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第26章 反比例函数 培优卷
满分120分
一、单选题
1. ( 3分 ) 下列反比例函数图象的一个分支在第三象限的是（ ）
3−π 2−1 k 3
A. y= B. y= C. y= D. y=−
x x x x
【答案】 B
【考点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵反比例函数图象的一个分支在第三象限，
∴k>0 .
A中 3−π<0 ，故错误；
1
B中 2−1= >0 ，故正确；
2
C中k不一定大于0，故错误；
D中 −3<0 ，故错误，
2−1
∴反比例函数图象的一个分支在第三象限的是 y= ，
x
故答案为：B.
k
【分析】反比例函数y= （k≠0）当k＞0时，图象在一、三象限，当k＜0时，图象在二、四象限，只需
x
判断k的正负即可.
2. ( 3分 ) 如图，□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为( )
A. 8cm B. 12cm C. 4cm D. 6cm
【答案】 A
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解:∵□ABCD的周长是28cm ，
1∴AB+BC=14 cm.
∵△ABC的周长是22cm ，
∴AC=22-14=8 cm.
故选A.
3. ( 3分 ) 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设
P=a+b+c，则P的取值范围是（ ）
A. ﹣3＜P＜﹣1 B. ﹣6＜P＜0 C. ﹣3＜P＜0 D. ﹣6＜P＜﹣3
【答案】 B
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），
∴0=a﹣b+c，﹣3=c，
∴b=a﹣3，
∵当x=1时，y=ax2+bx+c=a+b+c，
∴P=a+b+c=a+a﹣3﹣3=2a﹣6，
∵顶点在第四象限，a＞0，
∴b=a﹣3＜0，
∴a＜3，
∴0＜a＜3，
∴﹣6＜2a﹣6＜0，
即﹣6＜P＜0．
故选：B．
【分析】利用二次函数图象的开口方向和对称轴求出a＞0，b＜0，把x=﹣1代入求出b=a﹣3，把x=1代入
得出P=a+b+c=2a﹣6，求出2a﹣6的范围即可．
2x−b
4. ( 3分 ) 若点(1，2)同时在函数y=ax+b和y= 的图象上，则点(a，b)为（ ）
a
A. (－3，－1) B. (－3，1) C. (1，3) D. (－1，3)
【答案】 D
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
x−b
【解析】【分析】分别把(1，2)代入y=ax+b和y= ， 即可得到关于a、b的方程组，解出即可.
a
{a+b=2
) {a=−1)
【解答】由题意得 1−b ， 解得 ， 则点(a，b)为(－1，3)，故选D.
=2 b=3
a
【点评】方程思想是初中数学学习中非常重要的思想方法，与各个知识点的结合极为容易，是中考中的热
点，在各种题型中均有出现，需多加关注.
k
5. ( 3分 ) 如图，在平面直角坐标系中，点 A(3,2) 在反比例函数 y= 的图象上.若 y<2 ，则自变量
x
x 的取值范围是( )
A. x<3 B. x>3 C. x>3 且 x≠0
D. x>3 或 x<0
【答案】 D
【考点】反比例函数的图象，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由已知条件，将点 A(3,2) 代入反比例函数解析式，可得 k=6 ，
6
即函数解析式为 y= (x≠0)
x
∵ y<2
6
∴ <2
x
∴当 x>0 时，解得 x>3 ；
3当 x<0 时，解得 x<3 ，即 x<0 ，
∴ x 的取值范围是 x>3 或 x<0
故答案为D.
【分析】首先根据点坐标求出函数解析式，然后列出不等式，反比例函数自变量不为0，分两类讨论，即
可解题.
