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热点专题 04 圆（15 个热点）
考点一、圆的定义及有关概念
1.圆的定义：在一个平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫圆.
这个固定的端点 叫做圆心，线段 叫做半径.
2.圆的表示方法：以 点为圆心的圆记作 ，读作圆 .
3.圆的有关概念
弦 连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的 ).直径 经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的 ）.
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以 为端点的
弧
弧记作 ，读作圆弧 或弧 .
等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都
半圆
叫做半圆.
优弧 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧.
劣弧 在一个圆中小于半圆的弧叫做劣弧.
考点二、垂径定理
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：
①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法：
①过圆心，作垂线，连半径，造直角三角形，用勾股，求长度；②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
考点三、圆心角和圆周角的概念
1.圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
2.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相
等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们
所对应的其余各组量分别相等。
3.圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
定理及推论 具体内容 图示C
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
圆周角定理
（即：圆周角= 圆心角） B O
A
D C
同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论1
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相
B O
等。
A
C
半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是
推论2
直径 B A
O
C
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直
推论3
角三角形
B A
O
4.圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 C D
证明：在⊙ 中，∵四边 是内接四边形
∴ ，
B
A E
考点四、点与圆及直线与圆的位置关系
1.设 的半径是 ，点 到圆心 的距离为 ，则有：
⇔点 在 内； ⇔点 在 上； ⇔点 在 外。
2.过三点的圆：
①不在同一直线上的三个点确定一个圆。
②经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
③三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
3.直线与圆的位置关系
位置关系 与 的比较 交点情况 图示相离 无交点
r
d
相切 有一个交点
d=r
相交 有两个交点
r
d
考点五、切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； O
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵ 且 过半径 外端，∴ 是⊙ 的切线 M A N
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
3.切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵ 、 是的两条切线，∴ ， 平分
B
考点六、圆内正多边形
O
P
A
正多边形 正三角形 正四边形 正六边形C
B C
O
图示 O O
B A A D B
D E A
有关计算在 中进
有关计算在 中进行， 有关计算在 中进行，
长度比例 行，
.
2.与正多边形有关的概念
①正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
②正多边形的半径:正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
③正多边形的边心距:正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
④中心角:正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
3.正多边形的对称性
①正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形。一个正 边形共有 条对称轴，每条对称轴都通过正
边形的中心。
②正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
③正多边形的画法:先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形
考点七、扇形
A
（一）扇形的弧长和面积计算
（1）扇形弧长公式： ； O S l
B
（2）扇形面积公式：
其中 ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
注意：
（1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ，即 ；
（2）公式中的 表示1°圆心角的倍数，故 和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第
三个量.
（4）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，即 ；（5）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可
以求出第三个量.
（二）扇形与圆柱、圆锥之间联系
立体图 侧面展开图 表面积公式 体积公式
A D D
1
母
圆柱 线 =
长
底面圆周长
C
B C 1
B
1
O
圆锥 =
A B
题型一 圆的基本认识
【例1】下列说法中，不正确的是（ ）．
A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧
【例2】甲、乙两个圆，甲圆的面积是 ，乙圆的周长是 ，甲、乙两圆的半径之比是
（ ）
A． B． C．
【变式1-1】下列命题中，正确的有（ ）
①直径是弦，但弦不一定是直径； ②半圆是弧，但弧不一定是半圆；
③半径相等的两个圆是等圆； ④一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧；
⑤长度相等的两条弧是等弧．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-2】已知 的半径是 ，则 中最长的弦长是 ．
