文档内容
第 02 讲 线段的垂直平分线
课程标准 学习目标
1. 掌握线段垂直平分线的定义与性质并能够运用其性质解决相
①线段垂直平分线的定义
关题目。
②线段垂直平分线的性质
2. 掌握线段垂直平分线的画法，能够熟练的话线段垂直平分线
③作已知线段的垂直平分线
以及根据作图痕迹判断并解决相关问题。
④线段垂直平分线的判定
3. 掌握线段垂直平分线的判定，并能熟练进行相关证明。
知识点01 线段垂直平分线的定义
1. 线段垂直平分线的定义：
过线段的 且与线段 的直线是这条线段的垂直平分线。
如图，若点C是AB的中点且MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线。
知识点02 线段垂直平分线的性质
2. 线段垂直平分线的性质：
①线段垂直平分线 线段。如图：∠PCA＝∠PCB＝ ， AC BC。②垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 。即PA PB。所以△PAB是等腰三角形。
在Rt△PAC与Rt△PBC中
∴Rt△PAC≌Rt△PBC
∴∠A ∠B；∠APC ∠BPC。
【即学即练1】
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为
35cm，则BC的长为（ ）
A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm
【即学即练2】
2．如图，DE是△ABC中边AC的垂直平分线，若BC＝18cm，AB＝10cm，则△ABD的周长为（ ）
A．16 cm B．28 cm C．26 cm D．18 cm
【即学即练3】
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点
E．求∠EBC的度数．
知识点03 作已知线段的垂直平分线
1. 作已知线段的垂直平分线：
具体步骤：
①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。如图①
②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。如图②
2. 垂直平分线的证明：
如图③，连接MA，MB，NA，NB。
由作图过程可知
MA＝MB＝NA＝NB
在△MAN与△MBN中
∴△MAN≌△MBN
∴∠AMO＝∠BMO
在△AMO与△BMO中
∴△AMO≌△BMO
∴OA＝OB，∠AOM＝∠BPM＝90°
∴MN垂直平分AB。
【即学即练1】
4．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．则∠ACD的大小为（
）
A．60° B．75° C．65° D．70°
【即学即练2】
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于 AB）为半径作弧，
两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则BE等于（
）B． C． D．
A．2
知识点04 线段的垂直平分线的判定
1. 线段垂直平分线的判定
方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。
方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的 上。证明一个点到线段的两
个端点的距离相等。
【即学即练1】
6．元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到
凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的
（ ）
A．三边中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点
D．三边垂直平分线的交点
【即学即练2】
7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．
题型01 利用线段垂直平分线的性质求线段（长度与周长）
【典例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，则BE的长为（ ）A．5 B．10 C．12 D．13
【变式1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，且
DE＝2，则CE＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式2】如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，△ADC的周长为
9cm，则△ABC的周长是（ ）cm．
A．9 B．12 C．15 D．18
【变式3】如图，在△ABC中，BC＝6，边AB的垂直平分线交BC于M，点N在MC上，连接AM，AN，
∠C＝∠NAC，则△MAN的周长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．12
【变式4】
如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，BC＝13cm，则△AEG
的周长为（ ）
A．6.5cm B．13cm C．26cm D．15cm
【变式5】如图，在△ABC中，AB＝2.5，AC＝6，CB＝6.5，EF垂直平分AC，
点P为直线EF上的任一点则△ABP周长的最小值是（ ）
A．8.5 B．9 C．12 D．12.5题型02 利用线段垂直平分线的性质求角度
【典例1】如图：Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB＝2：1，则∠B的度
数为（ ）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
【变式1】如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝36°，则∠ACD的度数为（ ）
A．36° B．38° C．48° D．52°
【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝70°，点D为BC中点，过点D作BC的垂线，交AB于点E，连接
CE，作∠ACE的平分线，与DE的延长线交于点F，则∠F的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．55°
【变式3】如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，
E．若∠DAE＝20°，则∠BAC的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
【变式4】如图，在△ABC中，∠ABC＝52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点
M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（ ）
A．115° B．116° C．117° D．118°题型03 根据作图痕迹判断并解决问题
【典例1】如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝5，观察图中尺规作图的痕迹，则△ADC的周长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【变式1】如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径
画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【变式2】如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于 长为半径面弧（弧所在圆的半径均相
等），两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E．若AC＝5，△AEC的周长为
17，则BC的长为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．17
【变式3】如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长
为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD．若AB＝8，AC＝4，则
