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第18讲 八年级数学上几何最值问题专项突破（解析版）
第一部分典例剖析+针对训练
类型一 单动点求两线段和的最小值
名师点金：将军饮马问题。两点在一直线同侧时，作一个点的对称点与另一个点连接，所得线段的长即为
所求。
典例1（2022春•鄂城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，点P是边BC上一动
1
点，点D在边AB上，且BD= AB，则PA+PD的最小值为（ ）
4
8❑√3
A．8 B．4❑√3 C．2❑√13 D．
3
思路引领：作D关于BC的对称点E，连接AE交BC于P，则PA+PD的值最小，过E作EF⊥AC交AC
的延长线于F，过D作DH⊥AC于H，则DH＝EF，DH∥BC，根据勾股定理即可得到结论．
解：作D关于BC的对称点E，连接AE交BC于P，
则PA+PD的值最小，
过E作EF⊥AC交AC的延长线于F，过D作DH⊥AC于H，
则DH＝EF，DH∥BC，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
1
∴AC= AB＝4，∠ADH＝∠B＝30°，
2
1
∵BD= AB＝2，
4
1 1
∴AD＝6，CF= DE= BD＝1，
2 2
∴AF＝5，
∴DH=❑√AD2−AH2=3❑√3，
∴EF＝3❑√3，∴AE=❑√AF2+EF2=2❑√13，
∴PA+PD的最小值为2❑√13，
故选：C．
解题秘籍：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出
辅助线是解题的关键．
针对训练1
1．（2022春•中原区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝5，BE＝
6，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则PC+PE的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
思路引领：如图连接PB，只要证明PB＝PC，即可推出PC+PE＝PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、
B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度．
解：如图，连接PB，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PC+PE＝PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
∴CP+EP的最小值是6．
故选：B．解题秘籍：本题考查轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解
题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
类型二 求一条线段的最小值
名师点金：垂线段最短！
典例2（2021秋•徐州期中）如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若
PD＝3，则PE的最小值是 ．
思路引领：过P作PE⊥OB于E，根据垂线段最短得出此时PE的长最小，根据角平分线的性质得出PE
＝PD，再求出答案即可．
解：过P作PE⊥OB于E，此时PE的长最小，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD，
∵PD＝3，
∴PE＝3，
即PE的最小值是3，
故答案为：3．
解题秘籍：本题考查了垂线段最短和角平分线的性质，能找出当PE最小时点E的位置是解此题的关键．
针对训练22．（2021秋•交城县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线
l∥AB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 ．
思路引领：过点D作DE⊥AB于E，根据三角形的面积公式求出CD，根据角平分线的性质求出DE，根
据垂线段最短解答即可．
解：过点D作DE⊥AB于E，
∵△BCD的面积为16，BC＝8，∠C＝90°，
∴CD＝4，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝4，
当AP⊥直线l时，AP的值最小，
此时四边形APDE为矩形，
∴AP＝DE＝4，
∴AP最小值为4，
故答案为：4．
解题秘籍：本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算、垂线段最短，掌握角的平分线上的点到
角的两边的距离相等是解题的关键．
类型三 双动点求两线段和的最小值
名师点金：将军饮马问题与垂线段最短的综合。
典例2（2021秋•双台子区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平
分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是 ．思路引领：根据对称性，过点F作FG⊥AC交AD于点Q，连接BG交AD于点E，此时BG＝BE+EF，
当BG垂直于AC时最短，根据30°直角三角形的边的性质即可求解．
解：方法一：如图1所示：
在AC边上截取AB′＝AB，作B′F⊥AB于点F，交AD于点E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠B′AE，AE＝AE，
∴△ABE≌△AB′E（SAS）．
∴BE＝B′E，
∴B′F＝B′E+EF＝BE+EF，
∵垂线段最短，
∴此时BE+EF最短．
∵AB＝AB′＝6，∠BAC＝30°，
1
∴B′F= AB′＝3．
2
故答案为3．
方法二：如图2所示：
在AC边上截取AG＝AF，连接BG交AD于点E，作BH⊥AC于点H，
同方法一：得△AEG≌△AFG（SAS）
∴EG＝EF，∴BG＝BE+EG＝BE+EF，
当BG垂直于AC时最短，
即BH的长最短，
