文档内容
11.1.2 不等式的性质
第 1 课时 不等式的性质
教学目标
课题 第1课时 不等式的性质 授课人
1.通过类比、猜测、验证发现不等式的性质，并掌握不等式的性质．
素养目标
2．初步体会不等式与等式的异同．
教学重点 理解并掌握不等式的性质．
教学难点 探究不等式的性质的过程.
教学活动
教学步骤 师生活动
【复习引入】
对于某些简单的不等式，可以直接得出它们的解集，例
如不等式x＋4＞10的解集是x＞6，不等式2x＜6的解集是
【教学建议】
x＜3.但是对于比较复杂的不等式，例如－2＞，直接得出它
通过引导学生回
活动一：旧 的解集就比较困难．因此，还要讨论怎样解不等式．
顾旧知，为下一步
知回顾，复习
与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据
导入 类比学习不等式的
不等式的性质．
【设计意 性质做好铺垫和准
回想一下，等式有哪些性质？分别用文字语言和符号语
图】
备，并使学生明确
因为不等式 言表示出来．
本节课的学习目
与等式一样，
标，自然而然地进
都是对大小关 等式
文字语言 符号语言
入新知识的学习．
系的刻画，所 的性质
以类比等式的 教师也可让学生类
等式两边加(或减)
性质研究不等 性质 如果a＝b，那么 比等式的性质，在
同一个数(或式子)，
式的性质，启 1 a±c＝b±c
进入正课之前猜想
结果仍相等
发学生对不等
不等式有哪些性
等式两边乘同一个
式的性质进行
如果a＝b，那么ac
质．
初步思考. 性质 数，或除以同一个不
＝bc；如果a＝b，
2 为0的数，结果仍相
c≠0，那么＝
等
等式有上述性质，那不等式是否也应该同样具备类似的性
质呢？
探究点 不等式的性质
活动二：
【教学建议】
问题引入，探
(1类比等式的性质l,我们来看看下列问题:a.用“>”或
教师引导学生通
究新知 “<”完成下列两组填空:
过类比思想进行迁
【设计意 第一组:5>3,5＋2>3＋2,5十0_>3十0,5＋(—2)>3十(一2);
移，使学生经过计
图】 第二组:一1<3,一1+4<3十4,—1＋0 < 3＋0，—1十(一7)<3十( —7).
算、观察、分析、
b.观察不等号的方向,你发现了什么规律?换一些其他的数,
猜想、验证等过
这个规律仍然成立吗?
程，体会不等式的
不等式两边加同一个数,不等号的方向不变.仍然成立.
性质的结论形成的
c.这个规律对于不等式两边减去同一个数的情形仍然成立
推理过程，并通过
吗?为什么?
创设生活中的实际
仍然成立.由于减法可以转化为加法,因而这个规律对于不
等式两边减去同一个数的情形仍然成立. 情境解释不等式的
d.请你类比等式的性质1归纳出不等式的性质1. 性质1，再加上与等
不等式的性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不 式的性质比较，加
等号的方向不变.如果a>b ,那么a士c>b士c . 深学生的理解和记
e.我们也可以从实际角度解释不等式的性质1.如今年老师
忆．
的年龄为a岁,学生的年龄为b岁(a>b),5年前老师的年龄为
_(a — 5) 岁,学生的年龄为 _(b 一 5) 岁,不等关系表示为 _a 一
5>b 一 5_ ;10年后老师的年龄为_(a+10)岁，学生的年龄为
_(b ＋ 10) 岁,不等关系表示为 _a ＋ 10>b ＋ 10 .
引导学生通 (2)类比等式的性质2，我们来看看下列问题：
过类比、归纳 a.用“＞”或“＜”完成下列两组填空：
的数学思想总 第一组：6＞2，6×5＞2×5，6×(－5)＜2×(－5)； 【教学建议】
结出不等式的 第二组：－2＜3，－2×4＜3×4，－2×(－0.5)＞3×(－0.5). 教师提问不等式两
性质，培养学
b.观察不等号的方向，你发现了什么规律？换一些其他的 边乘0，结果是怎样
生的逻辑思维
数，这个规律仍然成立吗？ 的，学生发现两边
能力和分析总
不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变；不等式
都为0，而0不可以
结能力．
两边乘同一个负数，不等号的方向改变．仍然成立.
作除数，所以在归
c.这个规律对于不等式两边除以同一个不为0的数的情形
纳不等式的性质2，
仍然成立吗？为什么？
3时，是需要排除0
仍然成立．由于除以一个不为0的数等于乘这个数的倒
的情况的，另外，
数，并且这个数的倒数和它的符号相同，因而这个规律对
于不等式两边除以同一个不为0的数的情形仍然成立. 教学中还应强调：
d.请你类比等式的性质2归纳出不等式的性质2和性质3. (1)在运用不等式
不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不 的性质对不等式进
等号的方向不变. 行变形时，两边要
如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或＞). “同时”进行“相
不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不
同”的变形，且要
等号的方向改变.
注意符号的方向是
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或＜).
否需要改变.
(3)比较不等式的性质2和性质3，指出它们有什么区别．
(2)不等式还具备
再比较不等式的性质和等式的性质，它们有什么异同？
其他性质，比如：
不等式的性质2和性质3的区别是在不等式两边乘(或除
以)的数一个是正数，一个是负数，性质2中不等号的方向
①对称性；②传递不变，性质3中不等号的方向改变．不等式的性质有三
条，它们表明了不等式两边进行同样的加(减)、乘(除)运算
时，大小关系有时不变，有时改变；等式的性质有两条，
它们表明了等式两边进行同样的加(减)、乘(除)运算时，相
等关系不变．对于乘法运算，不等式的性质要分乘数的
正、负分别论述，两者的结果不同.