6. ( 3分 ) 某反比例函数图象经过点(-1,6),则下列各点中此函数图象也经过的点是（ ）
A. (-3,2) B. (3,2)
C. (2,3) D. (6,1)
【答案】 A
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】
【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是（-1)×6=-6的，就在此函数图象上．
【解答】∵所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数，
∴此函数的比例系数是：（-1)×6=-6，
∴下列四个选择的横纵坐标的积是-6的，就是符合题意的选项；
A、（-3)×2=-6，故本选项正确；
B、3×2=6，故本选项错误；
C、2×3=6，故本选项错误；
D、6×1=6，故本选项错误；
故选：A．
k 1 k
7. ( 3分 ) 两个反比例函数y＝ 和y＝ 在第一象限内，点P在y＝ 的图象上，PC垂直于X轴于
x x x
1 1 k
点C，交y＝ 的图象于点A，PD垂直于Y轴于D，交y＝ 的图象于点B，当点P在y＝ 的图象
x x x
上运动时，下列结论错误的是（ ）
4A. △ODB与△OCA的面积相等
B. 当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点
C. 只有当四边形OCPB为正方形时，四边形PAOB的面积最大
CA DB
D. ＝
PA PB
【答案】 C
【考点】反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义
1 1
【解析】【解答】解：A、由于点A和点D均在同一个反比例函数y＝ 的图象上，所以S ＝ ，
x △ODB 2
1
S ＝ ；故△ODB与△OCA的面积相等，故A选项正确；
△OCA 2
B、连接OP，点A是PC的中点，
则△OAP和△OAC的面积相等，
k
∵△ODP的面积＝△OCP的面积＝ ，△ODB与△OCA的面积相等，
2
∴△OBP与△OAP的面积相等，
∴△OBD和△OBP面积相等，
∴点B一定是PD的中点，故B选项正确；
C、由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化，故C选项
错误；
k 1 m k 1 k 1
D、设P（m， ），则A（m， ），B（ ， ），则CA＝ ，PA＝ ﹣ ，DB＝
m m k m m m m
m m
，PB＝m﹣ ，
k k
1
CA m 1 DB 1
故 = = ， = ，
PA k 1 k−1 PB k−1
−
m m
5CA DB
∴ = ，故D选项正确.
PA PB
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的图象和性质，特别是根据反比例函数k的几何意义，对四个选项逐一进行分析，
即可得出正确答案.
8. ( 3分 ) 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0), 下列说法：①当 b=a+c 时，则方程
ax2+bx+c=0 一定有一根为 x=−1 ；②若 ab>0，bc<0， 则方程 ax2+bx+c=0 一定有两个不相
等的实数根；③若c是方程 ax2+bx+c=0 的一个根，则一定有 ac+b+1=0 ；④若 b=2a+3c ，则
方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ②③④
【答案】 C
【考点】一元二次方程的定义及相关的量，一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
△＝b2−4ac，
①将x＝−1代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a−b＋c＝0，即b＝a＋c．故①符合题意．
②若ab＞0，bc＜0，则ac＜0，则△＝b2−4ac＞0，即方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根．故
②符合题意．
③将x＝c代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ac2＋bc＋c＝0，得c＝0或ac＋b＋1＝0．故③不符合题意．
④若b＝2a＋3c，△＝b2−4ac＝（2a＋3c）2−4ac =4（a＋c）2＋5c2＞0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．故④符合题意．
所以正确的是①②④，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根的意义及根的判别式，逐项分析判断即可．
1 1
9. ( 2分 ) 如图所示，已知 A( ,y ),B(2,y ) 为反比例函数 y= 图象上的两点，动点 P(x,0) 在
2 1 2 x
x 轴正半轴上运动，当 |AP−BP| 的值最大时，连结 OA ， ΔAOP 的面积是 （ ）
1 3 5
A. B.1 C. D.
2 2 2
6【答案】 D
【考点】待定系数法求反比例 解析式
1 1
【解析】【解答】当 x= 时， y=2 ，当 x=2 时， y= ，
2 2
1 1
∴ A( ,2),B(2, ) .
2 2
连接AB并延长AB交x轴于点 P' ，当P在 P' 位置时， PA−PB=AB ，即此时 |AP−BP| 的值最
大.
设直线AB的解析式为 y=kx+b ，
1 1
将 A( ,2),B(2, ) 代入解析式中得
2 2
1
k+b=2 k=−1
2
{ 解得 { 5 ，
1 b=
2k+b= 2
2
5
∴直线AB解析式为 y=−x+ .
2
5 5
当 y=0 时， x= ，即 P' ( ,0) ，
2 2
1 1 5 5
∴S = OP' ⋅y = × ×2= .
△AOP 2 A 2 2 2
故答案为：D.