∵AB＝6，∠BAC＝30°，
∴BH＝3．
故答案为3．
解题秘籍：本题考查了最短路线问题、角分线的性质、含 30度角的直角三角形，解决本题的关键是作
对称点．
针对训练3
3．（2022春•河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰
AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（ ）
24 7
A．5 B．3 C． D．
5 2
思路引领：如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．根据垂线段最短可知，当
B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长．
解：如图作等F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝3，
∴点F′在AC上，
∵BE+EF＝BE+EF′，
根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长．在Rt△ACD中，AC=❑√32+42=5，
1 1
∵ •BC•AD= •AC•BH，
2 2
24
∴BH= ，
5
24
∴BE+EF的最小值为 ，
5
故选：C．
解题秘籍：本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会
利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．
4．（2022•合肥模拟）在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠BCD＝45°，BC＝2❑√3+2，BD平分∠ABC，
若P，Q分别是BD，BC上的动点，则CP+PQ的最小值是（ ）
A．2❑√3+2 B．❑√3+3 C．2❑√2+2 D．❑√2+4
思路引领：作点Q关于BD的对称点H，则PQ＝PH，CP+PQ＝CP+PH，当C、H、P三点在同一直线
上，且CH⊥AB时，CP+PQ＝CH为最短．
解：如图，作点Q关于BD的对称点H，则PQ＝PH．
∴CP+PQ＝CP+PH，
∴当C、H、P三点在同一直线上，且CH⊥AB时，CP+PQ＝CH为最短．
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCH＝30°，
1 1
∴BH= BC= ×(2❑√3+2)=❑√3+1，
2 2
∴CH=❑√3BH=3+❑√3．
故选B．解题秘籍：本题考查轴对称﹣最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是，学会添加常用辅助线，属
于中考常考题型．
类型四 一点两线求周长最小值
名师点金：根据轴对称的性质，结合三角形三边关系定理。
典例4（2021秋•澄城县期末）如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分
别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（ ）
A．5 B．15 C．20 D．30
思路引领：根据题意画出符合条件的图形，求出OD＝OE＝OP，∠DOE＝60°，得出等边三角形DOE，
求出DE＝15，求出△PMN的周长＝DE，即可求出答案．
解：作P关于OA的对称点D，作P关于OB的对称点E，连接DE交OA于M，交OB于N，连接PM，
PN，则此时△PMN的周长最小，
连接OD，OE，
∵P、D关于OA对称，
∴OD＝OP，PM＝DM，
同理OE＝OP，PN＝EN，
∴OD＝OE＝OP＝15，
∵P、D关于OA对称，
∴OA⊥PD，
∵OD＝OP，
∴∠DOA＝∠POA，
同理∠POB＝∠EOB，
∴∠DOE＝2∠AOB＝2×30°＝60°，
∵OD＝OE＝15，∴△DOE是等边三角形，
∴DE＝15，
即△PMN的周长是PM+MN+PN＝DM+MN+EN＝DE＝15，
故选：B．
解题秘籍：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，
是一道比较好的题目．
针对训练4
5．（2021秋•仁怀市期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为
BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．60° B．90° C．100° D．120°
思路引领：要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC
和 CD 的对称点 A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝40°，进而得出∠AEF+∠AFE＝2
（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．
解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为
△AEF的周长最小值．∵DAB＝140°，
∴∠AA′E+∠A″＝180°﹣140°＝40°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°．
故选：C．
解题秘籍：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的
性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
类型五 求两条线段差的最大值
名师点金：两点在一直线两侧时，作一个点的对称点，再将对称点与另一点连接所得线段的长。
典例5（2022春•高州市期中）如图，AB＝AC＝8，∠BAC＝110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD
＝25°，P为AD上一动点，则|PB﹣PC|的最大值是 ．
思路引领：作点B关于射线AD的对称点B'，连接AB'、CB'．则AB＝AB'，PB'＝PB，AB'C是等边三角