【变式1-3】滚铁环有助于提高人体的平衡性、肢体的协调性以及眼力，可以提高四肢活动能力．如图，
直径为4分米的铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点 ，则 分米．
题型二 点与圆的位置关系
【例3】已知⊙O的半径为 ，如果一点P和圆心O的距离为 ，那么点P与⊙O的位置关系是
（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
【例4】点P到 上各点的最大距离为5，最小距离为1，则 的半径为 ．
【变式2-1】 的半径为 ，点 到圆心 的距离满足方程 ，则点 与 的 位置关系为
【变式2-2】如图， 的两条直角边 ， ，斜边 上的高为 ．若以 为圆
心，分别以 ， ， 为半径作圆，试判断 点与这三个圆的位置关系．
【变式2-3】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 个单位长度，点 ， ， ， 在格点（两条网格
线的交点叫格点）上，以点 为原点建立直角坐标系．(1)过 ， ， 三点的圆的圆心 坐标为（______，______）；
(2)请通过计算判断点 与 的位置关系．
题型三 弧、弦、圆心角的关系
【例5】下列命题：①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；②平分弦的直径垂直于弦，并且
平分弦所对的两条弧；③相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；④不在同一直线上的三个点确定
一个圆． 其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例6】如图， 中，弦 与 相交于点H， ，连接 、 ．求证： ．
【变式3-1】已知：如图， 是 的直径，点C、D在 上， 于E， 于F，且
， 与 相等吗?为什么?【变式3-2】如图， 是 的直径，点C是 上不与A、B重合的点，点D是 的中点，连接
．求证： ．
【变式3-3】如图， 的弦 、 的延长线相交于点 ，且 ，
(1)求证： ；
(2)求证： ．
题型四 垂径定理
【例7】在 中，弦 ，过点 的直线垂直于 于点 ，交 于点 ， ，则 的长为
．
【例8】如图，在 中，弦 ，点C在 上移动，连接 ，过点C作 交 于点D、E，
则 的最大值为 ．【变式4-1】如图，在平面直角坐标系 中，以原点O为圆心的圆过点 ，直线
与 交于B、C两点，则弦 的长为整数的有 条．
【变式4-2】如图， 为 的直径， 为 的弦， 于点E，延长 交 于点F，
，求证： ．
【变式4-3】如图， 是 的直径，弦 于点E， ，若 ，求 的长．
题型五 垂径定理的实际应用
【例9】一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为5，水面宽 为6，如果再注入一些水，当水
面宽变为8时，则水的最大深度为 ．【例10】某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度 为 ，拱顶高出水面 （即 ）， ，
(1)求出该圆弧形拱桥所在圆的半径；
(2)现有一艘宽 ，船舱高出水面 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？
【变式5-1】《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋
壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何
语言表达为：如图， 是 的直径，弦 于点E， 寸， 寸，则直径 长为
寸．
【变式5-2】一座拱桥的轮廓是一段半径为 的圆弧（如图所示），桥拱和路面之间用数根钢索垂直相
连，其正下方的路面 长度为 ，那么这些钢索中最长的一根为 ．【变式5-3】中国陶瓷文化源远流长，图①是一个具有地方特色的碗．图②是从正面看到的碗（图①）的
形状示意图． 是⊙O的一部分，D是 的中点，连接 ，与弦 交于点C，连接 ．已知
cm，碗深 cm，则 的半径 为 ．
题型六 圆周角定理的有关计算
【例11】如图， 是 的直径，弦 ， 交于点 ，若弧 的度数是 ，则 的度数是（
）
A． B． C． D．
【例12】如图，在等边三角形 中，D为 的中点， 交 于点E，若 ，则 的长为
．【变式6-1】如图， 是 的直径， 内接于 ，延长 在 外相交于点 ，
若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】如图， 的顶点 都在 上，点 为 上一点，且点 不在 上，则
的大小为 ．
【变式6-3】如图， 的直径 ，弦 ， 的平分线交 于D．
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求点O到弦 的距离；
(3)求 的长．
题型七 圆周角定理的有关证明
【例13】如图，已知 是 的直径， ， ，垂足分别为M、N，且 ．求证： ．
【例14】如图，四边形 内接于 ，连接 、 相交于点E．
(1)如图1，若 ，求证： ；
(2)如图2，若 ，连接 ，求证： ．
【变式7-1】如图， 中，以 为直径作 ，交 于点D，交 的延长线于点E，连接 、 ，
．求证：D是 的中点．
【变式7-2】如图， 是 的直径，点C，D是 上的点，且 ， 分别与 ， 相交于
点E，F．(1)求证：点D为弧 的中点；
(2)若 ， ，求 的直径．
【变式7-3】已知四边形 内接于圆 ，对角线 与 垂直相交于点 ，点 分别为
的中点，求证： ．
题型八 圆内接四边形
【例15】如图，四边形ABCD内接于 ，若四边形OBCD为平行四边形，则 的度数是 ．
【例16】已知四边形 中， ， ， ，试判断A、B、C、D
四点是否在同一个圆上，并说明理由．【变式8-1】如图，半径为 的 上，依次有 三个点，若四边形 为菱形，则弦 所对的
圆周角为 度．
【变式8-2】如图，在圆内接四边形 中， 若四边形 的面积是S，
的长是x．
(1)求 的度数；
(2)求S与x之间的函数关系式．
【变式8-3】如图 内接于 ，且 ． 的外角平分线交 于 垂足为 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的面积．
题型九 直线与圆的位置关系
【例17】如图，直线 与圆心在原点 ，半径为 的圆有公共点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例18】已知 ， ， ， ．
(1)尺规作图：求作菱形 ，其中点 在线段 上；
(2)判断以 为圆心，2为半径的圆 与直线 的位置关系．
【变式9-1】 的半径为 ，若圆心O到直线l的距离是 ，则直线l与 的位置关系是 ．
【变式9-2】已知 的半径为7，直线l与 相交，点O到直线l的距离为4，则 上到直线l的距离
为3的点的个数为 个．
【变式9-3】如图， 为正比例函数 图象上的一个动点， 的半径为 ，设点 的坐标为 ．(1)求 与直线 相切时点 的坐标．
(2)请直接写出 与直线 相交、相离时 的取值范围．
题型十 切线的性质与判定
【例19】如图，四边形 是 的内接四边形，延长 与过点 的直线相交于点 ，已知
．求证： 与 相切．
【例20】如图，已知等腰 ， ，以点O为圆心作 交边 ， 于C，D两点，点C恰
好为 的中点，延长 交 于点E，连 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)连接 ，若 ，求 的长．
【变式10-1】如图，在 中， ， 的平分线交 于点 ，点 在 上，且以 为
直径的 经过点 ．(1)求证： 是 的切线；
(2)当 ，且 时，求 的半径．
【变式10-2】如图 是 的直径， 是 的弦，延长 到点C，使 ．过D点作
于E，求证： 为 的切线.
