文档内容
《第二十七章 相似》测试卷（A 卷）
（测试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．已知：线段a、b，且 ,则下列说法错误的是( )
A． a＝2cm，b＝3cm B． a＝2k，b＝3k(k≠0) C． 3a＝2b D．
2．下列命题正确的是（ ）
A． 有一个角对应相等的平行四边形都相似
B． 对应边成比例的两个平行四边形相似
C． 有一个角对应相等的两个等腰梯形相似
D． 有一个角对应相等的菱形是相似多边形
3．如果 （其中顶点 、 、 依次与顶点 、 、 对应），那么下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B． ∠B=∠E C． D．
4．在比例尺为1∶8 000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，那么矩形运动场的实际尺寸
应为( )
A． 80 m×160 m B． 8 m×16 m C． 800 m×160 m D． 80 m×800 m
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，以原点 为位似中心，相似比为 ，把 缩小，
则点 的对应点 的坐标是（ ）
A． (-1, 2) B． (-9, 18) C． (-9, 18)或(9, -18) D． (-1, 2)或(1, -2)
6．如图，点O是 ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有( )
△A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对
7．已知：如图，在 中， ，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形中，是 上的一点，直线 与 的延长线交于点 ， 并与 交于点 ，下列式
子中错误的是（ ）
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A． B． C． D．
9．如图，在 中， 是边 上一点，连接 ，给出下列条件：① ；② ；③
；④ ．其中单独能够判定 的个数是（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
10 ． 点 是 线 段 的 黄 金 分 割 点 ， 且 ， 下 列 命 题 ：
，中正确的有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
[来源:学+科+网]
二、填空题（每小题3分，共30分）
AD 2 DE
11．如图，在△ABC中，DE∥BC， ，则 = ．
DB 3 BC
12． 如图，直角三角形ABC中，ACB 90，AB 10， BC 6，在线段AB上取一点D，作DF AB交AC 于点F .现将ADF 沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点 记为H；AD的中点E的对应点记
为G. 若GFH ∽GBF ，则AD=______ ____.
13．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP1，D为AC 上一点，若APD60°，则CD
的长为 .
14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，
若S ：S =1：25，则S 与S 的比=___________．
△DOE △COA △BDE △CDE
15．如图，以点O为位似中心，将五边形 ABCDE放大后得到五边形 A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，
OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 ．
16．把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为
17．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则 1 + 1 =
AM AN
．BF
18．如图，在菱形ABCD中，E是BC边上的点，AE交BD于点F，若EC=2BE，则 的值是 ．
FD
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19．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离
球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高
度是 米．
2.24
4 1.5
20．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD= ，在边CD上有一点E，使EB平分∠AEC．若P为BC边上一点，且
BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．给出以下五个结论：
①点B平分线段AF；②PF= DE；③∠BEF=∠FEC；④S =4S ；⑤△AEB是正三角形．
矩形ABCD △BPF
其中正确结论的序号是．
三、解答题（共60分）
21．（本题6分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm，BD=4cm，求AC的长．22．（本题6分）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格
点O，按要求画出格点△ABC 和格点△ABC．
1 1 1 2 2 2
（1）将△ABC绕O点顺时针旋转90°，得到△ABC；
1 1 1
（2）以A 为一个顶点，在网格内画格点△ABC，使得△AB C∽△ABC，且相似比为1：2．
1 1 2 2 1 1 1 1 2 2
23．（本题6分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE
的长．
24．（本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
25．（本题7分）为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的
测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆高为
3.2米，且BC=2米，CD=6米，求树ED的高．
26．（本题8分）如图，正方形AABC，AABC，…Aa BC，如图位置依次摆放，已知点C，C，C…，C 在直线
1 2 1 1 2 3 2 2 n n+1 n n 1 2 3 n
y=x上，点A 的坐标为（1，0）．
1
（1）写出正方形AABC，AABC，…Aa BC，的位似中心坐标；
1 2 1 1 2 3 2 2 n n+1 n n
（2）正方形AABC 四个顶点的坐标．
4 3 4 427．（本题8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．
（1）求证：AE•BC=BD•AC；
（2）如果S =3，S =2，DE=6，求BC的长．
△ADE △BDE
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28．（本题11分） (1)、问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：
AD·BC=AP·BP．
(2)、探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？
说明理由．
(3)、应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满
足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．（测试时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．已知：线段a、b，且 ,则下列说法错误的是( )
A． a＝2cm，b＝3cm B． a＝2k，b＝3k(k≠0) C． 3a＝2b D．
【答案】A
【解析】
选项A，两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关，选项A错误；
选项B， ，根据等比性质，a=2k，b=3k（k≠0），选项B正确；
选项C， ，根据比例的基本性质可得3a=2b，选项C正确；
选项D， ，根据比例的基本性质可得a= b，选项D正确．
故选A．
2．下列命题正确的是（ ）
A． 有一个角对应相等的平行四边形都相似
B． 对应边成比例的两个平行四边形相似
C． 有一个角对应相等的两个等腰梯形相似
D． 有一个角对应相等的菱形是相似多边形
【答案】D
3．如果 （其中顶点 、 、 依次与顶点 、 、 对应），那么下列等式中不一定成立的是（ ）
A． B． ∠B=∠E C． D．【答案】C
【解析】
ABC∽△DEF，故：
△A．∠A＝∠D正确，故本选项错误；
B．∠B=∠E正确，故本选项错误；
C．AB＝DE不一定成立，故本选项正确；
D． 正确，故本选项错误．
故选C．
4．在比例尺为1∶8 000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，那么矩形运动场的实际尺寸
应为( )
A． 80 m×160 m B． 8 m×16 m C． 800 m×160 m D． 80 m×800 m
【答案】A
解得
y=16000（cm）=160（m）
∴矩形运动场的实际尺寸是80m×160m.
