文档内容
第二课时——圆有关的性质（2）（答案卷）
知识点一：认识圆心角：
1. 圆心角的概念：
顶点在 圆心 且角的两边为 半径 所在的射线的角叫做圆心角。
2. 圆心角的大小：
圆心角α的度数范围为 0 ° ＜ α ＜ 360 ° 。
【类型一：圆心角的认识与理解】
1．下图中∠ACB是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据圆心角的概念判断．
【解答】解：A、∠ACB不是圆心角；
B、∠ACB是圆心角；
C、∠ACB不是圆心角；
D、∠ACB不是圆心角；
故选：B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角
B．圆心角 的取值范围是0°＜ ＜180°
α αC．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角
D．圆心角就是在圆心的角
【分析】由圆心角的定义：圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，即可求得答
案．
【解答】解：∵圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，
∴A、D错误，C正确；
∵圆心角 的取值范围是0°＜ ＜360°，
α α
∴B错误．
故选：C．
知识点一：弦、弧以及圆心角之间的关系：
1. 定理：在 同圆和等圆 中，相等的圆心角所对的 弧 相等，所对的 弦 也相等。
2. 推论：在 同圆或等圆 中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么
它们所对应的另外两组量都分别相等。
特别说明：必须在同圆和等圆中，且这里所说的两条弧要么同为优弧，要么同为劣弧，
通常默认为劣弧。圆心角相等、所对的弦相等、所对的弧相等这三个量知一推二。
3. 弧的度数：弧的度数等于它所对的 圆心角 的度数。
【类型一：利用三者关系求角】
3．如图，在 O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝ ．
⊙【分析】证明 ＝ 可得结论．
【解答】解：∵AC＝BD，
∴ ＝ ，
∴∠BOD＝∠AOC＝120°，
故答案为：120°．
⌒
4．如图，AB为半圆O的直径，点C、D为AE的三等分点，若∠COD＝50°，则∠BOE的度数是（ ）
A．25° B．30° C．50° D．60°
【分析】求出∠AOE，可得结论．
【解答】解：∵点C、D为 的三等分点，
∴ ＝ ＝ ，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝50°，
∴∠AOE＝150°，
∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝30°，
故选：B．
⌒ ⌒
5．如图，已知AB、CD是 O的直径，AE＝AC，∠BOD＝32°，则∠COE的度数为 度．
⊙
【分析】根据对顶角相等求出∠AOC＝32°，根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠AOC＝∠AOE，求
出∠AOE的度数，再求出答案即可．【解答】解：∵∠BOD＝32°，
∴∠AOC＝∠BOD＝32°，
∵ ＝ ，
∴∠AOE＝∠AOC＝32°，
∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝32°+32°＝64°，
故答案为：64．
⌒ ⌒
6．如图，在 O中，AC＝BD，若∠AOB＝40°，则∠COD＝ °．
⊙
【分析】先根据在 O中， ＝ ，可得出 ＝ ，再由∠AOB＝40°即可得出结论．
⊙
【解答】解：∵在 O中， ＝ ，
⊙
∴ ＝ ，
∵∠AOB＝40°，
∴∠COD＝∠AOB＝40°．
故答案为：40．
【类型二：利用弦弧关系求弦以及弧长二倍关系】
7．如图，AB和DE是 O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝ ．
⊙
【分析】连接OC，根据平行线的性质及圆周角与圆心角的关系可得到∠1＝∠2，从而即可求得CE的长．
【解答】解：连接OC，
∵AC∥DE，
∴∠A＝∠1．∠2＝∠ACO，
∵∠A＝∠ACO，
∴∠1＝∠2．
∴CE＝BE＝3．
⌒ ⌒
8．如图，在 O中，AC＝2AB，则以下数量关系正确的是（ ）
⊙
A．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB
【分析】如图连接BC，首先证明AB＝BC，利用三角形的三边关系即可解决问题．
【解答】解：如图．连接BC．
∵ ＝2 ，
∴ ＝ ，
∴AB＝BC，∴AB+BC＞AC，
∴2AB＞AC，
故选：C．
⌒ ⌒
9．如图所示，在 O中，AB＝2CD，那么（ ）
⊙
A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法比较
【分析】如图，在圆上截取弧DE＝弧CD，再根据“根据三角形的三边关系”可解．
【解答】解：如图，在圆上截取弧DE＝弧CD，则有：弧AB＝弧CE，AB＝CE根据三角形的三边关系
知，
CD+DE＝2CD＞CE＝AB，
∴AB＜2CD．
故选：B．
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
10．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB、 CD、 EF，如果AB+CD＝EF，那么AB+CD与EF的大小
关系是（ ）
A．AB+CD＝EF B．AB+CD＞EF C．AB+CD＜EF D．不能确定【分析】在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，推出弧FM＝弧AB，根据圆心角、弧、弦的关系得到
AB＝FM，CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM+EM＞FE即可．