形，在△PB'C中，|PB'﹣PC|≤B'C，当P、B'、C在同一直线上时，|PB'﹣PC|取最大值B'C，即为8．所
以PB﹣PC|的最大值是8．
解：如图．
作点B关于射线AD的对称点B'，连接AB'、CB'．
则AB＝AB'，PB'＝PB，∠B'AD＝∠BAD＝25°，∠B'AC＝∠BAC﹣∠BAB'＝110°﹣25°﹣25°＝60°．∵AB＝AC＝8，
∴AB'＝AC＝8，
∴△AB'C是等边三角形，
∴B'C＝8，
在△PB'C中，|PB'﹣PC|≤B'C，
当P、B'、C在同一直线上时，|PB'﹣PC|取最大值B'C，即为8．
∴|PB﹣PC|的最大值是8．
故答案为：8．
解题秘籍：本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键
针对训练5
6．（2022春•锦江区校级期末）如图，△ABC是等边三角形，M是AC边上的中点，Q是BC边中点，N
❑√6
是线段CQ任意一点，P是AB边上任意一点，P关于AC对称的点为P′，已知AB= ，则NP′﹣
2
MP的最大值为 ．
思路引领：连接MP′，MN，由对称性和三角形三边关系可知，NP′﹣MP＝NP′﹣MP′≤MN′，且
当点M与点Q重合时，取得最大值，根据等边三角形的性质与判定可得出最大值．
解：如图，连接MP′，MN，
∵点P，P′关于AC对称，
∴MP＝MP′，∴NP′﹣MP＝NP′﹣MP′，
在△MNP′中，由三角形三边关系可知，NP′﹣MP′＜MN，
当M，N，P′三点共线时，NP′﹣MP′＝MN，
∴NP′﹣MP′≤MN，且当N与点Q重合时，取得最大值，即NP′﹣MP′≤MQ，即NP′﹣MP的最
大值为MQ的长．
❑√6
在等边△ABC中，AB= ，
2
❑√6
∴AC＝AB＝BC= ，∠C＝60°，
2
∵点M为AC的中点，点Q为BC的中点，
1 ❑√6
∴CQ＝MC= AC= ，
2 4
❑√6
即NP′﹣MP的最大值为 ．
4
❑√6
故答案为： ．
4
解题秘籍：本题主要考查等边三角形的性质与判定，轴对称的性质等相关知识，关键是找到何时取得最
大值．
类型六 求一条线段的最大值
名师点金：通过构造三角形全等，或者取直角三角形斜边中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一
半。在根据三角形三边关系解决。
典例6 如图，四边形 中， ， ， ， ，则对角线 长的最大值
为A．5 B． C． D．1
详解：如图，在 的左侧作等边三角形 ，连接 ．
则 ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ， ，
当 、 、 共线时， 的值最大，最大值为 ．
故选： ．
典例7（2020春•宁化县期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将等边△ABC放在第一象限，
其中边BC的端点B、C分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上滑动，D是AC的中点，AB＝4，连接
OD，则线段OD长度的最大值是（ ）（提示：直角三角形斜边中线等于斜边一半）
A．2❑√3 B．4 C．2❑√5 D．2❑√6
思路引领：取BC的中点M，连接OM，DM，根据三角形的中位线定理，以及直角三角形斜边上的中线
可得DM＝2，OM＝2，然后根据三角形的三边关系，即可解答．
解：取BC的中点M，连接OM，DM，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝4，
∵D是AC的中点，
∴DM是△ABC的中位线，
1
∴DM= AB＝2，
2
∵∠BOC＝90°，点M是BC的中点，
1
∴OM= BC＝2，
2
∵OD≤DM+OM，
∴当O、M、D三点共线时，OD的值最大，
∴OD的最大值＝DM+OM＝4，
故选：B．
解题秘籍：本题考查了直角三角形斜边上的中线，等边三角形的性质，坐标与图形的性质，根据题目的
已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
针对训练6
7．（2022春•工业园区期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝8，AC＝3，两顶点A、B分别在
平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，点C在第一象限内，连接OC，则OC的长的最大值为（
）A．8 B．9 C．4+2❑√2 D．4+3❑√2
思路引领：取AB中点P，连接OP、CP，根据直角三角形的性质求出OP，根据勾股定理求出PC，根
据三角形的三边关系解答即可．
解：取AB中点P，连接OP、CP，
1
则OP＝AP= AB＝4，
2
由勾股定理得，CP=❑√AC2+AP2=5，
利用三角形两边之和大于点三边可知：OC≤OP+PC＝9，OC的长的最大值为9，
故选：B．
解题秘籍：本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质、正确作出辅助线是解决
问题的关键．
类型7 造桥选址问题
名师点金：把一个点平移定长后作对称点与另一点连接，或者先作对称点再平移定长再与另一点连接。转
化为将军饮马问题。
典例8（2021•成华区模拟）如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AC上，AD＝1，线段PQ在边
AB上运动，PQ＝1，则四边形PCDQ面积的最大值为 ；四边形PCDQ周长的最小值为 ．
3❑√3 5❑√3
思路引领：设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝S△ABC ﹣S△ADQ ﹣S△BC =
2
+
4
x，当x取最大值5
时，可得求得四边形PCDQ的面积最大值；作点D关于AB的对称点D'，连接D'Q，以D'Q、PQ为边作平行四边形PQD'M，过C作CH⊥AB，交D'M的延长线于N，依据平行四边形的性质以及线段的性质，
即可发现当M，P，C在同一直线上时，MP+CP的最小值等于CM的长，即DQ+CP的最小值等于CM
的长，再根据勾股定理求得CN的长，即可得出四边形PCDQ周长的最小值．
1 ❑√3 1 ❑√3 1
