的图形叫做相似图形。
1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；
2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；
3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。
【例1】（2022·辽宁铁岭·九年级期末）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个正方形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个平行四边形
【答案】A
【分析】根据相似图形的概念逐项进行判断即可．
【详解】解：A、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意；
B、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意，
C、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；
D、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题
意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是
解题的关键．
知识点二、成比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
1）若四条线段 、 、 、 成比例，则记作 或 。注意：四条线段的位置不能随意颠
倒。2）四条线段 、 、 、 的单位应一致（有时为了计算方便， 、 的单位一致， 、 的单位一致也
可以）
3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和
第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。
4）比例的重要性质：
基本性质：若 ，则 ；反之，也成立。 和比性质：若 ，则 ；
更比性质：若 ，则 ； 反比性质：若 ，则 ；
等比性质：若 ，则 。
5）拓展：比例式中， 或 中， 、 叫外项， 、 叫内项， 、 叫前项， 、
叫后项，如果 ，那么 叫做 、 的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
【例2】（2022·黑龙江·肇源县第二中学九年级期末）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ）
A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm
C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm
【答案】C
【分析】根据成比例线段的定义，逐项分析判断即可，成比例线段，如果两条线段的比值与另两条线段的
比值相等，即 ，则 为成比例线段．
【详解】A、∵ ，∴4cm，5cm，6cm，7cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
B、∵ ，∴3cm，4cm，5cm，8cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
C、∵ ，∴5cm，15cm，3cm，9cm是成比例线段，故该选项符合题意；
D、∵ ，∴8cm，4cm，1cm，3cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，理解成比例线段的定义是解题的关键．
知识点三、平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。
【例3】（2022·河北保定师范附属学校九年级期末）如图，AB∥CD∥EF，若 ，BD＝5，则DF＝（ ）
A．5 B．10 C．15 D．2.5
【答案】B
【分析】根据AB∥CD∥EF，可知 ，将DF的长度代入即可．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ ，
∵BD＝5，
∴ ，
解得：DF=10，
故选：B．
【点睛】本题考查由平行截线求相关线段的长或比值，能够熟练求出相关线段的长或比值是解决本题的关
键．
【变式】（2022·黑龙江·肇源县第二中学九年级期末）如图， 是 的中线，点 在 上，
，连接 并延长交 于点 ，则 ： 的值是（ ）
A． ： B． ： C． ： D． ：
【答案】A
【分析】过点D作 与BF交于点G，于是FC=2DG，AF=3DG，∴AF:FC=3DG:2DG=3:2
【详解】过点D作 与BF交于点G，如图：是 的中线
即
即
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟悉概念是解题关键．
知识点四、相似多边形的性质与判定
（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。
（3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。
【例4】（2022·四川宜宾·九年级期末）如图，四边形 四边形 ， ， ，
，则∠D的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】C【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可．
【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形 ， ，
∴ ．
∵四边形ABCD的内角和为 ， ， ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等．
【变式】（2022·福建三明·九年级期末）两个相似多边形的周长比是2∶3，其中较小多边形的面积为
12cm2，则较大多边形的面积为_____cm2
【答案】27
【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形面积的比等于相似比，即
可求出较大多边形的面积．
【详解】∵
∴相似比为：
∴
∴
∴大多边型的面积为：27cm2
故答案为：27．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．
【变式2】（2022·陕西·西安辅轮中学九年级期末）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很
多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形
ABCD内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝________．【答案】
【分析】先根据黄金矩形求出AB，再利用正方形的性质求出AF，然后进行计算即可解答．
【详解】解：∵矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABEF是正方形，
∴AB=AF= ，
∴DF=AD-AF= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了黄金分割，相似多边形的性质，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握黄金分割是解
题的关键．
【变式3】（2022·江西吉安·九年级期末）如图，矩形OBCD的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，
反比例函数 的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形CEAF，我们约定这个矩形
CEAF为反比例函数 的“相伴矩形”．已知点C的坐标为 ，BE＝2．
(1)求点F的坐标；
(2)求证：“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似．
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】（1）由题意知 ， ，则 有相同的纵坐标， 有相同的横坐标，有
，待定系数法求反比例函数解析式为 ， 代入 中得 ，进而可得 点坐标；
（2）求出 的长，计算可得 ，进而结论得证．
（1）
解：由题意知 ，
∴ 有相同的纵坐标， 有相同的横坐标
∴
将 代入 中，解得
∴反比例函数解析式为
将 代入 中得
∴ ．
（2）
证明：由题意得 ，
∵ ，
∴
∴“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数与几何综合，相似多边形．解题的关键在于求出反比例函数
解析式．
知识点五、相似三角形的相关概念