【解答】解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，
则弧FM＝弧AB，
∴AB＝FM，CD＝EM，
在△MEF中，FM+EM＞EF，
∴AB+CD＞EF．
故选：B．
【类型二：与圆心角、弧以及弦有关的证明】
11．如图， O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：
⊙
（1）AC＝BD； （2）CE＝BE．
【分析】（1）由AB＝CD得到 ＝ ，则 ＝ ，然后利用圆心角、弧、
弦的关系得到结论；
∴（2）根据圆周角定理，由 ＝ 得到∠ADC＝∠DAB，则EA＝ED，然后利用AB＝CD得到CE＝
BE．
【解答】证明：（1）∵AB＝CD，
∴ ＝ ，
即 + ＝ + ，
∴ ＝ ，
∴AC＝BD；（2）∵ ＝ ，
∴∠ADC＝∠DAB，
∴EA＝ED，
∵AB＝CD，
即AE+BE＝CE+DE，
∴CE＝BE．
⌒ ⌒
12．如图，在 O中，AC＝CB，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
⊙
（1）求证：CD＝CE；
（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定
理证明结论；
（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵ ＝ ，
∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE；
（2）解：∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD＝ OC＝1，
∴CD＝ ＝ ＝ ，∴△OCD的面积＝ ×OD×CD＝ ，
同理可得，△OCE的面积＝ ×OE×CE＝ ，
∴四边形DOEC的面积＝ + ＝ ．
13．如图，AB是 O的直径，AC＝BD，∠COD＝60°．求证：
⊙
⌒ ⌒
（1）AD＝BC；
（2）△AOC是等边三角形；
（3）OC∥BD．
【分析】（1）由圆周角、弧、弦的关系进行证明即可；
（2）欲证明△AOC是等边三角形，只需证得等腰△AOC的一内角为60度即可；
（3）通过△OBD的等边三角形得到∠OBD＝∠AOC＝60°，则由“同位角相等，两直线平行”证得结
论．
【解答】证明：（1）如图，∵AC＝BD，
∴ ＝ ，
∴ + ＝ + ，即 ＝ ；
（2）∵AC＝BD，
∴∠AOC＝∠BOD
∵∠COD＝60°
∴∠AOC＝∠BOD＝60°，
又∵OC＝OA
∴△AOC是等边三角形；
（3）由（2）知，∠AOC＝∠BOD＝60°，
又∵OD＝OB，∴△BOD是等边三角形，
∴∠OBD＝∠AOC＝60°，
∴OC∥BD．
知识点一：圆周角：
1. 圆周角的定义：
如图，像∠BAC这样顶点在 圆上 ，且两边都与圆 相交 的
角叫做圆周角。
2. 圆周角定理：
在 同圆 或 等圆 中，同弧或等弧所对的圆周角 相等 ，
且都等于这条弧所对的圆心角的 一半 。
即：∠BAC＝ ∠ BDC ＝ ∠ BEC ＝ ∠BOC
3. 圆周角定理的推论：
半圆或直径所对的圆周角是 直角 。90°的圆周角所对的弦是 直径 。
特别提示：圆周角定理必须在同圆或等圆中进行使用。
【类型一：圆周角的认识】14．如图，∠APB是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据圆周角的概念：顶点在圆周上，且两边都与圆相交的角叫圆周角就可判断．
【解答】解：A、B顶点没在圆上，C虽然顶点在圆上，但一条边没有与圆相交，D符合圆周角的概念，
故选：D．
15．下面图形中的角，是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．即可求得答案，注意
排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：∵圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
∴是圆周角的是B．
故选：B．
【类型二：利用圆周定理求角度】
16．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E．如果∠OCE＝50°，那么∠ABD＝（ ）
⊙
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】连接OD，根据垂径定理求出 ＝ ，求出∠COB＝∠DOB＝40°，根据OB＝OD得出∠ABD
＝∠ODB，再求出答案即可．【解答】解：连接OD，
∵CD⊥AB，AB过O，
∴ ＝ ，
∴∠COB＝∠DOB，
∵CD⊥AB，
∴∠OEC＝90°，
∵∠OCE＝50°，
∴∠COB＝90°﹣∠OCE＝40°，
∴∠DOB＝40°，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB＝ （180°﹣∠DOB）＝ （180°﹣40°）＝70°，
故选：C．
⌒ ⌒
17．如图，在 O中，AB是直径，∠A＝20°，BD＝BC，则∠BOD等于（ ）
⊙
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】连接OC，先由圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据等弧所对的圆周角相等即可得出结论．
【解答】解：连接OC，如图所示：∵∠A＝20°，
∴∠BOC＝2∠A＝40°；
∵弧BD＝弧BC，
∴∠BOD＝∠BOC＝40°．
故选：C．
18．如图，在 O中，OA⊥BC，∠ADB＝25°．则∠AOC的度数为（ ）
⊙
A．30° B．45° C．50° D．55°
【分析】根据题意可知 ＝ ，即可推出∠AOC＝50°．
【解答】解：∵OA⊥BC，∠ADB＝25°，
∴ ＝ ，
∴∠AOC＝2∠ADB＝50°．
故选：C．
