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专题 18.4 分式方程的应用【八大题型】
【人教版】
【题型1 行程问题】...............................................................................................................................................1
【题型2 工程问题】...............................................................................................................................................5
【题型3 销售利润问题】.......................................................................................................................................8
【题型4 航行问题】.............................................................................................................................................12
【题型5 和、差、倍、分问题】.........................................................................................................................15
【题型6 数字问题】.............................................................................................................................................19
【题型7 图形问题】.............................................................................................................................................21
【题型8 方案问题】.............................................................................................................................................25
【题型1 行程问题】
【例1】（2024·河南许昌·八年级期末）小丽和小颖相约周末到时代广场看电影，她们的家分别距离时代广
场1800m和2400m.两人分别从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度比是2:3，结果小丽比小颖晚4min到
达剧院．
（1）求两人的速度．
（2）要想同时达到，小颖速度不变，小丽速度需要提高 m/min.
【答案】（1）小丽和小颖的速度分别为50 m/min和75 m/min；（2）6.25.
【分析】（1）设小丽和小颖的速度分别为2x m/min和3x m/min，根据题意，小丽所用时间-小颖苏勇时间
=4分钟，列出分式方程，解答即可.
（2）设小丽速度需要提高a m/min，根据题意，小丽所用时间=小颖所用时间，列出分式方程，解答即可.
【详解】解：（1）设小丽和小颖的速度分别为2x m/min和3x m/min,根据题意，得:
1800 2400
- =4
2x 3x
解得：x=25
经检验x=25是原分式方程的解，
则2x=2×25=50（m/min），3x=3×25=75（m/min）答：小丽和小颖的速度分别为50m/min和75m/min
（2）设小丽速度需要提高a m/min，根据题意，得：
1800 2400
=
50+a 75
解得：a=6.25
经检验a=6.25是原分式方程的解
答：小丽速度需要提高6.25 m/min.
故答案为6.25
【点睛】本题考查了分式方程的应用，分析题干，找到等量关系是解题关键
【变式1-1】（2024·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）某天.运动员小伟沿平路从家步行去
银行办理业务，到达银行发现没有带银行卡（停留时间忽略不计），立即沿原路跑回家．已知平路上跑步
的平均速度是平路上步行的平均速度的4倍，已知小伟家到银行的平路距离为2800米，小伟从离家到返回
家共用50分钟．
(1)求小伟在平路上跑步的平均速度是多少？
(2)小伟找到银行卡后，发现离银行下班时间仅剩半小时，为了节约时间，小伟选择另外一条近的坡路去银
5
行，小伟先上坡再下坡，用时9分钟到达银行．已知上坡的平均速度是平路上跑步的平均速度的 ，下坡
7
5
的平均速度是平路上跑步的平均速度的 ，且上坡路程是下坡路程的2倍，求这段坡路的总路程是多少米？
4
【答案】(1)280米/分钟
(2)2100米
【分析】（1）设小伟在平路上步行的平均速度是x米/分钟，根据小伟在平路上跑步的平均速度是平路上
2800 2800
步行的平均速度的4倍，往返时间共用50分钟，列方程 + =50，解得x=70，检验后求出
x 4x
4x=280，回答问题；
5
（2）设这段坡路的下坡路程是y米，根据小伟上坡的平均速度是280× =200，下坡的平均速度是
7
5 2y y
280× =350，上坡路程是下坡路程的2倍，上坡下坡共用时9分钟，列方程 + =9，解得
4 200 350
y=700，推出这段坡路的总路程是700+2×700=2100．【详解】（1）设小伟在平路上步行的平均速度是x米/分钟,
2800 2800
根据题意得， + =50，
x 4x
解得，x=70，
经检验，x=70是所列方程的解，且符合题意，
∴4x=280，
答：小伟在平路上跑步的平均速度是280米/分钟；
（2）设这段坡路的下坡路程是y米，
5 5
∵上坡的平均速度是，280× =200，下坡的平均速度是280× =350，
7 4
2y y
∴根据题意得， + =9，
200 350
解得，y=700，
∴700+2×700=2100，
答：这段坡路的总路程是2100米．
【点睛】本题主要考查了分式方程与一元一次方程的应用——行程问题，解决问题的关键是熟练掌握路程
和速度与时间的关系，列代数式列方程解答，解分式方程注意检验，应用题注意设未知数和回答问题．
【变式1-2】（2024·全国·八年级）小明家距离科技馆1900米，一天他步行去科技馆看表演，走到路程的一
半时，小明发现忘带门票，此时离表演开始还有23分钟，于是立刻步行回家取票，随后骑车赶往科技馆．
已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，且骑车的速度是步行速度的5倍，小明进家取票时
间共用4分钟．
（1）小明步行的速度是每分钟多少米？
（2）请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由．
【答案】（1）小明步行的速度为76米/分钟；（2）小明能在表演开始前赶到科技馆，理由见详解．
【分析】（1）设小明步行的速度是每分钟x米，则小明骑车的速度是每分钟5x米，根据时间＝路程÷速度
结合小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得
出结论；
（2）利用时间＝路程÷速度结合小明进家取票时间共用4分钟，即可得出小明回家取票后到达科技馆所需
时间，将其与23分钟比较后即可得出结论．
【详解】解：(1)设小明步行的速度为x米/分钟，则小明骑车的速度为5x米/分钟．根据题意，得
1900 1900
- =20，
x 5x解得：x=76．
经检验，x=76是原分式方程的解．
答：小明步行的速度为76米/分钟．
1
×1900
（2） 1900 2 ，
+ +4=21.5<23
5×76 76
所以小明能在表演开始前赶到科技馆．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式1-3】（2024·湖北襄阳·八年级期末）小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．
（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米
的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少
米/分？
（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m倍，两人在同起点，
同时出发，结果小强先到目的地n分钟．
①当m=3，n=6时，求小强跑了多少分钟？
②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分；（2）①小强跑的时间为3分；②
1000(m-1)
．
mn
【分析】（1）设小强的速度为x米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以速度等于时间得
到方程，解方程即可得到答案；
（2）①设小明的速度为y米/分，由m＝3，n＝6，根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答；
②根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度=路程除以时间
得到答案.