1）、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。
三角形相似具有传递性。
2）、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。
3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。
若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。
【例5】下列说法一定正确的是（ ）
（A）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似
（B）对应角相等的两个三角形不一定相似
（C）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
（D）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似
【答案】C
【解析】根据判定定理2可知A错误，C正确；根据判定定理1可知B错误，根据相似三 角形预备定理
可知只有直线与底边平行时才相似．
【总结】考查相似三角形的判定定理掌握情况和相关条件．
知识点六、相似三角形的判定
判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证
明）。
【例6】（2022·河南·测试·编辑教研五九年级期末）如图，若 ， ， 与 交于
点 ，且 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图（见解析）所示，延长 到 ，使 ，连结 ，则 ，根据等腰三角形的性
质和三角形外角性质，可得 ，由于 ，则 ，于是可证明
，然后利用相似三角形的相似比即可算出 的值．
【详解】解：如图所示，延长 到 ，使 ，连结
又∵ ，
∴
∴
∵ ，∴
又∵ ，
∴
∴
即
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是构建 与
相似．
【变式】如图，四边形 中， ， ，E为 的中点．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，连结DE交AC于点F，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由 ，得到 ，由直角三角形斜边上中线性质得到 ，
则 ，得到 ，又由 即可得到结论；（2）由 ，得到 ，求得 ，得到 ，由 ，得到
，进一步即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵E为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上中线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
知识点七、相似三角形的性质
1、对应角相等，对应边的比相等；
2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相
似多边形的面积比等于相似比的平方。）
【例7】（2022·广西百色·九年级期末）如下图所示，在 ABC中，点D在线段AC上，且
ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是( ) △
△
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．
【详解】解：∵△ABC∽△ADB，
∴ ，
∴AB2=AC•AD．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应顶点的字母放在对应位置上并准确确定出对应边是
解题的关键．
【变式1】（2022·黑龙江·肇源县第二中学九年级期末）如图，在矩形 中，点 、 分别在边 、
上， ∽ ， ， ， ，求 的长．【答案】
【分析】由 ∽ ， ， ， ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DF
的长，然后利用勾股定理，求EF的长．
【详解】解：∵△ABE∽△DEF，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴EF＝ ．
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质、矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】如图，在 的方格纸中，每个小正方形边长都是 ， 是格点三角形（顶点在方格顶点
处）．
(1)在图1中画格点 ，使 与 相似，相似比为 ．
(2)在图2中画格点 ，使 与 相似，面积比为 ．（注：图 、图 在答题纸上．）
【分析】（1）根据 ，相似比为 ，得 ，即 的各边长扩大两
倍；（2）根据 ，面积比为 ，则相似比为： ，得 ，即
的各边长扩大 倍．
【详解】（1）画法不唯一，如下图1：
由题意得， ， ， ，
∵ ，相似比为 ，
∴ ，
∴ 的各边长扩大两倍，
∴ ， ， ．
（2）画法不唯一，如图2：
由（1）得： ， ， ，
∴ ，面积比为 ，
∴相似比为： ，
∴ ，
∴ 的各边长扩大 倍，∴ ， ， ．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相
似比的平方．
知识点八、利用相似三角形测高
1）、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。
2）、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必
须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。
【例8】如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条
直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．
【答案与解析】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，
∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，∴ = ，
∴ = ，
解得：CH=3.78米，
∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米．
答：故树高DC为5.2米．
【总结升华】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．
知识点九、位似的概念及性质
1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位
似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。
相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位
似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。
2）相似图形与位似图形的区别与联系：
区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；
②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。
联系：位似图形是特殊的相似图形。
3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。
4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。
【例9】（2022·浙江·诸暨市浣纱初级中学九年级期末）如图， 与 位似，点O为位似中心．已
知 ，则 与 的面积比为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】先求出相似比，然后根据面积比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 与 的相似比为 ，
∴ 与 的面积比为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题
的关键．
知识点十、利用位似变换作图（放大或缩小图形）
利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小
于1，则通过位似变换把原图形缩小。
画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延
长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。
【例10】如图， 三个顶点的坐标分别为 ，以原点O为位似中心，将 放
大为原来的2倍得 .