19．如图，A，B，C是 O上的三点，AB，AC在圆心O的两侧，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则
∠BOC的度数为（ ）
⊙A．100° B．110° C．125° D．130°
【分析】过A、O作 O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出
∠BOC＝2∠ABO+2∠ACO．
⊙
【解答】解：过A作 O的直径，交 O于D．
⊙ ⊙
在△OAB中，OA＝OB，
则∠BOD＝∠ABO+∠OAB＝2×20°＝40°，
同理可得：∠COD＝∠ACO+∠OAC＝2×30°＝60°，
故∠BOC＝∠BOD+∠COD＝100°．
故选：A．
20．如图， O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝30°，则∠ACB的大小为（ ）
⊙
A．60° B．30° C．45° D．50°
【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角
的关系求出∠ACB的度数．【解答】解：△AOB中，OA＝OB，∠ABO＝30°；
∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝120°；
∴∠ACB＝ ∠AOB＝60°；故选A．
【类型三：利用直径所对圆周角是直角求解】
21．如图，AB是 O的直径，点C、D是 O上的点，若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．65° B．55° C．60° D．75°
【分析】由AB为 O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又由∠CAB＝25°，
得出∠B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得∠ADC的度数．
⊙
【解答】解：∵AB为 O的直径，
⊙
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝25°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝65°，
∴∠ADC＝∠ABC＝65°．
故选：A．
22．如图，AB是 O的直径，CD是 O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（ ）
⊙ ⊙
A．36° B．44° C．54° D．56°【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝36°，可求得∠ABD的度数，
再根据直角三角形的性质求出答案．
【解答】解：∵AB是 O的直径，
⊙
∴∠ADB＝90°，
∵ ＝ ，
∴∠ABD＝∠ACD＝36°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣36°＝54°，
故选：C．
23．如图，AB是 O的直径，CD是 O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是 ．
⊙ ⊙
【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB＝90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B＝
90°﹣∠CAB＝35°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出∠D＝∠B＝35°．
【解答】解：∵AB是 O的直径，
⊙
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
故答案为：35°．
24．如图， O中直径AB⊥DG于点C，点D是弧EB的中点，CD与BE交于点F．下列结论：①∠A＝
∠E，②∠ADB＝90°，③FB＝FD中正确的个数为（ ）
⊙A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据圆周角定理对①②进行判断；根据垂径定理，由AB⊥DG得到 ＝ ，而 ＝ ，所
以 ＝ ，根据圆周角定理得到∠DBE＝∠BDG，从而可对③进行判断．
【解答】解：∵∠A与∠E都对 ，
∴∠A＝∠E，所以①正确；
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，所以②正确；
∵AB⊥DG，
∴ ＝ ，
∵点D是弧EB的中点，
即 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴∠DBE＝∠BDG，
∴FB＝FD，所以③正确．
故选：D．
25．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作 O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、
DE．
⊙
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE＝6，BD﹣AD＝4，求 O的半径．
⊙【分析】（1）根据圆周角定理求得AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；
（2）先求得∠E＝∠C，根据等角对等边求得BD＝DC＝DE＝6，进而求得AD＝2，然后根据勾股定理
求得AB，即可求得圆的半径；
【解答】（1）证明：
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC，
∴D是BC的中点；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C，
∴BD＝DC＝DE＝6，
∵BD﹣AD＝4，
∴AD＝2，
在直角三角形ABD中，AB＝2 ，
∴ O的半径为 ．
⊙