例1 (教材P125例2)已知a>b，比较下列两个式子的大 性，这里不进行深
小，并说明依据. 入探讨，具体见解
(1)a＋3与b＋3； (2)－2a与－2b.
题大招.
解：(1)因为a>b，所以a＋3>b＋3(不等式的性质1).
(2)因为a>b，所以－2a＜－2b(不等式的性质3).
【对应训练】
1.教材P125练习第1，2题.
2.根据不等式的性质，下列变形正确的是（B）
A.由a＞b得ac2＞bc2 B．由ac2＞bc2得a＞b
C.由－a＞2得a＜2 D．由2x＋1＞x得x＜－1
例2 如果关于x的不等式(m＋1)x>3的解集为x＜，求
m的取值范围．
【教学建议】
活动三：逆
学生分组交流，
向思维，强化
自主完成本题，启
记忆
发学生的逆向思
【设计意
图】 维：变形前后不等
解：由题意，可得m＋1＜0.
对不等式的 号的方向不变，说
由不等式的性质1，可得m＋1－1＜0－1，
性质进行逆向
明两边乘(或除以)的
考查，求参数
所以m＜－1.
数是正数；变形前
的值，使学生 【对应训练】
后不等号的方向改
在练习中巩固 [题组训练]已知a>b.
本节课所学. (1)若a＋x>b＋x，则x的取值范围为全体实数；
变，说明两边乘(或
(2)若axbx2，则x的取值范围为 x ≠0 ；
(4)若＞，则x的取值范围为全体实数.
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子(或“随
堂作业”册子)相应课时随堂训练.
活动四：随 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请
堂训练，课堂 学生回答以下问题：
总结 1.不等式的性质有几条？各是什么？
2.你能利用不等式的性质对不等式进行变形吗？
【知识结构】【作业布置】
1.教材P128习题11.1第4，7题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．
第1课时 不等式的性质
板书设计
不等式的性质：
本节课通过类比等式的性质，结合生活中的实例组
织学生探索，得到不等式的三个性质，并利用不等式的性
质对不等式进行简单变形得出一些结论．在这一过程中需
教学反思 要充分调动学生的积极性，让所有学生都参与其中，采取
自主探索、合作交流、深入研讨、步步为营的措施，为学
生营造一个自主学习、主动发展的广阔空间，使学生快乐
地成为学习的主人.解题大招一 不等式的其他性质
不等式还具备其他性质，与等式类似，如以下两个基本事实：
基本事实 文字语言 符号语言
交换不等式两边，不等号 如果a>b，那么b＜a.
不等式的对称性
的方向改变 例如，由5>x，可得x＜5
如果a>b，b>c，那么
a>c.
不等式的传递性 不等关系可以传递
例如，由y>x，x>－3，可
得y>－3
这些不等式的性质，在解题时可直接运用．
解题大招二 利用不等式的性质比较整式的大小
利用不等式的性质比较两个整式的大小的关键点：
(1)找出两个整式的相同部分和不同部分；
(2)确定不同部分的大小关系．
例1 已知a＞b，则下列不等式成立的是（C）
A．a－5＜b－5 B．2－3a＞2－3b
C.＞ D．a＋m＜b＋m
解析：
序号 理由 结论
A 因为a>b，所以由不等式的性质1，可得a－5>b－5 不成立
因为a>b，所以由不等式的性质3，可得－3a＜－3b；又由不
B 不成立
等式的性质1，可得2－3a＜2－3b
C 因为a>b，所以由不等式的性质2，可得> 成立
D 因为a>b，所以由不等式的性质1，可得a＋m>b＋m 不成立
解题大招三 不等式的性质与数轴的综合
解决此类题目的关键是先根据数轴判断出字母的正负性及它们之间的大小
关系，再根据不等式的性质进行转化，从而得到结论．
例2 实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中正确的是
（C）
A．－a－c＞－b－c B．ac＞bc
C．|a－b|＝a－b D．a＜－b＜－c
解析：由数轴知a＞b，那么－a＜－b，－a－c＜－b－c，故选项A错误，
不符合题意；由数轴知a＞b，c＜0，那么ac＜bc，故选项B错误，不符合题意；
由数轴知a＞b，那么a－b＞0，所以|a－b|＝a－b，故选项C正确，符合题意；
由数轴知|a|＞|b|，|a|＞|c|，a＞0，c＜b＜0，那么a＞－c＞－b，故选项D错误，不符合题意．故选C.
培优点 “求差法”比较整式的大小
例 根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
(1)①如果a－b＜0，那么a＜b；
②如果a－b＝0，那么a＝b；
③如果a－b＞0，那么a＞b.
(2)(1)中这种比较大小的方法称为“求差法”，请运用这种方法尝试解决下
面的问题：
①比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小；
②若2a＋2b－1＞3a＋b，比较a，b的大小．
解：①因为4＋3a2－2b＋b2－(3a2－2b＋1)＝4＋3a2－2b＋b2－3a2＋2b－1＝
b2＋3＞0，
所以4＋3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1.
②因为2a＋2b－1＞3a＋b，所以2a＋2b－3a－b＞1，即b－a＞1.
因为1＞0，所以b－a＞0.所以a＜b.
