文档内容
第02讲 平行四边形的性质和判定
考点1：平行四边形的定义
考点2：平行四边形的性质
考点3：平行四边形的判定定理
考点4：平行线的间的距离
考点5：三角形的中位线定理
重点：
（1）平行四边形性质的应用
（2）平行四边形的判定
（3）三角形中位线定理的灵活运用
难点：
（1）平行四边形性质与判定的综合证明
（2）动态几何中的平行四边形存在性问题
（3）遇中点连中位线，转化线段关系或平行关系。
知识点1：平行四边形的性质
1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
【题型1 根据平行四边形的性质求边长/周长】【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC=6，则AO的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，BE=3，则CE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式2】在 ▱ABCD中，AB=6，则CD的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
【变式3】已知在▱ABCD中，AB=4cm，BC=7cm，则▱ABCD的周长为（ ）
A．11cm B．28cm C．22cm D．44cm
【题型2 根据平行四边形的性质求角度】
【典例2】如图，在平行四边形ABCD中，∠B=50°，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．130°
【变式1】如图，在▱ABCD中，∠A=32°，则∠B的度数是（ ）
A．32° B．148° C．158° D．168°
【变式2】如图，在 ▱ABCD中，若∠A+∠C=130°，则∠B的度数是（ ）A．65° B．130° C．135° D．115°
【变式3】如图，在 ▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，若∠AEB=30°，则∠C的大小为（ ）
A．150° B．135° C．130° D．120°
【题型3 根据平行四边形的性质求点坐标】
【典例3】如图，将 ▱ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．若点A的坐标是(6，0)，点
C的坐标是(1，4)，则点B的坐标是（ ）
A．(6，4) B．(4,6) C．(7，4) D．(4，7)
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,1)，C(0,5)．若四边形OABC是平行四边形，则点B
的坐标为（ ）
A．(3,2) B．(3,4) C．(3,6) D．(3,9)
【变式2】如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为（ ）
A．(−2,−1) B．(−1,−2) C．(−1,−1) D．(−2,−2)
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(2,0)，(−2,0)，(0,3)，则顶点D的坐标为（ ）
A．(2,2) B．(2,3) C．(3,3) D．(4,3)
知识点2：平行线之间的距离与平行四边形的综合
定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之
间的距离.
性质：平行线之间距离处处相等
【题型4 利用平行线间距离的性质求解】
【典例4】如图，l ∥l ，AB=4，S =4，则点C到AB的距离为（ ）
1 2 △DAB
A．2 B．8 C．10 D．12
【变式1】如图，已知直线a∥b∥c，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点．若AB=4，
AC=10，则平行线b，c之间的距离是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．14
【变式2】如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB=5cm，AC=4cm，
那么点A到直线b的距离为（ ）A．5cm B．4cm C．3cm D．不能确定
【变式3】如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4，过点A作AE⊥BC，垂足为E，AE=2，则
AB与CD之间的距离为（ ）
8 4
A． B．6 C．❑√7 D．
3 3
知识点3：平行四边形的判定
1. 与边有关的判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边 形
3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四 边形
【题型5 添一个条件成为平行四边形】
【典例5】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，要使四边形ABCD成为平
行四边形，则应添加的条件是（ ）A．AB=CD B．AC=BD C．AO=DO D．AO=CO
【变式1】如图，要使四边形ABCD为平行四边形，则需要添加的条件是（ ）
A．∠B=∠A B．AD=BC C．AB=DC D．∠B+∠C=180°
【变式2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且BO=DO，请你添加的一个条件是
，使四边形ABCD是平行四边形．
【变式3】如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC,BF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接BE,FD，请你
只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形DFBE为平行四边形，你添加的条件是
【题型6 平行四边形的判定】
【典例6】已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=BC求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式1】如图， ▱ABCD中，E，F分别是边AB,CD的中点．求证：DE=BF．【变式2】如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥DE，AC∥DF．求证：BD=AE．