(1)在图中第一象限内画出符合要求的 （不要求写画法）
(2)计算 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）利用位似图形的性质，结合对应点坐标同乘以2，进而得出答案；
（2）利用经过点 的矩形的面积减去3个直角三角形的面积即可求得 的面积．
【详解】（1）解： 三个顶点的坐标分别为 ，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍得 ，
，顺次连接，
∴
如图所示： 即为所求；
（2） 的面积为： ．
【点睛】本题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出对应点坐标是解题关键．
【变式1】（2022·山西朔州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中， 与 是位似图形，则
位似中心是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找位似图形的位似中心直接连接位似图形的对应点并延长，延长线的交点即所找位似中心，写出
坐标即可．
【详解】作图如下：延长线的交点为(7,0)，位似中心即为(7,0)．
故选：B．
【点睛】本题考查了找位似图形的位似中心，理解位似中心的定义做出图像是做出本题的关键．
【变式2】（2022·山西晋中·九年级期末）如图所示，小华在学习《图形的位似》时，利用几何画板软件，
在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△ABC ．
1 1 1
(1)在图中标出△ABC与△ABC 的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标 ；
1 1 1
(2)若以点O为位似中心，请你帮小华在图中给定的网格内画出△ABC 的位似图形△ABC ，且△ABC
1 1 1 2 2 2 1 1 1
与△ABC 的位似比为2：1（只画一种类型）．
2 2 2
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析【分析】（1）连接 ，交于点 ，再利用待定系数法分别求出直线 的解析式，然后联立两
个解析式，解方程组即可得点 的坐标；
（2）画 在 轴左侧的情况，先根据位似比求出点 的坐标，再描点、连接起来即可得．
【详解】（1）解：如图，连接 ，交点 即为所求，
由图可知， ， ，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 ，则点 的坐标为 ，
故答案为： ．
（2）解：画 在 轴左侧的情况，
与 的位似比为 ，且 ，
，即 ，
则画出 如图所示：
【点睛】本题考查了画位似图形、一次函数，熟练掌握位似图形的画法和性质是解题关键．
知识点十一、图形的变换与坐标
1）、平移：（1）图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横
坐标应相应地加n个单位，反之则减；（2）图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵
坐标上加、下减。
2）、轴对称:（1）图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）图
形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。
3）、以原点为位似中心的位似变换
在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比
等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为
m,n km,kn km,kn
，则其位似图形对应点的坐标为 或 。
【例11】已知点 ， ，以原点O为位似中心，把线段 缩短为原来的 ，点D与点B对应．
则点D的坐标为（ ）A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解： 以原点 为位似中心，把线段 缩短为原来的 ，点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，或 ．即 或 ．
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似
比为 ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 ．
【变式】已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）
（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△ABC ，点C 的坐标是 ；
1 1 1 1
(2)以点B为位似中心，在网格内画出△ABC ，使△ABC 与△ABC位似，且位似比为2：1；
2 2 2 2 2 2
(3)四边形AAC C的面积是 平方单位．
2 2
【答案】(1)（2，﹣2）
(2)见解析
(3)7.5
【分析】（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△ABC ，如图所示，找出所求点坐标即可；
1 1 1
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△ABC ，使△ABC 与△ABC位似，且位似比为2：1，找出所求
2 2 2 2 2 2
点坐标即可；
（3）根据四边形的面积等于两个三角形面积之和解答即可．
（1）
如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△ABC ，
1 1 1
点C 的坐标是（2，﹣2）；
1（2）
如图所示，以B为位似中心，使△ABC 与△ABC位似，且位似比为2：1，
2 2 2
∴ ，根据 画出点 ，
∴ ，根据 画出点 ，
点 与点 重合，
连接 、 、 ，即可得到△ABC
2 2 2；
（3）
四边形AAC C的面积是＝
2 2
故答案为：7.5
【点睛】本题主要考查了利用平移变换和位似变换进行作图，解决问题的关键是掌握：平移图形时，要先
找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得
到平移后的图形．
【核心素养提升】
1. 数学建模-构建相似三角形模型解决实际问题
1．（2022·江西吉安·九年级期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，
它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的
长度为 _____．【答案】3.2m
【分析】连接AC，过点M作MF⊥PQ，根据同一时刻物体影子与实际高度成比例得 ，进行计
算即可得PF的长度，即可得．
【详解】解：如图所示，连接AC，过点M作MF⊥PQ，
∵PQ⊥QN，MN⊥QN，
∴四边形FQNM是矩形，
∴FQ=MN=0.8，
∵同一时刻物体影子与实际高度成比例，
∴ ，
∴ ，
∴PF=2.4，
∴PQ=PF+FQ=2.4+0.8=3.2（m），
故答案为：3.2m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从
实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．
2.逻辑推理-利用相似三角形的判定和性质进行推理