【分析】先根据反比例函数解析式求出A，B的坐标，然后连接AB并延长AB交x轴于点P’，当P在
P'位置时，PA- PB= 4B ,即此时|AP - BP|的值最大,利用待定系数法求出线AB的解析式,从而求出P'的坐标,进
而利用面积公式求面积即可.
7k
10. ( 2分 ) 如图，反比例函数y= （k>0）的图象经过矩形0ABC对角线的交点D，分别交AB、BC于
x
点E、F。若四边形OEBF的面积为6，则k的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】 B
【考点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设点D的坐标为（a，b），
ab
∴k=ab，y= ，
x
∵点D是矩形OABC对角线的交点，
∴A（2a，0），B（2a，2b），C（0,2b），
∴点D的横坐标为2a，点E的纵坐标为2b，
ab
∵点D、E在y= 的图像上，
x
a b
∴点E的横坐标为 ， 点D的纵坐标为 ，
2 2
∵S +S +S =S ，
△OAD △OCE 矩形ODBE 矩形OABC
1 b 1 a
∴ ·2a· + ·2b· +6=2a·2b ，
2 2 2 2
∴k=ab=2，
故答案为：B.
【分析】设点D的坐标为（a，b），再表示出点A、B、C、D、D，接着根据S +S +S =S
△OAD △OCE 矩形ODBE 矩形
即可求解.
OABC
二、填空题
k
11. ( 4分 ) 如果反比例函数y＝ （k是常数，k≠0）的图象经过点（﹣5，﹣1），那么在这个函数图象
x
所在的每个象限内，y的值随x的值增大而________（填“增大”或“减小”）．
8【答案】 减小
【考点】反比例函数的性质
k
【解析】【解答】解：反比例函数y＝ （k是常数，k≠0）的图象经过点（﹣5，﹣1），
x
所以k＝﹣5×（﹣1）＝5＞0，
所以这个函数图象所在的每个象限内，y的值随自变量x值的增大而减小．
故答案为：减小．
【分析】利用待定系数法求出k＝5，再根据k值的正负确定函数的增减性．
k−1
12. ( 4分 ) 反比例函数y= 的图象经过点（2，3），则k=________．
x
【答案】 7
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据点的坐标以及反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，
解方程即可得出结论．
k−1
∵反比例函数y= 的图象经过点（2，3），
x
∴k﹣1=2×3，
解得：k=7．
k
13. ( 4分 ) 如图，双曲线y= （k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若梯形ODBC
x
的面积为3，则双曲线的解析式为________ ．
2
【答案】 y=
x
9【考点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：连接OE，
k
设此反比例函数的解析式为y= （k≠0），C（c，0），
x
b
则B（c，b），E（c， ），
2
设D（x，y），
∵D和E都在反比例函数图象上，
bc
∴xy=k， =k，
2
1 b
即S =S = ×c× ，
△AOD △OEC 2 2
∵梯形ODBC的面积为3，
1 b
∴bc﹣ ×c× =3，
2 2
3
∴ bc=3，
4
∴bc=4，
∴S =S =1，
△AOD △OEC
∵k＞0，
1
∴ k=1，解得k=2，
2
2
∴函数解析式为：y=
x
2
故答案为：y= ．
x
10【分析】先根据矩形的特点设出B、C的坐标，根据矩形的面积求出B点横纵坐标的积，由D为AB的中
点求出D点的横纵坐标，再由待定系数法即可求出反比例函数的解析式．
14. ( 4分 ) 图形在平移时，下列特征中不发生改变的有________ （把你认为正确的序号都填上），
①图形的形状；②图形的位置；③线段的长度；④角的大小；⑤垂直关系；⑥平行关系．
【答案】 ①③④⑤⑥．
【考点】平移的性质
【解析】【解答】解：由图形平移的性质，知图形在平移时，其特征不发生改变的有①③④⑤⑥．
【分析】根据平移的性质直接判断即可．
15. ( 4分 ) 如图，已知A（4，0），B（3，3），以OA、AB为边作 ▱OABC，则若一个反比例函数的图
象经过C点，则这个反比例函数的表达式为________．
3
【答案】 y=﹣
x