解：设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝S△ABC ﹣S△ADQ ﹣S△BCP =
2
×6×
2
×6−
2
•x•
2
×1−
2
×
❑√3 3❑√3 5❑√3
（6﹣x﹣1）× ×6= + x，
2 2 4
∵x的最大值为6﹣1＝5，
31❑√3
∴x＝5时，四边形PCDQ的面积最大，最大值= ，
4
如图，作点D关于AB的对称点D'，连接D'Q，以D'Q、PQ为边作平行四边形PQD'M，则DQ＝D'Q＝
MP，DD'=❑√3，D'M＝PQ＝1，
1 1
过C作CH⊥AB，交D'M的延长线于N，则∠N＝90°，CH＝BC×sin60°＝3❑√3，NH= DD'= ❑√3，
2 2
1 3
∴MN＝3﹣1− = ，
2 2
1 7
CN＝NH+CH= ❑√3+3❑√3= ❑√3，
2 2
当M，P，C在同一直线上时，MP+CP的最小值等于CM的长，即DQ+CP的最小值等于CM的长，
√ 3 7
此时，Rt△MNC中，CM=❑√M N2+CN2=❑( ) 2+( ❑√3) 2=❑√39，
2 2
又∵PQ＝1，CD＝6﹣1＝5，
∴四边形PCDQ周长的最小值为❑√39+6．
31❑√3
故答案为： ，6+❑√39．
4
解题秘籍：本题考查等边三角形的性质，勾股定理以及轴对称最短问题，凡是涉及最短距离的问题，一
般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．第二部分 专题提优训练
1．（2022•景县校级模拟）如图，∠AOB＝60°，点P到OA的距离是2，到OB的距离是3，M，N分别是
OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
A．2❑√19 B．3❑√13 C．9 D．5❑√3
思路引领：作P点分别关于OA、OB的对称点P'、P''，连接P'P''，分别交OA、OB于M、N则MP＝
MP'，NP＝NP''，OP＝OP'＝OP''，∠BOP＝∠BOP''，∠AOP＝∠AOP''，则 PN+PM+MN＝
NP''+MN+MP'＝DC，∠P'OP''＝2∠AOB＝120°，此时△PMN周长最小，为P'P''，据此解答即可．
解：作P点分别关于OA、OB的对称点P'、P''，连接P'P''，分别交OA、OB于M、N，
则MP＝MP'，NP＝NP''，OP＝OP'＝OP''，∠BOP＝∠BOP''，∠AOP＝∠AOP''，
∴PN+PM+MN＝NP''+MN+MP'＝DC，
∠P'OP''＝2∠AOB＝120°，
∴此时△PMN周长最小值为P'P''，
延长P'P，交OB与D．
∵∠AOB＝60°，
∴∠P'PP''＝120°，
∴∠EPD＝60°，
∴∠D＝30°，
∵PE＝3，
∴PD＝2PE＝6，
∴CD＝CP+PD＝2+6＝8，
❑√3 8❑√3
∴OC= CD= ，
3 3
√ 8 2
∴OP=❑√OC2+CP2=❑( ❑√3) 2+22= ❑√57，
3 3
2
∴P'P''=❑√3OP=❑√3× ❑√57=2❑√19，
3即△PMN周长的最小值是2❑√19．
故选：A．
解题秘籍：本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决
路径最短问题．
2．（2021春•驿城区校级期中）如图，在锐角△ABC中，AB=3❑√2，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC
于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．3 B．2 C．2❑√3 D．2❑√2
思路引领：作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′
+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H＝M′N′，再由锐角三角函数的定
义即可得出结论．
解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′
+M′N′为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H＝M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB＝3❑√2，∠BAC＝45°，
3❑√2
∴BH= =3．
❑√2∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝3．
故选：A．
解题秘籍：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通
过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
3．（2022•太仓市模拟）等边△ABC边长为4，D是BC中点，E在AD上运动，连接BE，在BE下方作等
边△BEF，则△BDF周长的最小值为（ ）
A．2+2❑√3 B．2+❑√3 C．4+❑√3 D．4+2❑√3
思路引领：连接 CF，由条件可以得出∠ABE＝∠CBF，再根据等边三角形的性质就可以证明
△BAE≌△BCF，从而可以得出∠BCF＝∠BAD＝30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则
FD＝FG，依据当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，可得△BDF的周长最
小．
解：如图，连接CF，
∵△ABC、△BEF都是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，
∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠BCF＝∠BAD＝30°，
如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，∠GCF＝∠BCF＝30°，
∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小，❑√3 ❑√3