2．（2022·福建三明·九年级期末）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角
线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；
②△ACF∽△ADG；
③ ；
④DG⊥AC．
其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】根据正方形的性质可知 ，有对顶角相等，可证∠EAB＝∠BFE，由
可证∠EAB＝∠DAG，可判断结论①正确；由 ， ，两
边对应成比例且夹角相等即可得△ACF∽△ADG，可判断结论②正确；由结论②可知 ，
可得DG平分 ，由正方形可知 是等腰直角三角形，可推出DG⊥AC，结论④正确；利用两组
角对应相等的两个三角形相似可得△ACF∽△AFH，根据相似的性质可得 ，则 ，
又有 ，则结论③错误．
【详解】解：设AB与EF相交于点O，如图所示，
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴ ， ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故结论①正确；
∵AC、AF是正方形ABCD和正方形AEFG的对角线，
∴ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
即 ．
∴△ACF∽△ADG．
故结论②正确；
由△ACF∽△ADG可知 ，
∴DG平分 ．
∵ 是等腰直角三角形，
∴DG⊥AC．
故结论④正确；
∵ ， ，
∴△ACF∽△AFH，
∴ ，
∴ ．
∵在等腰直角 中， ，
∴ ，
故结论③错误，
∴正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理证明三角形相似是解题的关键．
3.分类讨论思想
3．（2022·河南南阳·九年级期末）在 中， ，过点B作射线 ．
动点D从点A出发沿射线 方向以每秒3个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线 方向以每秒2
个单位的速度运动．过点E作 交射线 于F，G是 中点，连接 ．设点D运动的时间为
t，当 与 相似且点D位于点E左侧时，t的值为_____________．
【答案】3或
【分析】若 与 相似，分情况讨论，则 或 ，由相似三角形的性质可求解．
【详解】解：如下图：
， 是 的中点，
．
点D位于点E左侧时，即 ，
，
解得： ，
，
若 与 相似，则 或 ，
或 ，
或
故答案为：3或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题．
4.方程的思想4．（2022·广西梧州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从
点O开始沿OA向点A以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO向点O以1厘米/秒的速度移动．当
一点运动到终点时，另一点也随之停止．如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0＜t＜6)，求当
POQ与 AOB相似时t的值．
【答案】4或2
【分析】分△POQ∽△AOB和△POQ∽△BOA两种情况，利用相似三角形的性质分类求解即可．
【详解】解: 由题意，OP=t，OQ=6-t，
有两种情况：
①若△POQ∽△AOB，则有
即 ，
解得 t＝4．
②若△POQ∽△BOA，则有
即 ，
解得 t＝2．
∴ 当t＝4或t＝2时，△POQ与△AOB相似．
【点睛】本题考查相似三角形的性质、解一元一次方程，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解答的关
键．
5．（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D为射线AB上一
动点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．
（1）当点D在边AB上时，
①求证：∠AFC＝45°；
②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；
（2）联结CE、BE，如果S△ACE ＝12，求S△ABE 的值．【分析】（1）①如图1，连接CE，根据轴对称的性质可得：EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，设∠ECF＝
∠BCF＝ ，则∠BCE＝2 ，∠ACE＝90°﹣2 ，再利用等腰三角形性质即可证得结论；
②如图2α，连接BE，CEα，由△EBG∽△BDαC，可得出∠G＝∠BCD＝22.5°，过点D作DH⊥AB交BC
于点H，则△BDH是等腰直角三角形，推出CH＝DH＝BD，再根据CH+BH＝BC＝5，建立方程求解即
可；
（2）分两种情况：Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定
理、三角形面积建立方程求解即可；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点
M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可．
【解答】解：（1）①证明：如图1，连接CE，
∵点B关于直线CD的对称点为点E，
∴EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，
设∠ECF＝∠BCF＝ ，
则∠BCE＝2 ， α
∴∠ACE＝9α0°﹣2 ，
∵AC＝BC， α
∴AC＝EC，
∴∠AEC＝∠EAC＝ [180°﹣（90°﹣2 ）]＝45°+ ，
∵∠AEC＝∠AFC+∠ECF＝∠AFC+ ，α α
∴∠AFC＝45°； α
②如图2，连接BE，CE，
∵B、E关于直线CF对称，
∴CF垂直平分BE，
由（1）知：∠AFC＝45°，
∴∠BEF＝45°，∵△EBG与△BDC相似，∠BEG＝∠DBC＝45°，
∵∠EBG与∠BDC均为钝角，
∴△EBG∽△BDC，
∴∠G＝∠BCD＝∠BAG，
∵∠G+∠BAG＝∠ABC＝45°，
∴∠G＝∠BCD＝22.5°，
过点D作DH⊥AB交BC于点H，
则△BDH是等腰直角三角形，
∴DH＝BD，BH＝ BD，∠BHD＝45°，
∵∠CDH＝∠BHD﹣∠BCD＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠BCD，
∴CH＝DH＝BD，
∵CH+BH＝BC＝5，
∴BD+ BD＝5，
∴BD＝ ＝5 ﹣5，
∴线段BD的长为5 ﹣5；
（2）Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，
∵AC＝EC＝BC＝5，
∴AM＝EM＝ AE，
∴①AM2+CM2＝AC2＝25，
∵S△ACE ＝ AE•CM＝12，
∴②AM•CM＝12，
①+②×2，得：（AM+CM）2＝49③，
①﹣②×2，得：（AM﹣CM）2＝49③，
∵CM＞AM＞0，
∴AM＝3，CM＝4，
∴AE＝6，
由（1）知：∠AFC＝45°，BE⊥CF，
∴∠BEF＝45°，∵∠AFC＝∠ABC＝45°，
∴A、C、B、F四点共圆，
∴∠AFB+∠ACB＝180°，
∴∠AFB＝90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF＝BF，
设EF＝BF＝x，则AE＝x+6，
在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，