【详解】（1）设小强的速度为x米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，
1200 4500
根据题意得： ＝ ．
x x+220
解得：x＝80．
经检验，x＝80是原方程的根，且符合题意．
∴x+220＝300．
答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分．
（2）①设小明的速度为y米/分，∵m＝3，n＝6，1000 1000 1000
∴ - =6，解之得y= .
y 3 y 9
1000
经检验，y= 是原方程的解，且符合题意，
9
1000
∴小强跑的时间为：1000÷(3× )=3（分）
9
n n mn
②小强跑的时间： 分钟，小明跑的时间： +n= 分钟，
m-1 m-1 m-1
mn 1000(m-1)
小明的跑步速度为： 1000÷ = 分．
m-1 mn
1000(m-1)
故答案为： ．
mn
【点睛】此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的
关键.
【题型2 工程问题】
【例2】（2024·全国·七年级专题练习）湖州市在2017年被评为“全国文明城市”，在评选过程中，湖州
市环卫处每天需负责市区范围420千米城市道路的清扫工作，现有环卫工人直接清扫和道路清扫车两种马
路清扫方式.已知20名环卫工人和1辆道路清扫车每小时可以清扫20千米马路，30名环卫工人和3辆道路
清扫车每小时可以清扫42千米的马路.
（1）1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时各能清扫多长的马路？
（2）已知2017年环卫处安排了50名环卫工人参与了直接清扫工作，为保证顺利完成每日的420千米清扫
工作，需派出多少辆道路清扫车参与工作（已知2017年环卫工人与清扫车每天工作时间为6小时）？
（3）为了巩固文明城市创建成果，从2018年5月开始，环卫处新增了一辆清扫车参与工作，同时又增加
了若干个环卫工人参与直接清扫，使得每日能够较早的完成清扫工作．2018年6月市环卫处扩大清扫范围
60千米，同时又增加了20名环卫工人直接参与清扫，此时环卫工人和清扫车每日工作时间仍与5月份相
同，那么2018年5月环卫处增加了多少名环卫工人参与直接清扫？
【答案】（1）1名环卫工人每小时清扫0.6千米，1辆道路清扫车每小时8千米；（2）派出5辆道路清扫
车参与工作；（3）2018年5月环卫处增加了10名环卫工人参与直接清扫.
【分析】（1）设1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时分别清扫x千米和y千米，由题意可得¿，进行求
解即可；
（2）设派出m辆道路清扫车参与工作，则(50×0.6+8m)×6=420，进行求解即可；
（3）设2018年5月环卫处增加了n名环卫工人参与直接清扫，由题意写出分式方程进行求解即可.【详解】（1）设1名环卫工人和1辆道路清扫车每小时分别清扫x千米和y千米，
由题意可得¿，解得¿，
答：1名环卫工人每小时清扫0.6千米，1辆道路清扫车每小时8千米；
（2）设派出m辆道路清扫车参与工作,
则(50×0.6+8m)×6=420，解得m=5，
答：派出5辆道路清扫车参与工作；
（3）设2018年5月环卫处增加了n名环卫工人参与直接清扫，由题意得
420 420+60
=
；解得:n=10.
0.6(50+n)+6×8 0.6(50+n+20)+6×8
答：2018年5月环卫处增加了10名环卫工人参与直接清扫.
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，分式方程的应用.综合性强，有一定难度.
关键是理解题文，列出方程求解.这里涉及到工作效率问题以及合作问题，要求学生对这类模型比较熟练.
【变式2-1】（2024·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级阶段练习）某工厂制作一批零件，由一名工人做要80h
3
完成，现计划由一部分工人先做2h然后增加5名工人与他们一起做8小时，完成这项工作的 。假设这些
4
工人的工作效率相同，具体应先安排几名工人工作？
【答案】应该先安排2名工人工作．
3
【分析】设安排x人先做2h，然后根据先后两个时段完成这项工作的 ，可列方程求解．
4
【详解】解：设应该先安排x名工人工作，
2x 8(x+5) 3
由题意得： + =
80 80 4
解得x=2，
经检验x=2是原方程的解且符合题意，
∴应该先安排2名工人工作，
答：应该先安排2名工人工作．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于准确理解题意列出方程求解．
【变式2-2】（2024·辽宁·大石桥市石佛中学八年级期末）大石桥市政府为了落实“暖冬惠民工程”，计划
对城区内某小区的部分老旧房屋及供暖管道和部分路段的人行地砖、绿化带等公共设施进行全面更新改造．
该工程乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍 ， 若甲队先做10天，剩下两队合作30
天完成．
（1）甲乙两个队单独完成此项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙对每天的施工费用为5.6万元，工程施工的预算费用为500
万元，为了缩短工期并高效完成工程，拟预算的费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请说明
理由．
【答案】（1）甲队单独完成此项工程需要60天，乙队单独完成此项工程需要90天；（2）工程预算的施
工费用不够用，需追加预算4万元．
【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．
根据工作量＝工作效率×工作时间列方程求解；
（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．
【详解】（1）设此工程甲队单独完成需x天，则乙队单独完成这项工程需1.5x天．由题意：
10+30 30
+ =1
x 1.5x
解得：x=60．
经检验，x=60是原方程的解，且适合题意．
1.5x=1.5×60=90．
答：甲队单独完成此项工程需要60天，乙队单独完成此项工程需要90天．
（2）因为需要缩短工期并高效完成工程，所以需两队合作完成，设两队合作这项工程需
y天，根据题意得：
y y
+ =1
60 90
解得：y=36．
所以需要施工费用36×（8.4+5.6）=504（万元）．
因为504＞500，所以工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，涉及方案决策问题，综合性较强．
【变式2-3】（2024·广西贵港·八年级期中）某校改造维修田径运动场所，项目承包单位派遣了一号施工队
进场施工，计划用30天完成整个工程．当一号施工队施工10天后，由于实际需要，要求整个工程比原计
划提前8天完成，于是承包单位再派遣二号施工队与一号施工队共同施工，结果按实际需要如期完成整个
工程
(1)如果二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
(2)如果一号、二号施工队同时进场共同施工，完成整个工程需要多少天？
【答案】(1)x=45
(2)若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天【分析】（1）设二号施工队单独施工需要x天，根据题意列出分式方程进行求解即可；
（2）直接列算式求解即可．
【详解】（1）解：设二号施工队单独施工需要x天，
30-8 30-8-10
根据题意得： + =1，
30 x
解得：x=45，
经检验，x=45是原分式方程的解．
答：若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要45天．
( 1 1 )
（2）根据题意得：1÷ + =18（天），
30 45
答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天．
【点睛】本题考查分式方程的应用．根据题意正确的列出分式方程是解题的关键．注意验根.