∴BG= BC= ×4＝2❑√3．
2 2
∴△BDF周长：DF+BF+BD＝BG+BD＝2❑√3+2．
故选：A．
解题秘籍：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．凡是涉及最短距离的问题，
一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
4．（2022春•海淀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（3，3），点P为x轴上的动
点，则PA+PB的最小值为（ ）
A．2❑√5 B．2❑√3 C．5 D．❑√15
思路引领：点A关于x轴对称点A′（1，﹣1），连接A′B交x轴于P，则此时，PA+PB＝A′B的值
最小，过A′作A′C⊥BC，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵A（1，1），
∴点A关于x轴对称点A′（1，﹣1），
连接A′B交x轴于P，则此时，PA+PB＝A′B的值最小，
过A′作A′C⊥BC，
∴A′B=❑√A′C2+BC2=❑√(3−1) 2+(3+1) 2=2❑√5．
∴PA+PB最小值为2❑√5，
故选A．
解题秘籍：此题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．
5．（2022春•南岸区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝7，BD是△ABC的角
平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM＝1，则PM+PN的最小值为（
）
A．3 B．2❑√3 C．3.5 D．3❑√3
思路引领：作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1，当N，P，M'在同一
直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长，利用含30°角的直角三角形的性质，
即可得到PM+PN的最小值．
解：如图所示，作点M关于BD的对称点M'，连接PM'，则PM'＝PM，BM＝BM'＝1，
∴PN+PM＝PN+PM'，
当N，P，M'在同一直线上，且M'N⊥AC时，PN+PM'的最小值等于垂线段M'N的长，
此时，∵Rt△AM'N中，∠A＝30°，
1 1
∴M'N= AM'= ×（7﹣1）＝3，
2 2∴PM+PN的最小值为 3，
故选：A．
解题秘籍：本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结
合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
6．（2022春•连城县校级月考）如图，△ABC为边长3的等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AB边上，
且AE＝1，P为线段AD上的一个动点，则PB+PE的最小值是（ ）
3
A．3 B．❑√7 C．❑√3 D． ❑√3
2
思路引领：作E关于AD的对称点E′，连接BE′交AD于P，于是得到PE+PB的最小值＝BE′，根据
勾股定理即可得到结论．
解：作E关于AD的对称点E′，连接BE′交AD于P，
则此时PE+PB有最小值，PE+PB的最小值＝BE′，
∴AE′＝AE＝1，
∴CE'＝3﹣1＝2，
作E'F⊥BC于F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴CF＝1，E'F=❑√3，
∴BF＝3﹣1＝2，
∵AC＝BC＝3，
∴BE'=❑√BF2+E′F2=❑√22+(❑√3) 2=❑√7．故选：B．
解题秘籍：此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，根据已知得出对应点 P位
置是解题关键．
7．（2022•大庆模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，M是BC的中点，点E是AB边上
的动点，点F是线段BM上的动点，则ME+EF的最小值等于是（ ）
A．2❑√2 B．3 C．4 D．2❑√3
思路引领：连接AM，作点M关于AB的对称点D，连接BD，DE，依据勾股定理，即可得到BD＝BM
＝2❑√3，再根据当点D，E，F三点共线，且DF⊥BC时，EF+EM的最小值等于DF的长，利用勾股定
理求得DF的长，即可得到ME+EF的最小值．
解：如图，连接AM，
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，M是BC的中点，
1
∴AM⊥BC，AM= AB＝2，
2
∴Rt△ABM中，BM=❑√AB2−AM2=2❑√3，
作点M关于AB的对称点D，连接BD，DE，则BD＝BM＝2❑√3，DE＝ME，
当点D，E，F三点共线，且DF⊥BC时，EF+EM的最小值等于DF的长，
此时，Rt△BDF中，∠DBF＝60°，∠D＝30°，
1
∴BF= BD=❑√3，
2
∴DF=❑√BD2−BF2=3，
∴ME+EF的最小值等于3，
故选：B．解题秘籍：本题主要考查了等腰三角形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考
虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
8．（2022春•兴宁区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，点D、E分别在边AC、AB上，P是边
BC上一动点，P、D不与C重合，当AE＝13时，求PD+PE的最小值（ ）
A．24 B．25 C．26 D．13❑√3
思路引领：作D关于BC的对称点G，连接GE则PD+PE＝GE，当PD+PE的值最小时，GE最小，当
GE⊥AB时，GE最小，即求得GE=❑√3AE＝13❑√3．
解：作D关于BC的对称点G，连接GE，
则PD＝PG，
∴PD+PE＝PD+PG＝GE，
当PD+PE的值最小时，GE最小，
∴当GE⊥AB时，GE最小，