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过B作BE⊥x轴，过C作CD⊥x轴，可得∠BEA=∠CDO=90°，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴AB∥OC，AB=OC，
∴∠BAE=∠COD，
在△ABE和△OCD中，
，
∴△ABE≌△OCD（AAS），
∴BE=CD，AE=OD，
∵A（4，0），B（3，3），
∴OA=4，BE=OE=3，
∴AE=OA﹣OE=4﹣3=1，
11∴OD=AE=1，CD=BE=3，
∴C（﹣1，3），
k
设过点C的反比例解析式为y= ，
x
把C（﹣1，3）代入得：k=﹣3，
3
则反比例解析式为y=﹣ ．
x
3
故答案为：y=﹣
x
【分析】过B作BE⊥x轴，过C作CD⊥x轴，可得∠BEA=∠CDO=90°，由四边形ABCO为平行四边形，
得到对边平行且相等，利用两直线平行得到一对同位角相等，利用AAS得到三角形ABE与三角形OCD全
等，利用全等三角形对应边相等得到AE=OD，BE=CD，确定出C坐标，利用待定系数法确定出反比例解
析式即可．
16. ( 4分 ) 如图，正方形 ABCD 中， AB=3 ，点 E 为对角线 AC 上的动点，以 DE 为边作正方形
2
DEFG ．点 H 是 CD 上一点，且 DH= CD ，连接 GH ， CG ，则 ∠DCG= ________度，运
3
动变化过程中， GH 的最小值为________．
√2
【答案】 45°；
2
【考点】正方形的性质，解直角三角形，三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接CG．
12∵四边形ABCD是正方形，四边形DEFG是正方形，
∴DA=DC，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，∠DAC=45°，
∴∠ADE=∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DCG=∠DAE=45°，
∴点G的运动轨迹是射线CG，
根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，
2
∵DH= CD=2，
3
∴CH=CD-DH=3 − 2=1，
√2 √2
∴最小值=CH•sin45°=1× = ．
2 2
√2
故答案为：45°； ．
2
【分析】先证明△ADE≌△CDG，再求出CH=1，最后利用锐角三角函数求解即可。
17. ( 1分 ) 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形 OAP B 的顶点 A,B 分别在 x 轴， y 轴
1
k
上，点 P 在反比例函数 y= (x>0) 图象上，过 P A 的中点 B 作矩形 B A A P ，使顶点 P
1 x 1 1 1 1 2 2
k
落在反比例函数 y= 图象上，再过 P A 的中点 B 作矩形 B A A P ，使顶点 P 落在反比例函
x 2 1 2 2 1 2 3 3
k k
数 y= 图象上，…，依此规律，作出矩形 B A A P 时，落在反比例函数 y= 图象上的顶点
x 18 17 18 19 x
P 的坐标为________．
19
131
【答案】 (218 ， )
218
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，探索图形规律
k
【解析】【解答】解： ∵ 正方形 OAP B 的边长为1，点 P 在反比例函数 y= (x>0) 的图象上，
1 1 x
∴P (1,1) ，
1
∴k=1 ，
1
∴ 在反比例函数的解析式为： y= ，
x
∵B 是 P A 的中点，
1 1
1
∴P A =AB = ，
2 1 1 2
∴OA =2 ，
1
1
∴P (2, ) ，
2 2
1
同理， P (22, ) ，
3 22
…
1
∴P (2n−1 ， ) ，
n 2n−1
1
∴顶点 P 的坐标为 (218 ， ) ．
19 218
1
故答案为： (218 ， ) ．
218
1 1
【分析】先求出反比例函数的解析式为： y= ，再求出P (22, ) ，最后找到规律计算求解即可。
x 3 22
12 1
18. ( 1分 ) 如图，反比例函数 y=− 的图象与直线 y= x+b(b>0) 交于 A ， B 两点（点 A 在
x 2
点 B 右侧），过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为点 C ，连接 AO ， BO ，图中阴影部分的面积为
1412，则 b 的值为________.