故选A.5．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，以原点 为位似中心，相似比为 ，把 缩小，
则点 的对应点 的坐标是（ ）
A． (-1, 2) B． (-9, 18) C． (-9, 18)或(9, -18) D． (-1, 2)或(1, -2)
【答案】D
6．如图，点O是 ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有( )
△A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对
【答案】D
【解析】
因为点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,
所以DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,
所以DE//AB,DF//AC,EF//BC,
所以△DOE∽△AOD, △DOF∽△AOC, △EOF∽△BOC,
因为DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,
所以 , ,
所以 ，
所以△DEF∽△ABC,
因此有四对相似三角形,
故选D.
7．已知：如图，在 中， ，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
8．如图，在平行四边形中，是 上的一点，直线 与 的延长线交于点 ， 并与 交于点 ，下列式子中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BE，
∵CG∥AE，
∴四边形AGCF是平行四边形， BCG∽△BEA， CEF∽△BEA，
△ △
∴ ， ，CF=AG，
∴DF=BG， ，
∴选项A、B正确；
∵AD∥BE，
∴ ，
∴ ，
∴选项C正确，D不正确；
故选D．
9．如图，在 中， 是边 上一点，连接 ，给出下列条件：① ；② ；③
；④ ．其中单独能够判定 的个数是（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
【答案】B10．点 是线段 的黄金分割点，且 ，下列命题：
，中正确的有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
【答案】B
二、填空题（每小题3分，共30分）
AD 2 DE
11．如图，在△ABC中，DE∥BC， ，则 = ．
DB 3 BC
2
【答案】
5
【解析】
DE AD 2
根据AD:DB=2:3可得：AD:AB=2:5，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ = = .
BC AB 5
12． 如图，直角三角形ABC中，ACB 90，AB 10， BC 6，在线段AB上取一点D，作DF AB
交AC 于点F .现将ADF 沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点 记为H；AD的中点E的对应点记
为G. 若GFH ∽GBF ，则AD=______ ____.【答案】3.2
【解析】
利用勾股定理列式求出AC=8，设AD=2x，得到AE=DE=DE=AE=x，然后求出BE=10-3x，再利用相似三角形对应
1 1 1 1
边成比例列式求出DF=3 ，然后利用勾股定理列式求出EF= 13 ，然后根据相似三角形对应边成比例列
x 1 x
2 2
8 8 16
式求解得到x= ，从而可得AD的长为2× = =3.2．
5 5 5
13．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP1，D为AC 上一点，若APD60°，则CD
的长为 .
2
【答案】 ．
3
14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，
若S ：S =1：25，则S 与S 的比=___________．
△DOE △COA △BDE △CDE
【答案】1：4【解析】
根据S ：S =1：25可得：DE:AC=1:5，则BE：BC=1:4，即BE:CE=1:4，△BDE和△CDE是登高三角形，则
△DOE △COA
S ：S =BE:EC=1:4.
△BDE △CDE
15．如图，以点O为位似中心，将五边形 ABCDE放大后得到五边形 A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，
OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 ．
【答案】1：2
【解析】
由五边形 ABCDE 与五边形 A′B′C′D′E′位似，可得五边形 ABCDE∽五边形 A′B′C′D′E′，又由
OA=10cm，OA′=20cm，即可求得其相似比为1:2，根据相似多边形的周长的比等于其相似比，即可求得答案为
五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2．
16．把一个矩形剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长边与短边之比为
【答案】1+ 5
2
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【解析】
设原矩形的长为x，宽为y，则剩下的矩形的长为y，宽为(x－y)，根据矩形相似可求出比值.