∵AE＝13，∠B＝30°
∴GE=❑√3AE＝13❑√3．
故选：D．
解题秘籍：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键．
9．（2021秋•仓山区校级期末）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为（ ）
A．❑√3 B．3 C．3❑√3 D．2
思路引领：过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，根据等
1 1
边三角形的性质得到BF= AB= ×6＝3，根据勾股定理即可得到结论．
2 2
解：过C作CF⊥AB交AD于E，
则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，
∵△ABC为等边三角形，边长为6，
1 1
∴BF= AB= ×6＝3，
2 2
∴CF=❑√BC2−BF2=❑√62−32=3❑√3，
∴CE+EF的最小值为3❑√3，
故选：C．
解题秘籍：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形．
10．（2022春•驻马店期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找
一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（ ）1
A． a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90°
2
思路引领：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分
别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），进而得出∠MAN
的度数．
解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于
点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝a，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，
∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．
∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，
故选：B．
解题秘籍：本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．
11．（2022•西城区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分
∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）
15 12
A． B．5 C．3 D．
2 5
思路引领：利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂
线段长度．
解：在AB上取一点G，使AG＝AF，
∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∴FE＝EG，
∴CE+EF＝CE+EG，
则最小值时CG垂直AB时，CG的长度，
12
CG= ．
5
故选：D．
解题秘籍：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是根据角平分线构造全等以及线段和差极值
问题．
12．（2021秋•钢城区期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距
离分别为AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇
到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ）A．8km B．10 km C．12 km D．10❑√2km
思路引领：根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出
即可．
解：如图所示：作A点关于直线MN的对称点A'，再连接A'B，交直线MN于点P.
则此时AP+PB最小，过点B作BD⊥CA延长线于点E，
∵AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km，
∴AA'＝4km，则AE＝6km，
在Rt△A'EB中，
CB=❑√62+82=10（km），
则AP+PB的最小值为：10km．
故选：B．
解题秘籍：此题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会
利用对称解决最短问题．
13．（2021秋•澄海区期末）如图，若∠AOB＝44°，P为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，
当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为（ ）
A．82° B．84° C．88° D．92°
思路引领：作点P关于OA的对称点A'，点P关于OB的对称点P''，连接P'P''交OA于M'，OB与N'，此
时P'P''的长即为△PMN的周长的最小值，可知∠P'PP''＝180°﹣44°＝136°，再利用三角形内角和定理可
得答案．解：作点P关于OA的对称点A'，点P关于OB的对称点P''，连接P'P''交OA于M'，OB与N'，
∴PM'＝P'M'，PN'＝P''N'，
此时P'P''的长即为△PMN的周长的最小值，
∵∠AOB＝44°，
∴∠P'PP''＝180°﹣44°＝136°，
∴∠P'+P''＝44°，
∵∠P'＝∠MPP'，∠P''＝∠P''PN'，
∴∠M'PN'＝∠P'PP''﹣（∠P'+∠P''）＝136°﹣44°＝92°，
故选：D．
解题秘籍：本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形内角和定理等知识，将△PMN周长的最小