【题型3 销售利润问题】
【例3】（2024·重庆巴蜀中学九年级阶段练习）飞盘运动由于门槛低、限制少，且具有较强的团体性和趣
味性，在全国各地悄然兴起，深受年轻人喜爱．某商家购进了海绵和橡胶两种飞盘进行销售，已知一个橡
胶飞盘比一个海绵飞盘的进价多30元，其中购买海绵飞盘花费4000元，购买橡胶飞盘花费3200元，且购
买海绵飞盘的数量是购买橡胶飞盘数量的2倍．
(1)求一个海绵飞盘的进价是多少元；
(2)商家第一次购进的飞盘很快售完，决定再次购进同种类型的海绵和橡胶两种飞盘共80个，但海绵飞盘
的进价比第一次购买时提高了16%，而橡胶飞盘的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，如果商家此
次购买海绵和橡胶两种飞盘的总费用不超过4800元，那么此次最多可购买多少个橡胶飞盘？
【答案】(1)50元，；
(2)11.
【分析】（1）设一个海绵飞盘的进价为x元，则一个橡胶飞盘的进价为（x+30）元，由题意：购买海绵飞
盘花费4000元，购买橡胶飞盘花费3200元，且购买海绵飞盘的数量是购买橡胶飞盘数量的2倍．列出分
式方程，解方程即可；
（2）设此次可购买a个橡胶飞盘，则购买(80-a)个海绵飞盘，由题意：海绵飞盘的进价比第一次购买时
提高了16%，而橡胶飞盘的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，商家此次购买海绵和橡胶两种飞盘
的总费用不超过4800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．（1）
解：设一个海绵飞盘的进价为x元，则一个橡胶飞盘的进价为（x+30）元，
4000 3200
= ×2
由题意得： ，
x x+30
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
答：一个海绵飞盘的进价为50元；
（2）
设此次可购买a个橡胶飞盘，则购买(80-a)个海绵飞盘，
由题意得：
50×(1+16%)(80-a)+80×0.9a≤4800
3
解得：a≤11
7
∵a是整数，
∴a最大值为11，
答：此次最多可购买11个橡胶飞盘．
【点睛】此题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系与不等关系，
正确列出分式方程和一元一次不等式．
【变式3-1】（2024·四川南充·八年级期末）超市用2500元购进某品牌苹果，以每千克8元的单价试销．销
售良好，超市又安排4500元补货．补货进价比上次每千克少0.5元，数量是上次的2倍．
（1）求两次进货的单价分别是多少元．
（2）当售出大部分后，余下200千克按7.5折售完，求两次销售苹果的毛利．
【答案】（1）第一次进货的单价是5元，第二次进货的单价是4.5元；（2）4600
【分析】（1）设第一次进货的单价是x元，则第二次进货的单价是(x-0.5)元，根据题意，列方程求解即
可；（2）求出两次的购进数量，根据毛利=收入-成本，可求出结果．
【详解】解：（1）设第一次进货的单价是x元，则第二次进货的单价是(x-0.5)元，根据题意，得
2500 4500
×2=
x x-0.5
解得x=5
经检验：x=5是原方程的解
第二次进货的单价是：5-0.5=4.5(π).
答：第一次进货的单价是5元，第二次进货的单价是4.5元.（2）两次销售苹果的毛利：
2500 4500
( + -200)×8+200×8×0.75-2500-4500=4600（元）
5 4.5
答：两次销售苹果的毛利为4600元.
