数学试题卷_全国高考模拟卷_2026年2月_260205广东省华附、省实、广雅、深中2026届高三四校联考1月期末

华附、省实、广雅、深中2026届高三四校联考
数学参考答案及评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B C D A C A C BCD AD ABD
1 π π
12. . 13.   ,
3  6 2

3 π
14. e3
3
π
15.(1)因b+c=2acos -C
3

π π
=2acos cosC+sinCsin
3 3
 = 3asinC+acosC，...1分
由正弦定理和两角和正弦公式得：sinB+sinC= 3sinAsinC+sinAcosC，.......2分
又因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，所以cosAsinC+sinC= 3sinAsinC，.......4分
π
因为sinC>0，所以cosA+1= 3sinA，即sinA-
6

1
= .........................5分
2
π π 5π π π π
由0<A<π得- <A- < ，则A- = ，所以A= ；...................6分
6 6 6 6 6 3
A A A
(法二：cosA+1= 3sinA即2cos2 =2 3sin cos ，
2 2 2
A π A A A A 3
因为0< < ，所以cos >0，所以cos = 3sin ，所以tan = ，.......5分
2 2 2 2 2 2 3
A π π
所以 = ，即A= ；....................................................6分)
2 6 3
(2)因为点D为BC中点，且AD=3 3，
b2+c2-62 1
在△ABC中，a=6，cosA= = ，即bc=b2+c2-36，.................8分
2bc 2
AD2+BD2-c2 AD2+CD2-b2
在△ABD和△ACD中，cos∠ADB=-cos∠ADC，即 =- ，...9分
2AD⋅BD 2AD⋅CD
化简得b2+c2=72，.......10分
所以bc=b2+c2-36=72-36=36，.....................................11分
1 1 π
故S = bcsinA= ×36×sin =9 3，所以△ABC的面积为9 3．.......13分
△ABC 2 2 3
16.(1)连接O E,EO ,O O ，平面EO O 即为所求作的平面α，............2分
1 2 1 2 1 2
证明如下：
∵在圆台O O 中，O O ⊥面CBA，BC⊂面CBA，∴O O ⊥BC，............3分
1 2 1 2 1 2

∵E为劣弧BC中点，O E为圆O 的半径，∴O E⊥BC， ......................4分
2 2 2
又∵O O ∩O E=O ，O O ,O E⊂平面O O E，∴BC⊥平面O O E，............5分
1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2
又∵BC⊂平面BCC ，∴平面O O E⊥平面BCC ............................6
1 1 2 1
分
(2)延长AA ,CC 交于点D，故D∈AA ⊂平面ABA ,D∈CC ⊂平面
1 1 1 1 1
CC B,故平面A AB∩平面C CB=BD,BD即l,.......7分
1 1 1
在△ACD中，DC,DA,DB均为圆锥母线.
由AC=2AA =2A C =4，得DC=2CC ，BC=2 2
1 1 1 1
故DO =2 3...................8分
2
  
以O 为原点，O B,O C,O O 方向为x,y,z轴正向建立空间直角坐
2 2 2 2 1
参考答案 1 页 共 5 页标系，
C0,2,0  ,B2,0,0  ,D(0,0,2 3),A 10,-1, 3  ,C 10,1, 3 

AA 1 =0,1, 3 

,AB=2,2,0 

,CC 1
=0,-1, 3 

,BC=-2,2,0 

，BD=(-2,0,2 3)...........9分
      
设BQ=λBD(λ∈R且λ≠1),则CQ=BQ-BC=λBQ-BC=(-2λ+2,-2,2 3λ),........10分

将AA ,CQ平移至平面β，设平面β的法向量平面n=(x ,y ,z )，
1 0 0 0


则   n  ⋅A  A 1 =0 ，即   y 0 + 3z 0 =0 取n  = 3λ+1
n⋅CQ=0 x 0 (2-2λ)-2y 0 +2 3λz 0 =0
  , 3(1-λ),λ-1  ..........11分