值转化为P'P''的长是解题的关键，同时渗透了整体思想．
14．（2021秋•广水市期末）如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC，垂足为点C，
点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（
）
A．无法确定 B．10 C．13 D．16
思路引领：】根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠B＝60°，作点M关于直线CD的对称点G，过G
作GN⊥AB于N，交CD于P，则此时，MP+PN的值最小，根据直角三角形的性质得到BG＝2BN＝
18，求得MG＝10，于是得到结论．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝60°，作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P，
则此时，MP+PN的值最小，
∵∠B＝60°，∠BNG＝90°，
∴∠G＝30°，
∵BN＝9，
∴BG＝2BN＝18，
∴MG＝10，
∴CM＝CG＝5，
∴AC＝BC＝13，
故选：C．
解题秘籍：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图
形是解题的关键．
15．（2021秋•梁溪区校级期末）如图，点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC＝8，B到MN的
距离BD＝5，已知CD＝4，P是直线MN上的一个动点，记PA+PB的最小值为a，|PA﹣PB|的最大值为
b，则a2﹣b2的值为（ ）
A．160 B．150 C．140 D．130
思路引领：作点 A 关于直线 MN 的对称点 A′，连接 A′B 交直线 MN 于点 P，过点 A′作直线
A′E⊥BD的延长线于点E，再根据勾股定理求出A′B的长就是PA+PB的最小值；
延长AB交MN于点P′，此时P′A﹣P′B＝AB，由三角形三边关系可知AB＞|PA﹣PB|，故当点P运
动到P′点时|PA﹣PB|最大，作BE⊥AM，由勾股定理即可求出AB的长就是|PA﹣PB|的最大值．进一步代入求得答案即可．
解：如图，
作点A关于直线MN的对称点A′，连接A′B交直线MN于点P，
则点P即为所求点．
过点A′作直线A′E⊥BD的延长线于点E，则线段A′B的长即为PA+PB的最小值．
∵AC＝8，BD＝5，CD＝4，
∴A′C＝8，BE＝8+5＝13，A′E＝CD＝4，
∴A′B=❑√132+42=❑√185，
即PA+PB的最小值是a=❑√185．
如图，
延长AB交MN于点P′，
∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，
∴当点P运动到P′点时，|PA﹣PB|最大，
∵BD＝5，CD＝4，AC＝8，
过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝4，AE＝AC﹣BD＝8﹣5＝3，
∴AB=❑√42+32=5．∴|PA﹣PB|＝5为最大，
即b＝5，
∴a2﹣b2＝185﹣25＝160．
故选：A．
解题秘籍：本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答
此类问题的关键．
16．（2022春•锡山区期末）如图，菱形ABCD中，对角线长AC、BD的长分别为4、4❑√3，点P、Q分别
在边AB、BC上运动，连接PQ，将△BQP沿着PQ翻折得到△B'QP，若点B的对称点B'恰好落在边AD
上，则AB的长为 ，CQ长的最大值为 ．
思路引领：设 AC 与 BD 交于点 O，过点 A 作 AH⊥BC，垂足为 H，由折叠可得：BQ＝B′Q，当
B′Q⊥BC时，B′Q最小，即BQ最小，则CQ最大，然后根据菱形的性质可得AD∥BC，AC⊥BD，
AB＝BC，OA＝2，OB＝2❑√3，从而在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AB的长，进而在Rt△ABH中，
求出AH的长，最后利用平行线间的距离相等可得AH＝B′Q，从而求出CQ的最大值，即可解答．
解：设AC与BD交于点O，过点A作AH⊥BC，垂足为H，
由折叠得：
BQ＝B′Q，
∴当B′Q⊥BC时，B′Q最小，即BQ最小，则CQ最大，
∵四边形ABCD是菱形，
1 1
∴AD∥BC，AC⊥BD，AB＝BC，OA= AC＝2，OB= BD＝2❑√3，
2 2
∴AB=❑√AO2+OB2=❑√22+(2❑√3) 2=4，
∴AB＝BC＝AC＝4，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAH＝90°﹣∠ABH＝30°，1
∴BH= AB＝2，
2
AH=❑√3BH＝2❑√3，
∵AD∥BC，AH⊥BC，B′Q⊥BC，
∴AH＝B′Q＝2❑√3，
∴CQ的最大值＝BC﹣BQ＝4﹣2❑√3，
故答案为：4，4﹣2❑√3．
解题秘籍：本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当
的辅助线是解题的关键．
17．（2022春•霞浦县期中）在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的角平分线CD上，
CE＝CF，则AE+AF的最小值为 ．
思路引领：过点C作CG⊥AC，并截取CG＝．AC，连接EG，根据“SAS“证明△GCE≌△ACF，得出
AF＝GE，得出AF+AE从而得出当A、G、E三个点在同一直线上时，AF+AE的值最小，求出AG的值
即可．
解：过点C作CG⊥AC，并截取CG＝AC，连接EG，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵CD平分∠ACB．
1
∴∠ACD＝∠BCD= ∠ACB＝30°，
2
∵∠ACG＝90°，
∴BCG＝∠ACG﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∴∠ACD＝∠BCG，