【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是根据这次进货价比上次每千克少0.5元，购进苹果的数量是上
次的2倍，列出方程求出每千克多少元，然后总千克数，根据毛利公式，从而求出解．
【变式3-2】（2024·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村
干部组织村民依托著名电商平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A、B
两款商品销售到全国各地．2020年10月份，该专卖店第一次购进A商品40件，B商品60件，进价合计
8400元；第二次购进A商品50件，B商品30件，进价合计6900元．
（1）求该专卖店10月份A、B两款商品进货单价分别为多少元？
（2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B商品缺货，该专卖店在11月
份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月份上涨了m元，进价合计49000元；
12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元，进价合计61200元，12月份的进货数量是11月份进货数
量的1.2倍．为了尽快回笼资金，A商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到
2021年元旦节，该专卖店把剩下的50件A商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商品进货单价
上涨后的销售总金额为多少元？
【答案】（1）该店A、B两款商品进货单价分别为90元和80元；（2）该专卖店在A商品进货单价上涨
后的销售总金额为163500元．
【分析】（1）设每件A种商品的进价为x元，每件B种商品的进价为y元，根据“若购进A种商品40件，
B种商品60件，需要8400元；若购进A种商品50件，B种商品30件，需要6900元”，即可得出关于x，
y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据题意，可以得到相应的分式方程，从而可以得到m的值，然后即可计算出商店销售这两批A商
品的销售总金额．
【详解】（1）设10月份A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，由题意得：
¿ ，
解得，¿ ，
答：该店A、B两款商品进货单价分别为90元和80元；
（2）由题意可得，
49000 61200
×1.2= ，
90+m 90+m+0.5m解得，m=8，
经检验，m=8是原分式方程的解，
49000
故11月份购进的A商品数量为 =500（件），
90+8
12月份购进的A商品数量为500×1.2=600（件），
（500+600-50）×150+150×0.8×50=163500（元）．
答：该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为163500元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的
方程组和分式方程，注意分式方程要检验．
【变式3-3】（2024·浙江·八年级期末）某药店采购部于7月份和8月份分别用16000元和40000购两批口
罩，8月份每盒口罩的进价比7月份上涨20元，且数量是7月份购进数量的2倍．
（1）求7月份购进了口罩多少盒？
（2）该药店在7，8月份均将当月购进的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价
为150元．已知7月份两店按标价各卖出a盒后，甲店剩余口罩按标价的八折出售；乙店剩余口罩先按标价
的九折售出b盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
①用含b的代数式表示a．
②8月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n箱后，剩余口罩全部捐献给医院．若至少捐赠96盒口罩，
且预计乙店7，8月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为2000元，求a,b,n所有可能的值．
【答案】（1）200盒；（2）①a=100-2b；②a=100，b=0，n=100或a=90，b=5，n=102或a=80，
b=10，n=104
【分析】（1）设7月份购进了口罩x盒，根据8月份每盒口罩的进价比7月份上涨20元列出方程，解之
即可；
（2）①根据7月份乙店利润与甲店相同列出关于a，b的方程，化简即可；
2b
②首先求出两个月乙店的利润，根据总利润为2000元列出方程，得到n=100+ ，再根据至少捐赠96盒
5
口罩，求出n的范围，得到b的范围，再求整数解即可．
【详解】解：（1）设7月份购进了口罩x盒，
16000 40000
由题意可得： +20= ，
x 2x
解得：x=200，
∴7月份购进了口罩200盒；16000
（2）①由（1）可得7月份口罩每盒 =80元，
200
由题意可得：(100-a)(150×80%-80)=b(150×90%-80)+(100-a-b)(150×70%-80)，
整理得：a=100-2b；
②由题意可得：8月份购进了口罩400盒，8月份口罩进价为每盒100元，
7月份乙店获得的利润为：
a(150-80)+b(150×90%-80)+(100-a-b)(150×70%-80)
=45a+30b+2500
8月份乙店获得的利润为：(150-100)n-100(200-n)=150n-20000，
∴45a+30b+2500+150n-20000=2000，即3a+2b+10n=1300，
∵a=100-2b，
2b
∴3(100-2b)+2b+10n=1300，即5n-2b=500，即n=100+ ，
5
∵至少捐赠96盒口罩，
∴200-n≥96，
∴n≤104，
2b
∴100+ ≤104，解得：b≤10，
5
∴b可以取0，5，10，
当b=0时，a=100，n=100；
当b=5时，a=90，n=102；
当b=10时，a=80，n=104．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，列代数式，二元一次方程的解以及不等式，解体的关键是理清
题意，本题条件较多，一定要仔细读题．
【题型4 航行问题】
【例4】（2024·福建省福州教育学院附属中学模拟预测）已知A,B两港之间的距离为150千米，水流速度
为5千米/时．
2
(1)若一轮船从A港顺流航行到B港所用的时间是从B港逆流航行到A港所用时间的 ，求该轮船在静水中
3
的航行速度；
(2)记某船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为t ；若该船从A港航行到B
1
港再返回到A港均为静水航行，所用时间为t ，请比较t 与t 的大小，并说明理由．
2 1 2【答案】(1)轮船在静水中的航行速度为25千米/时
(2)t >t ，理由见解析
1 2
【分析】（1）设轮船在静水中的航行速度为x千米/时，故可知顺流速度为(x+5)千米/时，逆流速度为
150 2 150
(x-5)千米/时，列分式方程 × = ，求解即可．
x-5 3 x+5
150 150 150
（2）设船在静水中的航行速度为v千米/时，由题意可知t = + ，t = ×2，比较t -t 与0的
1 v+5 v-5 2 v 1 2
大小．
（1）
解：设轮船在静水中的航行速度为x，
则顺流速度为(x+5)千米/时，逆流速度为(x-5)千米/时；
150 2 150
故有 × =
x-5 3 x+5
解得x=25
经检验得x=25是原方程的解
∴该轮船在静水中的航行速度为25千米/时．
（2）
解：设船在静水中的航行速度为v千米/时
150 150
由题意知t = +
1 v+5 v-5
150
t = ×2