【答案】 3√3
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：如下图所示，设 B(x ,y ) ， A(x ,y ) ，直线与x轴交点记为点G，
1 1 2 2
AC与OB的交点记为点E，作BD⊥x轴，垂足为点D；
∴ x ⋅y =x ⋅y =−12 ，OD= −x ，BD= y ；
1 1 2 2 1 1
1 1
∴ S = |x ⋅y |=6 ， S = |x ⋅y |=6 ；
ΔOBD 2 1 1 ΔOAC 2 2 2
∴ S +S =12 ；
ΔOAC ΔOBD
又因为阴影部分面积为12，
∴ S +(S −S )+(S −S )=12
ΔGBD ΔOBD ΔOEC ΔOAC ΔOEC
∴ S +(S −S )+(S −S )=S +S
ΔGBD ΔOBD ΔOEC ΔOAC ΔOEC ΔOAC ΔOBD
∴ S =2S
ΔGBD ΔOEC
1
因为直线解析式为 y= x+b(b>0) ，
2
令y=0，则x= −2b ，
∴ G(−2b,0) ，
∴ OG=2b ；
1 1
∴ S = DG⋅BD= (2b+x )y ；
ΔGBD 2 2 1 1
15设直线OB的解析式为： y=mx(m≠0)
y
代入B点坐标后得： y= 1 x ，
x
1
y
∴ E(x , 1 x ) ，
2 x 2
1
y
∴OC= −x ，CE= 1 ⋅x ，
2 x 2
1
1 1 y y x ❑ 2
∴ S = OC⋅CE= ⋅(−x ) 1 ⋅x =− 1 2 ；
ΔOCE 2 2 2 x 2 2x
1 1
1 y x ❑ 2
∴ (2b+x )y =2 ⋅(− 1 2 )
2 1 1 2x
1
−2y x ❑ 2
∴ 2b y +x ⋅y = 1 2
1 1 1 x
1
∴ 2bx +x ❑ 2=−2x ❑ 2
1 1 2
∴ 2x ❑ 2+x ❑ 2=−2bx
2 1 1
12
y=−
x 1
由 { 可得： x2+bx+12=0 ，
1 2
y= x+b
2
1
其中
Δ=b2−4× ×12=b2−24
，
2
∵ x 0 ，解得： b=3√3 ；
∴b的值为 3√3 .
故答案为： 3√3 .
【分析】设B（x ， y），A（x ， y），直线与x轴交点记为点G，AC与OB的交点记为点E，作
1 1 2 2
BD⊥x轴，垂足为点D，可得S +S =12，然后结合阴影部分面积为12可推出S =2S ， 根据
△OAC △OBD △GBD △OEC
1 y x 2❑
直线解析式可得点G的坐标，得到S = (2b+x )y ， 同理可得S =− 1 2 ， 然后根据
△GBD 2 1 1 △OCE 2x
1
1
S =2S 可得2x ❑ 2+x ❑ 2=−2bx ， 联立反比例函数与直线解析式可得 x2+bx+12=0，根据方程
△GBD △OEC 2 1 1 2
有两根可得Δ=b2−24 ，然后结合x0 )图象的一支若该函数的图象与一次函
x
数 y=x+1 的图象在第一象限的交点为 A(2,n) ，求点A的坐标及反比例函数的表达式.
【答案】 解： ∵ 点 A(2,n) 在一次函数 y=x+1 的图象上，
∴n=2+1=3,
∴ 点A的坐标为 (2,3) .
m−3
又 ∵ 点A在反比例函数 y= (m 为常数， x>0 )的图象上，
x
∴m−3=2×3=6,
6
∴ 反比例函数的表达式为 y= .
x
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
17【解析】【分析】先将x=2代入一次函数 y=x+1 中可得，点A的坐标为 (2,3) ，再将点A的坐标代入
m−3
y= 可得反比例函数的解析式.
x
20. ( 5分 ) （1）阅读合作学习内容，解答其中的问题；
合作学习
k
如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=3，另两边与反比例函y= (k≠0)的图
x
象分别相交于点E，F，且DE=2，过点E作EH⊥ 轴于点H，过点F作FG⊥EH于点G。回答下列问题：
①该反比例函数的解析式是什么？
②当四边形AEGF为正方形时，点F的坐标是多少？
（2）小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题：“当AE>EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能否全
等？能否相似？”针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形
能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由。
【答案】 （1）①∵四边形ABOD为矩形，EH⊥x，而OD=3，DE=2
∴E点的坐标为（2,3）
∴k=2×3=6
6
∴反比例函数的解析式为y=
x
②设正方形AEGF的边长为a，则AE=AF=a
∴B点的坐标为（2+a，0），A点的坐标为（2+a，3）
∴F点的坐标为（2+a，3-a）
6
把F点代入y= ， 可得（2+a）（3-a）=6，
x
解得a =1,a =0（舍去）
1 2
∴F点的坐标为（3，2）
（2）①当AE＞EG时，矩形AECF与矩形DOHE不能全等.