  AC⋅n

AC=(0,4,0)，则异面直线CQ与A A的距离d为AC在n上的投影向量的长度即
1


n 


AC⋅n
则d=


n 
1-λ
=4 3⋅

..........................12分
7λ2-2λ+7
4 3t
令t=1-λ，则d=

，
7t2-12t+12
当t=0时，λ=1，此时CQ与A A相交，不为异面直线(舍)；.........................13分
1
4 3 4 3
当t≠0时，0<d= =
12 12 1 1
- +7 12 -
t2 t t 2

≤2 3 ..........................14分
2
+4
当且仅当λ=-1，异面直线CQ与A A的距离有最大值2 3..........................15分
1
17.(1)从5个球中抽2个，即C2=10种.
5
1
抽2个红球：C2=1种，概率为 ； .......................................1分
2 10
3
抽2个黑球：C2=3种，概率为 ； .........................................2分
3 10
6 3
抽1红1黑：C1×C1=6种，概率为 = . .................................3分
2 3 10 5
设奖金为随机变量X，
1 3 3
则期望E(X)=300× +200× +100× ，
10 10 5
则E(X)=30+60+60=150(元)..........................................5分
2
(2)(ⅰ)A (第1次获第1份礼品)：第1次抽红球，概率 ，此时箱内变为4黑2红；
1 5
4
第2次未获礼品：抽黑球(放回，箱内仍为4黑2红)，概率 ；
6
2
B (第3次获第2份礼品)：第3次抽红球，概率 ，
3 6
2 4 2 4
因此P(A B )= × × = .............................................6分
1 3 5 6 6 45
A B (第2次获第1份、第3次获第2份)：
2 3
3
第1次抽黑球(放回，箱内3黑2红)，概率 ；
5
2
第2次抽红球(箱内变为4黑2红)，概率 ；
5
2
第3次抽红球，概率 ；
6
3 2 2 2
故P(A B )= × × = ， ...........................................7分
2 3 5 5 6 25
B 包含“第1次获第1份、第3次获第2份”和“第2次获第1份、第3次获第2份”，
3
参考答案 2 页 共 5 页4 2 38
即P(B )=P(A B )+P(A B )= + = ，..........................8分
3 1 3 2 3 45 25 225
2
P(A B ) 25 9
则P(A |B )= 2 3 = = ，.........................................10分
2 3 P(B ) 38 19
3
225
(ⅱ)设第k(k≥2)位顾客恰好获得第2份礼品的概率为P(k)，
若第k名顾客抽取了第2份奖品，设前面k-1  名顾客中第i(1≤i≤k-1,k,i∈Ν+)名顾客抽取到了
3
第1份奖品，则前面(i-1)名顾客中无人获得奖品，其概率为
5

i-1
，.................11分
2
第i名顾客只获得一份奖品，其概率为 ，
5
第(i+1)名顾客到第k-1 
2
名顾客都没有获得奖品，其概率为
3

k-i-1
， ...........12分
所以第k名顾客抽取了一份奖品的概率为
k-1 3 P(k)= 
5
i=1
 i-1 2 ×
5
 2 ×
3
 k-i-1 1 ×
3
  

 2 1 2  = × ×
5 3 3
 k-2 k-1 3 3 ×  ×
5 2
i=1
 i-1  ...........13分
1 2 = ×
5 3
 k-1 k-1 9 × 
10
i=1
 i-1 1 2 = ×
5 3

9
1- k-1 10 × 
k-1
2  =2 
9 3
1-
10
 k-1 3 -
5
  k-1 

 ...........14分
2 故：P(k)=2 
3
 k-1 3 -
5
  k-1 

 .............................................15分
x2 y2
18.(1)设C: - =1 a>0,b>0
a2 b2
 ，右焦点Fc, 0 
b
，则点F到其渐近线y=± x即bx±ay=0的距离
a
bc bc
为 = =b，故b= 3 ①，.......................................1分
a2+b2 c
c a2+b2 b
e= = = 1+
a a a

2 b
=2，得 = 3 ②，................................2分
a
①代入②，得a=1， ........................................................3分
y2
故双曲线C的方程为：x2- =1． ......................................4分
3
(2)(i)F2, 0  ，当直线AB的斜率不为0时，设AB:x=my+2，与C:3x2-y2=3联立，
得3m2-1  y2+12my+9=0(1分给分点)，则3m2-1≠0，Δ=36m2+1  >0恒成立，......5分
设Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2 
12m 9
，则y +y =- ，y y = ， 1 2 3m2-1 1 2 3m2-1
2 6m
⊙M的圆心即AB的中点M- , -
3m2-1 3m2-1
 ，..................................................6分
由弦长公式，得
AB  = 1+m2  y 1 +y 2   2-4y y 1 2  = 1+m2  12m - 3m2-1   2 36  -  3m2-1  6m2+1 =  3m2-1  ，
1
则⊙M的半径r= AB
2