2 v
150 150 150
t -t = + - ×2
1 2 v+5 v-5 v
150
= [v(v-5)+v(v+5)-2(v+5)(v-5)]
v(v+5)(v-5)
150
= ×50>0
v(v+5)(v-5)
∴t -t >0
1 2
∴t >t ．
1 2
【点睛】本题考查了分式方程与异分母分式的加减．解题的关键在于正确的列分式方程与分式的比较大小．【变式4-1】（2024·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）一艘轮船在静水中的最大航速为40千
米/时，它沿江以最大航速顺流航行70千米所用时间，与以最大航速逆流航行30千米所用时间相等．求江
水的流速为多少千米/时．
【答案】16千米/时
【分析】设江水的流速为x千米/时，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】设江水的流速为x千米/时，根据题意得，
70 30
= ，
x+40 40-x
解得x=16，
经检验，x=16是原方程的解，
答：江水的流速为16千米/时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【变式4-2】（2024·吉林四平·七年级期末）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两
船在静水中的速度都是50km/h，水流速度是akm/h．
（1）2h后两船相距多远？
（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？
（3）一艘小快艇送游客在甲、乙两个码头间往返，其中去程的时间是回程的时间3倍，则小快艇在静水中
的速度v与水流速度a的关系是 ．
【答案】（1）2h后两船相距200千米（2）2h后甲船比乙船多航行4a千米；（3）v=2a
【分析】（1）分别求得甲乙两船行驶的路程，即可求解；
（2）用甲船行驶的路程减去乙船行驶的路程，即可求解；
（3）由题意可得去程是逆水行驶，返程是顺水行驶，设码头之前的距离为s，列方程求解即可．
【详解】解：（1）2h后，甲船行驶的路程为2×(50+a)(km)，乙船行驶的路程为2×(50-a)(km)
两船相距为2×(50+a)+2×(50-a)=200(km)
答：2h后两船相距200千米
（2）由（1）得2h后，甲船行驶的路程为2×(50+a)(km)，乙船行驶的路程为2×(50-a)(km)
甲船比乙船多航行2×(50+a)-2×(50-a)=4a(km)
答：2h后甲船比乙船多航行4a千米
（3）由题意可得去程是逆水行驶，返程是顺水行驶，设码头之前的距离为s
s s
则去程时间为t = ，返程时间为t =
1 v-a 2 v+as s
由题意可得t =3t ，即 =3 ，解得v=2a
1 2 v-a v+a
快艇在静水中的速度v与水流速度a的关系是为v=2a
故答案为v=2a
【点睛】此题考查了列代数式，以及分式的应用，解题的关键是掌握船顺流航行和逆流航行的速度公式是
解题的关键．
【变式4-3】（2024·全国·八年级单元测试）一小船由A港到B港顺流航行需6小时，由B港到A港逆流航行
需8小时.小船从早晨6时由A港到B港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立即返航，2小时后找到救生
圈.
问：（1）小船由A港漂流到B港需要多少小时？
（2）救生圈是何时掉入水中的？
【答案】（1）48；（2）10时.
【分析】（1）先设小船按水流速度由A港漂流到B港需要x小时，根据题目中的等量关系列出方程，求出
x的值，在进行检验即可；
1
（2）先设救生圈是在x点钟落下水中的，则救生圈每小时顺水漂流的距离等于全程的
48
，根据小船早晨6时从港出发，顺流航行需6小时，得出它在中午12点钟到达B港，根据救生圈在y点钟
1
就已掉下水，到这时已漂流的时间为（12-x）小时，在这段时间里，每小时船行驶全程的 ，救生圈沿着
6
1
航行方向漂流全程的 ，船与救生圈同向而行，距离拉大，船到B港后立刻掉头去找救圈，2小时后找到，
48
在这一小时内，船与救生圈相向而行，将原已拉开的距离缩短为0，列出方程，求出方程的解即可
【详解】（1）设船由A港漂流到B港需要x小时，
1 1 1 1
依题意得， - = + ，解得x=48.
6 x 8 x
经检验，x=48是原方程的解，且有意义.
1 1 1 1 1
（2）设救生圈在x时落入水中，由（1）知水的速度为 ，则(6+6-x)( - )=( + )×2，解得
48 6 48 8 48
x=10.
经检验，x=10是原方程的解，且符合实际意义.
【点睛】此题考查分式方程的应用，一元一次方程的应用，解题关键在于列出方程【题型5 和、差、倍、分问题】
【例5】（2024·江苏淮安·八年级期末）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下
载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的
时间快140秒，求该地5G下载速度是每秒多少兆？
【答案】60兆
【分析】设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据“小明比小强所用
的时间快140秒”列出方程求解即可．
【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆
600 600
由题意得： - =140
x 15x
解得：x=4，
经检验：x=4是原分式方程的解，且符合题意，
15×4=60，
答：该地5G的下载速度是每秒60兆．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知
数列出方程．
【变式5-1】（2024·江苏·仪征市实验中学东区校九年级阶段练习）某生态示范村种植基地计划种植一批葡
萄，原计划总产量要达到36万斤．为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计
划的1.5倍，总产量比原计划增加了8万斤，种植亩数减少了20亩，则改良后平均每亩产量是多少万斤？
【答案】改良后平均每亩产量是0.5万斤
【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数－改良后种植的亩数=20亩，根据等量关系列出方程
即可．
【详解】解：设原计划每亩产量x万斤，改良后每亩产量1.5x万斤，
36 36+8
- =20，
x 1.5x
1
解得，x= ，
3
1
经检验，x= 是原分式方程的解，
3
∴1.5x=0.5，
答：改良后平均每亩产量是0.5万斤．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键．【变式5-2】（2024·北京八中八年级期中）“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以
“北汽”和“北汽 新能源 EV500”为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为 300 元，而
续 航里程之比则为 1∶4．经计算新能源汽车相比燃油车节约 0.6 元/公里．
（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；
（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受 0.48 元/度的优惠专用电费．以新能
源 EV500 为例，充电 55 度可续航 400 公里，试计算每公里所需电费， 并求出与燃油车相同里程下的
所需费用（油电）百分比．
【答案】（1）燃油车0.8；新能源汽车0.2；（2）8.25%
【分析】（1）设新能源汽车续航单价为x元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，根据等量关系
式：新能源汽车续航里程：燃油车续航里程=4∶1，列出方程，解之即可.
