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第五课时——一正多边形与圆、扇形的弧长与面积
知识点一：正多边形与圆：
1. 正多边形的概念：
各条边 ，各个角也 的多边形叫做正多边。
2. 圆的内接正多边形的概念：
把一个圆 分成n（n是大于2的自然数）份，依次连接各 所得的多边
形是这个圆的 ，这个圆叫做这个正多边形的 。
3. 正多边形的有关概念
（1）中心：正多边形的 的圆心叫做正多边形的中心。
即O既是圆心也是正多边形的中心。
（2）正多边形的半径： 的半径叫做正多边形的半径。
即OB既是圆的半径，也是正多边形的半径。
（3）中心角：正多边形每一边所对的 叫做正多边
形
的中心角。正多边形的中心角度数为 。
即∠BOC是正多边形的一个中心角。
（4）边心距： 到正多边形的 的距离叫做正多边形的边心距。
即过O做边BC的垂线即为边心距。
【概念理解】1．下列说法正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等的圆内接多边形是正多边形
D．各角相等的圆内接多边形是正多边形
【与角有关的计算】
2．如图，正五边形ABCDE内接于 O，则∠DAE的度数是（ ）
⊙
第2题 第3题
A．36° B．26° C．30° D．45°
3．如图，五边形ABCDE是 O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（ ）
⊙
A．60° B．36° C．76° D．72°
4．如图， O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为ED上的一点，则∠APC的度数为 ．
⊙
第4题 第5题
5．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则
∠FDC的度数是（ ）A．18° B．30° C．36° D．40°
【与长度有关的计算】
6．如图，正方形ABCD内接于 O，若 O的半径是1，则正方形的边长是 ．
⊙ ⊙
第6题 第7题
7．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸
片的半径是（ ）
A． cm B．2cm C．2 cm D．4cm
8．已知圆的半径是2 ，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
第8题 第9题
A．3 B．9 C．18 D．36
9．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则△ACE的周长为 ．
10．如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（
）第10题 第11题
A．（2，2 ） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2 ） D．（﹣1， ）
11．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15厘米，则
线段GH的长为（ ）
A． 厘米 B．5 厘米 C．3 厘米 D．10 厘米
知识点一：扇形的弧长：
1. 扇形弧长的定义：
扇形的弧长就是扇形两条 半径 间 圆弧 的长度。
2. 扇形弧长的计算公式：
在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为 。
特别说明：在计算过程中180和n均不带度数。
【计算弧长】
12．已知扇形的圆心角为30°，半径为6cm，则扇形的弧长是 cm．
13．在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（ ）
A． cm B．2 cm C．3 cm D．6 cm
π π π π
14．如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点D刚好
⌒ ⌒
落在AB上，则BD的长是（ ）第14题 第15题 第16题
A． B． C． D．
15．如图， O的直径AB＝2，C是半圆上任意一点，∠BCD＝60°，则劣弧AD的长为 ．
⊙
⌒
16．如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点分别在扇形OEF的半径OE、OF和EF上，且点A是线段
⌒
OB的中点，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
知识点一：扇形的面积：
1. 扇形的面积公式的计算：
（1）方法一：已知扇形的圆心角为n°，半径为r，则扇形的面积为： 。
特别说明：在计算过程中n与360均不带度数单位。
（2）方法二：已知扇形的半径为r，弧长为l，则扇形的面积公式为： 。
特别说明：在计算扇形的面积时，若对精确度没有要求，结果均用π表示。
【求扇形面积】
17．已知一个扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则这个扇形的面积为 cm2．18．如图，在半径为6的 O中，圆心角∠AOB＝60°，则阴影部分面积为 ．
⊙
第18题 第19题 第20题
19．如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积是 ．
20．如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心作 A、 B、 C，且半径都是0.5cm，则图中三个阴影部分
面积之和等于（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
【扇形面积公式的应用】
21．已知一个扇形的半径为6，面积为10 ，该扇形的圆心角是 °．
π
22．扇形的弧长为20 cm，面积为240 cm2，则扇形的半径为 cm．
π π
23．扇形的面积为6 ，半径为4，扇形的弧长l＝ ．
π
24．若扇形面积为3 ，圆心角为60°，则该扇形的半径为（ ）
π
A．3 B．9 C．2 D．3
【求阴影部分的面积】
25．如图，在矩形ABCD中，CD＝2，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交AB边于点E，且E为AB中
