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华附、省实、广雅、深中2026届高三四校联考
数学参考答案及评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B C D A C A C BCD AD ABD
1 π π
12. . 13. ,
3 6 2
3 π
14. e3
3
π
15.(1)因b+c=2acos -C
3
π π
=2acos cosC+sinCsin
3 3
= 3asinC+acosC，...1分
由正弦定理和两角和正弦公式得：sinB+sinC= 3sinAsinC+sinAcosC，.......2分
又因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，所以cosAsinC+sinC= 3sinAsinC，.......4分
π
因为sinC>0，所以cosA+1= 3sinA，即sinA-
6
1
= .........................5分
2
π π 5π π π π
由00，所以cos = 3sin ，所以tan = ，.......5分
2 2 2 2 2 2 3
A π π
所以 = ，即A= ；....................................................6分)
2 6 3
(2)因为点D为BC中点，且AD=3 3，
b2+c2-62 1
在△ABC中，a=6，cosA= = ，即bc=b2+c2-36，.................8分
2bc 2
AD2+BD2-c2 AD2+CD2-b2
在△ABD和△ACD中，cos∠ADB=-cos∠ADC，即 =- ，...9分
2AD⋅BD 2AD⋅CD
化简得b2+c2=72，.......10分
所以bc=b2+c2-36=72-36=36，.....................................11分
1 1 π
故S = bcsinA= ×36×sin =9 3，所以△ABC的面积为9 3．.......13分
△ABC 2 2 3
16.(1)连接O E,EO ,O O ，平面EO O 即为所求作的平面α，............2分
1 2 1 2 1 2
证明如下：
∵在圆台O O 中，O O ⊥面CBA，BC⊂面CBA，∴O O ⊥BC，............3分
1 2 1 2 1 2
∵E为劣弧BC中点，O E为圆O 的半径，∴O E⊥BC， ......................4分
2 2 2
又∵O O ∩O E=O ，O O ,O E⊂平面O O E，∴BC⊥平面O O E，............5分
1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2
又∵BC⊂平面BCC ，∴平面O O E⊥平面BCC ............................6
1 1 2 1
分
(2)延长AA ,CC 交于点D，故D∈AA ⊂平面ABA ,D∈CC ⊂平面
1 1 1 1 1
CC B,故平面A AB∩平面C CB=BD,BD即l,.......7分
1 1 1
在△ACD中，DC,DA,DB均为圆锥母线.
由AC=2AA =2A C =4，得DC=2CC ，BC=2 2
1 1 1 1
故DO =2 3...................8分
2
以O 为原点，O B,O C,O O 方向为x,y,z轴正向建立空间直角坐
2 2 2 2 1
参考答案 1 页 共 5 页标系，
C0,2,0 ,B2,0,0 ,D(0,0,2 3),A 10,-1, 3 ,C 10,1, 3
AA 1 =0,1, 3
,AB=2,2,0
,CC 1
=0,-1, 3
,BC=-2,2,0
，BD=(-2,0,2 3)...........9分
设BQ=λBD(λ∈R且λ≠1),则CQ=BQ-BC=λBQ-BC=(-2λ+2,-2,2 3λ),........10分
将AA ,CQ平移至平面β，设平面β的法向量平面n=(x ,y ,z )，
1 0 0 0
则 n ⋅A A 1 =0 ，即 y 0 + 3z 0 =0 取n = 3λ+1
n⋅CQ=0 x 0 (2-2λ)-2y 0 +2 3λz 0 =0
, 3(1-λ),λ-1 ..........11分
AC⋅n
AC=(0,4,0)，则异面直线CQ与A A的距离d为AC在n上的投影向量的长度即
1
n
AC⋅n
则d=
n
1-λ
=4 3⋅
..........................12分
7λ2-2λ+7
4 3t
令t=1-λ，则d=
，
7t2-12t+12
当t=0时，λ=1，此时CQ与A A相交，不为异面直线(舍)；.........................13分
1
4 3 4 3
当t≠0时，00,b>0
a2 b2
，右焦点Fc, 0
b
，则点F到其渐近线y=± x即bx±ay=0的距离
a
bc bc