（2）根据总价=单价×数量可得新能源汽车400公里所需费用，再用此费用÷总公里数即可得新能源汽车每
公里所需电电费；由（1）知燃油汽车每公里费用，用此费用乘以总公里数可得燃油汽车总费用，再用新
能源汽车的总费用÷燃油车相同里程下的所需费用即可得答案.
【详解】解：（1）设新能源汽车续航单价为x元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，依题可得：
300 300+0.6
： =4：1，
x x
解得：x=0.2，
∴燃油车续航单价为：x+0.6=0.2+0.6=0.8（元/公里），
答：新能源汽车续航单价为0.2元/公里，燃油车续航单价为0.8元/公里.
（2）依题可得新能源汽车400公里所需费用为：
0.48×55=26.4（元），
∴新能源汽车每公里所需电电费为：
26.4÷400=0.066（元/公里），
依题可得燃油汽车400公里所需费用为：
400×0.8=320（元），
∴新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为：
26.4÷320=0.0825=8.25%.
答：新能源汽车每公里所需电电费为0.066元；新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分
比为8.25%.
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式5-3】（2024·浙江舟山·七年级期末）舟山市疫情防控工作领导小组在5月30日发布了常态化核酸检测工作的通知，6月3日起我市居民进入公共场所须凭7天内核酸采样或检测阴性证明．根据文件要求，
学生在校期间每周要组织核酸检测一次，某校积极响应，安排校医甲和教师乙进行核酸采集培训．经过培
训后，甲采集的速度是乙的两倍，且甲采集52人用时比乙采集30人用时少2分钟．
(1)求甲、乙平均每分钟分别采集多少人？
(2)该校七年级学生人数比八年级少18人，其中七年级有7个班，每班m人，8八年级有6个班，每班n人，
两名采集员各自用了87分钟完成了七、八年级学生核酸采集工作，求m和n的值；
(3)该校教职工70人完成核酸采集后要放入10人试管或20人试管中，在保证每个试管不浪费情况下，有哪
几种分装方案？
【答案】(1)甲平均每分钟采集4人，乙平均每分钟采集2人；
(2)¿
(3)有4种方案：①5个10人试管，1个20人试管；
②3个10人试管，2个20人试管；
③1个10人试管，3个20人试管；
④7个10人试管，0个20人试管．
【分析】（1）可设乙速度为平均每分钟采集x人，甲为2x人，根据所用的时间可列出方程，解方程即可；
（2）根据题意列出关于m，n的二元一次方程组，解方程组即可；
（3）设10人试管有x个，20人试管有y个，从而得到10x+20y=70，根据x与y都是正整数，从而可求解．
（1）
解：设乙速度为平均每分钟采集x人，则甲为每分钟采集2x人，
52 30
依题意得： +2= ，
2x x
解得x=2，
2×2=4人，
经检验：x=2是方程的解且符合题意，
答：甲平均每分钟采集4人，乙平均每分钟采集2人；
（2）
解：依题意得：¿，
解得¿；
（3）
解：设10人试管有x个，20人试管有y个，依题意得：10x+20y=70，即x=7-2y，
则有：¿或¿或¿或¿，
有4种方案：①5个10人试管，1个20人试管；
②3个10人试管，2个20人试管；
③1个10人试管，3个20人试管；
④7个10人试管，0个20人试管．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关
系．
【题型6 数字问题】
【例6】（2024·贵州·铜仁市第十一中学八年级期中）一个两位数的十位数字是6，如果把十位数字与个位
4
数字对调，那么所得的两位数与原来的两位数之比是 ，原来得两位数是______．
7
【答案】63
【分析】设这个两位数个位上的数为x，，再根据等量关系列出方程，最后检验并作答．
【详解】解：设这个两位数个位上的数为x，
10x+6 4
则可列方程： = ，
6×10+x 7
整理得66x＝198，
解得x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，则60+x＝63，
故答案为：63．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根
据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
【变式6-1】（2024·全国·八年级课时练习）有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被
个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．
【答案】34
【分析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+1，两位数是10x+x+1，利用两位数减2除以个位数
字，商是8列出方程，解方程求出方程的根，检验后求出两位数即可．
【详解】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+1，
10x+(x+1)-2
则： =8，
x+1解方程得：x=3，
经检验：x=3是原方程的根，
所以个位上的数字为：x+1＝3＋1＝4，
所以这个两位数是：3×10＋4＝34．
答：这个两位数是34．
【点睛】本题考查数字问题分式方程应用题，掌握分式方程解应用题的步骤与解法，关键是抓住两位数减
2除以个位数字，商是8列出方程．
【变式6-2】（2024·山东潍坊·八年级期末）一个二位数的十位数字与个位数字的和是12，如果交换十位数
4
字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为 ，
7
则这个二位数是_____．
【答案】84
【分析】设这个二位数的十位数字为x，则个位数字为（12﹣x），根据“如果交换十位数字与个位数字的
4
位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为 ”，即可得出关
7
于x的分式方程，经检验后即可得出结论．
【详解】设这个二位数的十位数字为x，则个位数字为（12﹣x），
10(12-x)+x 4
根据题意得： ＝ ，
10x+(12-x) 7
解得：x＝8，
经检验，x＝8是所列分式方程的解，且符合题意，
∴12﹣x＝4．
故答案为84．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式6-3】（2024·全国·八年级专题练习）一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去
除这个两位数商是3，求这个两位数.
【答案】15.