17．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则 1 + 1 = ．
AM AN
【答案】1．BF
18．如图，在菱形ABCD中，E是BC边上的点，AE交BD于点F，若EC=2BE，则 的值是 ．
FD
1
【答案】
3
【解析】
根据菱形的性质得出AD=BC，AD∥BC，求出AD=3BE，根据相似三角形的判定得出△AFD∽△EFB，根据相似得出
BF BE 1
比例式 ，代入求出即可求得结果为 ．
DF AD 3
19．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距离
球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度
是 米．
2.24
4 1.5
【答案】3.08
【解析】
4 2.24
根据三角形相似的性质可得： ，则x=3.08
41.5 x20．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD= ，在边CD上有一点E，使EB平分∠AEC．若P为BC边上一点，且
BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．给出以下五个结论：
①点B平分线段AF；②PF= DE；③∠BEF=∠FEC；④S =4S ；⑤△AEB是正三角形．
矩形ABCD △BPF
其中正确结论的序号是．
【答案】①②③⑤
2
2 3 4 3
在Rt△BPF中，BF=2，由勾股定理可求得PF= BF2 BP2 = 4 = ，
3 3
∵DE=1，∴PF=4 3 DE，故②正确；在Rt△BCE中，EC=1，BC= ，由勾股定理可求得BE=2，∴BE=BF，
3
3
∴∠BEF=∠F，又∵AB∥CD，∴∠FEC=∠F，∴∠BEF=∠FEC，
故③正确；∵AB=2，AD= ，∴S =AB×AD=2× =2 ，
3 矩形ABCD 3 3
∵BF=2，BP=4 3 ，∴S =1 BF×BP=1 ×2×4 3 =4 3 ，
△BPF
3 2 2 3 3
∴4S =16 3 ，∴S =≠4S ，故④不正确；
△BPF 矩形ABCD △BPF
3由上可知AB=AE=BE=2，∴△AEB为正三角形，故⑤正确；
综上可知正确的结论为：①②③⑤．
[来源:Zxxk.Com]
故答案为：①②③⑤．
三、解答题（共60分）
21．（本题6分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，已知AD=8cm，BD=4cm，求AC的长．
【答案】
4 6
22．（本题6分）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格
点O，按要求画出格点△ABC 和格点△ABC．
1 1 1 2 2 2
（1）将△ABC绕O点顺时针旋转90°，得到△ABC；
1 1 1
（2）以A 为一个顶点，在网格内画格点△ABC，使得△ABC∽△ABC，且相似比为1：2．
1 1 2 2 1 1 1 1 2 2
【答案】（1）图形见解析；（2）图形见解析.
【解析】（1）如图所示：△ABC，即为所求；
1 1 1
（2）如图所示：△ABC，即为所求．
1 2 2
23．（本题6分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE
的长．
【答案】4．
【解析】
BD DE
∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，又∠C=90°，∴∠BED=∠C．又∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴ ，∴DE=
AB AC
BDAC 87
= =4．
AB 14
24．（本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
【答案】(1)证明见解析；(2) AD=3
525．（本题7分）为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的
测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆高为
3.2米，且BC=2米，CD=6米，求树ED的高．
【答案】8米
【解析】
如图，过A作AH垂直ED，垂足为H，交线段FC与G,
FG AG
由题知，FG//EH, △AFG∽△AEH，
EH AH
1.6 2
又因为AG=BC=2,AH=BD=2+6=8,FG=FC-GC=3.2 -1.6=1.6， 所以 ，EH=6.4，
EH 8
∴ED=EH+HD=6.4+1.6=8 树ED的高为8米
26．（本题8分）如图，正方形AABC，AABC，…Aa BC，如图位置依次摆放，已知点C，C，C…，C 在直线
1 2 1 1 2 3 2 2 n n+1 n n 1 2 3 n
y=x上，点A 的坐标为（1，0）．
1
（1）写出正方形AABC，AABC，…Aa BC，的位似中心坐标；
1 2 1 1 2 3 2 2 n n+1 n n
（2）正方形AABC 四个顶点的坐标．
4 3 4 4【答案】（1）（0，0）；（2）A（8，0），A（16，0），B（16，8），C（8，8）．
4 5 4 4
27．（本题8分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．
[来源:学科网ZXXK]
（1）求证：AE•BC=BD•AC；
（2）如果S =3，S =2，DE=6，求BC的长．
△ADE △BDE
【答案】(1)证明见解析；(2) BC=10.28．（本题11分） (1)、问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：
AD·BC=AP·BP．
(2)、探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？
说明理由．
(3)、应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且满
足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．
[来源:学。科。网Z。X。X。K][来源:Zxxk.Com]
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) t=1秒或5秒.
【解析】
(1)、如图1 ∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP =∠BPC ∴△ADP∽△BPC．∴ 即AD·BC=AP·BP．
(2)结论AD·BC=AP·BP 仍成立．
理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC =∠A+∠ADP，∵∠DPC
=∠A=θ，∴∠BPC =∠ADP ， 又∵∠A=∠B=θ，∴△ADP∽△BPC，∴ ，∴AD·BC=AP·BP．
(3)如图3，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD=BD=5，AB=6，∴AE=BE=3，由勾股定理得DE=4，
∴DC=DE=4，∴BC=5-4=1，又∵AD=BD，∴∠A=∠B，由已知，∠DPC =∠A，∴∠DPC =∠A=∠B，由（1）、（2）可得：AD·BC=AP·BP， 又AP=t，BP=6-t，∴t（6-t）=5×1，
解得t=1，t=5，∴t的值为1秒或5秒．
1 2