理由：假设两矩形全等，则AE=OD=3，AF=DE=2，
18∴A点的坐标为（5,3）
∴F点的坐标为（3,3）
6
而3×3=9≠6，F点不在y= 上
x
故矩形AECF与矩形DOHE不能全等
AE AF
②当AE＞EG时，若矩形AECF与矩形DOHE相似，根据相似的性质可得 =
OD DE
AE OD 3
∴ = = ,
AF DE 2
设AE=3t，则AF=2t，得F点的坐标为（2+3t，3-2t），
6
所以由反比例函数y= 可得（2+3t）（3-2t）=6，
x
5
解得t =0（舍去），t =
1 2 6
5
∴AE=3t= ，
2
AE 5
∴相似比为 =
OD 6
【考点】反比例函数的图象，待定系数法求反比例函数解析式，平面图形的初步认识
【解析】【分析】 反比例函数，矩形的性质，坐标与图形，矩形的相似
（1）根据矩形的性质和反比例函数的特点可以求出函数的解析式；再根据正方形的性质和反比例函数的
特点求出F点的坐标；
（2）先假设全等，然后判断出F点不在反比例函数的图像上，判断出不全等；假设相似，得到相似的成
比例线段，结合矩形的特点设出F点的坐标，根据反比例函数求出点F，从而求出相似比.
21. ( 9分 ) 某三角形的面积为15 cm2 ，它的一边长为 x cm，且此边上高为 y cm，请写出 x 与 y 之
间的关系式，并求出 x=5 时， y 的值．
19【答案】 解：∵三角形的面积=边长×这边上高÷2，三角形的面积为15cm2 ， 一边长为xcm，此边上高
为ycm，
30
∴ y= ；
x
当x=5时，y=6（cm）
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式
【解析】【分析】利用三角形的面积公式列出y与x的函数解析式，再将x=5的值代入求出y的值。
22. ( 15分 ) 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+b与坐标轴交于C，D两点，直
线AB与坐标轴交于A，B两点，线段OA，OC的长是方程x2﹣3x+2=0的两个根（OA＞OC）．
（1）求点A，C的坐标；
k
（2）直线AB与直线CD交于点E，若点E是线段AB的中点，反比例函数y= （k≠0）的图象的一个分
x
支经过点E，求k的值；
（3）在（2）的条件下，点M在直线CD上，坐标平面内是否存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四
边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】 （1）解：x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2)=0，
∴x=1，x=2，
1 2
∵OA＞OC，
∴OA=2，OC=1，
∴A（﹣2，0），C（1，0）
（2）解：将C（1，0）代入y=﹣x+b中，
得：0=﹣1+b，解得：b=1，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+1．
∵点E为线段AB的中点，A（﹣2，0），B的横坐标为0，
∴点E的横坐标为﹣1．
∵点E为直线CD上一点，
20∴E（﹣1，2）．
k k
将点E（﹣1，2）代入y= （k≠0）中，得：2= ，
x −1
解得：k=﹣2．
（3）解：假设存在，
设点M的坐标为（m，﹣m+1），
以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形分两种情况（如图所示）：
①以线段BE为边时，∵E（﹣1，2），A（﹣2，0），E为线段AB的中点，
∴B（0，4），
1 1
∴BE= AB= √22+42=√5 ．
2 2
∵四边形BEMN为菱形，
∴EM= √(m+1) 2+(−m+1−2) 2 =BE= √5 ，
−2−√5 −2+√5
解得：m= ，m=
1 2 2 2
−2−√5 √5 −2+√5 √5
∴M（ ，2+ ）或（ ，2﹣ ），
2 2 2 2
∵B（0，4），E（﹣1，2），
√5 √5 √5 √5
∴N（﹣ ，4+ ）或（ ，4﹣ ）；
2 2 2 2
②以线段BE为对角线时，MB=ME，
∴ √(m+1) 2+(−m+1−2) 2=√m2+(−m+1−4) 2 ，
7
解得：m=﹣ ，
3 2
217 9
∴M（﹣ ， ），
2 2
∵B（0，4），E（﹣1，2），
7 9 5 3