【变式10-3】如图，在一张四边形 的纸片中， ， ， ，以点
A为圆心，2为半径的圆分别与 、 交于点E、F．
(1)求证： 与 相切；
(2)过点B作 的切线．（要求：用无刻度直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
题型十一切线长定理
【例21】如图，点 是半径为 的 外一点， ， 分别切 于 ， 点，若 是边长为 的等
边三角形，则（ ）A． B． C． D．
【例22】如图，点 分别在 的两边上．
(1)尺规作图：求作 ，使它与 都相切（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若 ，则 的半径为___________．
【变式11-1】如图， 内切于四边形 ， ，分别连接 ．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．A，O，C三点共线【变式11-2】如图， 是 外的一点， 分别与 相切于点 是劣弧 上的任意一点，
过点 的切线分别交 于点 ．若 ，则 的周长为 ．
【变式11-3】如图，点 是以 为直径的 外一点，点 是 上一点， 是 的切线， ，
连接 并延长交 的延长线于点 ．
(1)求证：点 是 的中点；
(2)若 ， 的半径为 ，求 的长．
题型十二三角形的内切圆
【例23】我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形
（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为 ，小正方形的面积为 ，则大正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．【例24】已知 的内切圆半径 ， 、 、 为切点， ， ， ，则
．
【变式12-1】如图， 的内切圆与斜边 相切于点D， ， ，则 的面积为
（ ）
A．8 B． C． D．
【变式12-2】如图，在 中， ， 于 ， 为 的内切圆，设 的
半径为 ， 的长为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．【变式12-3】如图， 是 的内心， 的延长线交 的外接圆于点 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
题型十三正多边形和圆
【例25】如图，正五边形 内接于 ，连接 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【例26】如图，用量角器将圆五等分，得到正五边形 相交于点P，则 等于
．
【变式13-1】如图，在正八边形 中， 与 交于点P，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【变式13-2】已知线段a，求作以a为对角线且夹角为60°的矩形 .