为 = =b，故b= 3 ①，.......................................1分
a2+b2 c
c a2+b2 b
e= = = 1+
a a a
2 b
=2，得 = 3 ②，................................2分
a
①代入②，得a=1， ........................................................3分
y2
故双曲线C的方程为：x2- =1． ......................................4分
3
(2)(i)F2, 0 ，当直线AB的斜率不为0时，设AB:x=my+2，与C:3x2-y2=3联立，
得3m2-1 y2+12my+9=0(1分给分点)，则3m2-1≠0，Δ=36m2+1 >0恒成立，......5分
设Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2
12m 9
，则y +y =- ，y y = ， 1 2 3m2-1 1 2 3m2-1
2 6m
⊙M的圆心即AB的中点M- , -
3m2-1 3m2-1
，..................................................6分
由弦长公式，得
AB = 1+m2 y 1 +y 2 2-4y y 1 2 = 1+m2 12m - 3m2-1 2 36 - 3m2-1 6m2+1 = 3m2-1 ，
1
则⊙M的半径r= AB
2
3m2+3
=
3m2-1
. .....................................7分
(以下步骤，酌情按证法一、证法二给分)
证法一：⊙M的方程为：
2
x+
3m2-1
2 6m
+y+
3m2-1
2 3m2+3
=
3m2-1
2
. ........................................8分
2
令y=0，得x+
3m2-1
2 3m2-3
=
3m2-1
2 3m2-5
，解得：x =-1, x = . .................9分
1 2 3m2-1
参考答案 3 页 共 5 页故⊙M与x轴交于P-1, 0
3m2-5
, Q , 0
3m2-1
两点. .......................10分
而当直线AB的斜率为0时，⊙M:x2+y2=1也经过定点P-1, 0 (1分给分点)；
综上，⊙M恒过定点P-1, 0 . .............................11分
证法二：当直线AB的斜率为0时，⊙M 1 :x2+y2=1；当AB的斜率不存在时，⊙M 2 :x-2 2+y2=9.
(注：只要写对其中一个圆方程就给1分).......................................8分
因为⊙M 1 与⊙M 2 内切，它们有唯一的公共点P-1, 0 ，
由此猜想：⊙M恒过定点P-1, 0 (1分给分点)，下面给予证明. .................9分
故PA∙PB=x 1 +1 x 2 +1 +y 1 y 2 =my 1 +3 my 2 +3 +y 1 y 2 =m2+1 y 1 y 2 +3my 1 +y 2 +9
=m2+1
9 12m
⋅ +3m⋅-
3m2-1 3m2-1
9m2+9-36m2+9(3m2-1)
+9= =0.
3m2-1
则PA⊥PB即∠APB=90°，故以AB为直径的⊙M恒过定点P-1, 0 . .........11分
(ii)根据直线AB的斜率为0与AB的斜率不存在，这两种特殊情形时⊙M的方程，结合对称性，
猜想：存在定圆(设为⊙N)的方程为 x-3 2+y2=4(2分给分点)，下面给予证明. ...13分
2 6m
由(i)知，⊙M的圆心M- , -
3m2-1 3m2-1
3m2+3
，半径r=
3m2-1
；
而 ⊙ N : x-3 2 + y2 = 4 的圆心 N (3 , 0)，半径为 2；所以 ⊙ M 与 ⊙ N 的圆心距 MN =
2
- -3
3m2-1
2 6m
+-
3m2-1
2 9m2+1
=
3m2-1
. ........................14分
①当3m2-1>0即m
3 3m2+3 9m2+1
> 3 时，⊙M与⊙N的半径之和r 1 +r 2 = 3m2-1 +2= 3m2-1 =MN ，
此时，⊙M与⊙N外切. ..............................................15分
②当3m2-1<0即m
3
< 3 时，⊙M与⊙N的半径之差的绝对值r 1 -r 2
3m2+3
= -2 1-3m2
9m2+1
= = 1-3m2
MN ，
此时，⊙M与⊙N内切. ..........................................16分
综上所述，存在定圆⊙N:x-3 2+y2=4与⊙M相切. .........................17分
1
说明：若设直线AB的方程为AB:y=k(x-2)，则只要将上述解答过程种的m用 代，就能得到相应的
k
运算结果，注意要讨论直线AB的斜率不存在的情况，阅卷时请参照上述评分标准相应给分即可.