【分析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+4，这个两位数为：10x+（x+4），根据用个位上的数
去除这个两位数商是3，列出分式方程，求解即可得出答案．
x+4+10x
【详解】解： =3，
x+4解得：x=1，
经检验，x=1是分式方程的解，
10x+（x+4）=10×1+1+4=15．
答：这个两位数为15．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，利用个位与十位的关系列出方程是解题的关键．在解答本题的过
程中根据条件从而得到本题的结果．
【题型7 图形问题】
【例7】（2024·全国·七年级单元测试）已知一个长方形的长是40，宽是30，现要把它的长和宽减少相同
的长度后，使新的长方形的长和宽之比是7:5，减少的长度是______.
【答案】5
【分析】设减少的长度是x，根据题意列出方程，解方程，检验即可.
【详解】解：设减少的长度是x，由题意，得
40-x 7
=
30-x 5
去分母得：5(40-x)=7(30-x)
去括号得：200-5x=210-7x
移项得：7x-5x=210-200
合并同类项得：2x=10
系数化为1得：x=5
经检验，x=5是该方程的解
故填：5.
【点睛】本题考查分式方程的应用.能根据题意列出方程是解决此题的关键，还需注意对方程的解要进行检
验.
【变式7-1】（2024·福建省泉州第一中学八年级期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为
am(a>1)的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长
为(a-1)m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg．(1)“丰收1号”单位面积产量为 kg/m2，“丰收2号”单位面积产量为 kg/m2（结果用含a的
式子表示）；
(2)若“丰收2号”的单位面积产量是“丰收1号”的单位面积产量的1.5倍，求a的值．
500 500
【答案】(1) ；
a2-1 (a-1) 2
(2)5
【分析】（1）分别求出“丰收1号”、“丰收2号”的面积，再用500除以面积即可；
（2）根据题意列出关于a等式求解即可，注意需要验根．
(1)
解：“丰收1号”的面积为：a2-1，
500
∴单位面积产量为： ；
a2-1
“丰收2号”的面积为：(a-1) 2，
500
∴单位面积产量为： ；
(a-1) 2
500 500
故答案为： ； ；
a2-1 (a-1) 2
(2)
500 500
解：由题意，可得
×1.5=
，
a2-1 (a-1) 2
解得a=5，
经检验，a=5是原分式方程的解，
∴a的值为5．
【点睛】本题考查了列代数式，分式方程，解题的关键是根据题意列出相应的分式方程．
【变式7-2】（2024·浙江·七年级阶段练习）李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长大于宽，
李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地
面，则B款瓷砖的长为_______米，宽为_______米．
3 1
【答案】 1 或
4 5
7 9-b 9-b 7
【分析】设A款瓷砖边长为a米，B款瓷砖长为a米、宽为b米，则2× × =2( +1)× -14，
a 2a+b 2a+b a
9-b 9-b 9-2k
解得a=1，由题意知 是正整数，设 =k(k为正整数），解得b= ，将k为正整数代入即可得
2+b 2+b k+1
出结果．
【详解】解：设A款瓷砖边长为a米，B款瓷砖长为a米、宽为b米，
7 9-b 9-b 7
则2× × =2( +1)× -14，
a 2a+b 2a+b a
解得：a=1，
经检验，a=1是原方程的解，
9-b
由题意得： 是正整数，
2+b
9-b
设 =k(k为正整数），
2+b
9-2k
解得：b= ，
k+1
7 7
当k=1时，b= ( >1，舍去）；
2 2
5 5
当k=2时，b= ( >1，舍去）；
3 3
3
当k=3时，b= ；
41
当k=4时，b= ．
5
3 1
故答案为：1， 或 ．
4 5
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，正确理解题意，根据题意设出未知数列出方程组是解题的关键．
【变式7-3】（2024·浙江杭州·七年级期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正
方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，加工成如图2所示的竖式和横式两种无盖的
长方体纸箱.（加工时接缝材料不计）
图1 图2
（1）若该厂仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板．问竖式和横式纸箱各加工多少个，恰好将
库存的两种纸板全部用完？
（2）该工厂原计划用若干天加工纸箱2400个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原计
划的1.5倍，这样提前2天完成了任务，问原计划每天加工纸箱多少个？
【答案】（1）加工竖式纸盒200个，横式纸盒400个；（2）原计划每天加工纸箱400个
【分析】（1）设加工竖式纸箱x个，横式纸箱y个，根据竖式纸箱需要4张长方形纸板，1张正方形纸板，
横式纸箱需要3张长方形纸板，2张正方形纸板列出方程组，然后求解方程组即可；
（2）设原计划每天加工纸箱a个，根据“实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天完成
了任务”列出关于a的分式方程，然后求解方程验根即可.
【详解】解：（1）设加工竖式纸箱x个，横式纸箱y个，
由题意，得¿，
解得¿，
答：加工竖式纸盒200个，横式纸盒400个；
（2）设原计划每天加工纸箱a个，
2400 2400
由题意，得 - =2，
a 1.5a
解得a=400，经检验：a=400是所列方程的根，且符合题意.
答：原计划每天加工纸箱400个.
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，分式方程的应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，
找到题中相等关系的量列出方程（组）.
【题型8 方案问题】
【例8】（2024·四川成都·八年级期末）某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再
加入合作3个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要10个月可以完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要几个月？
（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必
须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整
数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？
【答案】（1）15（2）方案一：甲队作4个月，乙队作9个月；方案二：甲队作2个月，乙队作12个月
5 3 3
【分析】(1)设完成本项工程的工作总量为1,由题意可知 + + =1,从而得出x=15. 即单独完成这项工
10 10 x
程需要15个月.