∴N（0﹣1+ ，4+2﹣ ），即（ ， ）．
2 2 2 2
√5
综上可得：坐标平面内存在点N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（﹣ ，
2
√5 √5 √5 5 3
4+ ）、（ ，4﹣ ）或（ ， ）
2 2 2 2 2
【考点】因式分解法解一元二次方程，待定系数法求反比例函数解析式，菱形的性质
【解析】【分析】（1）通过解方程x2﹣3x+2=0，可得OA、OC的长，再结合A、C两点的位置即可写出
A、C坐标；
（2）根据（1）中C的坐标可求出直线CD解析式，再根据线段AB两端点的横坐标可知中点E的横坐标，
结合直线CD的解析式即可求出点E坐标，从而求出反比例函数中的k值；
（3）设出点M的坐标，分线段BE是菱形边和对角线两种情况，利用菱形的四边都相等及对角线垂直平
分的性质，借助两点间距离公式即可列方程求解。
四、综合题
23. ( 12分 ) 如图，AD⊥BC于D，BE⊥AC于F，BE交AD于F，BF＝AC，
（1）求证：FD＝CD；
（2）连DE，求证：ED平分∠BEC；
1
（3）在（2）条件下，点P在AC上，连BP、DP，BP交AD于Q， BP平分∠EBC，∠BPD＝
2
∠BFD，△APQ的面积为4，求线段PD的长．
【答案】 （1）证明：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于F，
∴∠BDA=∠CDA=90°，∠FEA=90°，
∵∠BFD=∠AFE，∠BFD+∠FBD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，
22∴∠FBD=∠FAE=∠CAD，
∵∠DAC+∠ACD=90°，∠BFD=∠AFE，∠AFE+∠FAE=90°，
∴∠BFD=∠ACD，
在△BFD和△ACD中，
∠BFD=∠ACD
{ BF=AC
∠FBD=∠CAD
∴△BFD ≅ △ACD，
∴FD＝CD；
（2）证明：如图1，过D作DG⊥BE于G，DH⊥AC于H，
∵△BFD ≅ △ACD，
∴∠B=∠A，BD=AD，
∴△BDG ≅ △ADH，
∴DG=DH，且DG⊥BE，DH⊥AC，
∴ED平分∠BEC；
（3）解：如图，过点P作PH⊥CD于H，PN⊥AD于N，延长PN交BE于点G，
∵BP平分∠EBC，PH⊥BC，∠PEB=90°，PE=PH，
∴∠EBP=∠PBD，
1 1
∵∠PDC=∠PBD+∠BPD= ∠EBC+ ∠BFD ，
2 2
231 1
∴∠PDC= ∠EBC+ ∠BFD =45°，且∠ADC=90°，
2 2
∴∠ADP=∠PDC=45°，且PH⊥DC，PN⊥AD，
∴PH=PN，
∴PH=PN=PE，且∠APN=∠GPE，∠ANP=∠GEP=90°，
∴△APN ≅ △GPE，
∴AP=GP，
∴AE=GQ，
∵PH⊥CD，PN⊥AD，AD⊥CB，
∴四边形DHPN是矩形，且PH=PN，
∴四边形DHPN是正方形，
∴PH=QD=DH=NP，且FD=CD，
∴FN=CH，
∵∠A+∠C=90°，∠A+∠AFE=90°
∴∠C=∠AFE=∠GFN，且FN=CH，∠PHC=∠GNF，
∴△GNF ≅ △PHC，
∴PH=GN，
∴PH=AE=PE，
∵∠APB=∠PBC+∠C，∠AQP=∠GFN+∠EBP，
∴∠APB=∠AQP，
∴AP=AQ=2PH，
∵△APQ的面积为4，
1
∴ AQ×PN=4 ，
2
1
∴ ×2PH×PH=4 ，
2
∴PH=2，
∴PH=DH=2，且PH⊥CD，
∴ DP=√2PH=2√2 ；
【考点】三角形的面积，全等三角形的性质，三角形全等的判定，角平分线的性质，直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）先证明△BFD ≅ △ACD，即可得出FD＝CD；（2）过D作DG⊥BE于G，
24DH⊥AC于H，由“AAS”可证△BDG ≅ △ADH，可得DG=DH，由角平分线的性质可得ED平分
∠BEC；（3）如图，过点P作PH⊥CD于H，PN⊥AD于N，延长PN交BE于点G，由角平分线的性质可
证PH=PN=PE，通过全等三角形的性质可证AE=PE=PH，由面积公式可得PH=2，由直角三角形的性质可
求解；
1 k 1
24. ( 13分 ) 当k值相同时，我们把正比例函数 y= x 和反比例函数 y= ，以函数y＝﹣ x和y＝
k x 2
2
﹣ ，下面是小亮的探究过程，请你将它补充完整.