∴△GCE≌△ACF（SAS），
∴AF＝GE，
∴AF+AE＝GE+AE，
当A、G、E三个点在同一直线上时，GE+AE的和最小，即AF+AE最小．
∴AF+AE的值最小为：❑√AC2+GC2=❑√42+42=4❑√2．
故答案为：4❑√2
解题秘籍：本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关
键
18．（2021秋•沙依巴克区校级期末）如图，在边长为6，面积为9❑√3的等边△ABC中，N为线段AB上的
任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是
．
思路引领：过C作CN⊥AB于N，交AD于M，连接BM，根据两点之间线段最短和垂线段最短得出此
时BM+MN最小，由于C和B关于AD对称，则BM+MN＝CN，根据勾股定理求出CN，即可求出答案．
解：过C作CN⊥AB于N，交AD于M，连接BM，则BM+MN最小（根据两点之间线段最短；点到直
线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BM+MN＝CN，
∵等边△ABC中，AD平分∠CAB，
∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，
∴C和B关于直线AD对称，
∴CM＝BM，
即BM+MN＝CM+MN＝CN，
∵CN⊥AB，
∴∠CNB＝90°，CN是∠ACB的平分线，AN＝BN（三线合一），
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCN＝30°，
∵AB＝6，
1
∴BN= AB＝3，
2
在△BCN中，由勾股定理得：CN=❑√BC2−BN2=❑√62−32=3❑√3，即BM+MN的最小值是3❑√3．
故答案为3❑√3．
解题秘籍：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，
等腰三角形的性质等知识点的综合运用．
19．（2021秋•抚远市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC
的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
思路引领：过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC
的平分线．得出 PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即 CM的长度，运用勾股定理求出 AB，再运用
1 1
S△ABC =
2
AB•CM =
2
AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，
1 1
∵S△ABC =
2
AB•CM =
2
AC•BC，
AC⋅BC 24
∴CM= = ，
AB 5
24
即PC+PQ的最小值为 ．
5
24
故答案为 ．
5
解题秘籍：本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．
20．（2021春•思明区校级月考）若 m为常数，且 m＞0，点A的坐标为（0，10m），B点的坐标为
（5m，﹣2m），C点为x轴上一点，AC+BC的最小值为 ，AC﹣BC最大值为 ．（用含m的
代数式表示）
思路引领：根据两点之间线段最短求出AC+BC的最小值，利用轴对称求出AC﹣BC的最小值即可．
解：如图，连接AB交x轴于点C，此时AC+CB的值最大，
最大值＝AB=❑√(5m) 2+(12m) 2=13m．
作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，延长AB′交x轴于C′，
此时AC′﹣BC′的值最大，
最大值为AB′=❑√(5m) 2+(8m) 2=❑√89m，
故答案为：13m，❑√89m．解题秘籍：本题考查轴对称﹣最短问题，坐标与图形性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用两
点之间线段最短解决最小值问题．
21．（2020•新化县开学）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为
E，AD平分∠BAC．
（1）求∠B的度数；
1
（2）求证：CD= BC；
3
（3）若AC＝2，点P是直线AD上的动点，求|PB﹣PC|的最大值．
思路引领：（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AD＝BD，根据等边对等角
可得∠BAD＝∠B，然后利用直角三角形两锐角互余列式求出∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°；
（2）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD＝2CD，根据AD＝BD，从而得出BD
1
＝2CD，得出BC＝BD+CD＝3CD，即可证得CD= BC；
3
（3）作C点关于直线AD的对称点C′，作直线BC′交AD于P，此时|PB﹣PC|的值最大，最大值为
AC的长．
解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，∵∠C＝90°，
∴∠B+2∠B＝90°，
∴∠B＝30°．
（2）∵∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，
∴AD＝2CD，
∵AD＝BD，
∴BD＝2CD，
∴BC＝BD+CD＝3CD，
1
∴CD= BC；
3
（3）作C点关于直线AD的对称点C′，
∵AD平分∠BAC．
∴C′在直线AB上，连接BC′的直线就是AB，
∴P点就是A点，
此时|PB﹣PC|的最大值为BC′，
∵AC＝AC′＝BC′，
∴|PB﹣PC|的最大值＝2．
解题秘籍：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两
边的距离相等的性质，等边对等角的性质，轴对称的性质以及三角形的内角和定理，熟记各性质是解题的
关键．
