文档内容
8 3 实数及其简单运算
.
第 1 课时 实数的概念及意义
教学目标
课题 第1课时 实数的概念 授课人
1.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数.
2.理解有理数和无理数的区别，会把实数进行分类.
素养目标
3.理解实数与数轴的关系，并进行相关运用.
4.了解实数的大小比较的方法.
1.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数.
教学重点
2.理解有理数和无理数的区别，会把实数进行分类.
教学难点 理解实数与数轴的关系，并进行相关运用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：
【回顾导入】
复 习 回
顾，问题 请同学们回顾下面这两个问题：
引入 什么是有理数？有理数怎样分类？
【教学建议】
设计意图
教 师 指
学生回忆 定学生代表
有理数及 作答.
无限不循
环小数的
概念，为 什么是无限不循环小数？无限不循环小数都有哪些形式？
学习实数 小数位数无限，且小数部分不循环的小数叫作无限不循环
做铺垫. 小数.很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数.
活动二：
探究点1 实数的概念及分类
【教学建议】
问 题 引
（教材P52探究）把下列有理数写成小数的形式，你发现了
入，探究 学 生 先
什么？
新知 自主探究，然
后交流讨论，
4， ， ， ， ， .
教师再订正、
设计意图
归纳.先通过
可以发现，上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环
复习有理数
通过探究
小数的形式，即4=4.0， =2.5， =-0.6， =6.75， = 的概念，再经
有理数的
过类比学习
形式引入
的方法引入
无理数的
， = .
无理数的概
概念，将
念，体会两者
数系扩充
教学步骤 师生活动至实数， 问题1 之间的区别，
达到整体 （1）任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数 最后给出实
认识，形 的形式吗？ 数的概念，层
成知识迁 （2）任何有限小数或无限循环小数都是有理数吗？ 层设问，发展
移. （1）是的.（2）是的. 学生的探究
问题2 我们学过的所有数都可以写成有限小数或无限循 意识.注意强
环小数的形式吗？如果不是，你能举例说明吗？ 调：无限小数
不是.很多数的平方根、立方根是无限不循环小数，例如， 既可能是有
理数，也可能
， ， ， 等，π=3.14159265…也是无限不循环小
是无理数，因
数. 为无限小数
概念引入：无限不循环小数都不是有理数.无限不循环小 有无限循环
数又叫作无理数. 小数和无限
不循环小数
两种形式.
像有理数一样，无理数也有正负之分.例如 , ,π是
正无理数， , ,-π是负无理数.
拓展：常见的无理数的形式有：①开方开不尽的数，如
， 等；②π及含π的式子，如π，2+π等；③结构特殊且不循
环的小数，如1.01001000100001…（相邻的两个1之间依次多
一个0）等.
概念引入：
有理数和无理数统称实数.
问题3 仿照有理数的分类，你能对实数进行分类吗？
【教学建议】
对 实 数
分类时，可让
学生类比有
理数的分类，
实数分类的原则是：按照同一标准，不重不漏.
并进一步体
【对应训练】 会无理数的
特征.在自主
1.教材P54练习第1（1）（2）（3），2题.
探究的过程
2.下列说法正确的是（ D ） 中，发展学生
A．正实数和负实数统称实数 的类比思想
B．正数、0和负数统称有理数 和分类思想.
C．带根号的数和分数统称实数 分类原则是
不重不漏，注
D．无理数和有理数统称实数
意有时分类
3.把下列各数填在相应的集合内：
的数会同时
属于多个集
-3.1415， ， ， ， ， ，0， ，
合，要特别注
,0.2020020002…(相邻的两个2之间依次多一个0). 意不要漏写.
教学步骤 师生活动设计意图 探究点2 实数与数轴上的点的对应关系 【教学建议】
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示.无理 学 生 在
通过具体
数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？ 讨论合作的
实例，让
（1）（教材P53思考）以单位长度为直径画一个圆，它的周 基础上动手
学生直观
长等于π.如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆 操作，教师利
感受无理
用多媒体课
数可用数
上的一点由原点O到达点O′，点O′对应的数是多少？
件进行动态
轴上的点
演示，并对学
表示，从
生讨论交流
而深化扩
的结果进行
展到实数
总结.注意使
与数轴上
从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长π，所以点O′对 学生感受当
的点的一
应的数是π. 数的范围从
一对应关
有理数扩充
系. （2）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆
到实数后，实
心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示
数与数轴上
，与负半轴的交点就表示 .为什么？ 的点才是一
一对应的，而
有理数不是.
在学习算术平方根的估算时，我们知道，用两个面积为1的
小正方形剪拼成一个面积为2的大正方形，这个大正方形的边
长就是小正方形的对角线长，因此图中正方形的对角线长是2.
所以以原点为圆心，以小正方形的对角线长为半径画弧，与数
轴的两个交点分别表示数 ， .
事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出
来.
总结：当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都
可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都
表示一个实数.因此，实数与数轴上的点是一一对应的.
【对应训练】
1.教材P54练习第1（4）（5）题.