3m2+3
=
3m2-1 
. .....................................7分
(以下步骤，酌情按证法一、证法二给分)
证法一：⊙M的方程为：
2
x+
3m2-1

2 6m
+y+
3m2-1

2 3m2+3
=
3m2-1

2
. ........................................8分
2
令y=0，得x+
3m2-1

2 3m2-3
=
3m2-1

2 3m2-5
，解得：x =-1, x = . .................9分
1 2 3m2-1
参考答案 3 页 共 5 页故⊙M与x轴交于P-1, 0 
3m2-5
, Q , 0
3m2-1
 两点. .......................10分
而当直线AB的斜率为0时，⊙M:x2+y2=1也经过定点P-1, 0  (1分给分点)；
综上，⊙M恒过定点P-1, 0  . .............................11分
证法二：当直线AB的斜率为0时，⊙M 1 :x2+y2=1；当AB的斜率不存在时，⊙M 2 :x-2  2+y2=9.
(注：只要写对其中一个圆方程就给1分).......................................8分
因为⊙M 1 与⊙M 2 内切，它们有唯一的公共点P-1, 0  ，
由此猜想：⊙M恒过定点P-1, 0  (1分给分点)，下面给予证明. .................9分
 
故PA∙PB=x 1 +1  x 2 +1  +y 1 y 2 =my 1 +3  my 2 +3  +y 1 y 2 =m2+1  y 1 y 2 +3my 1 +y 2  +9
=m2+1 
9 12m
⋅ +3m⋅-
3m2-1 3m2-1

9m2+9-36m2+9(3m2-1)
+9= =0.
3m2-1
则PA⊥PB即∠APB=90°，故以AB为直径的⊙M恒过定点P-1, 0  . .........11分
(ii)根据直线AB的斜率为0与AB的斜率不存在，这两种特殊情形时⊙M的方程，结合对称性，
猜想：存在定圆(设为⊙N)的方程为 x-3  2+y2=4(2分给分点)，下面给予证明. ...13分
2 6m
由(i)知，⊙M的圆心M- , -
3m2-1 3m2-1

3m2+3
，半径r=
3m2-1 
；
而 ⊙ N : x-3  2 + y2 = 4 的圆心 N (3 , 0)，半径为 2；所以 ⊙ M 与 ⊙ N 的圆心距 MN  =
2
- -3
3m2-1

2 6m
+-
3m2-1

2 9m2+1
=
3m2-1 
. ........................14分
①当3m2-1>0即m 
3 3m2+3 9m2+1
> 3 时，⊙M与⊙N的半径之和r 1 +r 2 = 3m2-1 +2= 3m2-1 =MN  ，
此时，⊙M与⊙N外切. ..............................................15分
②当3m2-1<0即m 
3
< 3 时，⊙M与⊙N的半径之差的绝对值r 1 -r 2 
3m2+3
= -2 1-3m2 
9m2+1
= = 1-3m2
MN  ，
此时，⊙M与⊙N内切. ..........................................16分
综上所述，存在定圆⊙N:x-3  2+y2=4与⊙M相切. .........................17分
1
说明：若设直线AB的方程为AB:y=k(x-2)，则只要将上述解答过程种的m用 代，就能得到相应的
k
运算结果，注意要讨论直线AB的斜率不存在的情况，阅卷时请参照上述评分标准相应给分即可.
19.(1)由fx  =x+1  lnx+1  -asinx，得fx  =lnx+1  +1-acosx，
fx 
1
= +asinx，(注：以上求导只要对一个就给1分) ...................1分
x+1
①当a<0时，因为x∈0, π  ，所以x+1  lnx+1  >0，asinx<0，故fx  >0恒成立，此时，fx  在区
间0, π  内无零点. ..............................2分
②当0≤a≤1时，因为x∈0, π  ，所以fx  >0，则fx  单调递增，
故fx  >f0  =1-a≥0，则fx  单调递增，故fx  >f0  =0，
此时，fx  在区间0, π  内无零点. .....................3分
③当a>1时，因为x∈0, π  ，所以fx  >0，则fx  单调递增，
因为f0 
π
=1-a<0，f
2