△ACD的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12题型04 线段的垂直平分线的判定
【典例1】如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与
AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．
【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE相交于F．试判断
AF所在直线与BC的位置关系并说明理由．
【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是AB上的一点，且在BD的垂直
平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上．
【变式3】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分
∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．【变式4】如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平
分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．
（1）求证：点P在线段BC的垂直平分线上；
（2）已知∠FAN＝56°，求∠FPN的度数．
题型05 线段的垂直平分线的实际应用
【典例1】如图，三座商场分别坐落在A、B、C所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商
场的距离相等，该地铁站应建在（ ）A．三角形三条中线的交点
B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三个内角的角平分线的交点
D．三角形三条边的垂直平分线的交点
【变式1】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，
要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（ ）
A．三条高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
【变式2】如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学
的距离相等，请在图上找出这点P．
【变式3】如图所示，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，有关部门计划建
一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，学校的位置应设在何处？请说明理由．
【变式4】作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点 M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建
一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库 P应该建在
什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．1．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则
△ACD的周长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲
守在△ABC（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三个角的角平分线的交点
3．在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交
于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）A．60° B．70° C．75° D．85°
4．如图，△ACB中，∠ACB＝90°，DF垂直平分AC，E为CF中点，连接DE，若DE＝2，则BF的长为
（ ）
A．3 B． C．4 D．
5．如图，在△ABC中，BC＝12，AB的垂直平分线交BC边于点F，AC的垂
直平分线交BC边于点H，则△AFH的周长是（ ）
A． B．10
C．12 D．
6．如图，在△ABC中，∠A＝58°，P为△ABC内一点，过点P的直线EF分别交AB，AC于点E，F．若点
E，F分别在PB，PC的垂直平分线上，则∠BPC的度数为（ ）
A．122° B．120° C．119° D．116°
7．点M是△ABC三边垂直平分线的交点，连接MA、MB、MC，若∠MBC+∠ACM＝75°，则∠BAM的值
是（ ）
A．45° B．30° C．25° D．15°
8．如图，△ABC中，∠BAC＝105°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF的度数为（
）A．65° B．50° C．30° D．45°
9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的角平分线，MF垂直平分AE，垂足为点H，
分别交AB、AD、AC于点N、G、F，交CB的延长线于点M，连接EF，下列结论中错误的是（ ）
A．∠M＝∠DAE B．
C．EF∥AB D．∠EFC＝2∠M+∠C
10．如图，已知AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点F，交BC的延长线于点E．以下四个结
论：①∠EAD＝∠EDA；②DF∥AC；③∠FDE＝90°；④∠B＝∠CAE．恒成立的结论有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
11．如图，在△ABC中，DE、DF分别是AC、BC边的垂直平分线，连接AD、BD、CD，若∠ACB＝40，
则∠BAD的度数为 °．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE垂直平分AB，分别交AB．BC于点D、E，且DE＝
2，则CE为 ．
13．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝
60°，∠ABD＝24°，则∠ACF＝ ．14．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．若AB
＝10，则△CDE的周长为 ．
15．如图，OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，垂足分别为 E、F，且AB＝CD，∠ABD＝116°，
∠CDB＝28°，则∠OBD＝ °．
16．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝
AC．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
17．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
18．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，
连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？19．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，
连接DE．
（1）若△ABC的周长为23，△DEC的周长为9，求AB的长；
（2）若∠ABC＝28°，∠C＝46°，求∠CDE度数．
20．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l 交BC于点D，AC边的垂直平分线l 交BC于点E，l 与l
1 2 1 2
相交于点O．
（1）如图①，当∠ABC＝∠ACB＝25°时，直接写出∠DAE的度数为 ；
（2）如图①，当AB≠AC，且90°≤∠BAC＝180°．
①若∠BAC＝120°，则∠DAE＝ °；
②当AD⊥AE时，求∠BAC的度数；
（3）如图②，连接OA，OB，OC．若△ADE的周长为9cm，△OBC的周长为21cm，则BC＝
cm；OB＝ cm．