知识点一：内接四边形：
1. 内接四边形的概念：
如图：四个顶点都在 圆上 的四边形叫做圆的内接四边形。
2. 内接四边形的性质：（1）圆内接四边形的对角 互补 。
即∠B＋∠D＝ 180 ° ，∠C＋∠BAD＝ 180 ° 。
（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的 内对角 （就是
和它相邻的内角的对角）
即∠EAD＝ ∠ C 。
【类型一：利用圆内接四边形的性质求角度】
26．如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝ °．
⊙
【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠BOD＝100°，
∴∠A＝50°．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130．
27．如图，四边形ABCD内接于 O，若∠BOD＝138°，则它的一个外角∠DCE等于 ．
⊙
【分析】由∠BOD＝138°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠A的度数，又由圆的内接四边四边形的性质，求得∠BCD的度数，继而求得∠DCE
的度数
【解答】解：∵∠BOD＝138°，
∴∠A＝ ∠BOD＝69°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝111°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝69°．
故答案为：69°．
28．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D＝ °．
【分析】设∠A为x，根据圆内接四边形的性质列出方程，解方程即可．
【解答】解：设∠A为x，则∠B为2x，∠C为3x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，
则x+3x＝180°，
解得，x＝45°，
∴∠B＝2x＝90°，
∴∠D＝90°，
故答案为：90．
⌒ ⌒
29．如图，四边形ABCD内接于 O，连接BD．若AC＝BC，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
⊙
A．125° B．130° C．135° D．140°
【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC＝100°，再根据 得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．
【解答】解：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵ ，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝ ∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．
故选：B．
⌒ ⌒ ⌒
30．如图，四边形ABCD内接于 O，F是CD上一点，且DF＝BC，连接CF并延长交AD的延长线于点
E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（ ）
⊙
A．60° B．55° C．50° D．45°
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三
角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于 O，∠ABC＝105°，
⊙∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．
∵ ＝ ，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．
故选：C．一、选择题（10题）
1．下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧
C．相等的弦所对的圆心角相等
D．等弧所对的弦相等
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A、C、D进行判断；根据垂径定理的推论对B进行判断．
【解答】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以A选项的说法错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直弦并平分弦所对的弧，所以B选项的说法错误；
C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角对应相等，所以C选项的说法错误；
D、等弧所对的弦相等，所以D选项的说法正确．
故选：D．
⌒
2．如图，在 O中C为AB的中点，BC＝2 ，O到AB的距离为1，则半径的长（ ）
⊙
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】连接OC交AB于D，如图，设 O的半径为r，利用垂径定理的推论得到OC⊥AB，所以OD
＝1，再利用勾股定理得BD2＝r2﹣1，BD⊙2＝（2 ）2﹣（r﹣1）2，所以r2﹣1＝（2 ）2﹣（r﹣1）
2，然后解关于r的方程即可．
【解答】解：连接OC交AB于D，如图，设 O的半径为r，
⊙
∵C为 的中点，∴OC⊥AB，
∴OD＝1，
在Rt△CDB中，BD2＝r2﹣1，
在Rt△BCD中，BD2＝（2 ）2﹣（r﹣1）2，
∴r2﹣1＝（2 ）2﹣（r﹣1）2，解得r ＝3，r ＝﹣2（舍去），
1 2
即圆的半径为3．
故选：B．
3．如图所示，正六边形ABCDEF内接于圆O，则∠ADB的度数为（ ）
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