π
=1+ln +1
2
 >0，
π
所以存在唯一的x ∈0, 0 2  使得fx 0  =0. ................4分
当x∈0, x 0  时，fx  <fx 0  =0，fx  单调递减；
参考答案 4 页 共 5 页当x∈x 0 , π  时，fx  >fx 0  =0，fx  单调递增.
因为f0  =0，所以fx 0  <f0  =0，又fπ  =π+1  lnπ+1  >0，
故fx  在区间0, π  内只有1个零点x 1 ，且x 1 ∈x 0 , π  . ...........5分
综上所述，当a≤1时，fx  在区间0, π  内的零点个数为0；
当a>1时，fx  在区间0, π  内的零点个数为1. .....................6分
(2)不等式fx-1 
1
+ax2≤ bebx⇔φa
2
 = x2-sinx-1   
1
a+xlnx- bebx≤0，
2
则∃a∈0, 1  ，使得φa  ≤0，转化为φa  ≤0. ...........................7分 min
因为x∈1, +∞  ，所以x2-sinx-1  ≥x2-1>0，则φa  在a∈0, 1  上单调递增，
故φa  =φ0
min

1 1
=xlnx- bebx≤0，转化为xlnx≤ bebx对∀x∈1, +∞
2 2
 恒成立，...8分
即x2⋅lnx2≤bx⋅ebx，即lnx2⋅elnx2≤bx⋅ebx(**)对∀x∈1, +∞  恒成立，......9分
因为当x>1时，lnx2>0，所以bx>0.
构造函数hx  =xexx>0  ，则hx  =x+1  ex>0，故hx  在0, +∞  上单调递增.
不等式(**)等价于hlnx2  ≤hbx  ，则lnx2≤bx，..............................10分
2lnx
分参，得b≥ =mx
x
 对∀x∈1, +∞  恒成立，转化为b≥mx  .
max
mx 
21-lnx
=

，令mx
x2
 =0，得x=e. ..............................11分
当x∈1, e  时，mx  >0，mx  单调递增；当x∈e, +∞  时，mx  <0，mx  单调递减.
故mx  =me max 
2 2
= ，故b的取值范围是  , +∞ e  e  . .......................12分
（3）方程fx-1  =x+1  lnx-2axa>0  代入有
xlnx-asin(x-1)=(x+1)lnx-2ax即2ax-asin(x-1)=lnx有两个不相等实根x ,x ，
1 2
不妨设x 1 <x 2 ，则有2ax 1 -x 2  -a sinx 1 -1  -sinx 2 -1    =lnx -lnx ，.........................13分 1 2
构造函数gx  =sinx-1  -x，则gx  =cosx-1  -1≤0，则gx  在R上单调递减，
故gx 1  >gx 2  ，得sinx 1 -1  -sinx 2 -1  >x -x . ........................................................14分 1 2
lnx 1 -lnx 2 <2ax 1 -x 2  -ax 1 -x 2  =ax 1 -x 2 
x -x 1
，即 1 2 < . ...........................15分 lnx -lnx a
1 2
x -x x -x x x x
下证 x x < 1 2 ⇔ 2 1 >lnx -lnx ⇔ 2 - 1 >ln 2 ，
1 2 lnx -lnx x x 2 1 x x x
1 2 1 2 1 2 1
x 1
令t= 2 ，则只要证t- >2lnt t>1
x t
1
 ，...............................................................16分
设Ft 
1
=t- -2lnt t>1
t
 ，则Ft 
1 2 (t-1)2
=1+ - = >0，
t2 t t2
故当t>1时，Ft  单调递增，故Ft  >F1 
1
=0，则t- >2lnt t>1
t
 ，得证！
x -x 1 1
故 x ⋅x < 1 2 < ，故x ⋅x < . .......................................................17分
1 2 lnx -lnx a 1 2 a2
1 2
参考答案 5 页 共 5 页