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第18讲 八年级数学上几何最值问题专项突破（原卷版）
第一部分典例剖析+针对训练
类型一 单动点求两线段和的最小值
名师点金：将军饮马问题。两点在一直线同侧时，作一个点的对称点与另一个点连接，所得线段的长即为
所求。
典例1（2022春•鄂城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，点P是边BC上一动
1
点，点D在边AB上，且BD= AB，则PA+PD的最小值为（ ）
4
8❑√3
A．8 B．4❑√3 C．2❑√13 D．
3
针对训练1
1．（2022春•中原区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝5，BE＝
6，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则PC+PE的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
类型二 求一条线段的最小值
名师点金：垂线段最短！
典例2（2021秋•徐州期中）如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若
PD＝3，则PE的最小值是 ．针对训练2
2．（2021秋•交城县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线
l∥AB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 ．
类型三 双动点求两线段和的最小值
名师点金：将军饮马问题与垂线段最短的综合。
典例2（2021秋•双台子区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平
分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是 ．
针对训练3
3．（2022春•河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰
AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（ ）
24 7
A．5 B．3 C． D．
5 2
4．（2022•合肥模拟）在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠BCD＝45°，BC＝2❑√3+2，BD平分∠ABC，
若P，Q分别是BD，BC上的动点，则CP+PQ的最小值是（ ）A．2❑√3+2 B．❑√3+3 C．2❑√2+2 D．❑√2+4
类型四 一点两线求周长最小值
名师点金：根据轴对称的性质，结合三角形三边关系定理。
典例4（2021秋•澄城县期末）如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分
别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（ ）
A．5 B．15 C．20 D．30
针对训练4
5．（2021秋•仁怀市期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为
BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．60° B．90° C．100° D．120°
类型五 求两条线段差的最大值
名师点金：两点在一直线两侧时，作一个点的对称点，再将对称点与另一点连接所得线段的长。
典例5（2022春•高州市期中）如图，AB＝AC＝8，∠BAC＝110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD
＝25°，P为AD上一动点，则|PB﹣PC|的最大值是 ．针对训练5
6．（2022春•锦江区校级期末）如图，△ABC是等边三角形，M是AC边上的中点，Q是BC边中点，N
❑√6
是线段CQ任意一点，P是AB边上任意一点，P关于AC对称的点为P′，已知AB= ，则NP′﹣
2
MP的最大值为 ．
类型六 求一条线段的最大值
名师点金：通过构造三角形全等，或者取直角三角形斜边中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一
半。在根据三角形三边关系解决。
典例6 四边形 中， ， ， ， ，则对角线 长的最大值为
A．5 B． C． D．1
典例7（2020春•宁化县期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将等边△ABC放在第一象限，
其中边BC的端点B、C分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上滑动，D是AC的中点，AB＝4，连接
OD，则线段OD长度的最大值是（ ）（提示：直角三角形斜边中线等于斜边一半）A．2❑√3 B．4 C．2❑√5 D．2❑√6
针对训练6
7．（2022春•工业园区期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝8，AC＝3，两顶点A、B分别在
平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，点C在第一象限内，连接OC，则OC的长的最大值为（
）
A．8 B．9 C．4+2❑√2 D．4+3❑√2
类型7 造桥选址问题
名师点金：把一个点平移定长后作对称点与另一点连接，或者先作对称点再平移定长再与另一点连接。转
化为将军饮马问题。
典例8（2021•成华区模拟）如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AC上，AD＝1，线段PQ在边
AB上运动，PQ＝1，则四边形PCDQ面积的最大值为 ；四边形PCDQ周长的最小值为 ．
第二部分 专题提优训练
1．（2022•景县校级模拟）如图，∠AOB＝60°，点P到OA的距离是2，到OB的距离是3，M，N分别是
OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）A．2❑√19 B．3❑√13 C．9 D．5❑√3
2．（2021春•驿城区校级期中）如图，在锐角△ABC中，AB=3❑√2，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC
于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．2❑√3 D．2❑√2
3．（2022•太仓市模拟）等边△ABC边长为4，D是BC中点，E在AD上运动，连接BE，在BE下方作等
边△BEF，则△BDF周长的最小值为（ ）
A．2+2❑√3 B．2+❑√3 C．4+❑√3 D．4+2❑√3
4．（2022春•海淀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（3，3），点P为x轴上的动
点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．2❑√5 B．2❑√3 C．5 D．❑√15
5．（2022春•南岸区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝7，BD是△ABC的角
平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为（
）A．3 B．2❑√3 C．3.5 D．3❑√3
6．（2022春•连城县校级月考）如图，△ABC为边长3的等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AB边上，
且AE＝1，P为线段AD上的一个动点，则PB+PE的最小值是（ ）
3
A．3 B．❑√7 C．❑√3 D． ❑√3
2
7．（2022•大庆模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，M是BC的中点，点E是AB边上
的动点，点F是线段BM上的动点，则ME+EF的最小值等于是（ ）
A．2❑√2 B．3 C．4 D．2❑√3
8．（2022春•兴宁区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，点D、E分别在边AC、AB上，P是边
BC上一动点，P、D不与C重合，当AE＝13时，求PD+PE的最小值（ ）
A．24 B．25 C．26 D．13❑√3
9．（2021秋•仓山区校级期末）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和
点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为（ ）A．❑√3 B．3 C．3❑√3 D．2
10．（2022春•驻马店期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找
一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（ ）
1
A． a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90°
2
11．（2022•西城区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分
∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）
15 12
A． B．5 C．3 D．
2 5
12．（2021秋•钢城区期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距
离分别为AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇
到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ）
A．8km B．10 km C．12 km D．10❑√2km
13．（2021秋•澄海区期末）如图，若∠AOB＝44°，P为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为（ ）
A．82° B．84° C．88° D．92°
14．（2021秋•广水市期末）如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC，垂足为点C，
点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（
）
A．无法确定 B．10 C．13 D．16
15．（2021秋•梁溪区校级期末）如图，点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC＝8，B到MN的
距离BD＝5，已知CD＝4，P是直线MN上的一个动点，记PA+PB的最小值为a，|PA﹣PB|的最大值为
b，则a2﹣b2的值为（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
16．（2022春•锡山区期末）如图，菱形ABCD中，对角线长AC、BD的长分别为4、4❑√3，点P、Q分别
在边AB、BC上运动，连接PQ，将△BQP沿着PQ翻折得到△B'QP，若点B的对称点B'恰好落在边AD
上，则AB的长为 ，CQ长的最大值为 ．17．（2022春•霞浦县期中）在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，
CE＝CF，则AE+AF的最小值为 ．
18．（2021秋•沙依巴克区校级期末）如图，在边长为6，面积为9❑√3的等边△ABC中，N为线段AB上的
任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是
．
19．（2021秋•抚远市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC
的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
20．（2021春•思明区校级月考）若 m为常数，且 m＞0，点A的坐标为（0，10m），B点的坐标为
（5m，﹣2m），C点为x轴上一点，AC+BC的最小值为 ，AC﹣BC最大值为 ．（用含m的
代数式表示）21．（2020•新化县开学）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为
E，AD平分∠BAC．
（1）求∠B的度数；
1
（2）求证：CD= BC；
3
（3）若AC＝2，点P是直线AD上的动点，求|PB﹣PC|的最大值．