2.如图，面积为 5 的正方形
ABCD的顶点A在数轴上，且点A表
示的数为1.若点E在数轴上（点E在
点A左侧），且AD=AE，则点E所表示的数为（ D ）
A． B． C． D．
教学步骤 师生活动
设计意图 探究点3 实数的大小比较 【教学建议】通过有理 （1）回想一下，在数轴上如何比较两个有理数的大小？ 教 师 引
数的大小 左边的数小于右边的数. 导学生自主
比较，类 （2）猜想一下， 和 谁比较大？为什么？ 学习，通过实
比学习实 数的大小比
大.因为 在数轴上对应的点在原点的右边，而
数的大小 较，学生会自
比较. 在数轴上对应的点在原点的左边. 然类比联想
到有理数的
（3）你能总结出两个实数比较大小的方法吗？
运算法则及
与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右
运算性质在
边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
实数范围内
用数轴比较实数的方法只是其中一种（更直观），实际上，
是否适用，从
有理数的大小比较的法则对于实数同样适用：(1)正数大于0，
而为后面的
负数小于0，正数大于负数；(2)两个正数，绝对值大的较大；(3)
学习做好铺
两个负数，绝对值大的反而小.
垫.在比较实
（4）请结合教材P54练习第3题，将这4个实数用“<”连
数的大小时，
接起来.
除了利用数
轴和法则，还
-π＜ ＜ ＜ .
可以利用估
算法、平（立）
【对应训练】 方法、作差法
等.
1.比较大小：（填“>”“<”或“=”）
（1） > ；（2） < -3.1.
2.将-2, ,0, ,-π与图中数轴上标有字母的各点对应
起来，并用“<”连接这些数.
解：-2对应点B, 对应点D,0对应点C, 对应点E,-π
对应点A.由图可知-π<-2<0< < .
例 如图，数轴上A,B两点
活动三： 【教学建议】
重 点 突 表示的数分别为 和5.1，则
学 生 分
破，综合 A，B两点之间表示整数的点共
组交流，讨论
探究 有（ C ）
作答.鼓励学
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 生动手操作，
设计意图
画图描点，有
【对应训练】
助于厘清思
强化巩固
如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足| 路.此类题目
对于实数
a+3|+(b-6)2=0. 较好地将知
与数轴上
（1）点A表示的数为 - 3 ，点B表示的数为 6 ； 识进行了综
的点的一
合，并有一定
一对应关 （2）若点C到原点的距离为 ，求点C到点B的距离.
的拓展，能培
系的理
养学生大胆
教学步骤 师生活动
解，并能 解：当点C在原点的右边时，点C表示的数为 ，此时点 尝试、勇于探
在实践中 索的精神，提
C到点B的距离为 ；
灵 活 运 高学生的思
用，解决 当点C在原点的左边时，点C表示的数为 ，此时点C 维能力.综合类型 到点B的距离为 .
题目.
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子（或“随堂作业”册子）相应课
时随堂训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.什么是无理数？什么是实数？实数怎么分类？
2.数轴上的点与实数有怎样的对应关系？
【知识结构】
活动四：
随 堂 训
练，课堂
总结
【作业布置】
1.教材P57习题8.3第1,2,6,9题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
第1课时实数的概念及意义
1.无理数的概念：无限不循环小数又叫作无理数.
2.实数的概念：有理数和无理数统称实数.
3.实数的分类：
板书设计
4.实数与数轴上的点是一一对应的.
5.实数的大小比较：数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数
大.
本节课学习了实数的有关概念和实数的分类，把我们所学过的数在有理数
的基础上扩充到实数，在此基础上，明确了实数与数轴上的点的一一对应的关
系.学习中要求学生结合有理数理解实数的有关概念，同时要注意两个地方：一
教学反思
是所有的分数都是有理数，如 ；二是形如 ， 等之类的含有π的数不是分
数，而是无理数.
解题大招一 实数的分类及判断
（1）有的数应先将其化简，然后根据最后的结果进行分类.例如，对于 ，由于
，所以它不是无理数而是有理数，如果进一步细分，它还是整数，也是自然数.
（2）分数都可以化为有限小数或无限不循环小数，有的数虽然形式上含有分数线，但不是分数，如 , 等，它们都不是分数，而是无理数.
例1 下列说法错误的是（ C ）
A． 是无理数 B． 是整数 C． 是分数 D．π+1是实数
解析： 是无理数； ，所以 是整数； 是无理数；π+1是无理数，所以
是实数.故选C.
解题大招二 实数的大小比较
（1）任意两个实数都可以进行大小比较，正实数大于0，0大于负实数.两个负实数进行
比较时，绝对值大的反而小.
（2）数轴上右边的点表示的实数恒大于数轴上左边的点表示的实数.
（3）两个正无理数进行比较时，若根指数相同，被开方数越大则无理数越大；若根指数不
同，则可利用无理数的估算比较大小.
例2 a，b是实数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，-a，b，-b按照从小到
大的顺序排列，正确的是（ A ）
A．a＜-b＜b＜-a B．a＜b＜-b＜-a
C．a＜-b＜-a＜b D．-b＜a＜b＜-a
分析：根据a，b在数轴上对应点的位置描出-a，-b的对应点的大致位置，进而可得出结
论.
解析：如图，描出-a,-b在数轴上对应点的位置，观察各
点的位置可知，a＜-b＜b＜-a.故选A.
培优点 数形结合思想在实数求值中的运用
例 如图①是由8个同样大小的小正方体组成的魔方，体积为8.
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出正方形ABCD的面积及边长；
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与表示-1的点重合，那么点D在数
轴上表示的数为 .
分析：（1）根据正方体的体积公式，直接求棱长即可；
（2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的边长及面积，可进一步得
到阴影部分图形的边长；
（3）用点A表示的数减去边长即可得解.
解：（1）设这个魔方的棱长为x，则x3=8，所以x=2.
（2）因为魔方的棱长为2，所以魔方的每个面的面积为22=4.
易知正方形ABCD的面积为 =2.
所以正方形ABCD的边长为2.