∴（x+6）2+x2＝50，
解得：x＝1或x＝﹣7（舍去），
∴BF＝1，
∴S△ABE ＝ AE•BF＝ ×6×1＝3；
Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，
由（1）知：∠AFC＝45°，CF垂直平分BE，
∴∠BEF＝45°，BF＝EF，
∴∠EBF＝∠BEF＝45°，
∴∠BFE＝90°，
∵AC＝EC＝BC＝5，
∴AM＝EM＝ AE，
与Ⅰ同理可得：AM＝EM＝4，CM＝3，AE＝8，
设BF＝EF＝y，则AF＝8﹣y，
在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，
∴（8﹣y）2+y2＝50，
解得：y＝1或y＝7（舍去），
∴BF＝1，
∴S△ABE ＝ AE•BF＝ ×8×1＝4；
综上，S△ABE 的值为3或4．【点评】本题考查了三角形面积，等腰直角三角形性质和判定，相似三角形的判定和性质，轴对称变换
的性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．【中考热点聚焦】
热点1.相似三角形的性质
1．（2023•重庆）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，求解即可．
【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，
∴这两个三角形对应边的比为1：4，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
2．（2023•怀化）在平面直角坐标系中，△AOB为等边三角形，点A的坐标为（1，0）．把△A0B按如图
所示的方式放置，并将△AOB进行变换：第一次变换将△AOB绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩
大为△AOB边长的2倍，得到△A OB ；第二次旋转将△A OB 绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩
1 1 1 1
大为△A OB 边长的2倍，得到△A OB ，…．依次类推，得到△A OB ，则△A OB 的边长为
1 1 2 2 2023 2023 2023 2023
2 2023 ，点A 的坐标为 （ 2 202 2 ，﹣ 2 202 2 ） ．
2023
【分析】利用等边三角形的性质，探究规律后，利用规律解决问题．
【解答】解：由题意OA＝1＝20，OA ＝2＝21，OA ＝4＝22，OA ＝8＝23，…OA ＝2n，
1 2 3 n
∴△A OB 的边长为22023，
2023 2023
∵2023÷6＝337…1，
∴A 与A 都在第四象限，坐标为（22022，﹣22022• ）．
2023 1
故答案为：22023，（22022，﹣22022 ）．
【点评】本题考查相似三角形的性质，规律型—点的坐标等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
热点2.相似三角形的判定和性质的综合应用
3．（2023•雅安）如图，在 ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于
点G，EF＝1，EC＝3，则▱GF的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据平行四边形的性质得出 AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，于是推出△DEF∽△BEC，
△DFC∽△AFG，先求出DF与BC的比值，继而得出DF与AF的比值，再根据相似三角形对应边成比
例即可求出GF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴ ，
∵EF＝1，EC＝3，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵AB∥CD，
∴△DFC∽△AFG，
∴ ，
∵EF＝1，EC＝3，
∴CF＝4，∴ ，
∴GF＝8，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质是解题的
关键．
4．（2023•哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若
DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】由AB∥DC易得△CDO∽△ABO，根据相似三角形的性质可得 ＝ ，于是AC＝OA+OC＝
OA+ OA＝12，求出OA＝8，易得MN为△AOB的中位线，则MN＝ OA．
【解答】解：∵AB∥DC，
∴△CDO∽△ABO，
∴ ，
∵DO：OB＝1：2，
∴ ＝ ，
∴OC＝ OA，
∵AC＝OA+OC＝12，
∴OA+ OA＝12，
∴OA＝8，
∵MN∥AC，M是AB的中点，
∴MN为△AOB的中位线，
∴MN＝ OA＝ ＝4．故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟记“8”字模型相似三角形，
以及三角形中位线定理是解题关键．
5．（2023•东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝
4DC，DE＝2.4，则AD的长为（ ）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
【分析】先证∠CAD＝∠BDE，再根据∠B＝∠C＝60°，得出△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质
即可求出AD的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠CAD+∠ADC＝120°，
∵∠ADE＝60°．
∴∠BDE+∠ADC＝120°，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴ ，
∵BD＝4DC，
∴设DC＝x，
则BD＝4x，
∴BC＝AC＝5x，
∴ ，
∴AD＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．
6．（2023•东营）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分
∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足
为N，连接PM．有下列四个结论：
①AE垂直平分DM；
②PM+PN的最小值为3 ；
③CF2＝GE•AE；
④S△ADM ＝6 ．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③
【分析】①先根据正方形的性质证得△ADE和△DCF全等，再利用ASA证得△AGM和△AGD全等，
即可得出AE垂直平分DM；
②连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，根据题意当点P与点H重合时，PM+PN的值最
小，即PM+PN的最小值是DO的长，根据正方形的性质求出BD的长，从而得出 ，即PM+PN
的最小值 ；
③先证△DGE∽△ADE，再根据相似三角形的性质及CF＝DE，即可判断；
④先求出AM的长，再根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，
∵BF＝CE，