【分析】由正六边形ABCDEF，可求出 的度数，再得到∠ADB的度数．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于圆O
∴ 的度数等于360°÷6＝60°
∴∠ADB＝30°
故选：C．
4．如图，半径为R的 O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AB、AD，若AD＝ ，则半径R的长为
（ ）
⊙A．1 B． C． D．
【分析】由弦 AC＝BD，可得， ，继而可得 ，然后由圆周角定理，证得∠ABD＝
∠BAC，即可判定AE＝BE；连接OA，OD，由AE＝BE，AC⊥BD，可求得∠ABD＝45°，继而可得
△AOD是等腰直角三角形，则可求得AD＝ R，可解答．
【解答】解：∵弦AC＝BD，
∴ ，
∴ ，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE；
如图，连接OA，OD，
∵AC⊥BD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，
∵OA＝OD，
∴AD＝ R，
∵AD＝ ，
∴R＝1，
故选：A．
⌒
5． O中，M为AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
⊙A．AB＞2AM
B．AB＝2AM
C．AB＜2AM
D．AB与2AM的大小不能确定
【分析】以及等弧所对的弦相等，以及三角形中两边之和大于第三边，即可判断．
【解答】解：连接BM．
∵M为 的中点，
∴AM＝BM，
∵AM+BM＞AB，
∴AB＜2AM．
故选：C．
6．如图，△ABC内接于 O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（ ）
⊙
A． B．2 C．2 D．4
【分析】根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝90°，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝90°，
∴BC＝ OC＝2 ，
故选：B．
7．如图，AE是四边形ABCD外接圆 O的直径，AD＝CD，∠B＝50°，则∠DAE的度数为（ ）
⊙A．70° B．65° C．60° D．55°
【分析】连接OC、OD，利用圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理求得∠AOD＝50°，然后根据的等
腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求得∠DAE＝65°．
【解答】解：连接OC、OD，
∵AD＝CD，
∴ ＝ ，
∴∠AOD＝∠COD，
∵∠AOC＝2∠B＝2×50°＝100°，
∴AOD＝50°，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝ ＝65°，即∠DAE＝65°，
故选：B．
⌒
8．如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，且∠ADC＝120°，点E是AD上任意一点，连接BE、CE．则
∠BEC的度数为（ ）A．20° B．30° C．40° D．60°
【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝30°，然后根据圆周
角定理得到∠BEC的度数．
【解答】解：连接BD，如图
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝120°﹣90°＝30°，
∴∠BEC＝∠BDC＝30°．
故选：B．
9．如图，四边形 ABCD是 O的内接四边形，BE是 O的直径，连接 AE．若∠BCD＝2∠BAD，则
∠DAE的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．30° B．35° C．45° D．60°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，结合图形计算，
得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
⊙
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠BCD＝2∠BAD，
∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°，∵BE是 O的直径，
⊙
∴∠BAE＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
故选：A．
10．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（ ）
A．4 cm B．3 cm C．5 cm D．4cm
【分析】证明∠ACB＝∠ADB＝90°，则BC＝ ＝8，而AD平分∠BAC，则CE＝BE＝4，进而
求解．
【解答】解：
连接CD、BD、OD、BC，设OD交BC于点E，
则∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴BC＝ ＝8，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴ ，
∴CE＝BE＝4，∠OEB＝90°，
在Rt△OEB中，OE＝ ＝3，则DE＝2，
∴BD＝ ＝ ＝2 ，
在Rt△ABD中，AD＝ ＝4 ．
故选：A．二、填空题（6题）
11．在半径为9cm的圆中，60°的圆心角所对的弦长为 cm．
【分析】圆心角为60°，且半径相等可得等边三角形，此题易解．
【解答】解：由题意知，设圆心为O，60°的圆心角的两边与圆的交点分别为A，B，则△AOB是等边三
角形，∴AO＝AB＝OB＝9cm．
⌒ ⌒