点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．126．如图，在边长为 的正方形ABCD中，分别以四个顶点为圆心，以边长为半径画弧，分别与正方形
的边和对角线相交，则图中阴影部分的面积为 （结果保留 ）．
π
第26题 第27题
27．如图，以A为圆心、AB为半径作扇形ABC，线段AC恰好与以AB为直径的半圆弧相交于弧的中点
D，若AB＝2，则阴影部分图形的面积是 （结果保留 ）．
π
⌒
28．如图，点C，D分别是以AB为直径的半圆上的三等分点，若阴影部分的面积是 ，则CD的长为
．
第28题 第29题
29．在平行四边形ABCD中，P为AD上一点，AP＝4，AB＝4，∠D＝60°，以A为圆心，AP为半径画弧，
与BC交于点E，并刚好经过B点，则阴影部分面积为 ．（结果保留 ）
π
30．矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2 ，以A为圆心，AB为半径的圆交对角线AC于E，交AD于F，以
C为圆心，CB为半径的圆分别交AC、AD于G、H．则图中阴影部分面积之和为 ．一．选择题（共10小题）
1．在正五边形的外接圆中，任一边所对的圆周角的度数为（ ）
A．36° B．72° C．144° D．36°或144°
2．若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（ ）
A． B． C． D．3
π π π π
3．圆心角为60°，且半径为12的扇形的面积等于（ ）
A．48 B．24 C．4 D．2
π π π π
⌒
4．如图，正五边形ABCDE内接于 O，点P是劣弧BC上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（
）
⊙
第4题 第5题
A．45° B．36° C．35° D．30°
5．如图， O的周长等于4 cm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
⊙ π
A． B．3 C．6 D．12
6．如图， O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的
大小为（ ）
⊙第6题 第7题
A．108° B．118° C．144° D．120°
7．如图，AB是 O的直径，CD为 O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6 ，AE＝9，则阴影部分的面
积为（ ）
⊙ ⊙
A．6 ﹣ B．12 ﹣9 C．3 ﹣ D．9
π π π
⌒ ⌒
8．如图，矩形ABCD的外接圆O与水平地面相切于点A，已知圆O的半径为4，且BC＝2AB．若在没有
滑动的情况下，将圆O向右滚动，使得O点向右移动了66 ，则此时与地面相切的弧为（ ）
π
第8题 第9题 第10题
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
A．AB B．BC C．CD D．DA
9．如图，△OAC按顺时针方向旋转，点O在坐标原点上，OA边在x轴上，OA＝8，AC＝4，把△OAC绕
点A按顺时针方向转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（4，4 ）则在这次旋转过程中线段OC扫
过部分（阴影部分）的面积为（ ）
A．8 B． C．2 D．48
π π π π
10．如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上
点A位置变化为A→A →A ，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A
1 2
翻滚到A 位置时共走过的路径长为（ ）
2A．10cm B．4 cm C． cm D． cm
π
二．填空题（共6小题）
11．正五边形的ABCDE的对角线AC、BD相交于点P，则∠APB的度数是 ．
12．已知 O的内接正六边形的边心距为 ，则 O的周长为 ．
⊙ ⊙
13．如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝ ，过弧AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足
分别为D、E，则图中阴影部分的面积为 ．
⌒ ⌒
14．如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若CD与AB所在圆的圆心都为点O，则
⌒ ⌒
CD与AB的长度之比为 ．
第14题 第15题 第16题
15．如图，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，DC＝4，E为AD上一点，以点D为圆心，以DE为半径画弧，
交BC于点F，若CF＝CD，则图中的阴影部分面积为 （结果保留 ）．
π
16．如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的
路径长度为 ．
三．解答题（共4小题）
17．如图，A，P，B，C是 O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
⊙（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若 O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
⊙
⌒ ⌒
18．如图，BC是 O的直径，点A在 O上，AD⊥BC，垂足为D，AB＝AE，BE分别交AD、AC于点
F、G．
⊙ ⊙
（1）证明：FA＝FB；
⌒
（2）若BD＝DO＝2，求EC的长度．19．如图，已知AB是 O的直径，C，D是 O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
⊙ ⊙
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．
⌒
20．如图，已知AB，CD为 O的直径，过点A作弦AE垂直于直径CD于F，点B恰好为DE的中点，连
接BC，BE．
⊙
（1）求证：AE＝BC；
（2）若AE＝2 ，求 O的半径；
⊙
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
