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第二课时——圆有关的性质（2）
知识点一：认识圆心角：
1. 圆心角的概念：
顶点在 且角的两边为 所在的射线的角叫做圆心角。
2. 圆心角的大小：
圆心角α的度数范围为 。
【类型一：圆心角的认识与理解】
1．下图中∠ACB是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角
B．圆心角 的取值范围是0°＜ ＜180°
α α
C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角
D．圆心角就是在圆心的角
知识点一：弦、弧以及圆心角之间的关系：
1. 定理：在 中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等。
2. 推论：在 中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的另外两组量都分别相等。
特别说明：必须在同圆和等圆中，且这里所说的两条弧要么同为优弧，要么同为劣弧，
通常默认为劣弧。圆心角相等、所对的弦相等、所对的弧相等这三个量知一推二。
3. 弧的度数：弧的度数等于它所对的 的度数。
【类型一：利用三者关系求角】
3．如图，在 O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝ ．
⊙
第3题 第4题
⌒
4．如图，AB为半圆O的直径，点C、D为AE的三等分点，若∠COD＝50°，则∠BOE的度数是（ ）
A．25° B．30° C．50° D．60°
⌒ ⌒
5．如图，已知AB、CD是 O的直径，AE＝AC，∠BOD＝32°，则∠COE的度数为 度．
⊙
第5题 第6题
⌒ ⌒
6．如图，在 O中，AC＝BD，若∠AOB＝40°，则∠COD＝ °．
⊙
【类型二：利用弦弧关系求弦以及弧长二倍关系】7．如图，AB和DE是 O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝ ．
⊙
第7题 第8题
⌒ ⌒
8．如图，在 O中，AC＝2AB，则以下数量关系正确的是（ ）
⊙
A．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB
⌒ ⌒
9．如图所示，在 O中，AB＝2CD，那么（ ）
⊙
第9题 第10题
A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法比较
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
10．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB、 CD、 EF，如果AB+CD＝EF，那么AB+CD与EF的大小
关系是（ ）
A．AB+CD＝EF B．AB+CD＞EF C．AB+CD＜EF D．不能确定
【类型二：与圆心角、弧以及弦有关的证明】
11．如图， O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：
⊙
（1）AC＝BD； （2）CE＝BE．⌒ ⌒
12．如图，在 O中，AC＝CB，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
⊙
（1）求证：CD＝CE；
（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．13．如图，AB是 O的直径，AC＝BD，∠COD＝60°．求证：
⊙
⌒ ⌒
（1）AD＝BC； （2）△AOC是等边三角形； （3）OC∥BD．
知识点一：圆周角：
1. 圆周角的定义：
如图，像∠BAC这样顶点在 ，且两边都与圆 的
角叫做圆周角。
2. 圆周角定理：在 或 中，同弧或等弧所对的圆周角 ，
且都等于这条弧所对的圆心角的 。
即：∠BAC＝ ＝ ＝ ∠BOC
3. 圆周角定理的推论：
半圆或直径所对的圆周角是 。90°的圆周角所对的弦是 。
特别提示：圆周角定理必须在同圆或等圆中进行使用。
【类型一：圆周角的认识】
14．如图，∠APB是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
15．下面图形中的角，是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【类型二：利用圆周定理求角度】
16．如图，AB 是 O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E．如果∠OCE＝50°，那么
∠ABD＝（ ）
⊙
A．50° B．60° C．70° D．80°
⌒ ⌒
17．如图，在 O中，AB是直径，∠A＝20°，BD＝BC，则∠BOD等于（ ）
⊙第17题 第18题
A．20° B．30° C．40° D．50°
18．如图，在 O中，OA⊥BC，∠ADB＝25°．则∠AOC的度数为（ ）
⊙
A．30° B．45° C．50° D．55°
19．如图，A，B，C是 O上的三点，AB，AC在圆心O的两侧，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则
∠BOC的度数为（ ）
⊙
第18题 第19题
A．100° B．110° C．125° D．130°
20．如图， O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝30°，则∠ACB的大小为（ ）
⊙
A．60° B．30° C．45° D．50°
【类型三：利用直径所对圆周角是直角求解】
21．如图，AB是 O的直径，点C、D是 O上的点，若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（ ）
⊙ ⊙
第21题 第22题A．65° B．55° C．60° D．75°
22．如图，AB是 O的直径，CD是 O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（ ）
⊙ ⊙
A．36° B．44° C．54° D．56°
23．如图，AB是 O的直径，CD是 O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是 ．
⊙ ⊙
第23题 第24题
24．如图， O中直径AB⊥DG于点C，点D是弧EB的中点，CD与BE交于点F．下列结论：①∠A＝
∠E，②∠ADB＝90°，③FB＝FD中正确的个数为（ ）
⊙
A．0 B．1 C．2 D．3