12．如图，CD为 O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，AB＝BF，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为
．
⊙
【分析】连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝3，设 O的半径为r，则
OE＝r﹣1，OA＝r，根据勾股定理得到32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，然后利用面积法出AG，从而得到
⊙
AF的长．
【解答】解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，
∵AB⊥CD，
∴AE＝BE＝ AB＝3，
设 O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，
⊙
在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，
∴OE＝5﹣1＝4，
∵ ＝ ，
∴OB⊥AF，AG＝FG，
∵ AG•OB＝ OE•AB，
∴AG＝ ＝ ，∴AF＝2AG＝ ．
故答案为 ．
13．如图，四边形ABCD内接于 O，若∠BOD＝140°，则它的一个外角∠DCE＝ ．
⊙
【分析】先根据圆周角定理求出∠BAD的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠BCD的度数，由补角
的定义即可得出结论．
【解答】解：∵∠BOD与∠BAD是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOD＝140°，
∴∠BAD＝ ∠BOD＝ ×140°＝70°，
∵四边形ABCD内接于 O，
⊙
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣70°＝110°，
∵∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70°．
14．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果∠A＝15°，弦CD＝4，那么AB的长是 ．
⊙
【分析】根据圆周角定理得出∠COB＝30°，再利用含30°的直角三角形的性质得出OC，进而解答即可．【解答】解：∵∠A＝15°，
∴∠COB＝30°，
∵AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦CD＝4，
⊙
∴CE＝2，∠OEC＝90°
∵∠COE＝30°，
∴OC＝2CE＝4，
∴AB＝2OC＝8，
故答案为：8
⌒
15．如图，A是 O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在 O上且平分BC，则DC的长为 ．
⊙ ⊙
【分析】由BC是 O的直径知∠BAC＝∠BDC＝90°，勾股定理可求得BC，再由圆的性质进而可求得
DC长．
⊙
【解答】解：∵A是 O上一点，BC是直径，
⊙
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4，
由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2，即BC2＝22+42＝20，
∵点D在 O上且平分 ，
⊙
∴BD＝DC，
∴在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD2+DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝20，
解得：DC＝ ，故答案为： ．
16．如图， O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3 ，则 O的周长为 ．
⊙ ⊙
【分析】接 AB，AO，DO，根据 O 的弦 AC＝BD 求出 ＝ ，根据圆周角定理求出∠BAC＝
⊙
∠ABD，求出∠ABD＝∠BAC＝ （180°﹣∠AEB）＝45°，根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ABD＝
90°，解直角三角形求出AO，再求出答案即可．
【解答】解：连接AB，AO，DO，
∵ O的弦AC＝BD，
⊙
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴∠BAC＝∠ABD，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABD＝∠BAC＝ （180°﹣∠AEB）＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，
即△AOD是等腰直角三角形，∵AD＝3 ，AO2+OD2＝AD2，
∴AO＝3 ，
∴ O的周长是2× ×3 ＝6 ，
⊙ π π
故答案为6 ．
π
三、解答题（4题）
17．如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若AD＝6， O的半径为5，求BC的长．
⊙
【分析】（1）连接ACAC，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，证出∠BAC＝
∠BCE；由 C 是弧 BD 的中点，得到∠DBC＝∠BAC，延长∠BCE＝
∠DBC，即可得到结论；
CF＝BF．
（2）连接OC交BD于G，由圆周角定理得出∠ADB＝90°，由勾股定理得出BD＝ ＝8，由
垂径定理得出OC⊥BD，DG＝BG＝ BD＝4，证出OG是△ABD的中位线，得出OG＝ AD＝3，求出
CG＝OC﹣OG＝2，在Rt△BCG中，由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接AC，如图1所示：
∵C是弧BD的中点，
∴∠DBC＝∠BAC，
在ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°，
∴∠BCE＝∠BAC，
又C是弧BD的中点，
∴∠DBC＝∠CDB，∴∠BCE＝∠DBC，
∴CF＝BF．
（2）解：连接OC交BD于G，如图2所示：
∵AB是O的直径，AB＝2OC＝10，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝ ＝ ＝8，
∵C是弧BD的中点，
∴OC⊥BD，DG＝BG＝ BD＝4，
∵OA＝OB，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG＝ AD＝3，
∴CG＝OC﹣OG＝5﹣3＝2，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC＝ ＝ ＝2 ．
⌒
18．如图，AB是 O的直径，点C是圆上一点，点D为BC的中点，过点D作DE⊥AB于E，交BC于点
F．
⊙
（1）求证：DF＝BF；
（2）若AC＝6， O的半径为5，求BD的长．
⊙
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理及 DE⊥AB得出∠DAB＝∠BDE，由点D为 的中点得出
∠CBD＝∠DAB，进而得到∠CBD＝∠BDE，即可证明DF＝BF；
（2）连接OD交BC于点H，由勾股定理得出BC＝8，由垂径定理得出BH＝4，再由勾股定理得到OH
＝3，进而求得DH＝2，再由勾股定理即可得出BD的长度．
【解答】（1）证明：如图1，连接AD，∵AB是 O的直径，
⊙
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE+ABD＝90°，
∴∠DAB＝∠BDE，
∵点D为 的中点，
∴ ，
∴∠CBD＝∠DAB，
∴∠CBD＝∠BDE，
∴DF＝BF；
（2）解：如图2，连接OD交BC于点H，
∵AB是 O的直径， O的半径为5，
⊙ ⊙
∴∠ACB＝90°，AB＝10，
∵AC＝6，∴BC＝ ＝ ＝8，
∵点D为 的中点，
∴OD⊥BC，
∴BH＝ BC＝ ×8＝4，
∴OH＝ ＝ ＝3，
∴DH＝OD﹣OH＝5﹣3＝2，
∴BD＝ ＝ ＝2 ．
19．如图，AB 为 O 的直径，点 C 在 O 上，过点 O 作 OD⊥BC 交 BC 于点 E，交 O 于点 D，
CD∥AB．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：E为OD的中点；
（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及垂径定理证明即可；
（2）根据平行四边形的判定和勾股定理解答即可．
【解答】（1）证明；在 O中，OD⊥BC于E，
⊙
∴CE＝BE，
∵CD∥AB，
∴∠DCE＝∠B，
在△DCE与△OBE中，
，
∴△DCE≌△OBE（ASA），
∴DE＝OE，∴E是OD的中点；
（2）解：连接OC，
∵AB是 O的直径，
⊙
∴∠ACB＝90°，
∵OD⊥BC，
∴∠CED＝90°＝∠ACB，
∴AC∥OD，
∵CD∥AB，
∴四边形CAOD是平行四边形，
∵E是OD的中点，CE⊥OD，
∴OC＝CD，
∵OC＝OD，
∴OC＝OD＝CD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴∠DCE＝90°﹣∠D＝30°，
在Rt△CDE中，CD＝2DE，
∵BC＝6，
∴CE＝BE＝3，
∵CE2+DE2＝CD2＝4DE2，∴DE＝ ，CD＝2 ，
∴OD＝CD＝2 ，
∴四边形CAOD的面积＝OD•CE＝6 ．
20．如图，AB是 O的直径，点C、D是 O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．
⊙ ⊙
⌒
（1）求证：点D为AC的中点；
（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；
（3）若 O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．
⊙
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为 的
中点；
（2）证明OF为△ACB的中位线得到OF＝ BC＝3，然后计算OD﹣OF即可；
（3）作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此
时PC+PD的值最小，再计算出∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，然后根据等腰三角形的性
质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC+PD的最小值．
【解答】（1）∵AB是 O的直径，
⊙
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴ ＝ ，即点D为 的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线，
∴OF＝ BC＝3，
∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；
（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，
∵PC＝PC′，
∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，
∴此时PC+PD的值最小，
∵ ＝ ，
∴∠COD＝∠AOD＝80°，
∴∠BOC＝20°，
∵点C和点C′关于AB对称，
∴∠C′OB＝20°，
∴∠DOC′＝120°，
作OH⊥DC′于H，如图，
则∠ODH＝30°，
则C′H＝DH，
在Rt△OHD中，OH＝ OD＝ ，
∴DH＝ OH＝ ，∴DC′＝2DH＝5 ，
∴PC+PD的最小值为5 ．