∴BC﹣BF＝DC﹣CE，
即CF＝DE，在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠DAE+∠ADG＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴∠AGM＝90°，
∴∠AGM＝∠AGD，
∵AE平分∠CAD，
∴∠MAG＝∠DAG，
又AG为公共边，
∴△AGM≌△AGD（ASA），
∴GM＝GD，
又∵∠AGM＝∠AGD＝90°，
∴AE垂直平分DM，
故①正确；
②如图，连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
即DO⊥AM，
∵AE垂直平分DM，
∴HM＝HD，
当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，此时PM+PN＝HM+HO＝HD+HO＝DO，即PM+PN的最小
值是DO的长，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC＝BD＝ ，
∴ ，
即PM+PN的最小值为 ，故②错误；
③∵AE垂直平分DM，
∴∠DGE＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DGE＝∠ADE，
又∵∠DEG＝∠AED，
∴△DGE∽△ADE，
∴ ，
即DE2＝GE•AE，
由①知CF＝DE，
∴CF2＝GE•AE，
故③正确；
④∵AE垂直平分DM，
∴AM＝AD＝4，
又 ，
∴ ，
故④错误；
综上，正确的是：①③，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平
分线的判定与性质，最短路径问题等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
7．（2023•恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，，BF＝8，则DE的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
【分析】由 DE∥BC，EF∥AC，得四边形 EFCD 是平行四边形，DE＝CF，设 DE＝CF＝x，由
△AED∽△ABC， ＝ 可得 ＝ ，即可解得答案．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE＝CF，
设DE＝CF＝x，
∵BF＝8，
∴BC＝BF+CF＝8+x，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得x＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及平行四边形的判定与性质，解题的关键是利用相似三
角形对应边成比例，列出方程解决问题．
8．（2023•内江）如图，在△ABC 中，点 D、E 为边 AB 的三等分点，点 F、G 在边 BC 上，
AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（ ）A．1 B． C．2 D．3
【分析】首先根据点D、E为边AB的三等分点得AB＝3BE，AE＝2AD，再根据EF∥AC得△BEF和
△BAC相似，从而可求出EF＝4，然后根据DG∥EF得△ADH和△AEF相似，进而可求出DH的长．
【解答】解：∵点D、E为边AB的三等分点，
∴AD＝DE＝EB，
∴AB＝3BE，AE＝2AD，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC＝BE：AB，
∵AC＝12，AB＝3BE，
∴EF：12＝BE：3BE，
∴EF＝4，
∵DG∥EF，
∴△ADH∽△AEF，
∴DH：EF＝AD：AE，
∵EF＝4，AE＝2AD，
∴DH：4＝AD：2AD，
∴DH＝2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解平行于三角形一边的直线截
其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，相似三角形的对应边成比例．
9．（2023•邵阳）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝
6，DE＝4．
（1）证明：△ABC∽△DEB．
（2）求线段BD的长．【分析】（1）利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE，可证明结论；
（2）根据相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，
∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，
∴∠C+∠CBA＝90°，∠CBA+∠DBE＝90°，
∴∠C＝∠DBE，
∴△ABC∽△DEB；
（2）解：∵△ABC∽△DEB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BD＝3．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE是解决问题的
关键．
10．（2023•云南）如图，BC是 O的直径，A是 O上异于B、C的点． O外的点E在射线CB上，直
线EA与CD垂直，垂足为D，⊙且DA•AC＝DC•A⊙B．设△ABE的面积为S⊙，△ACD的面积为S ．
1 2
（1）判断直线EA与 O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC＝BE，S
2
＝⊙mS
1
，求常数m的值．
【分析】（1）通过证明△ABC∽△DAC，可得∠ACB＝∠ACD，可证OA⊥DE，即可求解；
（2）设BO＝OC＝OA＝a，则BC＝2a，由相似三角形的性质可求CD的长，即可求解．
【解答】解：（1）AE与 O相切，理由如下：
如图，连接OA， ⊙
∵DA•AC＝DC•AB，
∴ ，
∵BC是 O的直径，
∴∠BAC⊙＝90°＝∠ADC，
∴△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠ACD，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACB＝∠ACD，
∴OA∥CD，
∴∠OAE＝∠CDE＝90°，
∴OA⊥DE，
又∵OA为半径，
∴AE与 O相切；
（2）如⊙图，∵OA∥CD，
∴△AOE∽△DCE，
∴ ，
设BO＝OC＝OA＝a，则BC＝2a，
∵BC＝BE＝2a，
∴S△ABE ＝S△ABC ，EO＝3a，EC＝4a，
∴ ，
∴CD＝ a，
∵△ABC∽△DAC，
∴ ，
∴AC2＝BC•CD＝ a2，
∵△ABC∽△DAC，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴S ＝ S ，
2 1
∴m＝ ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质
解决问题是解题的关键．
11．（2023•苏州）如图，△ABC是 O的内接三角形，AB是 O的直径，AC＝ ，BC＝2 ，点F在
⊙ ⊙
AB上，连接CF并延长，交 O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△DBE∽△ABC⊙；
（2）若AF＝2，求ED的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得∠BDE＝∠BAC，进而可以证明结论；