25．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作 O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、
DE．
⊙
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE＝6，BD﹣AD＝4，求 O的半径．
⊙知识点一：内接四边形：
1. 内接四边形的概念：
如图：四个顶点都在 的四边形叫做圆的内接四边形。
2. 内接四边形的性质：
（1）圆内接四边形的对角 。
即∠B＋∠D＝ ，∠C＋∠BAD＝ 。
（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的 （就是
和它相邻的内角的对角）
即∠EAD＝ 。
【类型一：利用圆内接四边形的性质求角度】
26．如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝ °．
⊙第26题 第27题 第28题
27．如图，四边形ABCD内接于 O，若∠BOD＝138°，则它的一个外角∠DCE等于 ．
⊙
28．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D＝ °．
⌒ ⌒
29．如图，四边形ABCD内接于 O，连接BD．若AC＝BC，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
⊙
A．125° B．130° C．135° D．140°
⌒ ⌒ ⌒
30．如图，四边形ABCD内接于 O，F是CD上一点，且DF＝BC，连接CF并延长交AD的延长线于点
E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（ ）
⊙
A．60° B．55°
C．50° D．45°
一、选择题（10题）
1．下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧
C．相等的弦所对的圆心角相等
D．等弧所对的弦相等
⌒
2．如图，在 O中C为AB的中点，BC＝2 ，O到AB的距离为1，则半径的长（ ）
⊙
第2题 第3题 第4题A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图所示，正六边形ABCDEF内接于圆O，则∠ADB的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
4．如图，半径为R的 O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AB、AD，若AD＝ ，则半径R的长为
（ ）
⊙
A．1 B． C． D．
⌒
5． O中，M为AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
⊙
A．AB＞2AM
B．AB＝2AM
C．AB＜2AM
D．AB与2AM的大小不能确定
6．如图，△ABC内接于 O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（ ）
⊙
A． B．2 C．2 D．4 第6题
7．如图，AE是四边形ABCD外接圆 O的直径，AD＝CD，∠B＝50°，则∠DAE的度数为（ ）
⊙
第7题 第8题 第9题
A．70° B．65° C．60° D．55°
⌒
8．如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，且∠ADC＝120°，点E是AD上任意一点，连接BE、CE．则
∠BEC的度数为（ ）A．20° B．30° C．40° D．60°
9．如图，四边形 ABCD是 O的内接四边形，BE是 O的直径，连接 AE．若∠BCD＝2∠BAD，则
∠DAE的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．30° B．35° C．45° D．60°
10．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
第10题 第12题 第13题
A．4 cm B．3 cm C．5 cm D．4cm
二、填空题（6题）
11．在半径为9cm的圆中，60°的圆心角所对的弦长为 cm．
⌒ ⌒
12．如图，CD为 O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，AB＝BF，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为
．
⊙
13．如图，四边形ABCD内接于 O，若∠BOD＝140°，则它的一个外角∠DCE＝ ．
⊙
14．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果∠A＝15°，弦CD＝4，那
么AB的长是 ．
⊙
15．如图，A是 O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在 O上且平分
⌒
⊙ ⊙
BC，则DC的长为 ．第15题 第16题
16．如图， O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3 ，则 O的周长为 ．
⊙ ⊙
三、解答题（4题）
17．如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若AD＝6， O的半径为5，求BC的长．
⊙
⌒
18．如图，AB是 O的直径，点C是圆上一点，点D为BC的中点，过点D作DE⊥AB于E，交BC于点
⊙F．
（1）求证：DF＝BF；
（2）若AC＝6， O的半径为5，求BD的长．
⊙
19．如图，AB 为 O 的直径，点 C 在 O 上，过点 O 作 OD⊥BC 交 BC 于点 E，交 O 于点 D，
CD∥AB．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：E为OD的中点；
（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．20．如图，AB是 O的直径，点C、D是 O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．
⊙ ⊙
⌒
（1）求证：点D为AC的中点；
（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；
（3）若 O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出
PC+PD的最小值．
⊙
