文档内容
第八章 实数
8 1平方根
.
第1课时平方根
教学目标
课题 第1课时 平方根 授课人
1.掌握平方根的概念.
2.能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和平方运算之间的互
素养目标
逆关系.
3.培养学生的探究能力和归纳问题的能力.
教学重点 平方根的概念和求数的平方根.
教学难点 求数的平方根.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：
复 习 回
顾，提出 【教学建议】
问题 【回顾导入】
带 领 学
我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平 生回顾常见
设计意图 方.如：22=4，52=25，72=49…… 整数的平方
反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢？ 运算，12，22，
通过回顾
比如：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少呢？ 32，…，为后
平 方 运
带着这个问题，让我们走入今天的学习吧. 面的开方运
算，引入
算作准备.
本节课学
习.
探究点1 平方根的概念和计算
活动二： 【教学建议】
问 题 引
（1）在前面，我们提到：“如果一个数的平方等于9，那么
教 师 引
入，探究
这个数是多少呢？”请你回答这个问题.
导学生作答，
新知
因为32=9，所以这个数可以是3；又因为(-3)2=9，所以这个
使学生经历
数也可以是-3.
观察、思考、
设计意图 （2）还可能是其他数吗？ 交流、总结归
不可能是其他数.因为除3，-3以外，任何一个数的平方都 纳出平方根
通过阅读
不等于9. 的概念的过
课本、填
（3）填表： 程，利用平方
表，引出
与开平方互
平方根的
x2 1 16 36 49 逆揭示开平
概念，并
方运算的本
让学生体
质，培养学生
会根据平
x ±1 ±4 ±6 ±7 用逆向思维
方的意义
教学步骤 师生活动求出平方 概念引入： 解决问题的
根. 一般地，如果一个数x的平方等于α，即x2=α，那么这个数x 习惯.求一个
叫作α的平方根或二次方根.例如3和-3是9的平方根.通常 正数的平方
把3和-3合在一起简记为“±3”，则±3是9的平方根. 根的过程一
般分为两步：
（4）求一个数的平方根的运算，叫作开平方.观察下图，你
（1）找出平方
发现了什么？
等于这个正
数的数，这样
的数有两个；
（2）根据平方
根的概念写
出这个正数
的平方根.
平方与开平方互为逆运算.
（5）教材P40例1.
【对应训练】
教材P42练习第2题.
设计意图 探究点2 平方根的特征与表示方法
用“由特 让我们一起观察探究点1中的图，想一想：
殊 到 一 （1）1,4,9的平方根分别是多少？正数的平方根有什么特
般”的数 点？ 【教学建议】
学思想归 1，4，9的平方根分别是±1，±2，±3.正数有两个平方根，
教 师 提
纳出平方 它们互为相反数.
问，学生作
根 的 特 （2）0有几个平方根？各是多少？为什么？
答，由学生归
征. 0只有一个平方根，是0.因为02=0，并且任何一个不为0的
纳出平方根
数的平方都不等于0，所以0的平方根是0.
的特征，教师
（3）-1,-4，-9有平方根吗？为什么？
总结、订正.
没有.正数的平方是正数，0的平方是0，负数的平方也是正
解题时注意：
数，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所
已知一个数
以负数没有平方根.
的两个平方
归纳：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是
根，根据两个
0；负数没有平方根.
平方根互为
概念引入： 相反数列方
正数α的正的平方根记为“ ”，读作“根号α”，α叫作被 程求解；如果
题目只是叙
开方数；正数α的负的平方根可以用“ ”表示，故正数
述两个数均
α的平方根可以用“ ”表示，读作“正、负根号α”.例 为一个数的
平方根，则需
如， 表示9的平方根， =±3.特别地，0的平方根记 要分相等和
互为相反数
为 .
两种情况进
（4）只有当α大于或等于0时，α有意义；而当α小于0时， 行讨论.