【变式3】已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且AE=CF．
(1)若∠A=70°，求∠C的度数；
(2)求证：四边形DEBF是平行四边形．
【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】
【典例7】在下面的网格图中有A，B，D三个点，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上．
请在本网格图中找出点C，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点C有
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1】在平面直角坐标系中，已知点A(−1,0)、B(2,2)、C(0,3)，在坐标平面内找一点D，使得以
A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 ．【变式2】小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，
请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．
【变式3】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示（坐标系内正方形网格的单位长度为1）：
(1)在网格内画出△ABC关于y轴对称的图形△A B C ；
1 1 1
(2)平面内有一点D，使得以点A，B，C，D构成平行四边形，请直接写出点D的坐标．
【题型8 利用平行四边形的判定与性质求解】
【典例8】如图，在平行四边形 ▱ABCD中，点M，N分别在边AB,CD上，且AM=CN，连接DM，
BN．(1)求证：四边形DMBN为平行四边形．
(2)若已知∠A=50°，CN=CB，求∠ABN的度数
【变式1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠C．
(1)求证：AD=BC；
(2)若∠A=40°，求∠B的度数．
【变式2】如图，在 ▱ABCD中，过点B作BM⊥AC，交AC于点E，交CD于点M，过点D作
DN⊥AC，交AC于点F，交AB于点N．
(1)求证：四边形BMDN是平行四边形；
(2)已知AF=12,EM=5，求AN的长．
【变式3】如图，在 ▱ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，且AE=CF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)连接CE，若CE平分∠DCB，CF=2，DE=3，求 ▱ABCD的周长．知识点4：三角形的中位线定理
1.定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线（一个三角形有3条中位线）。
2.核心定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
3.推论：三条中位线围成的三角形，周长是原三角形的 ，面积是原三角形的
【题型9 与三角形中位线有关的求解问题】
【典例9】如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△≝¿的周长为5，则△ABC的周长为（ ）
A．12 B．10 C．5 D．2．5
【变式1】如图，为测量池塘两端A、B的距离，小明在池塘外选取了一个点C，使得点C可以直接到达A、
B，他分别找到AC、BC的中点D、E，并且测得DE的长为16米，则池塘两端A、B的距离为（ ）
A．8米 B．20米 C．25米 D．32米
【变式2】如图，D是△ABC内一点，连接DA，DB，DC，E，F，G，H分别为AB，BD，CD，AC
的中点．若BC=10，AD=6，则四边形EFGH的周长是（ ）A．8 B．12 C．16 D．20
【变式3】如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB=6，BC=9，则EF的长
为（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
1．如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=5，则AD的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，在 ▱ABCD中，若∠A=138°，则∠C的度数为（ ）
A．148° B．42° C．120° D．138°
3．如图，在 中，点O是对角线 ， 的交点，下列结论错误的是（ ）
▱ABCD AC BDA．AC=BD B．AD∥BC C．OB=OD D．AD=BC
4．以下条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=CD,BC=AD B．AB=CD,AB ∥CD
C．∠A=∠C,∠B=∠D D．AB=CD,AD ∥BC
5．如图，在 ▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC．若BD=8，AC=4，则AB的长为
（ ）
A．❑√22 B．2❑√7 C．❑√30 D．2❑√13
6．如图，在 ▱ABCD中，AB=7，AD=5，则 ▱ABCD的周长为 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A(−3,2)，B(−1,−2)，C(3,−2)，则点D的
坐标为 ．
8.如图，MN∥AB，P，Q为直线MN上的任意两点，若S =5，则S = ．
△ABP △ABQ9．如图，∠1=∠2，AD∥BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别在边BC、AD上，且BE=DF，连接AC、EF、
AE、CF，AC与EF相交于点P，求证：PA=PC．
11．如图，在 ▱ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且BE=DF，连结AE，CF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)连结AC，若AC平分∠EAF，∠ABC=90°，AB=12，BC=16，求AF的长．