（2）过点C作CG⊥AB，垂足为G，证明△DBE∽△ABC，得 ＝ ，代入值即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∵ 所对的圆周角为∠BDE和∠BAC，
∴∠BDE＝∠BAC，
∴△DBE∽△ABC；
（2）解：如图，过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵∠ACB＝90°，AC＝ ，BC＝2 ，∴AB＝ ＝5，
∵CG⊥AB，
∴AG＝ACcosA＝ × ＝1，
∵AF＝2，
∴FG＝AG＝1，
∴AC＝FC，
∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，
∴BD＝BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3，
∵△DBE∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ED＝ ．
【点评】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，解决本
题的关键是得到△DBE∽△ABC．
热点3.应用相似三角形知识解决实际问题
12．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然
后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的
眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗
杆高度为（ ）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
【分析】根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：如图：
∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△EDC，
∴ ，
即 ，
∴DE＝8（m），
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角
形对应边成比例即可解答．
13．（2023•镇江）如图，用一个卡钳（AD＝BC， ＝ ＝ ）测量某个零件的内孔直径AB，量得CD
长度为6cm，则AB等于 1 8 cm．【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长．
【解答】解：∵ ＝ ＝ ，∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴AB：CD＝3，
∵CD＝6cm，
∴AB＝6×3＝18（cm），
故答案为：18．
【点评】本题考查相似三角形的应用，求出AB的值是解答本题的关键．
14．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的
高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点
A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶
B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 18. 2 米．
【分析】过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H，根据题意可得：FH⊥AB，AH＝CG＝
EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，从而可得∠DGF＝∠BHF＝90°，DG＝5.6米，然后证
明A字模型相似三角形△FDG∽△FBH，从而利用相似三角形的性质求出BH的长，最后利用线段的和
差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H，
由题意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，
∴∠DGF＝∠BHF＝90°，∵CD＝7米，
∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），
∵∠DFG＝∠BFH，
∴△FDG∽△FBH，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BH＝16.8，
∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），
∴塔的高度为18.2米，
故答案为：18.2．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．
15．（2023•娄底）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都
是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入
的研究，延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星，如图，正五边形 ABCDE的
边BA、DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M．
（1）求证：AE2＝EF•EM；
（2）若AF＝1，求AE的长；
（3）求 的值．
【分析】（1）根据正五边形的性质可得∠BAE＝∠AED＝108°，从而利用平角定义可得∠FAE＝∠AEF
＝72°，进而利用三角形内角和定理可得∠F＝36°，然后利用角平分线的定义可得∠FAM＝∠MAE＝36°，从而可得∠F＝∠MAE，进而可证△AEM∽△FEA，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解
答；
（2）设AE＝x，利用（1）的结论可得：∠F＝∠FAM＝36°，从而可得FM＝AM，在利用（1）的结论
可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，从而可得FA＝FE＝1，然后利用三角形的外角性质可得∠AME＝∠AEF＝
72°，从而可得AM＝AE，进而可得AM＝AE＝FM＝x，再利用线段的和差关系可得ME＝1﹣x，
最后利用（1）的结论可得：AE2＝EF•EM，从而可得x2＝1•（1﹣x），进行计算即可解答；
（3）连接BE，CE，根据正五边形的性质可得AB＝AE＝DE＝CD＝BC，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝
∠ABC＝∠BCD＝108°，从而可得△ABE≌△DCE，再利用等腰三角形的性质可得∠ABE＝∠AEB＝
36°，∠DEC＝∠DCE＝36°，从而可得∠EBC＝∠ECB＝72°，然后利用（1）的结论可得：∠FAE＝
∠FEA＝72°，从而可证利用ASA可证△FAE≌△EBC，再利用（2）的结论可得： ＝ ，从而可
得 ＝ ，进而可得 ＝ ，最后设△ABE的面积为（ ﹣1）k，则△AEF的面积为
2k，从而可得△ABE的面积＝△DEC的面积＝（ ﹣1）k，△AEF的面积＝△BCE的面积＝2k，进而
可求出五边形ABCDE的面积＝2 k，再进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝108°，
∴∠FAE＝180°﹣∠BAE＝72°，∠AEF＝180°﹣∠AED＝72°，