α没有意义.为什么？
因为只有正数和0有平方根，负数没有平方根.
（5）教材P41例2.
教学步骤 师生活动
【对应训练】1.教材P41练习第1题.
2.已知一个正数的两个平方根分别是2α-1和α-5，则α= 2
.
3.如果3x-2和5x+6都是一个非负数的平方根，求这个非
负数.
解：①若3x-2和5x+6相同，则3x-2=5x+6，解得x=-4，此时
3x-2=-14，（-14）2=196；②若3x-2和5x+6不同，则它们互为相
反数，即3x-2+5x+6=0，解得x=-0.5，此时3x-2=-3.5，（-3.5）
2=12.25.
综上可知，这个非负数是196或12.25.
活动三： 例 求下列各式中x的值： 【教学建议】
重 点 突
(1)3x2=48；(2)(x+1)2=4；(3)2(x-1)2-18=0.
破，提升 求 类 似 于 a
探究 解:(1)原式可变形为x2=16.因为(±4)2=16，所以x=4或 （mx+b）2-c=0
x=-4. 中x的值时，
设计意图
(2)因为(±2)2=4，所以x+1=2或x+1=-2，所以x=1或x=-3. 一般将其变
拓 展 提 (3)原式可变形为(x-1)2=9.因为(±3)2=9，所以x-1=3或 形，利用整体
升，进一 思想将 mx+b
x-1=-3，所以x=4或x=-2.
步巩固学 作为一个整
生对平方 【对应训练】 体，再利用平
根概念的 方根的意义
教材P42练习第3课
理解，并 转化为一元
灵活应用 一次方程，从
于解方程 而求出 x 的
中. 值.
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子（或“随堂作业”册子）相应课时
随堂训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.什么叫作一个数的平方根？
2.平方根具有哪些性质？
3.平方根怎样表示？
【知识结构】
活动四：
随 堂 训
练，课堂
总结
【作业布置】
1.教材P46习题8.1第1,3（1）（3）,6题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
8.1 平方根
第1课时 平方根
板书设计
1.平方根的概念.
2.求一个非负数的平方根的运算——开平方.3.平方根的特征及其应用：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方
根是0；负数没有平方根.
本节课通过一些实例让学生体会平方根的概念及其特征，渗透“具体—抽
教学反思 象—具体”的研究思路.结合学过的运算理解“开平方”的新运算，使学生的
学习形成迁移.借助例题和课堂练习巩固新知，提高学生的学习能力.
解题大招 已知一个数的平方根求原数
已知一个数的平方根，求原数的方法：需要根据题目的叙述进行判断，当题目中有类似
“A和B是一个正数的两个平方根”或“一个正数的平方根分别是A和B”这样的描述时，
则根据平方根的性质知A+B=0，直接列出方程求未知数，再进一步求得原数；当题目中有类
似“A和B是一个正数的平方根”这样的描述时，则除了A+B=0，还需考虑A=B的情况，需
分别列方程求出未知数.
例1 若2m-4与3m-1是一个正数的两个平方根，则这个正数为（ B ）
A．1 B．4 C．±1 D．±4
解析：由题意可知2m-4+3m-1=0，所以m=1，所以2m-4=-2，所以这个正数为4.故选B.
例2 已知a-1和5-2a都是m的平方根，求a与m的值.
解：根据题意，分以下两种情况：
①当a-1与5-2a是同一个平方根时，a-1=5-2a，解得a=2.此时m=（2-1）2=1；
②当a-1与5-2a是两个平方根时，a-1+5-2a=0，解得a=4.此时m=(4-1)2=9.
综上所述，a=2，m=1或a=4，m=9.
培优点 利用平方根的相关性质解题
例 已知a，b，c满足 ，c的平方根等于它本身,求 的平方根.
解：因为-(a-3)2≥0，所以a=3.
把a=3代入 ，得b=4.因为c的平方根等于它本身，所以c=0.
所以 ，所以 的平方根为 .