(2)根据题目关键信息：该工程总费用不超过141万元、采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整
数）分工合作的方式施工可以列出关于a、b方程组，从而得出a、b的取值范围，根据a、b的取值范围及
a、b均为整数的关系得出b为3的倍数，则b=9或b=12．从而得出a的取值.确定工程方案.
5 3 3
【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得： + + =1
10 10 x
经检验x=15是原方程的根
答：乙队需要15个月完成；
（2）根据题意得：¿，解得：a≤4 b≥9
∵a≤12，b≤12且a，b都为正整数，
2
∴9≤b≤12又a=10﹣ b，
3
∴b为3的倍数，∴b=9或b=12．
当b=9时，a=4；
当b=12时，a=2
∴a=4，b=9或a=2，b=12．
方案一：甲队作4个月，乙队作9个月；方案二：甲队作2个月，乙队作12个月；
【点睛】本题主要考查列方程解决工程问题，工程问题是中考常考知识点.根据 a、b的取值范围及a、b均
为整数的关系得出b为3的倍数是本题的难点.
【变式8-1】（2024·河南南阳·三模）某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S米长的道路
进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工
程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
（2）若甲工程队每天可以改造a米道路，乙工程队每天可以改造b米道路，（其中a≠b）．现在有两种施
工改造方案：
1 1
方案一：前 S米的道路由甲工程队改造，后 S米的道路由乙工程队改造；
2 2
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用
的时间少
【分析】（1）设乙工程队每天道路的长度为x米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300
米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；
（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论．
【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为x米，则甲工程队每天道路的长度为(x+30)米，
360 300
根据题意，得： = ，
x+30 x
解得：x=150，
检验，当x=150时，x(x+30)≠0，
∴原分式方程的解为：x=150，
x+30=180，
答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；
1 1
s s
（2）设方案一所用时间为： 2 2 (a+b)s，
t = + =
1 a b 2ab
1 1 2s
方案二所用时间为t ，则 t a+ t b=s，t = ，
2 2 2 2 2 2 a+ba+b 2 (a-b) 2
∴ S- S= S，
2ab a+b 2ab(a+b)
∵a≠b，a>0，b>0，
∴(a-b) 2>0，
a+b 2
∴ S- S>0，即：t >t ，
2ab a+b 1 2
∴方案二所用的时间少．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式
的通分，是解题的关键．
【变式8-2】（2024·云南大理·八年级期末）某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市
场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批
2
产品多用 20 天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的 ，公司需付甲工厂加工费用为每
3
天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程
中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费， 请你帮公司选择一种
既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
【答案】（1）甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品. （2）甲、乙两工厂合作完成此
项任务既省时又省钱．见解析．
【分析】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲
厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20， 由等量关系列出方程求解．
（2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用， 比较大小，选
择既省时又省钱的加工方案即可．
【详解】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，
960 960
则： - =20解得：x＝16
x 1.5x
经检验，x＝16 是原分式方程的解
∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品
（2）方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天需要的总费用为：60×（80+15）＝5700 元
方案二：乙工厂单独完成此项任务，则
需要的时间为：960÷24＝40 天
需要的总费用为：40×（120+15）＝5400元
方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则
16a+24a＝960
∴a＝24
∴需要的总费用为：24×（80+120+15）＝5160元
综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．
需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所
需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．
【变式8-3】（2024·江西·南昌市第八中学八年级阶段练习）某商场购进甲、乙两种空调共50台．已知购
进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价少0.3万元；用20万元购进甲种空调数量是用40万元购进乙种
空调数量的2倍．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？
（2）若商场预计投入资金不少于10万元，且购进甲种空调至少31台，商场有哪几种购进方案？
（3）在（2）条件下，若甲种空调每台售价1100元，乙种空调每台售价4300元，甲、乙空调各有一台样
机按八折出售，其余全部标价售出，商场从销售这50台空调获利中拿出2520元作为员工福利，其余利润
恰好又可以购进以上空调共2台．请直接写出该商场购进这50台空调各几台．
【答案】（1）0.1，0.4；（2）商场有3种购进方案：①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台；②购买
甲种空调32台，购买乙种空调18台；③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台；（3）购买甲种空调32
台，购买乙种空调18台
【分析】（1）可设甲种空调每台进价是x万元，则乙种空调每台进价是（x+0.3）万元，根据等量关系用
20万元购进甲种空调数量＝用40万元购进乙种空调数量×2，列出方程求解即可；
（2）设购买甲种空调n台，则购买乙种空调（50﹣n）台，根据商场预计投入资金不少于10万元，且购进
甲种空调至少31台，求出n的范围，即可确定出购买方案；
（3）找到（2）中3种购进方案符合条件的即为所求．
【详解】解：（1）设甲种空调每台进价是x万元，则乙种空调每台进价是（x+0.3）万元，依题意有
20 40
＝ ×2，
x x+0.3解得x＝0.1，
x+0.3＝0.1+0.3＝0.4．
答：甲种空调每台进价是0.1万元，乙种空调每台进价是0.4万元；
（2）设购买甲种空调n台，则购买乙种空调（50﹣n）台，依题意有
¿，
1
解得31≤n≤33 ，
3
∵n为整数，
∴n取31，32，33，
∴商场有3种购进方案：①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台；②购买甲种空调32台，购买乙种空
调18台；③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台；
（3）①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台，
（31﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（19﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3000﹣120+5400﹣560﹣2520
＝7720﹣2520
＝5200（元），
不符合题意，舍去；
②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台，
（32﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（18﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3100﹣120+5100﹣560﹣2520
＝7520﹣2520
＝5000（元），
符合题意；
③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台，
（33﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（17﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520
＝3200﹣120+4800﹣560﹣2520
＝7320﹣2520
＝4800（元），
不符合题意，舍去．
综上所述，购买甲种空调32台，购买乙种空调18台．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