19.(1)由fx =x+1 lnx+1 -asinx，得fx =lnx+1 +1-acosx，
fx
1
= +asinx，(注：以上求导只要对一个就给1分) ...................1分
x+1
①当a<0时，因为x∈0, π ，所以x+1 lnx+1 >0，asinx<0，故fx >0恒成立，此时，fx 在区
间0, π 内无零点. ..............................2分
②当0≤a≤1时，因为x∈0, π ，所以fx >0，则fx 单调递增，
故fx >f0 =1-a≥0，则fx 单调递增，故fx >f0 =0，
此时，fx 在区间0, π 内无零点. .....................3分
③当a>1时，因为x∈0, π ，所以fx >0，则fx 单调递增，
因为f0
π
=1-a<0，f
2
π
=1+ln +1
2
>0，
π
所以存在唯一的x ∈0, 0 2 使得fx 0 =0. ................4分
当x∈0, x 0 时，fx fx 0 =0，fx 单调递增.
因为f0 =0，所以fx 0 0，
故fx 在区间0, π 内只有1个零点x 1 ，且x 1 ∈x 0 , π . ...........5分
综上所述，当a≤1时，fx 在区间0, π 内的零点个数为0；
当a>1时，fx 在区间0, π 内的零点个数为1. .....................6分
(2)不等式fx-1
1
+ax2≤ bebx⇔φa
2
= x2-sinx-1
1
a+xlnx- bebx≤0，
2
则∃a∈0, 1 ，使得φa ≤0，转化为φa ≤0. ...........................7分 min
因为x∈1, +∞ ，所以x2-sinx-1 ≥x2-1>0，则φa 在a∈0, 1 上单调递增，
故φa =φ0
min
1 1
=xlnx- bebx≤0，转化为xlnx≤ bebx对∀x∈1, +∞
2 2
恒成立，...8分
即x2⋅lnx2≤bx⋅ebx，即lnx2⋅elnx2≤bx⋅ebx(**)对∀x∈1, +∞ 恒成立，......9分
因为当x>1时，lnx2>0，所以bx>0.
构造函数hx =xexx>0 ，则hx =x+1 ex>0，故hx 在0, +∞ 上单调递增.
不等式(**)等价于hlnx2 ≤hbx ，则lnx2≤bx，..............................10分
2lnx
分参，得b≥ =mx
x
对∀x∈1, +∞ 恒成立，转化为b≥mx .
max
mx
21-lnx
=
，令mx
x2
=0，得x=e. ..............................11分
当x∈1, e 时，mx >0，mx 单调递增；当x∈e, +∞ 时，mx <0，mx 单调递减.
故mx =me max
2 2
= ，故b的取值范围是 , +∞ e e . .......................12分
（3）方程fx-1 =x+1 lnx-2axa>0 代入有
xlnx-asin(x-1)=(x+1)lnx-2ax即2ax-asin(x-1)=lnx有两个不相等实根x ,x ，
1 2
不妨设x 1 gx 2 ，得sinx 1 -1 -sinx 2 -1 >x -x . ........................................................14分 1 2
lnx 1 -lnx 2 <2ax 1 -x 2 -ax 1 -x 2 =ax 1 -x 2
x -x 1
，即 1 2 < . ...........................15分 lnx -lnx a
1 2
x -x x -x x x x
下证 x x < 1 2 ⇔ 2 1 >lnx -lnx ⇔ 2 - 1 >ln 2 ，
1 2 lnx -lnx x x 2 1 x x x
1 2 1 2 1 2 1
x 1
令t= 2 ，则只要证t- >2lnt t>1
x t
1
，...............................................................16分
设Ft
1
=t- -2lnt t>1
t
，则Ft
1 2 (t-1)2
=1+ - = >0，
t2 t t2
故当t>1时，Ft 单调递增，故Ft >F1
1
=0，则t- >2lnt t>1
t
，得证！
x -x 1 1
故 x ⋅x < 1 2 < ，故x ⋅x < . .......................................................17分
1 2 lnx -lnx a 1 2 a2
1 2
参考答案 5 页 共 5 页