【变式13-3】“割圆术”是我国魏晋时期的数学家刘徽首创的计算圆周率的方法：“割之弥细，所失弥少，
割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即随着边数增加，圆内接正多边形逐步逼近圆，
进而可以用圆内接正多边形的面积近似表示圆的面积．设圆的半径为 ，则由圆内接正十二边形算得的圆
周率约为（ ）
A．3.14 B．3 C．3.1 D．3.141
题型十四扇形的弧长和面积公式
【例27】一个扇形的面积是 ，圆心角为 ，则此扇形的弧长是（ ）
A． B． C． D．
【例28】如图，点A、B、C在圆O上， ，直线 ，点O在 上．(1)判断直线 与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求劣弧 的长．
【变式14-1】如图， 、 、 所组成的图形叫做勒洛三角形 ．它是以等边三角形 的每个
顶点为圆心，以其边长为半径，在另外两个顶点间做一段弧，由三段弧所围成的曲边三角形．若 ，
顶点 与数轴上表示 的点重合，将勒洛三角形 向右沿数轴滚动一周，则点 对应的数是（ ）
A． B． C． D．
【变式14-2】如图， 内接于 ， 是 的直径， 的切线 交 的延长线于点P，
交 于点E，交 于点F，连接 ．(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ，求阴影部分的面积．
【变式14-3】如图，在 中， ，以点C为圆心， 长为半径的圆交 于点D．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若D是 的中点， ，求阴影部分的面积；
题型十五有关圆锥的计算
【例29】母线长为5的圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例30】如图所示，圆锥的母线长 ， 为母线 的中点， 为圆锥底面圆的直径，两条
母线 、 形成的平面夹角 ．在圆锥的曲面上，从点 到点 的最短路径长是 ．
【变式15-1】如图，圆锥的母线长 为2，底面圆的直径为2，若一只蚂蚁从圆锥的点B出发，沿表面爬
到 的中点D处，则其爬行的最短路线长为 ．
【变式15-2】如图①，已知圆锥的母线长 ，若以顶点 为中心，将此圆锥按图②放置在平面上逆
时针滚动3圈后所形成的扇形的圆心角 ．
(1)求圆锥的底面半径；
(2)求圆锥的全面积．【变式15-3】如果圆锥的底面周长是 ，侧面展开后所得的扇形的圆心角为 ，求该圆锥的侧面积和
全面积．
一、单选题
1．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考期末）如图， 是 的直径， 是 的弦．若 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·云南红河·九年级统考期末）如图，四边形 内接于 ，延长 交圆于点 ，连接 ．
若 ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·福建莆田·九年级校考阶段练习）如图，四边形 内接 ， 平分 ，则下列结
论正确的是（ ）A． B． C． D．
4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 的内切圆 与 、 、 分别相切于点 、 、
，且 ， ， ，则阴影部分（即四边形 ）的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·湖北黄石·九年级校联考期中）如图， 的直径 ， 是 的弦， ，垂
足为 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考期中）如图， 与 相切于点A， 与 相
交于点C， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·天津和平·九年级统考期中）如图， 都是 的半径， ，则下
列结论不正确的是（ ）A． B．
C． D．
8．（2023秋·湖南长沙·九年级统考期中）如图，点A是 上一定点，点B是 上一动点、连接 、
、 、分别将线段 、 绕点A顺时针旋转 到 ， ，连接 ， ， ， ，下
列结论正确的有（ ）
①点 在 上；② ；③ ；④当 时， 与 相切．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2023秋·江苏淮安·九年级统考期中）半径为3且圆心角为120°的扇形面积为 ．
10．（2023秋·广西南宁·九年级南宁十四中校考期中）已知 的半径为 ，点 在 外，则点 到圆心
的距离 的取值范围是 ．
11．（2023秋·江苏徐州·九年级徐州市科技中学校考期中）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得
到一个扇形，则该圆锥的母线长 ，底面圆的半径 ，扇形的圆心角 °．12．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图， 是圆O的直径，C是弧 的中点，若 ，则
的度数 ．
13．（2023秋·北京东城·九年级期中）如图， 为 的直径，弦 ，垂足为点E，连接 ，若
，则 等于 ．
14．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 是 的直径，点C、D是 上的点．且 ，
分别与 、 相交于点E，F．若 的半径为5， ，点P是线段 上任意一点，则
的最小值是 ．15．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正方形 ，正方形 和正方形 都在正方形
内，且 ． 分别与 ， ， ， 相切，点 恰好落在 上，若 ，则
的直径为 ．
16．（2022秋·北京西城·九年级校考期末）如图， 的半径是2，点 是直线 上一动点，过点
作 的切线，切点为 ，连接 ，则 的最小值为 ．
17．（2023春·山东临沂·九年级校考期末）如图，在 中， ，以 为直径作 ，交 于
点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为 ．
(1)求证： ；
(2)求证： 为 的切线．
18．（2022秋·安徽淮北·九年级校考期末）如图，在 中， ，以 为直径的 与 相交于点 ，且 ，垂足为 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2) ， 的半径为 ，求图中阴影部分的面积．
19．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）如图， 是 的直径，C，D两点在 上， ．
(1)求证： ．
(2)若 求 的半径．
20．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）已知： 如图， 的半径为5，D是半圆弧 上一动点 （不
与 重合），以 为邻边作平行四边形 ．
(1)如图1，当 时，求证：直线 是 的切线；
(2)如图2，当 时，边 与 交于另一点E，求 的长．
21．（2022秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图， 是 的半径， 是弦，且 于点 连接
并延长交 于点 ，若 ， ，求 半径 的长．22．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知 是 的直径，C为 上一点，连接 ，过点O作
于D，交弧 于点E，连接 ，交 于F．
(1)如图1，求证： ．
(2)如图2，连接 ，若 ，求 的长．