x
（1）如图，在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象，两个函数图象在第二、四象限分别交于点A，
B，B的坐标分别是A________，B________.
2
（2）点P是函数y＝﹣ 在第二象限内的图象上的一个动点（不与点A重合），作直线PA，分别与x轴
x
交于点C，D.设点P的横坐标为t.小亮通过分析得到：在点P运动的过程中，总有PC＝PD，
证明PC＝PD的过程如下（不完整）.
2
易知点P的坐标是（t，﹣ ）.
t
设直线AP的解析式为y＝ax+b.
1
−2a+b=1 a=−
t
将点A，P的坐标分别代入，得 { 2 ，解得 {
ta+b=− 2−t
t b=
t
1 2−t
∴直线AP的解析式为y＝﹣ x﹣ .
t t
令y＝0，得x＝t﹣2，则点C的坐标为（t﹣2，0）.
251 t−2
同理可求得直线PB的解析式为y＝ x﹣ .
t t
…
请你补充剩余的证明过程.
（3）当△PCD是等边三角形时，t＝________.
（4）随着点P的运动，△ABP的面积S与点P的横坐标t之间存在一定的函数关系，当t＞﹣2时，求S关
于t的函数关系式.
【答案】 （1）（-2，7）；（1，-1）
1 t+4
（2）解：令 x− =0 ，
t t
∴x＝t+2，
∴点D的坐标为（t+2，0），
如图，过点P作PH⊥x轴于点H，0），
又∵C（t﹣7，0），0），
∴CH＝DH，
∴PH是线段CD的中垂线，
∴PC＝PD；
√3
（3）−
4
（4）解：当t＞﹣7时，
1 2 1 5 4
S＝S +S ﹣S ＝ ×3×(− ) + ×(t+2)×1 ﹣ ×(2−t)×6 ＝﹣ .
△PCD △BOD △ACD 2 t 8 2 t
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
261 8
【解析】【解答】解：（1）令 − x=− ，
2 x
∴x2＝4，
∴x＝﹣2，x＝7，
2 2
分别代入关系式得：y＝1，y＝﹣1，
1 6
∴A（﹣2，7），﹣1），
故答案为：A（﹣2，3），﹣1）.
（3）由（2）得，CH＝5，
∵△PCD为等边三角形，
∴∠PCH＝60°，
PH
∴tan∠PCH＝ ，
CH
∴PH＝ √3 CH，
2
∴ − =6√3 ，
t
√3
∴t＝ − ；
4
【分析】（1）将正比例函数的解析式和反比例函数的解析式联立解方程组即可求出交点坐标；
（2）首先将D的坐标用含t的代数式表示出来，然后过点P作PH⊥x轴求出点H坐标，再求出点C坐标，
易得CH=DH，最后根据线段的中垂线的性质可得PC＝PD；
PH
（3）根据等边三角形的性质，由tan∠PCH= 可得出PH和CH的关系，即可求出t的值；
CH
（4）由图可知S＝S ＋S −S 即可求解．
△PCD △BOD △ACD
2728