∴∠F＝180°﹣∠FAE﹣∠AEF＝36°，
∵AM平分∠FAE，
∴∠FAM＝∠MAE＝ ∠FAE＝36°，
∴∠F＝∠MAE，
∵∠AEM＝∠AEF，
∴△AEM∽△FEA，
∴ ＝ ，
∴AE2＝EF•EM；
（2）解：设AE＝x，由（1）可得：∠F＝∠FAM＝36°，
∴FM＝AM，
由（1）可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，
∴FA＝FE＝1，
∵∠AME＝∠F+∠FAM＝72°，
∴∠AME＝∠AEF＝72°，
∴AM＝AE，
∴AM＝AE＝FM＝x，
∴ME＝EF﹣FM＝1﹣x，
由（1）可得：AE2＝EF•EM，
∴x2＝1•（1﹣x），
解得：x＝ 或x＝ （舍去），
∴AE＝ ，
∴AE的长为 ；
（3）连接BE，CE，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝AE＝DE＝CD＝BC，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠ABC＝∠BCD＝108°，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∵AB＝AE，ED＝DC，∠BAE＝∠CDE＝108°，
∴∠ABE＝∠AEB＝36°，∠DEC＝∠DCE＝36°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝72°，∠ECB＝∠BCD﹣∠DCE＝72°，
由（1）可得：∠FAE＝∠FEA＝72°，∴∠FAE＝∠EBC，∠FEA＝∠ECB，
∴△FAE≌△EBC（ASA），
由（2）得： ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴设△ABE的面积为（ ﹣1）k，则△AEF的面积为2k，
∴△ABE的面积＝△DEC的面积＝（ ﹣1）k，△AEF的面积＝△BCE的面积＝2k，
∴五边形ABCDE的面积＝△ABE的面积+△DCE的面积+△BCE的面积＝2 k，
∴ ＝ ＝ ，
∴ 的值为 ．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，角平分线的性质，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合
图形添加适当的辅助线是解题的关键．
热点4.位似变换
16．（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，
相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，点A的坐标为（2，2），∴点A的对应点A′的坐标为（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣
4），
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为
k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
17．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中
心作正方形PA A A ，正方形PA A A ，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方
1 2 3 4 5 6
形PA A A 的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A （﹣2，1），A （﹣1，0），A （﹣2，﹣1），则顶点
1 2 3 1 2 3
A 的坐标为（ ）
100
A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）
【分析】根据位似变换的概念、点的坐标的变化情况找出点的横纵坐标的变化规律，根据规律解答即可．
【解答】解：由题意可知：点A （﹣2，1），点A （﹣1，2），点A （0，3），
1 4 7
∵1＝3×0+1，4＝3×1+1，7＝3×2+1，……，100＝3×33+1，﹣2＝0﹣2，﹣1＝1﹣2，0＝2﹣2，1＝
0+1，2＝1+1，3＝2+1，
∴顶点A 的坐标为（33﹣2，33+1），即（31，34），
100
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换、点的坐标的变化规律，根据点的坐标的变化情况正确找出规律是解题
的关键．
18．（2023•长春）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点 A在线段OA′上．若
OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为 1 ： 3 ．【分析】根据题意求出OA：OA′＝1：3，根据相似三角形的性质求出AC：A′C′，根据相似三角形
的性质计算即可．
【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，
∴OA：OA′＝1：3，
∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，
∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：3，
故答案为：1：3．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键．
19．（2023•辽宁）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（1，
0），B（2，3），C（﹣1，2），若四边形OA′B′C′与四边形OABC关于原点O位似，且四边形
OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，则第一象限内点B′的坐标为 （ 4 ， 6 ） ．
【分析】根据四边形OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，可得四边形OA′B′C′与四边
形OABC的位似比是2：1，进而得出各对应点位置，进而得第一象限内点B′的坐标．
【解答】解：∵四边形OA′B′C′与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA′B′C′的面积是
四边形OABC面积的4倍，
∴四边形OA′B′C′与四边形OABC的位似比是2：1，
∵点B（2，3），
∴第一象限内点B′的坐标为（4，6）．
故答案为：（4，6）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．（2023•盘锦）如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，
将△ABO缩小为原来的 ，得到△A′B′O，则点A′的坐标为 （ ， 2 ）或（﹣ ，﹣ 2 ） ．
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的 ，可以得到△A'B'O，点A的坐标为
（2，6），
∴点A'的坐标是（2× ，6× ）或（2×（﹣ ），6×（﹣ ）），即（ ，2）或（﹣ ，﹣2）．
故答案为：（ ，2）或（﹣ ，﹣2）．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相
似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
